CC BY
125
2. Балабух Л. И. Основы строительной механики ракет / Балабух Л. И., Колесников К. С., Зарубин В. С., Алфутов Н. А. и др. // - М. : Высшая школа, 1969. - 496 с.
3. Биргер И. А. Расчет на прочность деталей машин : Справочник / Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. // - М. : Машиностроение, 1979. - 702 с.
4. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек на ЭЦВМ / Валишвили Н. В. // М. : Машиностроение, 1976. - 278 с.
5. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / Вольмир А. С. // М. : Наука, 1967. - 984 с.
6. Григолюк Э. И. Устойчивость оболочек / Григолюк Э. И., Кабанов В. В. // М. : Наука, 1978. - 360 с.
7. Кармишин А. В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. // М. : Машиностроение. - 1975. - 376 с.
8. Красовский В. Л. О явлении "статического резонанса" в тонкостенных цилиндрических оболочках / Красовский В. Л. // Новини науки Придшпров'я. - 2004. - № 6. - С. 54 - 64.
9. Красовский В. Л. "Статический резонанс" в цилиндрических оболочках при периодически неоднородном сжатии (эксперимент и численное исследование) / Красовский В. Л., Колесников М. В., Шмидт Р. // Theoretical foundations of civil engineering. - Warsaw : WP. - 2008. - № 16. - Р. - 189 - 200 с.
10. Красовский В. Л. Устойчивость пологих конических оболочек при внешнем давлении в физическом и численном эксперименте / Красовский В. Л., Прокопало Е. Ф., Варяничко М. А. // Новини науки Придшпров'я. - 2005. - № 2. - С. 20 - 31.
11. Красовский В. Л. Экспериментальное и теоретическое исследование устойчивости замкнутых пологих конических оболочек при внешнем давлении / Красовский В. Л., Прокопало Е. Ф., Варяничко М. А. // Theoretical foundations of civil engineering. - Warsaw : WP. - 2005. - № 13. -Р.175 - 188.
12. СНиП II-23-81*. Стальные конструкции / Госстрой СССР. -М : ЦИТП Госстроя СССР, 1990. - 96 с.
13. Трапезин И. И. Экспериментальное определение величин критического давления для конических оболочек / Трапезин И. И. // Расчеты на прочность. - М. : Машиностроение, 1960. - № 6. - С. 217 - 230.
14. Шихранов А. Н. Численный анализ нелинейного деформирования пологих оболочек вращения с неосесимметричными несовершенствами формы / Шихранов А. Н. // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов. - 1997. - Т. 2. - С. 127 - 131.
15. Шубин И. А. Экспериментальное исследование устойчивости пологих конических оболочек при статическом нагружении давлением / Шубин И. А., Шкутин Л. И. // Прикладная механика. - 1966. - Т. 2, № 6. - С. 63 - 70.
16. Goldfeld Yiska. Imperfection sensitivity of conical shells / Goldfeld Yiska, Sheinman Izhak, Baruch Menahem. // AIAA Journal #3. - 2003. - Vol.41. - P.517 - 524.
17. Seide P. A survey of buckling theory and experiment for circular conical shells of constant thickness / Seide P. // NASA TN D-1510. - 1962. - P. 401 - 426.
18. Weingarten V. I. Buckling of thin-walled truncated cones / Weingarten V. I., Seide P. // NASA SP-8019. -1968. - 32 p.
УДК 539.3
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА И ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
И. В. Андрианов*, д. ф.-м. н., проф., В .В. Данишевский, д. т. н., доц.
Институт общей механики, Технический университет г. Аахен, Германия
Ключевые слова: композитный материал, асимптотическое осреднение, волна, дисперсия.
Введение. Осредненные модели используются в механике композитов более ста лет, начиная с пионерских работ В. Фойгта [1], предложившего вычислять свойства поликристаллов путем арифметического осреднения свойств их компонентов (кристаллитов). Если характерный размер I внутренней структуры композита существенно меньше макроскопического размера задачи Ь, то исходный неоднородный материал можно приближенно заменить однородной средой с некоторыми осредненными (т. н. эффективными) характеристиками. При этом осцилляции физических полей на микроуровне сглаживаются и заменяются средними значениями. Размер Ь может быть связан, например, с минимальной длиной волны или минимальным периодом удерживаемых в разложении внешней нагрузки в ряд Фурье гармоник.
В 1970-х годах была осознана асимптотическая природа метода осреднения и разработан соответствующий математический аппарат. Физические процессы в композитах моделируются уравнениями в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами. Асимптотические решения таких уравнений удобно искать при помощи двухмасштабных разложений. Метод многих масштабов и метод усреднения были разработаны в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и успешно применялись для задач нелинейных колебаний, включающих члены с разной изменяемостью по времени [6; 15]. В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов [14] и Н. С. Бахвалов [3] одними из
первых предложили применять данные методы к уравнениям в частных производных, когда компоненты решения имеют разную изменяемость по пространственным координатам. История развития метода осреднения изложена в работах [2; 11] результаты новых исследований в данной области освещены в обзоре [33].
Многие авторы, использующие метод осреднения, ограничиваются построением первого приближения. Такое решение соответствует гипотезе о квазиоднородном материале (1/Ь = 0). Учет высших приближений позволяет исследовать масштабные эффекты, которые определяются размером внутренней структуры композита и не могут быть описаны в рамках классической теории упругости.
Метод осреднения высшего порядка применительно к задачам статики развит в работах [22; 26; 30; 48]. Неоднородность материала приводит к появлению градиентов упругих полей высшего порядка. Полученные макроскопические уравнения равновесия включают дополнительные члены со старшими производными по координатам. Нелокальные эффекты, вызванные различным асимптотическим порядком свойств компонентов, рассмотрены в статьях [18; 27; 53].
В задачах динамики одним из проявлений масштабного эффекта является дисперсия волн, вызванная локальными отражениями и преломлениями сигнала на неоднородностях среды. Метод осреднения высшего порядка позволяет получить решения, учитывающие дисперсию длинных волн (I << Ь ) [5; 7; 19; 23 - 25; 28].
Когда длина волны уменьшается и становится соизмеримой с размером внутренней структуры, в композите обнаруживаются частотные зоны пропускания и запирания. Если частота попадает в зону запирания, в материале возникает стоячая волна, групповая скорость которой равна нулю. При этом амплитуда сигнала на макроуровне экспоненциально затухает. Таким образом, композит играет роль волнового фильтра. Результаты экспериментальных исследований зон запирания для акустических волн в неоднородных средах приведены в работах [35; 36; 39; 43; 49; 52].
Решение для коротких волн может быть получено при помощи представления Блоха [21], которое является интерпретацией теоремы Флоке [29] для дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Подробно метод Флоке - Блоха описан в монографии Л. Бриллюэна, М. Пароди [8], а также в обзорных статьях [12; 17; 31].
Для одномерных периодических материалов (например, слоистых композитов) часто удается получить точные дисперсионные уравнения [8; 12; 16; 17; 31; 44; 47]. Для двумерных и трехмерных периодических сред (волокнистых и зернистых композитов) могут быть найдены приближенные дисперсионные соотношения путем представления локальных упругих полей в виде разложений в ряды Фурье [34; 45; 46; 50] или ряды Рэлея по мультиполям [37; 38; 41] и их модификации [32; 35; 42].
Динамические свойства композитов играют важную роль во многих практических приложениях. Измеряя скорость и затухание акустических волн различной частоты, можно извлечь подробную информацию о внутреннем строении материала, которая в принципе не может быть получена из анализа его статических характеристик. Структура чередующихся зон пропускания и запирания представляет собой «идентификационный портрет», уникальный для каждого отдельного композита. Чем шире исследуемый частотный диапазон, тем более точный портрет может быть составлен, что дает возможность отследить самые тонкие вариации микроструктуры. Данные результаты позволяют разрабатывать новые методы идентификации и неразрушающего контроля. Особенности распространения волн в неоднородных средах могут также использоваться для конструирования виброизоляционных покрытий, акустических фильтров, ультразвуковых приемников и передатчиков, микроволновых устройств, работающих на базе компонентов из композитных материалов.
В настоящей статье рассматривается задача о распространении поперечных волн антиплоского сдвига в однонаправленном волокнистом композите. Применение метода осреднения высшего порядка позволяет найти решение, пригодное в длинноволновом приближении. Решение для коротких волн получено при помощи волнового представления Флоке - Блоха и метода рядов Фурье. Найдены дисперсионные соотношения, определены частотные зоны пропускания и запирания.
Исходная динамическая задача. Если перемещения и напряжения в композитном материале зависят от двух пространственных координат х1, х2, то задача о распространении упругих волн распадается на две независимые задачи, относящиеся к плоской и антиплоской деформации. Рассмотрим антиплоскую задачу, которая описывает сдвиговую волну, распространяющуюся в плоскости х1 х2 в
волокнистом композите, состоящем из матрицы и квадратной решетки цилиндрических включений 0(2) (рис. 1). Исходное волновое уравнение запишем в виде:
Vx \GVxU) = р|^, (1)
где О - модуль сдвига, р - плотность, и - перемещение в направлении х3, Vх = в; д/дх1 + е2 д/дх2, в;, е2 - базисные векторы декартовой системы координат. Физические характеристики неоднородной среды являются разрывными функциями координат: 32
О (х) = О(а), р(х) = р(а) при х еО(а),
где х = х1е1 + х2е2. Здесь и ниже верхние индексы а = 1,2 обозначают, соответственно, матрицу и волокна.
Рис. 1. Волокнистый композит Уравнение (1) можно представить в математически эквивалентной форме:
5 2и(а)
О{а)У2ши(а) = р
,( а )
дг2
(2)
где У^ =д 7 5x2 +^дт22.
На границе раздела компонентов дО примем условия идеального контакта, отвечающие равенству перемещений и касательных напряжений:
|и(1) = и(2)
О(1) до! = О(2) ди(2)
дп
дп
(3)
где д/дп - производная по нормали к дО.
Отметим, что данная математическая модель допускает различные физические интерпретации. Кроме рассматриваемого здесь примера упругой сдвиговой волны, она также описывает процессы распространения электромагнитных волн в композитах с диэлектрическими включениями.
Асимптотический метод осреднения. Пусть длина волны Ь значительно больше, чем размер I ячейки периодичности. Введем малый параметр
£ = ¡¡Ь .
(4)
Изменим масштаб координат и вместо исходных переменных х введем т. н. «медленные» х и «быстрые» у координаты:
х = х , у = £ х ,
где у = у,е1 + у2е2. Дифференциальные операторы запишутся в виде:
(5)
Ух = Ух+, УХ =У2х + 2£-% + У2у:
(6)
где у у = е д/ду, + е2 д/ду2, уу = д2/(а^ )+д1(дх2ду2), у; = д2/ду2 + дду2. Решение исходной краевой задачи (2), (3) представим в виде разложения:
и(а) = и0 (х) + еи\а) (х, у) + £ и2а) (х, у) +....
,( а)
2„( а).
(7)
Здесь первый член и0 представляет собой осредненную часть решения, которая изменяется на макроуровне и не зависит от быстрых координат (ди0/ду1 = ди0/ду2 = 0 ). Следующие члены разложения
и'а), ' = 1,2,3,... вносят поправки порядка е' и описывают локальные осцилляции поля перемещений на микроуровне. Для рассматриваемой регулярной структуры и,(а) удовлетворяют условию периодичности:
и( ^ у) = и ^ у + L р), (8)
где Lp = е"^р, ! = к^ + к^2, кх,к2 = 0, +1, +2,..., l1, 12 - векторы трансляции решетки.
Подставив выражения (5) - (7) в краевую задачу (2), (3) и выполнив расщепление по е, получим рекуррентную последовательность краевых задач, включающих микроскопические уравнения движения
Л 2и(
о(а) («2 + + ) = ^ ^ , (9)
и микроскопические условия идеального контакта
К' = и,® I
|о(1)
Ли« +Ли^ 1=О (2) +Ли^
Лп ^ I 1 Лп ^
(10) (11)
где ' = 1,2,3,..., и1 = 0, 5/^ - производная по нормали к ЛО, записанная в быстрых координатах.
В силу периодичности и(а) (8), достаточно рассмотреть уравнения (9) - (11) в пределах одной
выделенной ячейки О.0 = + ^02) (рис. 2).
Рис. 2. Ячейка периодичности
Алгоритм метода осреднения выглядит так. Решение '-й краевой задачи (9) - (11) позволяет определить член и,(а). Зная и,(а), применим к (' +1 )-му уравнению (9) оператор осреднения й0' [[ (■) сБ
по области ячейки периодичности, где й0 - площадь ячейки в быстрых координатах, й0 = Ь2, "й = "у"у2. Члены и'^1 исключаются при помощи теоремы Гаусса - Остроградского, которая с учетом условий (8), (11) дает:
О(1) Ц ((и,® + )"й + О(2) ц (У>^ + У><2)dS = 0 .
В результате получим осредненное уравнение движения порядка е' 1:
О(1) Я (( + ■ки? ) + О(2) Л (У^? + )dS =
"0 "0
Объединяя соотношения (12) при , = 1...", получим макроскопическое волновое уравнение порядка е".
Задача на ячейке. Основная трудность в практических приложениях метода осреднения заключается в решении краевой задачи на ячейке (9) - (11). Взаимодействие между соседними волокнами может вызывать значительные осцилляции физических полей на микроуровне. Увеличение жесткости и объемной доли волокон приводит к росту локальных напряжений на границе раздела компонентов. В этом случае применение многих известных методов расчета связано с трудностями вычислительного характера. Так, аналитические подходы, основанные на представлении полей в виде разложений в периодические ряды, требуют увеличения количества удерживаемых членов ряда. Численные методы требуют повышения плотности сетки дискретизации и, соответственно, увеличения затрат машинного времени.
Рассмотрим асимптотическое решение, используя в качестве малого параметра безразмерную ширину зазора между соседними волокнами 8 = 2(1- А/Ь) (рис. 2). Пусть 8 << 1 и О(2)/О(1) >> 1. В нулевом приближении 0(8") для полос ёО1, ёО2 верны оценки [1; 20]:
д 2и(1) д 2и(1)
ду2 >>—2-
ду2
5 2и(1) 5 2и(1)
ду2 <<—2-
ду2
при у е ё О1.
при у е ёО2
(13)
Физический смысл оценок (13) заключается в том, что для полосы ёО1 (в пределах узкого зазора между волокнами) изменяемость локальных напряжений в направлении у1 существенно больше, чем в направлении у2. Таким образом, членом д2и,(1) /ду1 можно пренебречь по сравнению с д2и,(1) /ду2 . Аналогично для полосы ёО2 можно пренебречь членом 52и,(1)/ду2 по сравнению с д2и(1)/Оу^ . Данное упрощение хорошо известно в механике жидкости, где получило название теории смазки [9].
Соотношения (13) позволяют записать уравнение (9) в упрощенном виде:
О(1)
(д2и« а2и® д2и(1) ^ т д2и
- + 2-
дх2 дх- °у
2
- /
2.,(1)
= р«^_1, - = 1,2, (14)
д/
о(2) (( +2^ +Ууу и,(2)) = р® ^ .
Для пространственно-бесконечного композита условия периодичности (8) можно приближенно заменить нулевыми граничными условиями в центре и на внешней границе дО0 ячейки [4]:
{и,(2) = 0}| , {и,« = 0}| . (15)
<■ , Лу =у2 =0 I , 1дО0
Решая краевую задачу (10), (11), (14), (15) при , = 1,2,3 , найдем:
пРи у* > 0:
и(2) = А,у. 5Т
ох.
и!" -у- + 2 С"Ь
и22) =
1
(
1+2А-- -
рР2) о.
Р0 О(2)
л
21
у- + 4 А-ьу-
д и0
5x2
и21) =
1 + В -Р(1) ^
Р0 О
у-2 + 4 В2,-Ьу- + 8 С2--Ь2
д и0
сх2
(16)
и32) -
и' = <, -
г)(2) а
2 + 3АМ + ( ( - 2) О0
Р0 О(2)
1
1
у-3 - - АМ + ^ АЬ2у-
д и0 ~дхГ
=|1 [2+в+( - 2)р &
B2,s + C1,s - C1,s
P
(1) Q
'n
Po
Q(1)
¿У? + ^ B, s^2 ^s + ^ ÇJ?10^
24
48
0x3
пРи ys < 0 :
ôm0
ui(2) = AsK — - u
ôxs
1(1) = (B^y, -2C^L]
du0 ôx.
u22) =
p
(2) Q
1 + 2A1s - (2) , 1,s Po Q(2)
У2 --AsLys
ô u„
ôx2
u21) =
P
(1) Q
"Hi
uf =■
1 + 2 B1 - (1)
1,s Po Q(1)
P2) Qo
y2 - 4 B2,sLys + 8 c2jl2
ô2u
ôx2
2+3 +((•- 2 )
2+^ . - 2 ) QQk
3 1 ^ г 2 1л Г2 I Ô3u0
У3 + 4 AsLys2 + 24 ^ys
У +
B2,s + C1,s - C1,s P 0
Po
Q(1)
^ Ly] +—B3 LLys -—C3 sL3 l0^
^ 24 3-s •rs 48 3,s I Ôx3
Здесь О0 - эффективный модуль сдвига порядка е0 (вычисляется из уравнения (12) при . = 1),
/0 = (1 - с(2) )/>(1) + С(2У2) - осредненная плотность, с(2) = лЛ2/ Ь - объемная доля волокон,
0 < с(2) < с^Х, с^Х =п/4 = 0.7853.... Формулы для коэффициентов Л/х, В1Х, С^ приведены в Приложении.
Решение для длинных волн. Подставляя выражения (16) в уравнение (12), получим
2
макроскопическое волновое уравнение порядка е :
Q0VxXu0 +s2 L2Q2Vj4u0 + 0(г4) = р0
ô 2u0
(17)
где G2 - эффективный модуль порядка е2 (вычисляется из уравнения (12) при i = 3), vi =5 V 5x4 + д/дх24 . Для определения коэффициентов G0, G2 использовались процедуры численного интегрирования математического пакета Maple.
Оценки (13) справедливы только в случае большой жесткости волокон и близкой к предельной плотности их упаковки. Тем не менее, найденное решение обеспечивает хорошую точность при любых значениях параметров 1 < G(2)/G(1) и 0 < с(2) < c^X . Это иллюстрируется на рисунке 3, где полученные результаты для эффективного модуля сдвига G0 (сплошные кривые) сравниваются с теоретическими данными работы [40] (кружки).
Второе слагаемое в левой части уравнения (17) описывает эффект дисперсии, обусловленный рассеянием волны на микронеоднородностях среды. Оператор v14 является неинвариантным относительно поворота осей координат и позволяет учесть эффект анизотропии, который возникает с уменьшением длины волны. Отметим, что аналогичные по виду уравнения получаются в рамках неклассических моделей сред с микроструктурой, таких как континуум Коссера и континуум Леру [10].
Рассмотрим гармоническую волну
u0 = U exp(/'^ • x) exp(/'®/ ),
(18)
где U - амплитуда, a> - частота, ^ = u1e1 + u2e2 - волновой вектор, u = = 2л/L - волновое число. Проекции вектора ^ на оси координат равны: Ui= Ucosa , U2= usina , где a - угол между осью x1 и направлением распространения волны.
Подставив выражение (18) в уравнение (17), найдем дисперсионное соотношение:
2 2 Ю = Ю0
О
1 -4ж2 (п4 а + соб4 а)—е2 + 0(е4)
О0
(19)
где е = ¡¡Ь = И/(2^) ; ю0 = /лу0 - частота и у0 = ^О0/р0 - скорость в квазиоднородном случае (при
е= 0 ).
а) О(2)/О(1) =ю
б) О(27О(1) = 5,10,20,50
Рис. 3. Эффективный модуль сдвига при различных значениях жесткости волокон Фазовая ур и групповая у^ скорости равны:
V Р =
Ы = у02 [1 - 4^2 (( а + соб4 а)Ое2 + 0(е4) УИ) 'О0
ёю V = 2 [1 -8^'е2 (^ а+ соб4 а)Ог/О0 ]
ёи) 0 1 - 4^2е2 (п4 а + соб4 а) О2/О0
+ 0(е ).
(20) (21)
Асимптотическое решение (19) - (21) представляет собой длинноволновое приближение. С уменьшением длины волны Ь (и с ростом частоты ю ) групповая скорость ув уменьшается. Условие
ув = 0 определяет границу первой зоны запирания. Достигаемый при этом верхний частотный предел
ютах можно найти из выражений (19), (21):
О2
412О2р0 (п
- + 0(е4).
(22)
В квазиоднородном случае рассматриваемый волокнистый композит является трансверсально-изотропным, при этом решение для эффективных характеристик О0, у0, ю0 не зависит от направления распространения волны в плоскости х1 х2. Высшие приближения позволяют выявить анизотропию
задачи. Начиная с членов порядка е2, выражения (19) - (21) зависят от направления а волнового вектора. Данный эффект можно также наблюдать на численных примерах, приведенных ниже.
Метод Флоке - Блоха. Решение при помощи рядов Фурье. Решение для коротких волн можно получить на основании представления Флоке - Блоха [8]. Согласно данному методу, запишем следующее выражение для гармонической волны, распространяющейся в кусочно-неоднородной среде:
и = Е (х) ехр(ф • х) ехр(,ю/),
(23)
ю =
тах
где Е(х) - некоторая периодическая функция, учитывающая влияние микроструктуры материала, Е (х) = Е (х +1 р).
Представим функцию Е(х) и свойства компонентов О(х), р(х) в виде разложений в бесконечные ряды Фурье:
да да
F(x) = Z X рщПг exp
n, =-да n2 =-да да да
G(x) = X X Gn,n2 exp
n, =-да n2 =-да да да
p(x) = X X рщпг exp
п, =-да пг =-да
Коэффициенты Gnn , pnn вычисляются по формулам:
. 2л , ч
l-^- ( x, + n2 x2 j
. 2л , ч
i-^- (n, x, + n2 x2 j
(24)
2л
(n, x, + n2 x2j
^ = 7" ff G(X)eXP
. 2л ✓ ч
-l~Y~ (ni xi + n2 x2 j
dS , Pn,n2 = — jjp(x)exp
■ 2л , ч
-l~Y~ ( x, + n2 x2 j
ds,
где оператор Ц^ (■) ds означает интегрирование по области ячейки периодичности О.0 в медленных
координатах, ds = dx1dx2, 50 = 12.
Подставив выражения (23), (24) в уравнение (1) и приравняв коэффициенты при членах вида ехр^/2л/-1 (/х1 + /2х2) ^, /1,/2 = 0, +1, +2,..., получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для ¥пп :
да да
XX F i G.
L-i L-i n,n2 . -n,
2л
2л
Tn! KTh j+l~Tn2 +^2 11 l . 2 + /
2л
2л
-P.-У h 0, (25)
.2 - n2
Система (25) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда определитель матрицы, составленной из ее коэффициентов, равен нулю. Это условие позволяет найти дисперсионное соотношение для ю и / .
В численных примерах, приведенных ниже, дисперсионные соотношения вычисляются путем усечения системы (25), при этом -/шах < /, /2 < /шах. Количество удерживаемых уравнений равно
(2/шах +1)2. С физической точки зрения такое усечение означает потерю решений в области высоких частот.
Перепишем выражение (23), разделив действительную и мнимую части волнового вектора
^ = ^ + Ф/:
u = F(x) exp(-^j • x) exp(i>R • x) exp(y). (26)
Мнимая часть / = j| волнового числа представляет собой коэффициент затухания. Значения Juj = 0 отвечают зонам пропускания, а Juj Ф 0 - зонам запирания. Границы зон пропускания и запирания
определяются условием /и1 = лп/л/sin4 а + cos4 а , n = ,,2,3,.... Соответствующие длины волн равны
L = (2//n)Vsin4 а + cos4 а .
Качественный вид решения приведен на рисунках 4, 5 для случая а = 0 . Зоны запирания отмечены серым цветом. С математической точки зрения дисперсионное уравнение имеет бесконечное количество корней. Выбор однозначного решения является одним из принципиальных вопросов теории распространения волн в периодических структурах.
В работах по динамике кристаллических решеток [8; ,2] часто рассматриваются многомодовые режимы, когда одновременно реализуются несколько гармоник, отвечающих различным ветвям дисперсионных кривых. Взаимодействие мод с нормальной (d®/d /> 0) и аномальной (d®/d/< 0)
дисперсией исследовано в статье [,3].
В механике материалов физически оправданным представляется одномодовый режим, при котором для заданной гармоники (23) сохраняется однозначная зависимость между ® и / [,6; П; 3,]. Соответствующие ветви спектра изображены на рисунке 4 сплошными линиями, а все остальные ветви -штриховыми. Правомерность данного выбора подтверждается предельным переходом от решения для композита к решению для однородной среды: при равенстве свойств компонентов (G(2)/G^!,
р(2) /р(1) ^ 1) ширина зон запирания уменьшается и сплошные ветви сливаются в прямую линию,
а ^ со0 = /иу0.
Рис. 4. Дисперсионные кривые
Рис. 5. Коэффициент затухания
Для коэффициента / получаются симметричные пары положительных и отрицательных корней (рис. 5). Положительные значения / (сплошные линии) отвечают волне, распространяющейся в положительном направлении оси х1, а отрицательные значения / (штриховые линии) - волне, распространяющейся в противоположном направлении.
Поведение решения можно описать следующим образом. При низких значениях частоты а дисперсионная кривая близка к прямой линии, аиа0, фазовая ур = а// и групповая ур = ёа/ё/
скорости примерно равны и не зависят от а , ур и V^ и у0 . Данный случай принято называть квазиоднородным. С увеличением частоты угол наклона дисперсионной кривой уменьшается. Фазовая и групповая скорости уменьшаются, однако групповая скорость уменьшается быстрее, vp > vg. На границе
зоны запирания групповая скорость обращается в ноль, vg = 0, при этом в композите возникает стоячая
волна. В следующих зонах пропускания групповая скорость изменяется от нуля на границах до максимальных значений в центре.
Численные результаты. Для сравнения решения, полученного при помощи рядов Фурье, с результатами других авторов, рассмотрим неоднородный материал, состоящий из матрицы с приведенными свойствами О(1) = 1, р(1) = 1 и пористых включений, О(2) = 0, р(2) = 0, А/Ь = 0.4, с(2) и 0.503 . Дисперсионные кривые изображены на рисунке 6. Штриховые линии - результаты расчета при „/шах = 1, сплошные линии - при ушах = 2, кружки - данные работы [41], полученные методом Рэлея.
Дисперсионная диаграмма состоит из двух частей, разделенных вертикальной штриховой линией. Правая часть соответствует ортогональному (а = 0), а левая - диагональному (а = ж/ 4) направлению распространения волны. В квазиоднородном случае (а ^ 0) решение изотропно и не зависит от угла а . Однако с ростом частоты а композит проявляет анизотропные свойства. Серым цветом изображена т. н. полная зона запирания, когда прохождение сигнала невозможно в любом из направлений. Увеличение /шах повышает точность численных результатов.
В качестве примера низкоконтрастного композита рассмотрим материал, состоящий из алюминиевой матрицы (О(1) = 27.9 ГПа, р(1) = 2700 кг/м3) и никелевых волокон (О(2) = 75.4 ГПа, р(2) = 8936 кг/м3, с(2) = 0.35). Дисперсионные кривые приведены на рисунке 7. Результаты, полученные при /шах = 1 (штриховые линии) и /шах = 2 (сплошные линии) очень близки, что может свидетельствовать о практической сходимости решения. Как следует из расчета для акустической ветви спектра (рис. 8), метод осреднения позволяет учесть эффект дисперсии, но хорошая точность обеспечивается только в диапазоне низких частот.
В случае высококонтрастного композита (эпоксидная матрица О(1) = 1.53 ГПа, р ' = 1250 кг/м и углеродные волокна О(2) = 86 ГПа, р(2) = 1800 кг/м3, с(2) = 0.5) решение при помощи рядов Фурье сходится гораздо медленнее (рис. 9). При этом метод осреднения дает качественно верные результаты вплоть до границы первой зоны запирания (при / = ж/^1 а + соб4 а получаем vg и 0).
Заключение. Исследовано влияние микроструктуры на динамические свойства композитных материалов. Рассмотрена задача о распространении поперечных волн антиплоского сдвига в однонаправленном волокнистом композите, состоящем из матрицы и квадратной решетки цилиндрических включений. Метод осреднения высшего порядка позволил найти решение, пригодное
для длинных волн. Решение для коротких волн получено при помощи волнового представления Флоке -Блоха и метода рядов Фурье. Найдены дисперсионные соотношения, определены частотные зоны пропускания и запирания.
.0
0.8
0.6
0.4
0.2
сЛ ^
ш„1 У'
/ №¡<1
а = ж/4 \ / а=0 2ж
72 0.6
0.4
0.2
0.2
0.4 0.5
Рис. 6. Дисперсионные кривые композита с пустотелыми включениями
Рис. 7. Дисперсионные кривые композита «никелъ-алюминий»
Рис. 8. Акустическая ветвъ композита «никелъ-алюминий», а = 0
Рис. 9. Акустическая ветвъ углеродно-эпоксидного пластика, а = 0
Полученные результаты могут использоваться для разработки новых методов идентификации и неразрушающего контроля неоднородных материалов и конструкций, а также при проектировании новых конструкционных материалов с заранее заданными свойствами.
Работа выполнена при поддержке фонда им. Гумболъдта, грант № 3.4-Еокоор-иКЕ/1070297.
Приложение. Коэффициенты Л1., Б^, С^ :
4, =-(1 -X. )(о(2) - О(1) )). , бм = х, (о(2) - о® )/о,, см = -вм, В, = (1 -X. )О(2) 4, =-[(1 -X. /[(1 -X. )рт + 2хУ2) ] Оо +р(1) }о(2) +х>(2)е ]/(р(2) в. ), Б2,. =Х(1) [х. (р(2) - 2р(1) )о - 2роО(1) ]+О(2) [(1+2х. )РоО(1)-(1 -X2 ]}/(о(1) Вх), с2, = X. [ро (О(1))2 +(1 -X.)р(1)е(2)Оо -О(1) {рО(2) +[х.р(2) +р(1) (1 -2х.)]Оо}/(((1)В.);
4, = -{x>(2) (О(1) )2 Go + (1 - X, ) (О(2) )2 (1 -х, )2 -р0О(1) ] +
{ (1 -х.) [х,Р(2) + (1 -х, )р(1) ]Р(1) }х,о(1) О(2) }/(оО(2) D2 ), в* = [{х,2Оо [5х,Р(2) + 3р(1) (1 - 4х, )] - 2х,РоО(2) (1 - 3х, )}(О(1) )2 +
О(1)О(2) {РоО(2) (1 - X, )(1 + 3х, ) + 3х,2Оо [р(2) (1 - X, )- Р(1) (4 - 5х, )]} - 3х>о (О(1) )3 + Р® (О(2) )2 Оо (1 - X, )(1 + X, - 5х2 )\/(О(1)D, ), q, = X, [(О(1) )2 {{ (1 - 2X,) -хОo [2X,Р(2) + 3Р(1) (1 - 2X, )]}- О(1)О(2) [АО(2) (1 -X, ) + Р(1)Оо (1 - 6X, + 6X2 )] + Xo (О(103 + Р(1) (О(2) )2 Оо (1 - X, )(1 - 2X, )]/(((1)D, ) ;
где X =V(c (2V С2Х) (1 - У2/A2) , X2 = # (2)/ c™) (1 - y2/A2) .
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Андрианов И. В., Данишевский В. В., Старушенко Г. А., Токажевский С. Асимптотическое представление эффективной теплопроводности композитного материала с волокнистыми включениями ромбовидной формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2ооо. - № 4. - С. 87 - 98.
2. Андрианов И. В., Маневич Л. И. Применение метода осреднения к расчету оболочек // Успехи механики. - 1983. - Т. 6, № 3/4. - С. 3 - 29.
3. Бахвалов Н. С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // Докл. АН СССР. -1974. - Т. 218, № 5. - С. Ю46 - Ю48.
4. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984. - 352 с.
5. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э. Об уравнениях высокого порядка точности, описывающих колебания тонких пластин // Изв. РАН. Прикладная математика и механика. - 2оо5. - Т. 69, № 4. - С. 656 - 675.
6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М. : Наука, 1974. - 5о4 с.
7. Большаков В. И., Андрианов И. В., Данишевский В. В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. - Днепопетровск: «Пороги», 2оо8. - 196 с.
8. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. - М.: Изд-во иностр. лит., 1959. - 457 с.
9. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973. - 758 с.
10. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. - 328 с.
11. Каламкаров А. Л., Кудрявцев Б. А., Партон В. З. Асимптотический метод осреднения в механике композитов регулярной структуры // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. -1987. - Т. 19. - С. 78 - 147.
12. Карпов С. Ю., Столяров С. Н. Распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью // УФН. - 1993. - Т. 163, № 1. - С. 63 - 89.
13. Ланда П. С., Марченко В. Ф. К линейной теории волн в средах с периодической структурой // УФН. - Т.161, № 9. - 1991. - С. 2о1 - 2о9.
14. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи с мелкозернистой границей // Математический сборник. - 1964. - Т. 65, № Ю7. - С. 458 - 472.
15. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. - К. : Наукова думка, 1971. -44о с.
16. Шульга Н. А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. - К.: Наукова думка, 1981. - 2оо с.
17. Шульга Н. А. Распространение упругих волн в периодически-неоднородных средах // Прикл. механика. - 2оо3. - Т. 39, № 7. - С. 15 - 56.
18. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Analysis. - 1992. - V. 23. -P. 1482 - 1518.
19. Andrianov I. V., Bolshakov V. I., Danishevs'kyy V. V., Weichert D. Higher order asymptotic homogenization and wave propagation in periodic composite structures // Proc. R. Soc. Lond. A. - 2oo8. -V. 464. - P. 1181 - 12o1.
20. Andrianov I. V., Danishevs'kyy V. V., Weichert D. Asymptotic determination of effective elastic properties of composite materials with fibrous square-shaped inclusions // Eur. J. Mech. A/Solids. - 2002. -V. 21. - P. 1019 - 1036.
21. Bloch F. Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern // Z. Physik. - 1928. - V. 52. - P. 555 - 600.
22. Boutin C. Microstructural effects in elastic composites // Int. J. Solids Structures. - 1996. - V.33. - P. 1023
- 1051.
23. Boutin C. Microstructural influence on heat conduction // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1995. - V. 38. - P. 3181 - 3195.
24. Boutin C., Auriault J. L. Rayleigh scattering in elastic composite materials // Int. J. Eng. Sci. - 1993. -V. 31. - P. 1669 - 1689.
25. Chen W., Fish J. A dispersive model for wave propagation in periodic heterogeneous media based on homogenization with multiple spatial and temporal scales // J. Appl. Mech. - 2001. - V. 68. - P. 153 - 161.
26. Cherednichenko K. D., Smyshlyaev V. P. On full two-scale expansion of the solutions of nonlinear periodic rapidly oscillating problems and higher-order homogenised variational problems // Arch. Ration. Mech. Analysis. - 2004. - V. 174. - P. 385 - 442.
27. Cherednichenko K. D., Smyshlyaev V. P., Zhikov V. V. Non-local homogenized limits for composite media with highly anisotropic periodic fibres // Proc. R. Soc. Edinburgh. - 2006. - V. 136A. - P. 87 -114.
28. Fish J., Chen W. Space-time multiscale model for wave propagation in heterogeneous media // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 2004. - V. 193. - P. 4837 - 4856.
29. Floquet G. Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques // Ann. École Norm. - 1883.
- Sup.12. - P. 47 - 88.
30. Gambin B., Kröner E. High order terms in the homogenized stress-strain relation of periodic elastic media // Physica Status Solidi (b). - 1989. - V.151. - P. 513 - 519.
31. Guz A. N., Shulga N. A. Dynamics of laminated and fibrous composites // Appl. Mech. Rev. - 1992. -V. 45. - P. 35 - 60.
32. Kafesaki M., Economou E. N. Multiple-scattering theory for three-dimensional periodic acoustic composites // Phys. Rev. B. - 1999. - V. 60. - P. 11993 - 12001.
33. Kalamkarov A. L., Andrianov I. V., Danishevs'kyy V. V. Asymptotic homogenization of composite materials and structures // Appl. Mech. Rev. - 2009. - V. 62. -P. 030802 (20 pages).
34. Kushwaha M. S., Halevi P., Martinez G., Dobrzynski L., Djafari-Rouhani B. Theory of acoustic band structure of periodic elastic composites // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 49. - P. 2313 - 2322.
35. Liu Z., Chan C. T., Sheng P., Goertzen A. L., Page J. H. Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects: theory and experiment // Phys. Rev. B. - 2000. - V. 62. - P. 2446 - 2457.
36. Montero de Espinosa F. R., Jiménez E., Torres M. Ultrasonic band gap in a periodic two-dimensional composite // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 80. - P. 1208 - 1211.
37. Movchan A. B., Movchan N. V., Poulton C. G. Asymptotic Models of Fields in Dilute and Densely Packed Composites. - London: Imperial College Press, 2002. - 190 p.
38. Nicorovici N. A., McPhedran R. C., Botten L. C. Photonic band gaps for arrays of perfectly conducting cylinders // Phys. Rev. E. - 1995. - V. 52. - P. 1135 - 1145.
39. Penciu R. S., Fytas G., Economou E. N., Steffen W., Yannopoulos S. N. Acoustic excitations in suspensions of soft colloids // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 85. - P. 4622 - 4625.
40. Perrins W. T., McKenzie D. R., McPhedran R. C. Transport properties of regular arrays of cylinders // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1979. - V. 369. - P. 207 - 225.
41. Poulton C. G., Movchan A. B., McPhedran R. C., Nicorovici N. A., Antipov Y. A. Eigenvalue problems for doubly periodic structures and phononic band gaps // Proc. R. Soc. Lond. A. - 2000. - V. 456. - P. 2543 -2559.
42. Psarobas I. E., Stefanou N., Modinos A. Scattering of elastic waves by periodic arrays of spherical bodies // Phys. Rev. B. - 2000. - V. 62. - P. 278 - 291.
43. Russell P. St. J., Marin E., Díez A., Guenneau S., Movchan A. B. Sonic band gaps in PCF preforms: enhancing the interaction of sound and light // Optics express. - 2003. - V. 11. - P. 2555 - 2560.
44. Ruzzene M., Baz A. Control of wave propagation in periodic composite rods using shape memory inserts // J. Vibr. Acoustics. - 2000. - V. 122. - P. 151 - 159.
45. Sigalas M. M., Economou E. N. Attenuation of multiple-scattered sound // Europhys. Lett. - 1996. - V. 36.
- P. 241 - 246.
46. Sigalas M. M., Economou E. N. Elastic waves in plates with periodically place inclusions // J. Appl. Phys.
- 1994. - V. 75. - P. 2845 - 2850.
47. Silva M. A. G. Study of pass and stop bands of some periodic composites // Acustica - 1991. - V. 75. -P. 62 - 68.
48. Smyshlyaev V. P., Cherednichenko K. D. On rigorous derivation of strain gradient effects in the overall behaviour of periodic heterogeneous media // J. Mech. Phys. Solids. - 2000. - V. 48. - P. 1325 - 1357.
49. Tan H., Liu C., Huang Y., Geubelle P. H. The cohesive law for the particle/matrix interfaces in high explosives // J. Mech. Phys. Solids. - 2005. - V. 53. - P. 1892 - 1917.
50. Vasseur J. O., Djafari-Rouhani B., Dobrzynski L., Kushwaha M. S., Halevi P. Complete acoustic band gaps in periodic fibre reinforced composite materials: the carbon/epoxy composite and some metallic systems // J. Phys. Condens. Matter. - 1994. - V. 6. - P. 8759 - 8770.
51. Voigt W. Theoretische Studien über die Elastizitätsverhältnisse der Kristalle // Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1887. - V.34.
52. Wolfe J. P. Imaging Phonons: Acoustic Wave Propagation in Solids. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - 411 p.
53. Zhikov V.V. On an extension of the method of two-scale convergence and its applications // Sb. Math. -2000. - V. 191. - P. 973 - 1014.
УДК 534.1
МЕТОД ДВУХВОЛНОВОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ЕГО РАЗВИТИЕ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ С ПОДВИЖНОЙ ИНЕРЦИОННОЙ НАГРУЗКОЙ
А. Г. Демьяненко, к. т. н., проф., Д. А. Евстратенко, асп.
Ключевые слова: упругое тело, подвижная нагрузка, двухволновые процессы, балка, пластинка.
Введение. Проблема динамического действия подвижной нагрузки, возникшая более 160 лет назад, до наших дней не утратила своей актуальности. Практика создания и эксплуатации элементов конструкций и сооружений в современных условиях продолжает ставить новые задачи, требует их решения и тем самым вызывает появление новых подходов к постановке задач, новых методов их исследования, более полно улавливающих те или иные качественные или количественные особенности движения. Увеличение масс и скоростей движущихся объектов, снижение веса и оптимизация несущих конструкций предъявляют все более жесткие требования к достоверности результатов исследования.
При исследовании задач динамики упругих систем, находящихся под воздействием подвижных инерционных нагрузок, приходим к математической модели, содержащей нечетные по времени частные смешанные производные, которые выражают кориолисовы силы инерции. Причем эти производные могут содержаться одновременно как в самом дифференциальном уравнении движения, так и в граничных условиях. Наличие этих производных не позволяет применить классическую схему разделения переменных в действительной области искомых функций. Применение же к изучению колебаний и устойчивости упругих систем приближенных подходов иногда приводит к противоречивым результатам [20; 25], что вызывает необходимость дальнейшего развития и совершенствования механических и математических моделей и методов их исследования.
Простейшими примерами упругих систем с подвижными нагрузками являются мосты, трубопроводы, стержни, пластинки и оболочки под действием движущейся жидкости, газа. К исследуемому классу задач относятся и элементы, движущиеся в продольном направлении, такие как нити, ленточные пилы, ремни ременных передач и т. п. Особенно интересными и наиболее сложными в исследовании являются упругие системы, находящиеся под действием подвижных инерционных нагрузок. Подвижные нагрузки могут быть равномерно распределенными, сосредоточенными, двигаться с постоянной и переменной скоростью.
Цель статьи. Анализ работ, посвященных задачам строительной механики упругих систем с подвижной инерционной нагрузкой, исследование которых проводилось на основе двухволнового представления движения; применение и развитие метода двухволнового представления колебаний в задачах динамики подкрепленных прямоугольных пластин с подвижной инерционной нагрузкой.
Варианты постановок и методы решения задач строительной механики упругих систем с подвижной инерционной нагрузкой. В зависимости от способа схематизации инерционных свойств элементов, образующих систему, существуют четыре принципиально различных варианта постановки задачи о действии подвижной нагрузки на упругие конструкции [19] (табл. 1). Наиболее сложной постановкой задачи является четвертый вариант, который встречался в некоторых исследованиях, выполненных еще в позапрошлом веке. Первые важные результаты в этой области, в которых решения исследуемой задачи представлены в виде рядов, относятся к тридцатым годам прошлого века. В настоящее время для решения задач строительной механики упругих систем с подвижной инерционной нагрузкой применяются следующие методы [19]:
1. Метод Шалленкампа, основанный на разложении кривой прогиба под грузом и сил инерции подвижного груза в ряд Фурье с постоянными коэффициентами. Из условия равенства вертикальных перемещений груза и несущей конструкции получают бесконечную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ряда Фурье.
2. Метод Инглиса - Болотина, который заключается в том, что решение дифференциального уравнения движения балки ищется в виде ряда, удовлетворяющего граничным условиям. Применение метода Бубнова - Галёркина даёт бесконечную систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно функции времени, которую решают численными приближёнными методами.
