Арифметические свойства вторых степеней вершин случайного веб-графа в модели Боллобаша-Риордана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.175.4

Е. А. Гречников

Отдел теоретических и прикладных исследований, ООО «Яндекс»

Арифметические свойства вторых степеней вершин случайного веб-графа в модели Боллобаша—Риордана

В настоящей работе изучается модель Боллобаша-Риордана случайного вебграфа. Рассматривается математическое ожидание числа вершин заданной второй степени в таком случайном графе, и доказывается, что одна из его главных составляющих является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами от 1, 1п2 и п.

Ключевые слова: случайный граф, веб-граф, степень вершины.

1. Введение и формулировка результата

Настоящая работа связана с исследованием модели случайного веб-графа, которая была предложена Б. Боллобашем и О. Риорданом в 2000 году (см. [1]). Модель устроена очень просто. Сперва строится последовательность графов СП, у каждого из которых п вершин и п ребер; затем из построенной последовательности образуются графы СП, имеющие п вершин и кп ребер (к € М). А именно, граф — это граф с одной вершиной и одной петлей; если граф С^-1 с вершинами {1,... ,п — 1} построен, то мы добавляем к нему одну вершину п и одно ребро, вьтходятттее из новой вершины: с вероятностью 2^-^

< - deg г • г 1 п

новое реоро является петлей, а с вероятностью ^^ оно имеет г Е {I,... ,гг — 1} своим вторым концом. Граф СП получается из графа С^ склейкой вершин 1,... , к в одну вершину, вершин к + 1,. . . , 2к — во вторую вершину и т.д.

Модель Боллобаша-Риордана описывает рост интернета и является достаточно адекватной в том смысле, что многие ее характеристики очень близки к статистическим характеристикам реального веба. Например, у случайного веб-графа с высокой вероятностью правильный диаметр (см. [2]), а степени вершин в этой модели подчиняются степенному закону (см. [1]).

Недавно Л.А. Остроумова начала исследование так называемых вторых степеней вершин графа в модели. В ее работе [3] речь идет о графе СП и величине

^(*) = #{*7 : * = *,7 = М* € СП, *7 € СП}.

Здесь *7 — ребро с вершинами *,7. В статье [4] найдена асимптотика для среднего значения величины <^2 (*).

Теорема 1. Математическое ожидание числа вершин второй степени d в графе СП имеет вид

М#{* 6 с;: *(*) = Л] = & (1 + о + о (|)).

Основным ингредиентом в доказательстве теоремы 1 служит следующее утверждение, доказанное Остроумовой.

Теорема 2. Положим

N„(1, к) = #{* € С„ : deg * = /, ад = к,** € ^„}-

Тогда

¥N„(1, к) = пс(1,к) (1 + 0(и, / , к)), где |0(и,/,к)| < (2/ + к — 1)2/и, а константы с(/,к) определяются так:

с(1, к)

с(1,0) = с(0, к) = 0,

=________________2 А;2 + Ш____________________

(А: + 1)(/г + 2)(/г + 3)(/с + 4)'

с(/,4) = с(/, А- - 1)^+^^ + с(1 - 1,Ц2;^.1+2, * > О,г > 1.

Явное решение рекуррентных соотношений для констант из теоремы 2 получить не удается. Но важны даже не сами эти константы, а их сумма по всем /. Дело в том, что в статье [3] доказано, что главный член асимптотики величины из теоремы 1 равен главному члену асимптотики суммы г°=1 N„(1, ^) и равен и^г=1 с(/, ^).

Нам удается доказать следующий результат.

ГО

Теорема 3. Величина ^ с(/,к) представляет собой линейную комбинацию с рациональ-

1=1

ными коэффициентами от 1, 1п2 и п.

Это и есть основной результат нашей статьи.

2. Доказательство теоремы 3

Выражение имеет хорошо известный смысл при п Е М, причем

п + 2 _ 1

(п + 2)!! п!Г

Доопределим это выражение на все п Є Ї так, чтобы равенство сохранялось. Легко ви-

1 1 1 п 1 1

деть, что такое доопределение единственно, причем щ = 1, ^—2ІУ)!! = (—1)ЇЇ =

^ — (—1)М(2ІУ — 1)!! при N Є N. Положим заодно (—1)!! = 1.

(—2Ж — 1)!!

Пусть числа аку3 определены при к ^ 0, в € Ъ рекуррентно следующим образом:

ао,« = 0, ак,в + (4к — 3 — б)ак,з-2 ,

а*+‘-‘ =---------йрГТ)------------• ‘*ък-

_ (1 . ,4,, / 2к2 + 14к ак,в | 7^1

ак’3{к~1) ^ ^ + ^' \ (к + 1)(к + 2)(к + Щк + 4) ^ (7-2к + 8)\\Г '

\ я=3(к-1) /

По индукции легко доказать, что а^ = 0 при в < 0 и при в > 3(к — 1), так что все возникающие суммы по в содержат только конечное число ненулевых слагаемых.

Мы утверждаем, что

с(1,к) = (1- 1)!^ ак'3

^ (21 - 2к + 5 + 8)!!'

Действительно, проверка для / = 1 и проверка для к = 0 очевидны, так что остается проверить выполнение рекуррентного соотношения:

с(1, к + 1) — с(/ — 1, к + 1); ^ ^

21 + к + 3 (1 — 1)! ^ ( 21 + к + 3

21 + к + Ъ^ ак+м V (21 — 2/г + 3 + в)!! (21 - 2Л + 1 + 8)!! в 4

(1 — 1)! ак+1,«((21 + к + 3) — (21 — 2к + 3 + в)) (1 — 1)! ак+1,^(3к — в)

21 + к + 3^ (21 — 2к + 3 + 8)!! 21 + к + 3 ^ (21 — 2к + 3 + 8)!!

_ (1 — 1)! ^—\ + (4/г — 3 — з)аку3-2

~ 2(21 +к+ 3) 2^ (21 - 2/с + 3 + ^)!! '

(При в = 3к выражение для ак+1)5(3к — в) заложено в рекуррентное соотношение, при

в = 3к имеем 3к — в = 0 = ак)з = ак;5-2.) Последнюю сумму разобьем на две, во второй

сдвинем индекс суммирования на 2, после чего снова объединим:

п , , 1^ п 1 , ^ 1-1 (^ “ 1 )■ ак,«((21 - 2к + 5 + в) + (4/с - 5 - в))

с(1,к + 1)-сЦ-1,к + 1)^т]^= 2(21 + к + 3)^---------------------(2;-2Л + 5 + 8)!!-------=

' + ,г -с(г, *),

21 + к + 3 что и требовалось.

ГО

По определению а^ € О. Следовательно, с(/,к) есть линейная комбинация с ра-

1=1

го (1 — 1)!

циональными коэффициентами от сумм вида ^ ^ГТ—)П' ^егко виДеть) что члены этих сумм убывают экспоненциально, так что ряды абсолютно сходятся. Вычислим их:

1

ул (1-1)! I ул (1-1)! I ~ (1-1)!(2^2)-(т+2)

■^(21 + ш)!! (2 + т)Н (21 + ш)!! (2 + т)!!^-^ (21 + т + 2)Н

I — 1 I—2 I — 1

1 , 1 (1 — 1)! т + 2 (1 — 1)!

1 \ ^ ^ - 1;! _ т + 2 \ ^

(2 + т)!! 2 2-/(21 + т)!! 2 2-/(21 + т + 2)!!‘

Отсюда получаем две формулы:

у (г-1)! _ 2 (гг,

^(21 + тМ\ (2 + тМ\

и (при т = 0)

= (21 + т)!! (2 + т)!! (21 + т + 2)!!

(1 — 1)! 1/2 (1 — 1)!

у у-1)- = ^ _2__V

“(21 + т)!! гп I т!! (21 + т - 2)!!

Случай 1. Пусть т = — 2N, N € N. Когда N =1, получается геометрическая прогрессия:

ГО п 1М ГО

\ ^ (I ~ 1)! = \ ^ 1 = 2

2^(21-2)11 2-^21~1 ’ г—1 4 ' 1—1

При N > 1 ряд сводится к такому же ряду для N — 1 (что соответствует т + 2):

У (г~1)! =-(2-2М)У________________(г~1)!____,

(21 - 2М)\\ К J^(2l-2N + 2)lV

откуда окончательно

(! ~ Х)! = 2м(М - 1)'

(2* - 2ЛГ)!! 1 ;

Случай 2. Пусть т = 2N, N € Ъ, N ^ 0. Когда N = 0, получается ряд

ГО , . . ГО / 1 \ 1

1—1 у ' 1—1

х2

(являющийся частным случаем ряда Маклорена для логарифма 1п(1 — х) = —ж---------------^--

х3

---г---...). При N ^ 1 ряд сводится к такому же ряду для N — 1 (что соответствует

3

т — 2):

£

(I -1)! М2 ^ (I -1)!

(21 + 2Ж)!! 2Ж І2МN! ^ (21 + 2Ж - 2)!!

2мЛЛ V (г~1)! = ^ - 2М~1(Н - 1)' V________________(г~1)!____

^ 2-^(21 + 2Ы)\\ Ж 1 ; ^ (2/ + 2Ж-2)!!’

откуда окончательно

V (*~1)! -1/^1 1,1 | (-І)”"1 | ,

^(21 + 2Н)\\ 2мN1 I N " 1 1 ' I '

1=1

(Отметим, что в скобках с точностью до знака стоит разность между 1п 2 и частичными суммами другого известного ряда для 1п2.)

Случай 3. Пусть т = 2Ж - 1, N Є Ъ, N ^ 0. Когда N = 0, получается не столь известный ряд (хотя его и можно найти в [5]), так что обозначим его сумму временно буквой ^. При N ^ 1 ряд сводится к такому же ряду для N - 1 (что соответствует т - 2):

(I - 1)! 1 / 2 ^ (I - 1)!

V______[ }_=_______^__________ _*______V

^ (21 + 2Ы - 1)!! 2ЛГ-1 I (2ЛГ-1)!! ^ (21 + 2Ы - 3)!!

(I - 1)! 2 ом, ^ (I - 1)!

(2Ы 1)!!^ (2/ + 2Ж-1)!! 2ЛГ-1 3^! (21 + 2И - 3)!

1=1 у ' 1=1 у у

откуда окончательно

го

(1-1)1 = 2 _________^ +(=Ч^ + (_1)»Й

^ (2Л-2ЛГ- 1)!! (2ЛГ-1)!! ^2ЛГ-1 2Ж - З 1 1 ; 2

(I - 1)!(2Ж - 1)!! 2і-і (I - 1)!

Легко видеть, что ——————— ^ м , так что сумма ряда (2ІУ— 1)!! ^

(21 + 2Ж - 1)!! ^ 2Ж + Г“^-------^..1=1 (2і + 2Ж - 1)!

не превосходит 2ЛГ2+ ^ и, следовательно, стремится к нулю при N—>00. Значит,

£=1-1+1-

2 3 5 " '

3 5

Справа стоит частный случай ряда Маклорена для арктангенса атсіап х = х —3“ + “5— ••• при х = 1 (а сам ряд хорошо известен как ряд Лейбница), так что ц =

Случай 4. Пусть т = -2N - 1, N Є N. Ряд сводится к такому же ряду для N - 1 (что соответствует т + 2):

ул (1-1)1 = 2 _{1_ 2Ы) у' (г~1)! =

^ (21-2М- 1)!! (1-2ЛГ)!! 1 ^ (21 - 2N + 1)11

\М-

(-1)N-12(2N - 3)!! + (2N - 1)

(l - 1)!

l—l

(2l - 2N + 1)!!:

(l - 1)! i4n_ l 2 , 1 v- (l -1)!

\ " V ~ = ( 2 1 \ "

(01 - ON - I'll! v ; 2N — 1 (9,N —

(2N - 1)!! ^ (2l - 2N - 1)!! ^ > 2N - 1 1 (2N - 3)!! ^ (2l - 2N + 1)!!’

откуда окончательно

^(21 - 2N - 1)!! V4 3 1 •" 2N - 1

1=1 v ' v

(Отметим, что здесь выражение в скобках при N —> оо стремится не к нулю, ак |.)

С©

Рассмотрев все случаи, приходим к выводу, что c(l, k) действительно есть линейная

1=1

комбинация с рациональными коэффициентами от 1, ln2 и п.

Литература

1. Bollobas B., Riordan O. M. The degree sequence of a scale-free random graph process // Random Structures and Algorithms.—2001.—V. 18, N 3.—P. 279—290.

2. Bollobas B., Riordan O.M. The diameter of a scale-free random graph // Combinator-ica. — 2004. — V. 24, N 1. — P. 5-34.

3. Остроумова Л. А. Распределение вторых степеней вершин в случайных графах в модели Боллобаша-Риордана // Матем. заметки, в печати.

4. Ostroumova L. A., Grechnikov E. A. The distribution of second degrees in the Bollobas-Riordan random graph model.— arXiv:1108.5585v1.

5. Weisstein E. W. — Pi Formulas // MathWorld — A Wolfram Web Resource.— http: //mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html.

І

Поступила в редакцию 01.08.2011