Априорное решающее дерево задачи отождествления для системы независимых обнаружителей Текст научной статьи по специальности «Математика»

уменьшенным уровнем бокового излучения и повышенным КПД // 1-й Международный радиоэлектронный Форум “Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития”. МРФ-2002. Сборник научных трудов. Часть 1. Харьков:АН ПРЭ, ХНУРЭ. 2002. С. 287-289. 6. Христиансен У., Хёгбом И. Радиотелескопы. М.: Мир, 1972. 7. Зайченко А.Н., ПискоржВ.В., Данилин А.Б. Обзорное пеленгование сигналов неизвестной формы // Прикладная радиоэлектроника. 2003. №2. C. 132-138. 8. Хэррис Ф.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР. 1978. T.66, №1. C. 60-96. 9. Руденко В.Н., Солоха Е.И., Брусков И.В., Шумилова Е.К. Коммутационная антенная решетка миллиметрового диапазона длин волн с улучшеными напрвлен-ными свойствами // Радиотехника, 1996. №8. C. 80-83.

Поступила в редколлегию 11.12.2003 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Пискорж В.В.

УДК 621. 396.96+519.2

АПРИОРНОЕ РЕШАЮЩЕЕ ДЕРЕВО ЗАДАЧИ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ НЕЗАВИСИМЫХ ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ

СИРОТИН Ю.А._____________________________

Анализируется структура пространства гипотез отождествления и строится его факторизация. На факторизованном пространстве вводится лексикографический порядок, который отражает правдоподобие гипотез по априорным вероятностям обнаружения целей. Предлагается общий метод построения априорного иерархического представления пространства гипотез для последовательной стратегии поиска, который учитывает введенный лексикографический порядок.

С точки зрения теории информации многопозиционная система радиолокации (МПСРЛ) является каналом обработки информации с ограниченной пропускной способностью [1]. В этом аспекте одним из ’’узких” мест МПСРЛ с независимым принятием решений на каждом обнаружителе-измерителе (РЛС или измерительной базе) является задача отождествления первичных измерений [2].

Ограниченная пропускная способность алгоритмов отождествления первичных измерений связана с вычислительной сложностью этой задачи, что определяется количеством выд вигаемых гипотез отождествления. Количество таких гипотез обусловлено высокой информационной неопределенностью [2] (ненулевой вероятностью несогласованного неразрешения, пропусков целей, наличия ложных отметок) и может превышать сотни миллионов. При обслуживании неизвестного числа целей решение задачи отождествления методом простого перебора на пространстве гипотез становится нереализуемым. Для достижения требуемого качества при условии ограничения на время обработки необходима разработка методов сокращения перебора в алгоритмах такого типа.

Зайченко Александр Николаевич, начальник сектора ОАО “AO Научно-исследовательский институт радиотехнических измерений”. Научные интересы: измерительные радиосистемы, цифровая обработка сигналов. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. (0572) 26-95-41.

E-mail: zajchenko@niiri.kharkov.com

Верещак Александр Петрович, канд. техн. наук, генеральный конструктор, директор ОАО “AO Научноисследовательский институт радиотехнических измерений”. Научные интересы: измерительные радиосистемы. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. (0572) 26-52-00.

Данилин Анатолий Борисович, канд. техн. наук, начальник сектора ОАО “AO Научно-исследовательский институт радиотехнических измерений”. Научные интересы: измерительные радиосистемы, радиолокационные системы с синтезированием апертуры. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. (0572) 26-95-36.________________________

1. Постановка задачи

В текущий момент наблюдения неизвестного числа S целей в лоцируемой зоне на центральном пункте объединения от M обнаружителей-измерителей (ОИ) поступают M разнородных, статистически не связанных между собой списков < Хь X2,... Хм > векторов первичных измерений. Каждый, поступивший от k- го ОИ список Xk =<sk,{xk(jk)}> , содержит sk статистически независимых векторов {Xk(jk)} (jk = 1,...,sk) первичных измерений, полученных в системе координат k-го ОИ.

Множество отметок, обнаруженных k-м обнаружителем, определяет отрезок натурального ряда с

естественной нумерацией Z(k) = [1,2,...,Sk] и соответствует фактам обнаружения. В силу независимости принятия решений каждым ОИ, их различной разрешающей способности, возможного необнаружения, ложной тревоги число обнаруженных отметок Sk различно.

Априори среди полученных отметок Z(k) могут быть: zOk) — отметки, порожденные одиночными целями; zgk) — отметки, порожденные групповыми целями (неразрешаемыми целями для этого ОИ); z(k) — ложные отметки. При этом для каждого множества Z(k) справедливо разбиение Z(k) = Z0k) u' Zgk) u' z(k).

Для имеющейся мгновенной ситуации принятого потока измерений < ХЬХ2,... Хм > от системы из М ОИ обозначим: Zo = {Z[,k)} — вектор множеств одиночных отметок, Zg = {Zg)} — вектор множеств групповых отметок, Zj = {Z(k)} — вектор множеств ложных отметок. Тогда для вектора множеств всех отметок Z = {Z(k)} (k = 1...M) справедливо разбиение Z = Zo u' Zg и' Zj на непересекающиеся подмножества одиночных, групповых и

РИ, 2004, № 1

23

ложных отметок. Априори такое разбиени е неизвестно. Каждое разбиение Z = Zo u' Zg и' Zj является подгипотезой какой-то из гипотез H ф множества A = A(Z) всех гипотез задачи отождествления. Каждая из гипотез Hф є A(Z), которая описывает возможное неразрешение, пропуски и ложные отметки, задается тройкой < (S),Z, ф> [3]. Здесь: (S) = (oj,02,....,os) — множество S гипотетически наблюдаемых целей; Z = Z(1) х Z(2) х ... х Z(M) — расширенное множество отметок (для учета возможных пропусков каждое множество обнаруженных отметок zW дополнено символом #, а именно Z(k) = Z(k) u # ). Произвольное отображение ф : (S) ^ Z описывает одну из возможных ситуаций неразрешения, пропусков и ложных отметок [3].

Обозначим Д s = Д s (Z) множество всех гипотез отождествления типа < (S), Z, ф > с фиксированным числом S = s гипотетически наблюдаемых целей. При фиксированном числе S = s целей количество гипотез типа < (S), Z, ф > равно | Дs |= (П^ Z(k) | +1)s и зависит от числа целей и числа независимых измерителей как показательная функция. Множества

Дs = Дs (Z) и Дt = Дt (Z) при 5 ф t не пересекаются. При неизвестном числе целей для множества всех гипотез отождествления имеем Д = us>0 Ды . Если задачу отождествления рассматривать как канал обработки информации, то его пропускную способность (информационную емкость) можно оценить

как In | A(Z) | [1]. При невозможности за отведенное

время безошибочно передать максимальное количество информации (определить оптимальную гипотезу H ф eA(Z)) следует ввести «укрупненное» пространство гипотез, разбив исходное пространство гипотез Д = A(Z) на множество непересекающихся классов Д = и'< H ф>. Реализованный алгоритм отождествления должен принимать решения относительно семейства введенных классов {< H ф >}. Для

последующего использования полученного решения такие классы должны иметь понятную радиолокационную интерпретацию.

Априорная неопределенность существенно зависит от воздушной обстановки (ВО): в зависимости от числа обнаруженных отметок количество гипотез исходного пространства может принимать значения от единиц до сотен миллионов. Поэтому должна быть построена серия укрупненных представлений исходного пространства гипотез A(Z)

различной степени укрупнения. Такие подпространства должны быть иерархически связаны в виде априорного дерева. Алгоритм отождествления должен осуществлять поиск по такому дереву и, в зависимости от ВО, принимать решение с допустимой степенью укрупнения. 24

Задача заключается в получении на множестве всех гипотез отождествления Д = A(Z) укрупненных представлений и построении априорной стратегии поиска и решающего дерева, которые обусловлены имеющейся качественной информацией о вероятностях обнаружения в задаче отождествления первичных измерений МПСРЛ.

2. Анализ структуры пространства гипотез

Для фиксированной гипотезы H ф =< (S),Z, ф> обозначим gj = ф(Д n Zo — множество отметок, которые соответствуют j -му одиночному объекту, j є (S) . Множество отметок gj с Zo определяет гипотезу об обнаружении-разрешении j -го гипотетического объекта (однообъектную гипотезу). Если j ф k, то gj ngk =0 . Набор Ho = {gj} , (j = 1...S) однообъектных гипотез полностью задает подгипотезу о разрешении S гипотетических объектов. Для множества одиночных отметок имеем разложение Zo =u'gj, (gj є Ho).

Число отметок, входящих в гипотезу gj , определяет число обнаружителей, которыми j - я гипотетическая цель разрешается и была обнаружена. Если гипотеза gj содержит m отметок, то будем писать gj = g(m). Пусть bm — число однообъектных гипотез типа g(m), которые соответствуют гипотезе H ф.

Тогда число bm (количество гипотетических целей, обнаруженных и разрешаемых в точности m обнаружителями) гипотезой H ф определяется однозначно. Для гипотезы h обозначим Hom) = {g(jm)} (j = 1...bm) набор всех однообъектных гипотез, гипотетически обнаруженных и разрешаемых точно m обнаружителями. Такой набор однозначно определяется гипотезой H ф . Таким образом, для гипотезы Ho = {gj } справедливо другое представление в виде однородных компонент

Ho = {Hom)}, (m = 1,...,M). При этом такое представление единственно.

Обозначим © = ©(M) множество всех гипотез типа H o = {H om)} . По построению каждая такая гипотеза Ho = {Hom)} (m = 1,...,M) однозначно определяет гипотезу о составе количества целей — вектор b = b(Ho) = (bM,...,bm,..,b1) .

Таким образом, каждая гипотеза типа Hф однозначно определяет:

а) гипотезу о разрешении-обнаружении S гипотетических объектов Ho є© , состоящую из M однородных компонент Hom) = {g(m)} (j = 1.b(m));

б) гипотезу b(Ho) = (bM,...,bm ,.., b1) о целочисленном распределении S гипотетических обнаруженных объектов по числу ОИ (при этом

S = EM=1bm ).

24

РИ, 2004, № 1

Проведенный анализ позволяет ввести три согласованные отображения:

M

Smin — 2 bm — Smax . (1)

m=1

1) 0 : A ^ © — исходного пространства гипотез

A = A(Z) на пространство © = ©(M) ,

0 (H ф) = {H 0m)};

2) є : д ^ n(M) — исходного пространства гипотез A(Z) в пространство М-мерных целочисленных векторов N(M), b = є(Нф);

3) ю : © ^ N(M) — пространства гипотез © = ©(M) о разрешении-обнаружении в пространство m -мерных целочисленных векторов n(M) , b = ro(Ho).

Эти отображения согласованы в том смысле, что отображение є : A ^ N(M) является композицией двух остальных отображений: є (Hф) = ю (0 (Hф)).

3. Факторизация пространства гипотез

Все построенные отображения вырождены. Обозначим B = є(Д) с N(M) образ пространства д относительно отображения в . Для фиксированного вектора b = (bM,..,bi) є B обозначим

< b >s = {Hф : e(Hф) = b} прообраз гипотезы типа b относительно отображения є : A ^ N(M). Тогда

< b >Е задает класс гипотез типа H ф . Отображение в определяет семейство таких классов {< b >Е }, а соответствующее отношение эквивалентности задает разбиение Д = и' <b >Е пространства д на попарно непересекающиеся классы. Факторизованное по этому отображению (или отношению

эквивалентности) пространство А / є определяет укрупненное представление пространства гипотез. Число классов факторизованного пространства

| Д / є | равно количеству М-мерных целочисленных

векторов | є(Д) |. Информационная емкость задачи отождествления по факторизованному пространству будет равна ln | є(А) |.

Если b є B , то целочисленный вектор будем называть М-характеристикой соответствующих гипотез отождествления Hф є<b >Е . Отметим, что не каждый M-мерный целочисленный вектор b = (Ьм,..., bi) є N(M) задает класс гипотез в факторпространстве А / s .

В дальнейшем будем полагать, что цель разрешается и обнаруживается МПСРЛ, если она разрешается и обнаруживается хотя бы одним ОИ. Тогда, если

b є B , то ^ bm — гипотетическое число целей для

m>1

соответствующих гипотез Hф и Ho . Поэтому, если [S min, S max ] — интервальная оценка числа целей, то для каждой М-характеристики b = (bm) є B должно выполняться условие

Если Ho єю 1(Ь), то Ho = {Hom)}M=1 = {{g(m)}blr)}JM=1.

- M bm (m)

При этом справедливо разложение Zo = U U gj ’ .

m=1j=1

Так как Zo c Z, то для каждой М-характеристики b = (bm) є B должно выполняться условие

M _

О <£ mbm ^ |Z| . (2)

m=1

Здесь | Z |= ^МД Z(k) | — количество всех отметок,

| Z(k) | = sk — число отметок, полученных от k-го ОИ.

4. Лексикографический порядок

На множестве целочисленных векторов B = є (Д) введем лексикографический порядок. Положим, что каждый разрешаемый объект любым ОИ обнаруживается с вероятностью не хуже, чем d . Тогда

вероятность pm = P(g(m)) обнаружить один объект для любой гипотезы типа g(m) будет равна pm = Dm (1 - D)M_m .

Так как D > 0,5 > (1 - D), то справедливы неравенства

pm > pM-1 > .. > pm > pm-1 > ... > p1 (3)

и априори более правдоподобно, что каждая цель будет обнаружена на большем числе ОИ. Неравенства (3) означают, что компоненты м - характеристик можно упорядочить (ранжировать). Из двух компонент bi и bj М-характеристики b = (bM, . ,bm ,..,b1) более значима компонента, задающая обнаружение на большем числе ОИ. Это и объясняет порядок перечисления компонент в

векторе b = (bM,...,bm ,..,b1) .

Таким образом, на множестве B = є (Д) можно ввести лексикографический порядок х b , который качественно характеризует правдоподобие M-характеристик [3]. Пусть Ь',Ь"є B и

k = max{ k : bk ^ bk } . Тогда, если b~ > b~, то M-характеристика b' лексикографически предшествует M-характеристике b". Символически это будем обозначать b' х в b", имея в виду, что b' более правдоподобна, чем b" .

В силу построенных отображений є: Д^ N(M) и ю: ©^ N(M) этот лексикографический порядок переносится на пространства Д = Д (Z) и© = © (M), а именно: Hф х H'('p ^ є (H'ф ) хв є (H'('p ), а также Ho ^ Ho «• га(и'ф) хв «(h;).

РИ, 2004, № 1

25

5. Алфавитный код и последовательная стратегия поиска

Обозначим C множество конечных последовательностей букв (слов) из алфавита {0,1} различной длины. Если cєC, то с = (ci,C2,...,cL(£)), L = L(c) —длина слова c є C. Будем считать 0 первой буквой алфавита {0,1} . Множество C лексикографически упорядочено.

По определению для двух слов c ' = (c'i)i=i L' и c" = (c")i=ix' первое лексикографически предшествует второму: c ^C c ^ c~ = 0 , а c~ = 1, где k = min{ 1 < k < L:ck Ф ck } и L = min{L',L'}.

Построим алфавитный двоичный код c: B ^ C, который переводит лексикографический порядок

х в в лексикографический порядок х c . Соответствующая последовательная стратегия поиска d = (d1,d2,...,dL), согласованная с построенным алфавитным кодом, будет определять априори наиболее предпочтительный поиск м -характеристики на множестве B = є (Д).

Каждый двоичный тест dk+1 такой стратегии строится по результатам предшествующих тестов (d1,d2,...,dk). Для упрощения изложения [4] будем полагать, что имеются отметки от всех ОИ: si =|Z(i) |> 0, i = 1,...,M .

1) На начальном этапе (k = 0) вычисляется максимально допустимое число целей, обнаруженных и разрешаемых в точности всеми М ОИ

rM = min{sk | k = 1,...,M} , (rM ф 0 ). Множество М-характеристик с фиксированным значением старшей характеристики bM = rM обозначим B (rM) = {b = (bm) є B : bM = rM } .

Первый двоичный тест dj определяется индикаторной функцией tB (rM) множества B!(rM) : tB(rM) (b) = 1 , если b Є B (rM) , иначе tB(rM) (b) = 0 . Полагаем d1 (B) = tB (rM). Результатом применения теста d1(B) = t b (rM) является выбор множества BOM) или его дополнения в (rM) ,

B = B (rM)uB (rM). Есёи b'e B (rM) и b" є B (rM), то b' х в b" . Так как 0 является первой буквой алфавита {0,1} , то, если результатом первого теста является B(rM), полагаем c1 = 0, а если выбрано B (rM), то полагаем c1 = 1, тем самым согласовывая порядок ^B на множестве М-характеристик с лексико-графическим порядком на множестве кодовых последовательностей C.

2) Состояние поиска. После проведения k тестов d = (d1,d2,...,dk):

Еі) найдена неполная М-характеристика ?m = (rM,rM-1,...,rm), m = m(k) , M > m>1. Вектор rm удовлетворяет условиям (1) и (2);

б) выбрано одно из двух подмножеств B(rm) или B(rm), где B(rm) = {b є B :bm = rm} - множество M -характеристик с фиксированными значениями старших характеристик rm = 0M,rM-1,...,rm), B (rm) - его дополнение в B (rm+1), тогда B(rm+1) = B (rm) u B(rm) . Выбранное множество будем обозначать Bk;

в) определено слово c(Bk) = (c1, c2,..., ck) длиной k из букв алфавита {0,1} , однозначно соответствующее выбранному подмножеству Bk с B .

3) На (k +1) -м шаге по полученному результату в k строится следующий тест: dk+1 = dk+1(Bk). Для следующего теста dk+1 полагаем dk+1 = tD, где tD — индикаторная функция множества d . Для определения множества D с Bk возможны две ситуации:

а) Если на k -м шаге было Bk = B (rm) и rm -1 ф 0, тО D = B(rm - 1) = {b Є B(rm):bm = rm -1} .

б) Если на k-м шаге было Bk = B(rm) и rm -1 = 0 или Bk = B (rm), то длина целочисленного вектора ?m = (rM,rM-1, . ,rm) увеличивается.

Для следующей (m -1) -й компоненты целочисленного вектора М-характеристики находится

Am_1 = Am_1(,m) — ее максимально допустимое значение , совместимое с найденной М-характеристи-кой rm = (rM, rM_1,., rm) [4]. Находится М-харак-теристика rm_1 = (rM,.,rm, Am_1) и множество

D = B(?m-1) = {b Є B(?m) : bm-1 = Am_1} . В обоих сёу-

чаях результатом применения теста dk+1 = tD является выбор множества d или его дополнения. Новое кодовое слово ck+1 = (ck ,ck+1) определяется как продолжение слова ck . Если результатом применения теста является d , то полагается ck+1 = 0 , иначе, если выбрано его дополнение, то полагается ck+1 = 1.

4) Правило остановки. Если Bk = B (rm) и полученная М-характеристика rm = 0M,rM-1,...,rm) удовУ г = S

летворяет условию M m max или m = 1, то соответствующее подмножество B(rm) имеет единственный элемент Bk = {rm}, и поиск закончен. Соответствующее кодовое слово c(Bk) = ck = (c1, c2,..., ck) длиной k из букв алфавита {0,1} не продолжаемо.

Для М-характеристик b'e B (rm) и b"e B(rm) имеем b' х в b". По построению алфавитного двоичного кода c: B ->■ C для таких кодовых слов с' = c(b') и с" = c(b") будет c' х C c" . Таким образом, построенный алфавитный двоичный код c: B ^ C сохраняет порядок.

26

РИ, 2004, № 1

6. Априорное дерево поиска

В результате реализации стратегии поиска для

каждой м -характеристики b є B строится последовательность вложенных подмножеств М-харак-теристик в 3 Bj... з Bk.... з BL = b •

По построению такая последовательность однозначно связана с кодовой последовательностью c(b) = c = (cj, c2,... ,cL(C)) • Каждая такая кодовая последовательность c (b) определяет путь в априорном дереве поиска. Полные м - характеристики соответствуют висячим вершинам (листьям) этого дерева •

Вследствие того, что алфавитный код обладает префиксным свойством, построенная стратегия успешна, т.е. каждая последовательность имеет единственную интерпретацию [3]. В силу имеющихся отображений є : Д ^ N(M) и ю : ©^ N(M) построенная стратегия определяет также успешную стратегию в укрупненных (факторизованных) пространствах гипотез д / є и © / ю .

В пределах одного ранга (яруса) висячие вершины дерева упорядочены слева направо не только лексикографически, но и по априорным вероятностям. Кроме того, наибольшая вероятность висячей вершины (r +1 )-го ранга не превосходит наименьшей вероятности висячей вершины r -го ранга.

В качестве примера на рисунке представлено априорное дерево поискадля м = 3 при sj = S2 = 2 и S3 = 1.

Для рассматриваемого примера Smin = 1, а Smax = 2. Висячие вершины соответствуют единственной M — характеристике b = (Ьм,..., fy). Внутренние вершины (узлы) соответствуют подмножествам B(rm) или B (rm) М-характеристик с фиксированными значениями старших характеристик rm = 0M,rM-b...,rm). Слово (0,0,0) исключено, так как для него не выполняется условие (1). Минимальный элемент множества М-характеристик относительно лексикографического порядка У B определяет наиболее правдоподобную структурированную оценку числа целей [4] (на рисунке выделен самый левый путь, который соответствует первому кодовому слову (0,0)).

В заключение отметим, что построенная стратегия поиска соответствует задаче кодирования дискретной информации при отсутствии ошибок [1, 3]. Оптимальность такого кода характеризуется средней длиной для заданного распределения вероятностей. Однако с точки зрения реализуемости алго-

ритмов отождествления более ценной является такая характеристика, как время обработки. Время обработки существенно зависит от используемого множества допустимых тестов, применяемых для принятия решений на каждом шаге. Такие тесты (статистики) должны использовать информацию, которая имеется в списках векторов первичных измерений <XbX2,...Xm > (см. например [5]). Ясно, что в силу статистической постановки задачи отождествления используемым тестам присущи ошибки. Разработка таких тестов, а также построение реализуемой стратегии поиска по априорному дереву требует отдельного рассмотрения и выходит за рамки данной работы.

7. Выводы

1. Построенное укрупненное пространство гипотез имеет понятную радиолокационную интерпретацию для МПСРЛ произвольного типа и может быть использовано для принятия частичного (и используемого для последующей обработки) решения при ограничении на время его принятия.

2. Введенное упорядочение на факторизованном пространстве гипотез (лексикографический порядок), которое учитывает априорную информацию задачи отождествления только качественного характера D > 0,5 > (1 - D), позволило построить априорное иерархическое представление укрупненного пространства гипотез для МПСРЛ произвольного типа.

3. Построенная априорная стратегия поиска в укрупненном пространстве является подстратегией реализуемой стратегии поиска в исходном пространстве. Расширенная стратегия поиска должна использовать тесты с информацией векторов первичных измерений.

4. Построенное априорное дерево определяет «остов» для реализуемых алгоритмов отождествления. Такое дерево позволяет уменьшить время поиска оптимальной гипотезы благодаря предварительно полученной схеме поиска.

Литература: 1. Стратонович Р.Л. Теория информации М.: Сов. радио, 1975. 424 с. 2. Сиротин Ю.А. Математическая модель задачи отождествления в многопозиционных системах радиолокации // Системи обробки інформації. Харків: НАНУ, ПАНМ, ХВУ. 2002. Вип. 1(17). С. 198—203. 3. Альсведе Р., Вегенер И. Задачи поиска. М.: МИР, 1982. 367 с. 4. Сиротин Ю.А. Структурированная оценка числа целей в многопозиционных системах радиолокации / / Системи обробки інформації. Харків: НАНУ, ПАНМ, ХВУ. 2002. Вип. 6(22). С. 117—123. 5. Сиротин Ю.А Метод ветвей и границ в задаче отождествления для трехбазовой системы пассивной локации // Збірник наукових праць. Харків: ХВУ. 2002. Вип. 3(42). С.105-108.

Поступила в редколлегию 24.06.2003 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Седышев Ю.Н.

Сиротин Юрий Александрович, канд. техн. наук, доцент кафедры «Высшая математика» ХВУ. Научные интересы: статистическая обработка неоднородной радиолокационной информации, разработка математических моделей и алгоритмов, имитационное математическое моделирование. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Тобольская, 50, кв. 119, тел. 33-36-82. E-mail: Yuri Sirotin@ukr.net

РИ, 2004, № 1

27