CC BY
118
АППРОКСИМАЦИЯ УЗКОПОЛОСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНОЙ РЕКУРЕНТНОЙ M-МОДЕЛИ СКОЛЬЗЯЩЕГО ОКНА
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Волчков Валерий Павлович,
д.т.н., Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Россия, Москва, volchkovvalery@mail.ru
Уваров Сергей Сергеевич,
аспирант, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Россия, Москва, uva2010@mail.ru
Ключевые слова: узкополосный случайный сигнал, аппроксимация случайных процессов, дискретный случайный процесс, авторегрессионная модель, рекуррентная циркулянтная модель, стохастическое разностное уравнение, комплексная огибающая.
Рассмотрен метод аппроксимации узкополосных случайных сигналов на конечном скользящем интервале времени, основанный на переходе к дискретной комплексной огибающей и последующем применении рекуррентных циркулянтных моделей 2-го порядка. Получены алгоритм параметрической идентификации таких моделей, аналитические выражения для корреляционной функции аппроксимирующего процесса и алгоритм эффективной реализации аппроксимирующей процедуры для случая, когда корреляционная функция узкополосного процесса известна. Приводятся результаты моделирования, подтверждающие хорошие аппроксимирующие свойства предложенных моделей.
Используется метод, основанный на аппроксимации случайных сигналов векторными марковскими m-моделями. Случайные процессы, формируемые такими моделями, обладают рядом замечательных свойств. Они m-стационарны в пределах заданного временного окна, идеально сжимаются и декоррелируются с помощью быстрого унитарного преобразования и при соответствующем выборе параметров m-моде-ли хорошо аппроксимируют стационарные случайные сигналы. При этом, синтезируемые на основе таких моделей оптимальные алгоритмы обработки узкополосных сигналов имеют быструю вычислительную реализацию. В данной работе порядок динамической аппроксимации увеличен до двух, что позволило улучшить ее аппроксимирующие свойства. Используется комплексная циркулянтная модификация векторной марковской m-модели, ориентированная на аппроксимацию узкополосных сигналов и базис дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ). Данная модель позволяет аппроксимировать комплексную огибающую узкополосного сигнала, и тем самым уменьшить общее число отсчётов, участвующих в его адекватном представлении, последующей обработке и хранении.
Для цитирования:
Волчков В.П., Уваров С.С. Аппроксимация узкополосных случайных процессов с помощью комплексной рекурентной т-модели скользящего окна второго порядка // Т-Сотт: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. Том. 9. - №3. -С. 54-61.
For citation:
Volchkov V.P., Uvarov S.S. Approximation of narrowband random signal using vectotial recurent circulant m-model of sliding window of the second order. T-Comm. 2015. Vol. 9. No.3. Pp. 54-61. (in Russian).
Введение
В радиолокации и связи большинство принимаемых сигналов являются полосовыми или узкополосными, Такие сигналы обычно являются случайными, имеют сложную структуру, а их спектральная плотность мощности может быть многомодальной и несимметричной относительно /с. Обычно, прием и первичная обработка узкополосного сигнала сводится к переходу к комплексной огибающей (низкочастотному эквиваленту) [1,2], и последующей дискретизации. В результате, возникает комплексный случайный сигнал, корреляционная функция которого тоже в общем случае будет комплексной. Для его дальнейшей эффективной цифровой обработки нам приходится переходить к конечному интервалу наблюдения {окну регистрации), данные в котором можно периодически обновлять по мере их поступления. Таким образом, возникает необходимость организации пакетной обработки комплексного сигнала в некотором скользящем временном окне, а значит и потребность в построении соответствующих динамических моделей, которые позволяют наиболее адекватно описывать комплексный сигнал. Последнее означает, что такие модели должны наилучшим образом (в смысле некоторого критерия качества) аппроксимировать дискретный сигнал комплексной огибающей в пределах любого скользящего окна обработки. С другой стороны, если обработка сигнала ведется в реальном времени, то модель не должна быть сложной, иначе синтезируемые на ее основе оптимальные алгоритмы обработки будут трудно реализуемы и требовать больших вычислительных затрат.
В настоящей работе для преодоления этих противоречивых требований используется метод, основанный на аппроксимации случайных сигналов векторными марковскими т-моделями [3-8]. Случайные процессы, формируемые такими моделями, обладают рядом замечательных свойств. Они т-стационариы в пределах заданного временного окна, идеально сжимаются и декоррелируются с помощью быстрого унитарного преобразования и при соответствующем выборе параметров т-модели хорошо аппроксимируют стационарные случайные сигналы. При этом, синтезируемые на основе таких моделей оптимальные алгоритмы обработки узкополосных сигналов имеют быструю вычислительную реализацию.
В данной работе порядок динамической аппроксимации увеличен до двух, что позволило улучшить ее аппроксимирующие свойства, по сравнению с аналогичной моделью, описанной в [3,4]. Кроме того, используется комплексная циркулянтная модификация векторной марковской т-модели, ориентированная на аппроксимацию узкополосных сигналов и базис дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ). В отличие от вещественной циркулянтной марковской т-модели 2-порядка, описанной в [6,7], данная модель позволяет аппроксимировать комплексную огибающую узкополосного сигнала, и тем самым уменьшить общее число отсчётов, участвующих в его адекватном представлении, последующей обработке и хранении. (Поскольку частота дискретизации в этом случае берется равной не удвоенной максимальной частоте в спектре сигнала, а ширине полосы спектра).
t. Постановка и решение задачи аппроксимации.
Сигнал будем называть узкополосным если его спектральная плотность мощности локализована в диапазоне частот (ÂJ„)=(fo-^^J + F/2), f0»F, где /0, F - центральная частота и эффективная ширина спектра сигнала, соответственно. В дальнейшем будем рассматривать стационарные (в широком смысле) случайные узкополосные сигналы. Известно [1,2], что они всегда могут быть представлены в виде
х(0 = A(t)cos(2*/,1+С) где огибающая А((), и фаза y(t) являются медленно изменяющимися случайными процессами.
Предполагается, что сигнал (I) имеет нулевое математическое ожидание и известную корреляционную функцию R(г) = M[x(f)*(f + г)] = Ra(r)cos(2;r/ar + <р(т)), rel, (2)
где М[] - оператор математического ожидания, RÂ(г) -четная функция, <р(т) - нечетная. Для эквивалентного дискретного представления сигнала (I) используются отсчеты {х} комплексной огибающей
xlàx(Si)=xl(St)+jxQ(St), г'ё £+={0,1,2,...} (3)
где хд(г) - синфазная и квадратурная составляю-
щие узкополосного сигнала х(!) ; S = 1 / F - интервал дискретизации, F - эффективная ширина спектра. Дискретный комплексный сигнал {х1} получается из узкополосного сигнала х(1) с помощью двухканальной схемы квадратурной дискретизации рис. I.
•Л
I, = SI
х, = цео
/ = 0.1.2,3...
ФНЧ - «Л<)-1
ХпО) Ч-
Рис. I. Схема квадратурной дискретизации
При этом корреляционная функция отсчетов комплексной огибающей в общем случае является комплексной и имеет следующий вид [I]
ад 4 к(81), V/ ё ъ = {о,±1,±2,...}, R{т)=2R!(т)-2jRIQ(т), (4)
Здесь д,(г) = М[*,<0х,(/+г)] = М[*е(0*^ + г)] = Лу(г). Д/е{г) = М[х,$хб<У4г)] - корреляционные функции синфазной и квадратурной составляющих сигнала (I), причем К/(т) ~ четная, R¡í)(т) - нечетная функции. Они однозначно определяются вещественной корреляционной функцией (2) при ее разложении на квадратуры по формулам
Т Е I
(5)
Я<г) = ДДОсоз^г) +/f,e(r)sin(2/z7>)
R,(t)~Ra(t)cos(.<p), Vr)-«,(r)sin(?)
Если спектральная плотность мощности (СПМ) G(/> = £ R(r)cxp(-j2xft)dt узкополосного сигнала (I)
симметрична относительно центральной частоты /, то д/е(г) = 0, V?, = 2ЯДг) - вещественная, а сигнал
называется квазигармоническим. Относительно выбора центральной частоты возможны различные соглашения. Если существует % = при которой Л„(г)=0. то целесообразно выбрать именно ее в качестве центральной, поскольку это упрощает синтез оптимальных алгоритмов обработки и минимизирует ширину полосы СПМ Если такой частоты не существует (СПМ несимметрична) или она выбрана из других соображений, то Щт) - комплексная функция. При
этом, в качестве центральной частоты / целесообразно
выбрать частоту "центра тяжести" СПМ, так как в этом случае мы в наибольшей мере обеспечиваем низкочастотный характер комплексной огибающей узкополосного сигнала. Чтобы найти такую частоту, нужно решить следующую экстремальную задачу
£(/-/0)2С(/У/->пип (6)
Нетрудно убедиться, что решение задачи (6) имеет сле-
дующий вид
A-fêtsm/CGm
(7)
(8)
(9)
где
ехр
(У-/,)
а;
2 Л
■ ехр
-*'(/+Л)2
а,
(10)
(12)
В частном случае, для вещественного узкополосного процесса (I) и состоящего из = {1,2,3,...} случайных квазигармонических сигналов с известной корреляционной функцией
Д(г) = М[х(0)х(т)] = 2•
%(*■) = % ехр(-^гг )соз (2жЛг)
формула (7) принимает следующий вид
/о = 11., Г 1Скт/[ск(№
(/)=£ щ (г) х
Если учесть условие узкополосности /„ , то вычисление интегралов, входящих в числитель и знаменатель (9), дает
Д
В результате, после подстановки (10) в (9) окончательно имеем
Ширину спектра Р узкополосного сигнала можно определять разными способами [1.2], но если предполагается его дискретизация и последующая цифровая обработка, то для надежного исключения «элайзинга» (появления ложных час-таг) лучше всего использовать определение Р = /гаи - /т!п,
при котором частотные границы fmm, /тш СПМ C(f) выбираются из условия непревышения заданного уровня внепо-лосного излучения ДС=£ G(/)=f......G(/)<0.01 ■ £ G(f)-
Данный критерий выбора F будет использован ниже в разделе 4.
В дальнейшем рассмотрим общий случай узкополосного сигнала, когда Ящ(г) Ф0, а для аппроксимации его дискретной комплексной огибающей (3) используем векторную циркулянтную m-модель 2-го порядка. Применительно к такой задаче векторная m-модель сигнала является комплексной и формирует на выходе комплексную непрерыв-нозначную последовательность {z,} с помощью стохастического разностного уравнения второго порядка
= /е Г={0,1 Д...} (а)
+Ф2г*-2 +yfk> ¿ = 2,3,4,... (б)
M[wj = 0, M[zu] = 0, M[zyzf]=r0, M[ziz'i+(] = Г,, (в)
MK<j=Q4(, M[w,z0wJ=0, MKzf|=0 (г)
где ък = (zt,zkm...,zi+a_,)г — п-мерный вектор, заданный в скользящем временном окне, At = {4,jfc + 1,...,Jfc + w-l,}çZ*. zl)=(z0,...,zn_2,zn_,f, z, =(z|7z,,..,zj7; 4 - символ Кроне-кера; w( - n-мерный вектор формирующего шума; M[■] -оператор математического ожидания, н , т - символы эр-митового сопряжения и транспонирования, соответственно. Параметры модели Ф,, Ф2, Q, Г. - комплексные циркуля нтные матрицы размерности пхп, причем, Q, Г0 - невырожденные. Запись в (12а) означает, что /-ое значение скалярного процесса {г;} является первой компонентой вектора z , т.е. процедура распаковки векторного процесса (12) в скалярный сигнал {z,} сводится к последовательному выстраиванию первых компонент векторов {г.}
в один столбец или строку. В дальнейшем предполагается, что дискретный процесс {z,} получен из непрерывного z(r)
путем равномерной дискретизации по времени с интервалом S секунд, а векторный процесс {z.} является стационарным (в широком смысле) с первого шага i = 0 . В [3] показано, что для этого парамегры ф , ф;, q модели (12) и корреляционные матрицы Г0, Г,, Г, должны удовлетворять условиюГ0 = Ф,Г(+Ф2Га+Q. Модель (12) будем называть комплексной циркулянтной п-моделью 2-го порядка, Фактически, она является дальнейшим развитием аналогичной модели 1-го порядка, приведенной в [3,4] и обобщением модели из работ [6,7] на комплексный случай.
Напомним [9], что элементы любой циркулянтной {их «) -матрицы A =(A(i,j)), i,j е ¡0,1,...,«-1} удовлетворяют условию A(i,f) = A(jiOj), (где «о» - вычитание по модулю п). Семейство Н0 = {A(n)=(/4(/.Öj))} всех таких матриц образует линейное коммутативное подпространство
У
евклидово го пространства £ = {А} квадратных (их и) -матриц со скалярным произведением и нормой <А,В> = 1г<АВг), [|А||=<А,А>1/2. УАЛеС . Представим дискретный комплексный сигнал (3) {х.,1 е 2+} в виде последовательности векторов,
Ъ" составленных из отсчетов .V, в
формате скользящего временного окна
д4 ={*,* + !,....* + и-1,}.е2* Тогда задача его наилучшей аппроксимации сводится к нахождению оптимальных параметров <Ь|,Ф2>0 модели (12) но критерию минимума среднего квадрата ошибки (СКО)
(Ф,,Ф2,<г) = агс шш МЦ|*к-2к II2].
(13)
Определим корреляционные матрицы векторных стационарных случайных процессов хк и гк
гй=м[х^1 г2 = М[гЛ*2] <14>
¿ = 0,1,2,...
Нетрудно убедиться, что Г0,Г.,Г, еЛ . Если взять ко-вариации М\7.кг'^,\, / =0,1,2 от обеих частей равенства (126) и учесть Т[' =Щгкгнк_х1Т'1 = и (14), то по-
лучим
г0=ф,гвф*+ф2гоф? + ф,г,"ф? + ф:гХ + <Э> (15) г,.-г,. " " С6)
Г, =Г,Ф? + Г„Ф^ . (17)
Уравнения (15)-(17) можно записать в следующем виде
г.=(ф, ф2)
(г 1 0 г" ^
1г г», М
+ 0.
1 1
Г V 1 I
Гфн\
Ф?
2
. тогда
(ф, фл = (г," i?)
г,
Гг. •рН^ 11 1
[г, 0
(18) (19)
Определим эрмитовые квадратные корни корреляционных матриц
С=[г{/2. В = г|/2. (20)
Тогда справедливы представления х, = С е,, гк = В ея, где ек - случайный вектор, М[е<] = 0, М[е* а
выражение для ошибки аппроксимации М[||хк-гк||2] в скользящем временном окне д^ и критерий (13) преобразуются к виду
М[|К-2к ||~] = М[||(С~В)е^ ||2] = = М[ 1г(С - В)еХ'(С - В)] =||С - В ||2,
|С-В(Ф„Ф2,<?)|
'-> шш
где запись В(Ф),Ф2,С?) в неявном виде указывает на зависимость от матричных параметров модели (12). Следова-
тельно, оптимальное решение В=В(Ф[,Ф2,ф данной экстремальной задачи является проекцией матрицы С е £ на евклидовое подпространство циркулянтных матриц Н0-Это решение единственное и определяется выражением [5]:
(20
где (*)'"' - оператор ортогонального проектирования на подпространство Н0\ Е„ - циркулянтная матрица перестановок размерности пхп, множество степеней которых
Е'п, / — 0,___,— 1 образует ортогональный базис в Н„.
Пусть Г/=Г/(Ф1,Ф2,<2) / = 0,1,2 - корреляционные матрицы векторного процесса (126), удовлетворяющего критерию (12), и покажем, что все они могут быть вычислены из исходных корреляционных матриц Ко,11],К2 е£ с
помощью преобразования (21). Используя представление г, = В е,, имеем Г, =МГ*,<,] = ВМ[е, е*]Ви = ВС,В*. Отсюда при / = 0 с учетом (20),(21)
= (22) Если / = ¡,2, воспользуемся известными [4] свойствами оператора :
(А1А)^=(АА|)("^А1{А)^((А1)" = А!, К0,К|,В2 еЦ, VАе£ и выполним тождественные преобразования Г, =ВСУВ" =(С)("1СДС")1,"=(СС!С")1п) = = {СМ[е, еГ+/]С"),я,=(М[х, х^Г = (К,)(я), т.е.
=■ Г2=К<">. (23)
Таким образом, алгоритм наилучшей, по критерию (9), аппроксимацией комплексного сигнала (3) рекуррентной циркулянтной моделью 2-го порядка (12) состоит в следующем. Сначала по заданной корреляционной функции (2) строятся корреляционные матрицы К^Н],!^, затем по
формулам (21), (22), (23) вычисляются Г0,Г],Г2, с помощью которых по (18) и (19) определяются матричные параметры Ф],«1>2,<2 модели (12). Заметим, что комплексная рекуррентная циркулянтная п-модель 1-го порядка и ее алгоритм идентификации могут быть получены из формул (12), (18)-(23), если в них положить ф 2 = 0 ■ Соответствующие выражения имеют вид
ф, -г?С <2 = Г0-Ф,Г;
г,=[кП<яХ'2Г, г^иг»
(24)
Наконец, нерекуррентная комплексная циркулянтная модель, описывающая комплексный л-стационарный случайный процесс, может рассматриваться как рекуррентная п-модель 0-го порядка, получаемая из (12), если в ней положить гй = , Ф| = Ф2 = О = 0 , при этом
У.}, ПЧК^ГХ'Ч"', Ко=(Л(/-Л). (25)
где - корреляционная функция (4) комплексной огибающей (3).
Т-Сотт Уо!.9. #3-201 5
У
(26)
2. Корреляционная функция аппроксимирующего процесса. Пусть аппроксимирующий процесс } описывается комплексной векторной моделью (12), а его параметры выбраны по описанному выше алгоритму параметрической идентификации. Тогда его корреляционную функцию можно представить в виде
Л,И = М[гцг,.] ='М[г'п г\и] = (1,1), ¿6 Г
где Г, =(Г((//,к)), е {1,...,тг.} - корреляционная матрица векторного процесса (126), отвечающая временному сдвигу I е Z+ и вычисляемая по известной ковариационной матрице К с использованием (21). Данные формулы
полностью определяют алгоритм вычисления корреляционной функции аппроксимирующего процесса {г(}
3. Вычислительная эффективность. Покажем, что специальная структура матриц, входящих в описание модели (12), позволяет значительно упростить вычислительные алгоритмы оптимальной обработки аппроксимирующих процессов {г, }. Обозначим через
1№ = ((1/Л)щрСт2яЩ /п)), 0.....п-1} (27)
унитарную матрицу дискретного преобразования Фурье и умножим векторное уравнение (126) на матрицу ЧУ" слева
=Ф ¿ = 2,3,4,...
МК] = 0, М[гЧ1] = 0, М[г] = Г.,,, М[1,Д] = Г,, (28)
где г., — W"zJl, = W"wI и согласно известному свойству циркулянтных матриц [2,6] О, = \У//<2\\', Ф,. = Ф21. = \у"ф2\У, Г,, = \У"Г,\У - являются
диагональными. (Наличие звездочки «*» в нижнем индексе означает, что соответствующий вектор или матрица относятся к спектральной области ДПФ). Таким образом, переход в спектральную область приводит модель (12) к диагональной канонической структуре (28). Это значительно уменьшает вычислительные затраты, связанные с ее дальнейшим применением в различных приложениях (спектральный анализ, фильтрация, экстраполяция и т.д.).
4. Анализ аппроксимирующих свойств. Для упрощения дальнейшего изложения обозначим через М.,(п) комплексную г)-модель 2-го порядка (12) с оптимально выбранными параметрами Ф, ,Ф, ; через М,(й) — аналогичную
п-модель 1-го порядка; через, МЛп) - нерекуррентную
циркулянтную П-модель; через Л4(п) — общую комплексную модель (3) узкополосного сигнала с произвольной корреляционной функцией (4). Для оценки качества аппроксимации сигнала г е./ у циркулянтными моделями будем использовать следующие характеристики и критерии:
КI.Текущие средиеквадратические ошибки (СКО) аппроксимации г (г) на отрезке ,] = {0,...,п - 1} и усредненные по времени относительные СКО е :
%м=Р^.-^п=.
^ = ■ 100% ЛеЛ, (29)
0„ = М[(Х-«„)(Х -«„)"] = (И"1
где нижний а <в {0,1.2} соответствует динамическому порядку аппроксимирующей циркулянтной модели, - Й(0) - дисперсия значений стационарного случайного сигнала
К2, Спектральные плотности мощности (СПМ) аппроксимирующих процессов процессов и их комплексных огибающих в базисе дискретно-континуальных экспо]Ю1 ¡ци-альных функций (ДКЭФ). Эти плотности определяются следующим образом.
Пусть задан произвольный дискретный стационарный случайный процесс {ж = аф.) = з(г<5),г = 0,1,2,..-} (в общем
случае комплексный) с корреляционной функцией Д[|]= Л/[лг„л:.] > который получается в результате равномерной дискретизации по времени с интервалом ё секунд соответствующего непрерывного сигнапа х{1). Для того, чтобы по конечному числу отсчетов х0,...,х получить спектральные оценки в абсолютных единицах измерения мощности, будем применять следующую пару дискретно-временных преобразований Фурье
х( Л = * ехр(-у27гА>0. / е [-/„, /„)
*(0= Г" Х(/)ехр(./2,т/^)#, ieJn,
(30)
где /„ = / 2 = 1 / 26 - частота Найквиста, $ = 1 / б -
частота дискретизации. Отметим, что данные преобразования соответствуют дискретному по времени и непрерывному по частоте базису ДКЭФ Ваш = {ехр(з£.7,/е[-/„,/„)}-
Он естественным образом согласован с дискретным представлением сигнала х(>), но в отличие от базиса дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) Вт, = {ехрО'^т/п)//г), д ге},
используемого при цифровой обработке, позволяет получать непрерывные спектры. Поэтому при спектральном анализе дискретный базис ДКЭФ является более предпочтительным. С учетом представления (30), спектральная плотность мощности (СПМ) дискретного случайного процесса {.■с} с корреляционной функцией й[(]= Л/[хах(] в базисе ДКЭФ определяется выражением
С(/> « (1 / Т)Е(/) = (1 / $п) М ( Х(/)Х(/)] = = V1 я " 0ехр(-/2*/3{к - 0),
(31)
где Т-Зп - длительность сигнала в секундах, £(/) — его энергия на частоте /, (■) символ комплексного сопряжения. Аналогично, спектральные плотности мощности ап-
проксимирующих процессов {zal} в базисе ДКЭФ определяются выражениями
(Л-(à/ К- [' ~ i] ~ 0) i
а 6 {ОД 2}, /e[b,/J. (32)
Отметим, что величина СПМ имеет размерность мощности, приходящейся на I Гц и является периодичной функцией с периодом G(-f) = à{fit —f). Поэтому вместо
представления С(/) на интервале [-/,,/,] часто рассматриваются только положительные частоты / е [0, /( ). В этом
случае область низких частот в базисе ДКЭФ расположена справа и слева от границ интервала [0,/,). т.е. вблизи частот 0 и fd.
На примере мультиквазигармонического узкрполосного сигнала с заданной корреляционной функцией Л(г) оценим качество его аппроксимации дискретной циркулянтной моделью (2) по указанным выше критериям. Для проведения эксперимента выбран дискретный вещественный узкополосный процесс {х. = ж(<5!')}> полученный из непрерывного сигнала jf</) вида (8) и состоящий из трех случайных квазигармонических сигналов. Учитывая (8) корреляционная функция такого процесса описывается выражением
ВД » M[*„*,! = I LRk['"] - ' é j„ = {0.....n~\)
= Dt çxp{-ak(Tïf\zos{2nfkTi), n = 64
/¡=15, /, = 30 , f} = 50, a, = 78,5, a, =201, Щ =706,5
Ц =0,8, A =0,7, Д =0,5, fj =130, и = 64,
где fj =2fmn выбрана но теореме Котельпикова и равна удвоенной максимальной частоте в спектре.
Для перехода к комплексной огибающей, центральная частота fo рассчитывалась по формуле (И) и равна
Из рис. 2 видно, что относительно f спектральная плотность G(f) = j" Д(г)ехр(-jlnf t)dt узкополосного сигнала ,v(i) несимметрична, поэтому в выражении (4) rIL)(t)ï0. а
корреляционная функция комплексной огибающей будет комплексной,
0.08
0.07
S
В «
и
0.02 ■ 0 OL — О ■
—GU)
10 20 30 4И 50 «I
Частота [Гц]
Рис. 2. Спектральная плотность непрерывного узкополосного сигнала {на промежуточной частоте)
На рис, 3 показана спектральная плотность G(f) в базисе ДКЭФ дискретного узкополосного сигнала |х (, а также аналогичные спектральные плотности <5.;.(/) аппроксимирующих сигналов {zal J. Так как эти процессы вещественные, то все СПМ симетричны относительно частоты Найк-виста f„=fj 2 = 65.
60
Частота [Гц]
Рис. 3. Спектральные плотности (в базисе ДКЭФ) узкополосного сигнала и его аппроксимации
Корреляционная функция /?[/] дискретной комплексной огибающей (3) согласно (4) определяется выражениями ад=^И-Щй' Л/И - МГа-,(0)л-, (¿5)] - М1х1,(0>^{/<5)] - /у/). ®щй=М[*Д(й)*е(гёО]. Далее, зная , по формулам (21), (26) для каждой аппроксимирующей модели М (п), а = {0,1,2} рассчитывались корреляционные функции [/], комплексных огибающих, по которым затем вычислялись ошибки (29) и строились СПМ (31)-(32). Причем частота дискретизации в этом случае выбиралась равной /; =^=58</,.
Полученные результаты в виде графиков текущих СКО едг (г), г е V = {ОД,...,» - 1} и кривых С _(/) и
С_аЛ/) представлены на рис. 4 и рис. 5. Их сравнительный анализ позволяет сделать следующие выводы, 0,7
S 0,6 s
«0.5 а
g О А О о, а 0,3 в д Сп-2'
О 0.1
-*-eaz (i)
-e-ei2(i)
- J
J
...... " "1..........
10 20 30 40 50
Номер отсчета i
60
70
Рис. 4. Текущие СКО аппроксимации для комплексной огибающей узкополосного сигнала
Рис. 5. Спектральные плотности мощности (в базисе ДКЭФ) комплексных огибающих узкополосного сигнала и его аппроксимаций
]) Анализ кривых на рис. 4 показывает, что применение комплексных рекуррентных n-моделей 2-го порядка Ai, (п)
позволяет уменьшить текущие ошибки аппроксимации ед_ (i) в середине любого скользящего временного окна Д. примерно на 20% по сравнению с аналогичной моделью йЦ/п) и на 37% - по сравнению с моделью М0(п)-
2) На краях временного окна Д( текущие ошибки аппроксимации еаг(г) возрастают для всех сравниваемых моделей. Однако в этом случае ошибки у моделей М^{п),
М2(п) выравниваются, по оказываются почти в 2 раза меньше, чем у модели M (ге)-
3) Относительные ошибки аппроксимации е^ для тех же моделей Мо (п), а = {[), 1,2} равны е.п = 4,8 %,
S, =5,6%, еп =12.1%.
5) Представленные на рис. 5 спектральные плотности G (/), G _п. ( /') комплексных огибающих хорошо локализованы в области нижних частот, в отличие от аналогичных СИМ G(f) Gu_(f) Для узкополосного сигнала на рис. 3.
Кроме того, аппроксимирующие плотности G _a.(f) хорошо приближают спектральную плотность G_(f) ■ Так как сигнал (3) комплексный, его СПМ в базисе ДКЭФ, в отличии от вещественного, несимметрична относительно частоты Найквиста f. .
6) Из рисунков 3 и 5 видно, что применение рекуррентных п-моделей более высокого порядка позволяет лучше аппроксимировать СПМ исходного случайного процесса. В нашем случае применение комплексных рекуррентных п-моделей 2-го порядка м,(п) позволяет получить наилучшую аппроксимацию сигнала в спектральной области по сравнению с n-моделями 0-го Mt(n) или 1-го порядка
7) Переход от исходного сигнала к его комплексной огибающей позволил уменьшить частоту дискретизации, а значит и последующую частоту обработки аппроксимируемого сигнала в rj = 2f / F раза.
На основе проведенного анализа можно заключить, что предложенные комплексные циркулянтные модели 2-го порядка обладают хорошими аппроксимирующими свойствами, допускают быструю вычислительную реализацию и могут быть использованы для решения широкого круга задач, связанных с обработкой полосовых и узкополоеных сигналов.
Литература
1. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. - М.: Радио и связь, 1986,
2. Прокис Дж. Цифровая связь. - М.: Радио и связь, 2000.
3. Волчков В.П. Оптимальное рекуррентное представление случайных сигналов в базисах функций В ил е н к и н а - К реете н со на // Радиотехника и электроника, 1997. - Т. 42, №8. - С. 947-958.
4. Волчков В,П. Параметрическое спектральное оценивание случайных сигналов с использованием рекуррентных m-моделей // Радиотехника и электроника, 1998, - Т. 43, №4. - С. 421-437.
5. Волчков В.П. Фидуциальное оценивание т-стационарных гауссовских случайных процессов // Радиотехника и электроника, 1997.-Т, 42, №2.-С. 150-160.
6. Волчков В.П.. Поборчая Н.Е. Представление случайных процессов векторной рекуррентной циркулянт ной моделью второго порядка // Журнал радиоэлектроники, 2013. - №12.
7. Волчков В.П., Поборчая И.Е., Шлома A.M. Аппроксимация случайных сигналов с помощью рекуррентных циркулянтных моделей скользящего окна // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия «История, политология, экономика, информатика» №22( 165), Вып. 28/1, Белгород, 2013.
8. Волчков В.П., Шлома A.M. Рекуррентные фильтры скользящего окна для обработки векторных сигналов // Вестник Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, Сер. Естественные и технические науки, 2013. - №2. - С. 18-20.
9. Воеводин И.И.. Тыртышников Е.Е, Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. - М.: Наука, 1987.
APPROXIMATION OF NARROWBAND RANDOM SIGNAL USING VECTOTIAL RECURENT CIRCULANT m-MODEL OF SLIDING WINDOW OF THE SECOND ORDER
Valeriy Pavlovich Volchkov, Moscow, Russia, volchkovvalery@mail.ru Sergey Sergeevich Uvarov, Moscow, Russia, uva20I0@mail.ru
Abstract
The paper considers method for approximation of narrowband random signal over finite time interval? Based on transition to discrete complex envelope followed application of recurrent circulant second-order models. Algorithm of parametric identification of such models, analytic form for correlation function of approximating process and algorithm of efficient implementation of approximating process for the case of know correlation function for narrowband process are derived. Results of modeling confirming good approximating properties of proposed models are described. The method is based on an approximation of random vector signal m-Markov models. Random processes generated by such models have a number of remarkable properties. They m-stationary within a given time window, ideal compressed and decorrelated using a fast and unitary transformation with an appropriate choice of parameters m-model is well approximated by stationary random signals. This synthesized based on these models optimal algorithms narrowband signals have a fast computer implementation. In this paper, the dynamic order of approximation is increased to two, thus improving its approximating properties. Used circulant complex modification vector m-Markov model, focused on the approximation of the narrow-band signals and the basis of discrete exponential functions (DEF). This model allows us to approximate the complex envelope of narrowband signal, and thereby reduce the total number of counts, participating in its adequate representation, the subsequent processing and storage.
Keywords: random process, random signal, optimal estimate, Kalman filter, Winner filter, circulant model, autoregressive model, stochastic difference equalization, correlation function, Fourier transform.
References
1. Tikhonov V.I. Non-linear transformations of random processes. Moscow, 1986. (in Russian).
2. Proakis J. Digital communications. Moscow, 2000. (in Russian).
3. Volchkov V.P. Optimal recursive representation of random signals in the bases functions of Vilenkin-Christenson / Technology and Electronics, 1997, vol. 42, No 8, Pp. 947-958. (in Russian).
4. Volchkov V.P. Parametric spectral estimation of random signals using m-recurrent models / Technology and Electronics, 1998, vol. 43, No 4, Pp. 421-437. (in Russian).
5. Volchkov V.P. Fiducial evaluation of m-stationary Gaussian processes / Technology and Electronics, 1997, vol. 42, No 2, Pp. 150-160. (in Russian).
6. Volchkov V.P., Poborchaya N.E. Representation of stochastic processes vector circulant recurrent model of the second order / Journal of Radio Electronics., No 12, 2013, http://jre.cplire.ru/jre/decl3/l4/text.pdf. (in Russian).
7. Volchkov V.P., Poborchaya N.E., Shloma A.M. Approximation of random signals with recurrent patterns of circular sliding window / Belgorod State University. Series "History, Political Science, Economics, Computer Science", No 22 (165), vol. 28/1, Belgorod, 2013. (in Russian).
8. Volchkov V.P., Shloma A.M. Recurrent filters sliding window for processing vector signal / Bulletin of the P.G. Demidov Yaroslavl State University, Ser. Natural and technical sciences., 2013, No 2, Pp. 18-20. (in Russian).
9. Voevodin I.I., Tyrtyshnikov E.E. Computational processes with Toeplitz matrices. Nauka. Moscow. 1987. (in Russian).
Information about authors:
Valeriy Pavlovich Volchkov, Doctor of Sciences, Moscow, Russia
Sergey Sergeevich Uvarov, PhD-student, Moscow Technical University of Communications and Informatics (MTUCI), Moscow, Russia For citation:
Volchkov V.P., Uvarov S.S. Approximation of narrowband random signal using vectotial reçurent circulant m-model of sliding window of the second order. T-Comm. 2015. Vol. 9. No.3. Pp. 54-61. (in Russian).
