Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой

© Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, С.В. Сборщиков

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Предложена теория тонких конструктивно-ортотропных пластин, обладающих двухпериодической структурой, примером которых являются сотовые многослойные панели и подкрепленные пластины. Теория построена на основе уравнений общей трехмерной теории упругости путем с помощью асимптотических разложений по малому параметру, представляющему отношение толщины пластины к характерной длине, без введения каких-либо гипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине. Сформулированы локальные задачи для нахождения напряжений во всех конструктивных элементах пластины. Показано, что полученные глобальные (осредненные по определенным правилам) уравнения теории пластин близки к уравнениям теории пластин Кирхгофа - Лява, но отличаются от них наличием третьего порядка производных от продольных перемещений. Предложенный метод позволяет вычислить все шесть компонент тензора напряжений, включая поперечные нормальные напряжения и напряжения меж-слойного сдвига, для этого необходимо численно решить локальные задачи до третьего приближения включительно. Приведен пример конечно-элементного решения локальных задач нулевого приближения для сотовой конструкции, который показал, что разработанный метод расчета пластин и его численная реализация достаточно эффективны, они позволяют проводить расчеты для сложных конст-руктивно-ортотропных пластин с сильно различающимися значениями упругих характеристик.

Ключевые слова: многослойные пластины, двухпериодические структуры, многослойные сотовые панели, асимптотические разложения, локальные задачи.

Введение. Благодаря снижению размерности двумерные задачи теории упругих пластин и оболочек имеют определенные преимущества перед трехмерными задачами теории упругости в точной постановке: упрощение топологии и размерности конечно-элементных сеток, необходимых для численного решения задач, а также сокращение времени численного расчета. Однако платой за это сокращение является уменьшение точности получаемого решения, главным образом, для «слабых» напряжений — напряжений межслойного сдвига и поперечных напряжений. Для многих задач именно эти напряжения играют наиболее важную роль при проектировании тонкостенных конструкций. В частности, при расчете прочности тонкостенных конструкций из многослойных композиционных материалов, а также сотовых трехслойных конструкций, подкрепленных, сетчатых, обычно называемых конструктивно-ортотропными конструкциями (КОК), очень важно определить напряженное состояние в отдельных их компонентах, например напряжения отрыва обшивок от сотового заполнителя, сдвиговые напряжения в сотовом заполнителе и т. п. Расчет этих напряже-

ний в общей трехмерной постановке задачи теории упругости крайне затруднителен, поэтому существует потребность в разработке уточненных методов теории тонких конструктивно-ортотропных пластин и оболочек. Таких методов достаточно много; не претендуя на полноту списка, отметим лишь некоторые исследования в этой области [1-9].

Сравнительно недавно появились работы [2, 3], в которых предложены теории тонких пластин и оболочек с двумерной микроструктурой — сотовыми, сетчатыми конструкциями, основанные на использовании метода асимптотического осреднения (метода гомогенизации — МГ), хорошо зарекомендовавшего себя при осреднении композитов с трехмерной периодической структурой [10-19]. Применение МГ для двумерных структур вызывает определенные сложности: двумерная задача осреднения не является частным случаем общей трехмерной задачи, поскольку двумерные пластины и оболочки сохраняют «третью» координату, но не обладают по ней периодической структурой. В работах [2, 3] был предложен вариант МГ для тонких пластин, в котором использовалось допущение о линейном характере распределения по толщине пластины главных членов асимптотического ряда для перемещений, что позволило получить систему уравнений типа уравнений Кирхгофа - Лява. В статьях [20, 21] был разработан вариант МГ для тонких многослойных пластин, в котором не делалось предположение о линейности распределения перемещений. Было показано, что для многослойных пластин такое линейное распределение отсутствует, а имеет место аналог гипотезы ломаной линии, используемой в теории Григолюка - Куликова [1]. В работе [21] было проведено численное сравнение результатов расчетов по этой теории с результатами, полученными по трехмерной теории упругости при использовании очень мелких конечно-элементных сеток, и показана очень высокая точность разработанного варианта МГ.

Целью данной работы является дальнейшее развитие предложенного в [20] варианта МГ для случая конструк-тивно-ортотопных пластин с двумерной структурой периодичности (двухперио-дической структурой).

Основные допущения. Рассмотрим пластину (рис. 1) постоянной толщины, обладающую двухпериодиче-ской структурой (ДПС). В качестве примера ДПС могут выступать сотовые структуры, подкрепленные, вафельные и другие типы КОК.

Рис. 1. Конструктивно-орто-тропная пластина с двухперио-дической структурой

Введем малый параметр к = к/ЬП 1 как отношение толщины пластины к к характерному размеру всей пластины Ь (например, к ее максимальной длине). Введем также глобальные хк и локальные ^

координаты:

хк = хк/Ц = хг/к, к, / = 1, 2, 3, (1)

где 5ск — обычные декартовы координаты, ориентированные таким

образом, что ось Ох3 направлена по нормали к внешней и внутренней

плоскостям пластины, а оси Ох1 и Ох2 принадлежат срединной

плоскости пластины. Обозначим также Е3 = Е.. Здесь и далее индексы, обозначенные прописными буквами I, J, К, Ь, принимают значения 1, 2, а индексы г, к, I — значения 1, 2, 3. Ячейка двумерной периодичности (ЯП) пластины в координатах хк имеет размеры ак. а

локальные координаты для ЯП изменяются в диапазонах —а,./2 /2, где а 1 = а 1 //-?, а а3=к. Полагаем, что существует

два масштаба изменения перемещений КОК щ: один соответствует продольным направлениям Ох1,Ох2, второй — поперечному направлению Ох3. Координаты хк и Е,л, как обычно в методе асимптотического осреднения [10-12], рассматриваются как независимые переменные.

Рассмотрим для КОК трехмерную задачу линейной теории упругости, состоящую из уравнений равновесия, соотношений Коши, обобщенного закона Гука, граничных условий на внешней и внутренней поверхностях пластины 2 3± (их уравнение имеет вид х3 =±к/2 ) и торцевой поверхности Ег, а также из граничных условий на поверхности контакта 25 (\и1 ] — скачок функций):

V у а. = (

е"=2 ),

ау = Сг]к1 (£,I, Е3)ек1, (2)

2з±: ауПу = -к3р± щ , 2Т: и г = иа, 25 : \а. ]п. = 0, \иг ] = 0.

Здесь а — компоненты тензора напряжений; гр — компоненты тензора деформаций; и. — компоненты вектора перемещений; V . = 8/8ху — оператор дифференцирования по декартовым коорди-

натам; С ук1 (% 1, %3) — компоненты тензора модулей упругости, который полагается зависящим от локальных координат %т, причем по координатам % 1,I = 1, 2 тензор С (% 1,%3) обладает периодичностью:

С уЫ (%I , %з) = СуК (%/ + П&1 , %з) ,Где П1 — ЦелЫе Числа.

Примем основное допущение [20], состоящее в том, что давление р± на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет порядок малости 0(к3) (т. е. р± = кЗр± ). Это допущение, как правило, соответствует реальным условиям нагружения тонких пластин. Никакого специального допущения об анизотропии материалов слоев пока не делаем, т. е. тензоры модулей упругости имеют по 21 независимой компоненте [15].

Асимптотические разложения для упругой КОК. Задача (2) содержит малый параметр к в граничнык условиях (это коэффициент при давлении), поэтому ее решение будем искать в виде асимптотических разложений по параметру к в виде функций, зависящих от глобальных и локальной координат:

щ = 40)(XI ) + к4ц(XI, %1, %з) + к242)(XI, %I, %з) +

+ К3и[3)(Х1, %I, %з) + ... (3)

Подставим разложения (3) в соотношения Коши в системе (2), используя при этом правила дифференцирования функций локальных координат [10-12] (д!Ш] —» о/сх! + (1 /к) ). Тогда получим асимптотическое разложение для деформаций

8 у =8 (0) +К8 (1) +К 28 (2) + ... (4)

В разложении (4)

с(т) _ ЛтЬ 1„(т+1) (т+1) \ _(т) _ (т) 1 (т+1) (т+1) \

8 и = еи + ^ VMI¡J + «и /1 ), 81 з = е з /з + из/1 ),

( т+1) 1 и ¡I (т) ) , 81 з II

о(т) . 8 зз ' _ „(т+1) = «з/з : 1

,(т) _ I з = 1 и (т) 2 «V , е (т) езз

и = 2«? + «Й>), = 2"з?, езт) = 0, т=ОД2,..., (5)

здесь обозначены производные по локальным координатам иЩ =

= д«(1)/д% и по глобальным координатам иЦ = диг(1)/дхи.

Подставляя выражение (4) в закон Гука в системе (2), получаем асимптотическое разложение для напряжений

а, = а<0> +ка(1) + к2а|? +... , (6)

где

а,) = Ст екГ>, т = 0,1,2,..., (7)

Формулировка локальных задач. Подставляя разложения (3), (4), (6) в уравнения равновесия и граничные условия системы (2), получаем

I ай + (а(£ +а « ) + к(а« +а $ ) + к2 (а ™ +а .3. ) + ... = 0,

2з+: а(0 +ка(? +к2а+... = -к3р±5г3, (8)

2Т: иг = и(0) + к иг(1) + к2иг(2) + к3иг(3) + ... = ие1.

Приравнивая в уравнениях равновесия члены при к-1 к нулю, а при остальных степенях от к к некоторым величинам к(0\ к(), к(2\ не зависящим от Е, получаем рекуррентную последовательность локальных задач:

• для нулевого приближения

а ¡0} = 0,

а (°) = с р (0)

а У = Сук1р к1 ,

р (0 = , + 1(и8 + и 8), (9)

2 3±: а (0) = 0

(0) = (0) (1)

2.: \а= 0, \и,(1)] = 0, \\а(0)]] п. = 0, \\иг(1)]] = 0; (иг(1)) = 0; • для первого приближения

аЦу +а ^ = Г,

а(1) = С р°)

аУ = Сук1р к1 ,

р (1 = У + \(и% + и (2]), (ш)

2 3±: а (3) = 0,

25: \а^п, = 0, \и(2)] = 0,

у л ]

\\а(1)]]п; = 0, \\и(2)]] = 0; (иг(2)) = 0;

для второго приближения

а (2) + -а(1)у _

а (2 _ С р (2) ■ сг]к1р к1

р (2 _ е(2) + 1 г 2

«д+и ,)

),

(11)

2 з±: а(з2) = 0,

25: [а_ 0, [и(3)] = 0

г ,

[[а(2)]]п, _ 0, [[и(3)]] = 0, (и<3)) = 0; • для третьего приближения

а (3), + а£ = к(2),

а (з) _ с р (3) + с р (3)

а , _ с ',кьр кь + с ,к3р к3 ,

р (3 _ + "( и (4) + и

\ (+ «Л ),

1 (и\43+«3^),

Р (3) _ е (3) + 1 (и (4) + и (4)) р (3) _ и (4)

р 13 _ е13 + и//3 + и3И ), р 33 _ u3/3,

(12)

2

23±: а« _-P±Ьг3,

25: [а(3)]п, _ 0, [и(4)] _ 0, [[а(3)]]п, _ 0, [[иг(4)]] _ 0, (и^> _0

и т. д. Здесь обозначены операция осреднения по толщине и по ЯП пластины

0,5 «1/2 а 2/2

ит)) _{((и«)) й$, ,) _ | | и(т) й$й$ 2, (13)

-0,5 - а1/2 -а 2/2

а также условия двумерной периодичности

[[и(")]] _ 0 О ^ и(т) | ^ , - , ^2, $3 ] _ и\^ [ , ^ , $2, $3 |,

и( ™) и, $1, - ^, $3!_ и( ™) Г ^, ^, $3

Уравнения равновесия (8) после введения функций к(0\ кг(1), к(2\ принимают вид

к(0) + ккг(1) + к2кг(2) +... _ 0. (14)

Решением локальной задачи нулевого приближения (9) являются функции и(1), ек0\ а(0), они зависят от локальных координат £ 1 и входных данных этой задачи — перемещений и (0)( х1). Решением задачи (10) являются функции и(2), екР, а(1), а и(¡1}, е(к°}, а(/0) в этой задаче — входные данные. В задаче (11) функции и(3), еа(2) — неизвестные, а и(2), е^ а(1 — входные данные и т. д.

Выражения для функций Н(™). Проинтегрируем уравнения равновесия в системах (10)-(12) вместе с граничными условиями на £ = —0,5, в результате получим:

£

а(3) =— /(а^ +а0), ) d£ + АТ(£ + 0,5), (15)

23 - ^^ и и

—0,5 £

а(з2) =— | (а® + а(2/)и)d£ + ¿,(1)(£ + 0,5), (16)

—0,5

£

= —р—5я — | (а® +а(3и)d£ + ¿г(2)(£ + 0,5). (17)

—0,5

Учтем теперь, что напряжения а(3, а(3, а(3), являющиеся решениями задач (10)-(12), удовлетворяют граничным условиям а(Р = 0, а(2) = 0, а(3 = — р+ на внешней поверхности при £ = 0,5. Тогда, записывая соотношения (15)—(17) при £ = 0,5 и затем интегрируя по ЯП, получим уравнения для вычисления функций

^0), ¿(1), ¿Р:

0,5

^ = (а(0и) +1«аиК (18)

—0,5 0,5

^ = (а С?,) +Н(а (19)

—0,5

0,5

¿22) = (а(2и) + {((а«^ —Ар5,з, Ар = р+— р—. (20)

—0,5

Поскольку функции а(7), являющиеся решением задачи (10), удовлетворяют условиям периодичности на границах ЯП, то

а\!1 а^/2 а2/2 Г /

«а^» = / / (а$ +а(32)d£1d£2 = / а<"> I |

— ах/2 —а2/2 —а2/2 1_ ^

а!/2

Ч

—а!/2

— а (т) | а

d £ 2

а(т} | От)—а(т} I— от

d£1 = 0.

Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин... В результате получаем, что

Г _(а,^), (21)

к(1) _{а(и,/ ), (22)

к(2) _(а(2)^ -Др8я. (23)

Формальное решение локальных задач. Формальное решение задачи (9) можно представить в виде линейной тензорной функции от входных данных задачи

и(1) = т ) е^(Х1), (24)

где Мр1{ $т) — функции только локальных координат, являющиеся

решением следующей задачи: а № _ 0

аг,(рч)/] _

а (0) _ с + С N(1)

а г] (РЧ) С г,рч + с г]к1М крч/1,

23±: а(3)рч) _ 0, (25)

2.: [алиП] _ 0, [М^] _ 0,

[[а(,°()рч)]]п] _ 0, [[Мр,)]] _ 0, (мц)_ 0,

причем напряжения а (0) вычисляются по формулам

г(0) _ а(0) е(0)

У у( рч) рч

Подставляя (24) в (5), вычисляем деформации е(1):

аГ _ а(,0()рч)е%\ (26)

е(1 _ \ (М^ + ) _ \ (МХ, + ) е^. (27)

гк „,] ^ „,ч 2

Тогда решение задачи (10) первого приближения можно представить в виде линейных функций от е(0) :

и(2) = N(2)(Е ) е(0) (28)

"г -1- грЧг\^>т / ^рч, г •> \ /

где Мр2^ ($т) — функции только локальных координат, являющиеся решением задачи

а (1) +а (0) _ и ( рчг )/ ] Iг ( рч )

/а (0) \

г Г (рч)/,

а о _ с N (1) + с N (2)

^уХрчг) ^крч ^ук11у крчг/Ь

(1) ) _ (1)

2 3±: а (3(рчг) _ 0, (29)

2 ¿[а лрч,)] _ 0, [м£ ] _ 0,

[[а(цчг)]]пу _ 0, [[мц ]] _ 0, (и™) _ 0.

Напряжения а(! вычисляются по формулам

а(!) =а(!) е(°)

и2] (рцг рц, Г- (30)

Решение задачи (11) второго приближения можно представить в виде линейных функций от е^г:

и2 = ^¡рдН (£ т )ерц, г,, (31)

где N¡3, (£т) — функции только локальных координат, являющиеся решением задачи

а (2) +а (!) =/а0) \ а Ч(РЧП)/] + а 2,(рцг) 2,(рдг) / ,

а(2) = С N(2) , С N(3) ^ Ч(рцг,) ^цкг1у крцг ~ крф-г/Ъ

2з±: а^) = 0, (32)

2*: [а)]П] = 0, [N23),,] = 0,

[[а ^ )]]П] = 0, [[ N111, ]] = 0, (N(3,) = 0.

Напряжения а(2) вычисляются по формулам

а(2) (2) _(0)

а 2] = а 2] (рцП) ер),гг. (33)

Решение задачи (12) третьего приближения можно представить в виде линейных функций от е(р),ни и р+, р :

и(4) = N2^ (£т) е щги + 0+р+ + 0"р_, (34)

где N^3^ (£т ), 0+, 0г— — функции только локальных координат, являющиеся решением задач

а (3) +а (2) =1а (2) \ Ч ( р)г,и )/Ч ^ ¡и ( рцг ) \^2и( рцг )/?

а (3) = с n(3) + с n(4)

2 (рцгги) ^ 2]ки у крцгг ^ 2]к1 у крцгЬи //э

23±: а(3))р)гги) = 0, (35)

2 [а\]Хрср1и)]п] = 0 [^2р)гги ] = °

[[а)]]п] = 0, [[ог,и]] = 0, = 0

и

а % ] = 0,

а (3) = С о ±

а Ч ± = С2]к10к И ,

23±: а(3± =— р±5г3, (36)

2*: [аЧ2П = 0, [0к] = 0,

[[а(±]]п] = 0, [0]] = 0, (0к) = 0.

Напряжения а(' вычисляются по формулам

а(/) = а(/()рдгги)ерд)гги + а!3 Р+ + а/- р- • (37)

Осредненные уравнения равновесия многослойных пластин.

Подставляя выражения (21)-(23) в асимптотическое разложение (14) уравнений равновесия, получим осредненные уравнения равновесия пластины

«,) + к«) + к2 ((а^)-Ар8гз) + ••• = 0. (38)

Домножим исходные уравнения равновесия системы (8) при г = I на ^к и применим к ним операцию осреднения (13). Тогда, учитывая,

что а (0/ = 0, получим следующее вспомогательное уравнение:

к((^}-(а«)) + к2 ((£<,) -(а^-н ••• = 0, (39) Здесь учтено, что

0,5

-(2) \ _ / — (2)

так как на Е3±: а(1 = 0 и а(2) = 0^

Введем обозначения для усилий Ти, моментов Ми и перерезывающих сил а в пластине

Ти = (а+ к(а&>) + •••,

Ми = к^а и>) + к2(^а «> + •••, (40)

& =(&+ к(ай) + к 2( а + ••••

Тогда уравнения (38), (39) можно записать в традиционном виде уравнений равновесия и уравнений моментов

Ти и = 0, - & = 0, ,1 = Ар• (41)

Это и есть искомые осредненные уравнения равновесия многослойной пластины, здесь обозначено Ар = к2 Ар •

Осредненные определяющие соотношения. Подставляя выражения (26), (30) для напряжений а^, а(1) в интегралы формул (40) и удерживая только те старшие члены разложений, которые указаны в этих формулах (40), получаем

Т = С е(0) + С е(0) + К е(0) + К е(0)

Ти = Сирдерд + Сирерз + Кирдмерд, м + Кирмерз,ы, (42)

0,5

м _ в е(0) , в е(0) , 0 е(0) , п е(0) (43)

м/л _ в//реер< ^ влрерз ^ Ллрдмерем ^ Ллрмерзм, (43)

< _ Т е(0) , т е(0) , Л е(0) , л е(0) +к2/_(2А ( )

И/ т1рдерд т т/рерз т л ¡р<2мер<2,м т л/рмерз,м тк з/• (44)

где обозначены тензоры осредненных упругих констант композитной пластины

Г _/ст(°) \ С _/а(0) \

Г//ре \ил (р0/> Г//р \ил ( рз) !,

Клрдм _к(а/Л(рем)}, К//рм _к(ал(рзм)),

В/.ре _ к(£ст/0(ре)}' В/.Р _ к(^аЛ(рз)),

Ллре>м _к (.(рем)) 3 Ллрм _к (^Л)рЗМ)},

I \ I _/а(°) \

т/ре \°/ з(ре)/, т/р з( рз) !,

(45)

./рдм _ к(а/3(р<2м)), Л /рм _ к(а/з\рзм)) •

Осредненные кинематические соотношения. В систему осредненных определяющих соотношений (42)-(44) входят деформации срединной поверхности е(0) , углы поворота нормали к срединной поверхности ур _ е(°з, кривизны ^рм _ ерЗ,м и градиенты деформаций е(°)ЛГ, которые зависят от функций и}0), и(0) глобальных пере-

7/ _ 1 (и/°] + и?} ),

е(0) _ —(и(0)) + и 2

у _ е (0) _ i и (0)

у р _ ер3 _ _ и3,р 5

2 1 (46)

_ (0) _ 1 (0) Лрм _ ер3,м _ ~ и3,рм 5

е(0) _ 1 (и(0) , и(0) )

2

Осредненная система уравнений для пластин. Подставляя далее выражения (46) и (42)-(44) в систему (41), получаем систему трех уравнений (после исключения из них </) относительно трех неизвестных функций и }0), и(0)

С и(0) + С и(°) + К и(0) + К и(0) _ 0

С/]р<2ир,01 ^ Глриз,р/ ^ Кирдмир,дм./ ^ К//рмиз,рм/

в и(0) + в и(0) + Л и(0) + Л и(0) _Ап

менных х7

Эта система имеет четвертый порядок относительно прогиба и(0), как в классической теории пластин Кирхгофа - Лява, и третий порядок производных относительно продольных перемещений и}0), чем отличается от теории Кирхгофа - Лява.

Вычисление эффективных характеристик пластины. Эффективные упругие характеристики пластины СиРд, Сир, КиРдМ, Кшм,

Бцрд, Вир, ОиРвм, ОиРм — тензоры, входящие в определяющие соотношения (42), (43), вычисляются по формулам (45). Предварительно должны быть решены локальные задачи нулевого и первого уровней, с помощью которых вычисляем поля тензоров а^) и а^1^).

Напряжения в пластине. После решения осредненной системы уравнений (47) можно вычислить поля напряжений в пластине, для этого используем формулы (6), (26). При этом для напряжений аи достаточно сохранить лишь члены нулевого и первого приближений, для сдвиговых напряжений а 13 необходимо сохранить члены до второго порядка точности, а для поперечного напряжения а 33 — члены до третьего порядка точности включительно:

а _а (0) е(0) а (1) _(0) а и _а и(рд')ерд ^ и(рдг)ерд, г,

„ (0) e(0) + (1) e(0) , „2_(2) e(0)

U 13 _U 13(pq)e pq + 13(pqr)e pq, r + K U 13(pqrt)e pq, rt,

„ (0) e (0) +Kn (1) e (0) ,K 2_ (2) e (0) +

°33 _ ° 33(pq)epq + ^°33(pqr)e pq, r + ^ ° 33(pqrt)epq,rt +

(48)

-3 (a(3) e(0) + a(3) 33(pqrtu)epq,rtu + u 33+

p++a fip_).

Алгоритм численного решения локальных задач. Для решения локальных задач нулевого приближения (25) применим вариант метода конечного элемента, разработанный в [14-19]. Решение этих задач на ЯП строится как продолжение решения задач на части ЯП для ЯП, периодической по трем координатным направлениям,

V^ — это 1/8 ЯП, а для ЯП, периодической по двум направлениям,

К — это 1/4 ЯП, т.е. =Jo <&,<—, 0 <&2 <—,--<&, <-

[ 2 2 2 2

Решение §3)задачи (25) в V^ ищем в виде

= + 8+ £3), (49)

где Nfyjqib,!, §3) — функции, удовлетворяющие краевой задаче теории упругости на

а (°) _ 0 „(0) _ С дгО)

у • а (°) _ 0 ()

у3± • а г3(рд) _ °5

Система (50) дополняется специальными граничными условиями на торцевых поверхностях У'ж _ (Е,ж _ 0,5} 1/4 ЯП:

на Ур : Ор( рр) _— , И, (рр)/ р _ 0, / Ф p,

на Уд: и,(рр)/д _ 0 Ид(рр) _ а г Ф р Ф q, p, д _ 1, 2,

на у: и,(рд) _15,р, и](рд)/; _ 0, (51)

ик(рд) _ ° г ф 7 ф к ф ] _ ^ д}

на У к : И,( рд)/к _ 0 И (рд)/к _ 0, и к (рд) _ 0, г Ф 7 Ф к Ф р Ф д.

Граничные условия на плоскостях симметрии у _ (^ _ 0} имеют вид, аналогичный соотношениям (51), в которых следует положить Ир( ) _ 0, И,(рд) _ 0. Задачи (50), (51) назовем локальными задачами Ьт. В отличие от аналогичных трехмерных локальных задач, число которых равно 6 [13-16], для двумерной ЯП число этих задач с ненулевым решением равно 5, так как задача Ь33 имеет тождественно нулевое решение. Кроме того, в отличие от трехмерных задач Ьрд граничные условия на поверхностях У3± _ (^3 _ ±0,5} соответствуют свободным от нагрузок поверхностям.

Для определения компонент тензора эффективных модулей упругости композита Ст используем формулы (45). После расчета тензора модулей упругости Ст рассчитывается эффективный тензор упругих податливостей П ш, являющийся обратным к . В результате находим девять технических упругих констант композита: Ёа _ 1/ Паааа — эффективные модули Юнга; уар _ -ПааррЕа — эффективные коэффициенты Пуассона; Gap _ Сарар — эффективные модули сдвига.

Тензоры концентрации напряжений. Выделим в выражениях (48) для напряжений аи и а/3 члены при нулевой степени к:

а0 __(°) е(0) а0 (0) е(0) (52)

°// //(рд)ерд , ° /3 /3(рд)ерд • (52)

Эти выражения характеризуют напряженное состояние в компонентах пластины, вызванное продольным растяжением (описывается компонентами eeпродольным сдвигом (описывается компо-

нентой в 10)) и межслоевыми сдвигами (описывается компонентами е1(з), е?з )- Члены в (48) при первой степени к характеризуют напряженное состояние, вызванное изгибом пластины.

Выделим подобным образом в (42), (44) части усилий и перерезывающих сил, вызванные растяжением, продольным и межслоевыми сдвигами:

Tо _ C е(°) + C в(0) Q0 - L в(0) + L в(0) (53)

1и — CIJPQePQ + CIJpepз, QI — LIpQepQ -Г LIpep3. (53)

Формулы, обратные к (53), имеют следующий вид:

го) _ „ т0 + R Q0 ^ - R т0 + R Q0 (54)

ePQ ~ RPQIJ1 и ^ RPQIQI ■ ~ ^ ■ (54)

где

RPQIJ ~{CIJPQ сIJMLMNLNPQ ) 7 RPQI = RPQMNCMNJL Л ■ RPI = l PI + l PJ LJKQRKQMNCMNSLSI ■ ^и = lPSLSKQRKQIJ ■

(55)

С помощью формул (52) и (54) можно связать пять напряжений <з% и

Г0 Q 0.

' PQ ■ ^ •

а % с пятью компонентами Тр0, Q

аи = BIJPQTPQ + ■ а0 3 = В^^ + ■ (5 6)

где обозначены компоненты тензоров концентрации напряжений

V -гг(0) Р , —(0) п

BIJPQ =аи(Ш)RMNPQ +аи(М3)RMPQ ■

(0) (0) ВШ =аи(Ш)RMNP +аи(М3)RMP ■

О _-т(0) П , ._(0) п ( )

В^ =а13(Ш)RMNPQ +а13(M3)RMPQ ■

(0) (0) BIP =а 13(MV)RMVP +а 13Щ3)RMP ■

Результаты численного моделирования. По разработанному методу были проведены серии численных расчетов микронапряжений и эффективных упруго-прочностных характеристик конструк-тивно-ортотропной пластины, имеющей структуру сотового заполнителя, материал сот которого образован стеклотканью (см. рис. 1).

В расчетах параметрически изменялся размер ячейки сот, характеризуемый коэффициентом ф^=1 — (1 — И8 / а)2 — содержанием стенок сот в общем объеме одной ячейки соты (где ^ — толщина стенки сот; а — длина стороны одной ячейки соты). Были рассмотрены

значения ф5 в широком диапазоне — от 0,02 до 0,9. Материал стенки сот — квазитрансверсально-изотропный [22, 23] тканевый стеклопластик (свойства стеклопластика по основе и утку совпадают) эпок-сифенольного типа со следующими характеристиками:

Еп = 9,078 ГПа, Е% = 25,394 ГПа, V п = 0,169, ух = 0,114, Оп = 2,205 ГПа, Gт = 3,253 ГПа,

где Е п — модуль упругости в направлении, поперечном к слоям ткани; Ет — модуль упругости в плоскости ткани; V п — поперечный коэффициент Пуассона; V.,. — продольный коэффициент Пуассона, Оп — поперечный модуль сдвига; Gт — модуль сдвига в плоскости ткани.

Главные оси ОЪ^ трансверсальной изотропии материала стенки сот ориентированы по направлениям самого сотового заполнителя, причем _ ОЪ3. С помощью упругих характеристик Еп, Ех, Vп, V.,., Оп, Gт вычислялись компоненты тензора упругих податливостей П ^ сотового заполнителя в системе координат ОЪ^, далее определялись компоненты тензора модулей упругости С^ _ (П/7Ы ) 1 в системе координат ОЪ^, а затем рассчитывались компоненты этого тензора Суы (Ъ 1) в системе координат ОЪ , повернутой относительно осей ОЪ, \.

На рис. 2 показана конечно-элементная сетка, использованная при численном решении локальных задач. Сетка строилась как для самого сотового заполнителя, так и для фиктивного материала, заполняющего поры конструкции. На рис. 3 представлены картины распределения некоторых коэффициентов концентрации напряжений Бцрд и В1Р, рассчитанные с помощью разработанного метода, для сотового заполнителя со значением параметра ф5 = 0,1. Максимальные по абсолютной величине значения коэффициентов концентрации достигаются в зонах искривления сотового заполнителя, эти же зоны являются наиболее опасными с точки зрения нарушения прочности заполнителя при продольном растяжении-сжатии или продольном сдвиге конструктивно-ортотропной пластины.

Рис. 2. Конечно-элементная сетка для ЯП конструктивно-ортотроп-ной пластины с сотовым заполнителем

Рис. 3. Картины распределения коэффициентов концентрации напряжений Вцц (°), В1212 (б), В2222 (в) и В22 (г) в ЯП конструктивно-ортотропной пластины из стеклопластикового сотового заполнителя с фх = 0,1

По разработанной методике получены следующие значения эффективных упругих характеристик сотового заполнителя на основе стеклоткани с коэффициентом ф^ = 0,1:

Модуль упругости, МПа

Е1 (в плоскости заполнителя)............................... 34,345

Е2 (в плоскости заполнителя)............................... 34,346

Е3 (поперечный).................................................... 2540,09

Коэффициент Пуассона:

^23

^32

(продольный)................................................... 0,9739

(поперечный)....................................................0,0017

(поперечный)...................................................0,0017

(продольный)................................................... 0,9739

(поперечный)...................................................0,1239

(поперечный)...................................................0,1239

Модуль сдвига, МПа:

^.............................

8,699

169,387

169,386

21

31

Результаты расчетов показывают, что эффективные упругие модули сотового заполнителя в плоскости заполнителя и в поперечном направлении, а также модули сдвига Gn и 0{3 различаются почти на два порядка, также существенно различаются продольные и поперечные коэффициенты Пуассона v12 и v13, v23: значения коэффициента v12 близки к единице, а значения v13, v23 — к нулю. Разработанный вычислительный метод позволяет рассчитывать эффективные характеристики конструктивно-ортотропных пластин с существенно различными значениями характеристик по разным направлениям.

Выводы. Предложена асимптотическая теория тонких конструк-тивно-ортотропных пластин, обладающих двухпериодической структурой. Теория основана на выводе уравнений теории пластин из общих уравнений трехмерной теории упругости с помощью асимптотических разложений по малому параметру, представляющему собой отношение толщины пластины к характерной длине, без введения каких-либо гипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине.

Выведены рекуррентные последовательности локальных задач для нахождения напряжений во всех конструктивных элементах пластины. Показано, что глобальная задача теории изгиба пластин близка к задаче изгиба пластин Кирхгофа - Лява, но отличается от нее наличием третьего порядка производных от продольных перемещений пластины. Предложенный метод позволяет вычислить все шесть компонент тензора напряжений, включая поперечные нормальные напряжения и напряжения межслойного сдвига.

Пример конечно-элементного решения локальных задач нулевого приближения для сотовой конструкции показал, что разработанный метод расчета пластин и его численная реализация достаточно эффективны. Они позволяют проводить расчеты для сложных конст-руктивно-ортотропных пластин с сильно различающимися значениями упругих характеристик.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Обобщенная модель механики тонкостенных конструкций из композитных материалов. Механика композитных материалов, 1988, № 4, с. 698-704.

[2] Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин. Изв. РАН. МТТ, 2006, № 6, с. 71-79.

[3] Шешенин С.В., Ходос О.А. Эффективные жесткости гофрированной пластины. Вычислительная механика сплошной среды, 2011, т. 4, № 2, с. 128139.

[4] Зверяев Е.М., Макаров Г.И. Общий метод построения теорий типа Тимошенко. ПММ, 2008, т. 72, вып. 2, с. 308-321.

[5] Зверяев Е.М. Анализ гипотез, используемых при построении теории балок и плит. ПММ, 2003, т. 67, вып. 3, с. 472-483.

[6] Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness. Int. J. Solids and Struct, 1984, vol. 20, no. 4, pp. 333-350.

[7] Панасенко Г.П., Резцов М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной пластине. Докл. АН СССР, 1987, т. 294, № 5, с. 1061-1065.

[8] LevinskiT., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Singapore; London: World Sci. Publ., 2000, 739 p.

[9] Kolpakov A.G. Homogenized models for thin-walled nonhomogeneous structures with initial stresses. Springer Verlag: Berlin, Heidelberg, 2004, 228 p.

[10] Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. Москва, Изд-во МГУ, 1984, 336 с.

[11] Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Москва, Наука, 1984, 352 с.

[12] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. Москва, Мир,1984, 472 с.

[13] Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.В. Конечно -элементный метод для вычисления эффективных характеристик пространственно-армированных композитов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2002, № 2, с. 95-108.

[14] Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Разработка системы автоматизированного вычисления эффективных упругих характеристик композитов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2008, № 2, с. 57-67.

[15] Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Численное моделирование композиционных материалов с многоуровневой структурой. Изв. РАН. Серия физическая,, 2011, т. 75, № 11, с. 1549-1554.

[16] Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Об упругих свойствах композиционных материалов. Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 4, с. 96110.

[17] Dimitrienko Yu.I. A structural thermomechanical model of textile composite materials at high temperatures. Composite science and technologies, 1999, vol. 59, pp. 1041-1053.

[18] Димитриенко Ю.И., Cборщиков С.В., Сколов А.П. Численное моделирование микроразрушения и прочностных характеристик пространственно -армированных композитов. Механика композиционных материалов и конструкций, 2013, т. 19, № 3, с. 365-383.

[19] Димитриенко Ю.И., Сборщиков С.В., Соколов А.П., Шпакова Ю.В. Численное моделирование процессов разрушения тканевых композитов. Вычислительная механика сплошной среды, 2013, т. 6, № 4, с. 389-402. doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.4.43

[20] Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86-100.

[21] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html

[22] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 1: Тензорный анализ. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 367 с.

[23] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4: Основы механики твердого тела. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 624 с.

Статья поступила в редакцию 06.03.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 36-56.

Димитриенко Юрий Иванович родился в 1962 г., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1984 г. Д-р физ.-мат. наук, профессор, директор Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное моделирование и разработка программных комплексов» МГТУ им. Н.Э. Баумана; заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 270 научных работ в области механики сплошных сред, вычислительной механики, механики и термомеханики композитов, математического моделирования в науке о материалах, вычислительной газодинамики. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Губарева Елена Александровна родилась в 1982 г., окончила МГУ им. М.В. Ломоносова в 2004 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 15 научных работ в области механики сплошных сред, механики контактного взаимодействия, математического моделирования, механики композитов. e-mail: gubareva_ea@pochta.ru

Сборщиков Сергей Васильевич родился в 1989 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2012 г. Аспирант кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 12 научных работ в области вычислительной механики композитов. e-mail: servasbor@gmail.com

Asymptotic theory of constructive-orthotropic plates with two-periodic structures

© Yu.I. Dimitrienko, E.A. Gubareva, S.V. Sborschikov Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The theory of thin constructive-orthotropic plates with a two-periodic structure was suggested. Examples of such structures are honeycomb sandwich panels and backed plates. The theory is based on equations of a three-dimensional elasticity theory with the help of asymptotic expansions in terms of a small parameter being the ratio of a plate thickness and a characteristic length without introducing any hypotheses on a distribution character for displacements and stresses through the thickness. Local problems were formulated for finding stresses in all structural elements of a plate. It was shown that the global (averaged by the certain rules) equations of the plate theory are similar to equations of the

Kirchhoff-Love plate theory, but they differs by a presence of three-order derivatives of longitudinal displacements. The method developed allows to calculate all 6 components of the stress tensor including transverse normal stresses and stresses of interlayer shear. For this, local problems should be solved numerically up to the third approximation. The example was demonstrated for finite-element solving the local problems of the zero approximation for a cellular structure, which showed that the developed method for plate calculation and its numerical realization are sufficiently effective - they allow us to conduct computations for complex constructive-orthotropic plates with very different values of elastic characteristics.

Keywords: multilayer plates, two-periodic structure, honeycomb sandwich panels con-structive-orthotropic plates, two-periodic structure, asymptotic expansions, local problems.

REFERENCES

[1] Grigolyuk E.I., Kulikov G.M. Mekhanika kompozitsionnykh materialov -Composite Mechanics and Design, 1988, no. 4, pp. 698-704.

[2] Sheshenin S.V. Izv. RAN. MTT — Proc. of the Russ. Acad. Sci. Mech. Rigid Body, 2006, no. 6, pp. 71-79.

[3] Sheshenin S.V., Khodos O.A. Vychislitel'naya mekhanika sploshnoi sredy — Computational Continuum Mechanics, 2011, vol. 4, no. 2, pp. 128-139.

[4] Zveryaev E.M., Makarov G.I. PMM — J. Appl. Math. Mech., 2008, vol. 72, iss. 2, pp. 308-321.

[5] Zveriaev E. M. PMM — J. Appl. Math. Mech., 2003, vol. 67, iss. 3, pp. 472483.

[6] Kohn R.V., Vogelyus M. Int. J. Solids and Struct., 1984, vol. 20, no. 4, pp.

333-350.

[7] Panasenko G.P., Reztsov M.V. Dokl. ANSSSR — Reports of Acad. Sci. USSR, 1987, vol. 294, no. 5, pp. 1061-1065.

[8] Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Singapore, London, World Sci. Publ., 2000, 739 p.

[9] Kolpakov A. G. Homogenized models for thin-walled nonhomogeneous structures with initial stresses. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004, 228 p.

[10] Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, Lomonosov MSU Publ., 1984, 336 p.

[11] Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Osrednenie protsessov v periodicheskikh sredakh [Averaging of processes in periodic media]. Moscow, Nauka Publ., 1984.

[12] Sanches-Palensiya E. Neodnorodnye sredy i teoriya kolebaniy [Non-uniform media and theory of oscillations]. Moscow, Mir Publ., 1984.

[13] Dimitrienko Yu.I., Kashkarov A.V. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye Nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University, Natural Science Series, 2002, no. 2.

[14] Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University, Natural Science Series, 2008, no. 2, pp. 57-67.

[15] Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Izvestiya Rossiyskoi akademii nauk. Seriya fizicheskaya - Proc. Russ. Acad. Sci., 2011, vol. 75, no. 11, pp. 1549-1554.

[16] Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Matematicheskoe modelirovanie — Mathematical Modeling, 2009, vol .21, no. 4, pp. 96-110.

[17] Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University, Natural Science Series, 2008, no. 2, pp. 57-67.

[18] Dimitrienko Yu.I., Sborshchikov S.V., Sokolov A.P. Mekhanika kompo-zitsionnykh materialov i konstruktsiy — Composite Mechanics and design, 2013, vol. 19, no. 3, pp. 365-383.

[19] Dimitrienko Yu.I., Sborshchikov S.V., Sokolov A.P., Shpakova Yu.V. Vychislitel'naya mekhanika sploshnoi sredy — Computational continuum mechanics,, 2013, vol. 6, no. 4, pp. 389-402. doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.4.43

[20] Dimitrienko Yu.I. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University, Natural Science Series, 2012, no. 3, pp. 86-100.

[21] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. Inzhenernyi zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, iss. 12. Available at: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html

[22] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoi sredy [Continuum mechanics]. Vol. 1. Tenzornyi analiz [Tensor analysis]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 367 p.

[23] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoi sredy [Continuum mechanics]. Vol. 4. Osnovy mekhaniki tverdogo tela [Fundamentals of solid mechanics]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2013, 624 p.

Dimitrienko Yu.I. (b.1962) graduated from Lomonosov Moscow State University in 1984. Dr. Sci. (Phys. & Math.), professor, Head of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department, Director of the Scientific-Educational Center of Supercomputer Engineering Modeling and Program Software Development at Bauman Moscow State Technical University; Member of the Russian Academy of Engineering Science. Author of over 250 publications in the field of computational mechanics, gasdynamics, thermomechanics of composite materials, mathematical simulations in material science. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Gubareva E.A. (b.1982) graduated from Lomonosov Moscow State University in 2004. Ph. D. (Phys. & Math.), associated professor of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department, of Bauman Moscow State Technical University; Author of over 15 publications in the field of continuum mechanics, trybology, mathematical modeling and composite mechanics. e-mail: gubareva_ea@pochta.ru

Sborschikov S.V. (b. 1989) graduated from Bauman Moscow State Technical University in 2012. A postgraduate at the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department of Bauman MSTU. Author of 12 publications in the field of computational mechanics of composites. e-mail: servasbor@gmail.com