Аппроксимативная модель массового обслуживания общего вида и расчет ее характеристик Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.872.8

Н. Ф. Бахарева, В. Н. Тарасов АППРОКСИМАТИВНАЯ МОДЕЛЬ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ОБЩЕГО ВИДА И РАСЧЕТ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИК

Аннотация. Рассматривается задача определения характеристик систем массового обслуживания (СМО) GI/G/1 с бесконечной очередью, с конечной очередью и потерями. На данный момент не существует точных методов анализа таких систем. В работе на основе двумерной диффузионной аппроксимации фундаментальных процессов поступления и ухода заявок получены аналитические выражения для определения основных характеристик таких СМО на уровне средних значений и дисперсий распределений времен поступления и обслуживания.

Ключевые слова: система массового обслуживания, сети ЭВМ, процессы поступления и обслуживания, моментные характеристики распределения.

Abstract. Is considered a problem of definition of characteristics of systems of queueing GI/G/1 with infinite turn, with final turn and losses. At present there are no exact methods of the analysis of such systems. In work, on the basis of twodimensional a diffusion approximations of fundamental processes of receipt and leaving of demands, are received analytical expressions for definition of the basic characteristics such queueing at level of average values and dispersions of distributions of times of receipt and service.

Keywords: system of mass service, the computer network, receipt and service processes, momentnye distribution characteristics.

Введение

СМО общего вида GI/G/1 впервые подробно рассматривались в [1, 2]. Точных результатов для их расчета не существует, поэтому основным направлением их исследования являются диффузионные приближения дискретного процесса образования очереди [1-4]. Такой подход при малых и средних значениях нагрузки на СМО не обеспечивает приемлемых результатов (относительная погрешность может превышать 100 %). С другой стороны, такие СМО имеют важное прикладное значение в теории проектирования и моделирования сетей ЭВМ и телекоммуникационных систем. Поэтому важно уметь определять их основные характеристики, а также параметры выходных потоков. Последние нужны при анализе сетей СМО как моделей сетей ЭВМ и телекоммуникаций. В данной работе предлагается другой подход к анализу таких СМО, обеспечивающий инженерную точность в пределах 5-10 %.

1 Расчет характеристик СМО общего вида

Будем рассматривать двумерный диффузионный процесс {хі(0, х2(0}, где хі(0 аппроксимирует на периоде занятости число заявок Ni(t), поступивших в СМО к моменту времени t, а х2(і) - число заявок N2(t), покинувших СМО к тому же времени. Текущее значение числа заявок N, находящихся в СМО, определяется разностью целой части от x1 и целой части от х2: N = М - [х2].

Рассмотрим для процессов хг(г) (i = 1, 2) в области N > 0 моменты времени t первого достижения ординатой процесса целочисленного уровня (к + 1) при начальном условии xi(0) = к (приращение Лх- = 1). Из теории случайных процессов известно [5], что плотность распределения вероятностей этого времени t имеет вид

gi (t) = exp -(1 - a-t)2 /(2ty) ^2nbit3 , (1)

где a, и bi - соответственно коэффициенты сноса и диффузии процессов xi (i = 1, 2).

C помощью табличного интеграла

\tv-1e-p/t-Ytdt = 2(/у)2 Kv

где Ку(^) - функция Макдональда порядка V, могут быть вычислены математическое ожидание и дисперсия распределения (1). Потребуем, чтобы компоненты двумерного диффузионного процесса {^(0, х2(0} в моменты времени первого прохождения целочисленного уровня имели средние значения и дисперсии, совпадающие соответственно со средними значениями и дисперсиями компонент дискретного процесса (Д1, Д2). Тогда можно выразить коэффи-

__1 ___3 _

циенты сноса а- = т- и диффузии Ь- = Д- т- через среднее значение т- и дисперсию Д- интервала времени между скачками дискретного процесса N В этом смысле процессы х, и N будут согласованными на уровне двух первых моментов распределений вероятностей в моменты поступления и ухода заявок [6, 7].

В области ^, определенной условиями N > 0 и Дтах = т (т - максимальное число заявок в СМО (рис. 1), плотность распределения ю (^, х1, х2) векторного диффузионного процесса {х1(^), х2(0} удовлетворяет уравнению Колмогорова

Эш % 1

эТ “ ^

г=1

(2)

Область Q снизу ограничена поглощающей границей Гь а сверху - отражающей границей Г2. В случае СМО с бесконечной очередью (m^-да) граница Г2 и, следовательно, граничное условие отражения на этой границе в постановке задачи отсутствуют.

Так как период занятости начинается с уровня xi = 1, то начальным условием для уравнения (2) будет ю(0, Х1, Х2) = 5(Х1 -1)' 5(Х2), где 8() - дельтафункция Дирака.

Рассматривая функционирование СМО только на периоде занятости,

к уравнению (2) добавим граничное условие поглощения юГ = 0 и граничное

111

условие отражения на границе Г2 - grad ю|Г = 0 .

11 2

Таким образом, в случае СМО с бесконечной очередью для нахождения ее характеристик решается краевая задача для уравнения Колмогорова (2)

с условиями: ю(0,xj,x^) = 5(xj -1) • 5(x^); ю|г = 0. В случае же СМО

с ограниченной очередью и потерями - с условиями: ю(0, xj, Х2) =

= 5(xj -1) • 5(x2); grad ю|Г = 0 .

11 2

Рис. 1 Область решения уравнения Колмогорова

Граница Гь определенная условием [ТУ] = 0, имеет ступенчатый характер (рис. 1) и достижение ее процессом {х^О, х2(0} физически означает завершение периода занятости. Таким образом, показанная траектория 1 соединяет начало и конец периода занятости. Распределение ординаты процесса х1(^) в момент достижения двумерным процессом {х1(^), х2(0} границы Г1 позволяет определить все основные характеристики функционирования СМО.

2 СМО с бесконечной очередью и ее характеристики

Рассмотрим вначале случай СМО G^/G/1/да, т.е. сосредоточимся на поведении траекторий типа 1 двумерного процесса {х1(^), х2(0} на периоде занятости (рис. 1). В этом случае граница Г2 в постановке задачи отсутствует.

Вследствие сложного характера границы решение уравнения (2) в области О будем искать в виде совокупности решений в подобластях Ок = (х1 < к + 1, х2 < к) (к = 1, 2, ...). Обозначим через фк(у2) распределение ординаты процесса х2(0 в момент прохождения процессом {х1(^), х2(0} границы х1 = к + 1 области Ок. Аналогично, через ^к(у1) обозначим распределение ординаты процесса х1(^) в момент достижения границы х2 = к той же области.

Рассмотрим состояние СМО с момента поступления заявки в СМО (х1 = к + 1) до момента окончания периода занятости (х2 = к) (рис. 1). Тогда из-за марковского характера рассматриваемых процессов начальным условием для решения уравнения (2) в областях Ок будет распределение фк_1(), известное на предшествующем шаге. Решая уравнение (2), выведем рекур-

рентные формулы для определения плотностей распределений ординаты процесса х2(0 в момент прохождения процессом {*1(0, *2(0} границы Х\ = к + 1 области 0,к - фк(у2) и ординаты процесса *1(^) достижения границы х2 = к той же области - ^к(у1) (к = 1, 2, ...).

Для этого рассмотрим величину фк(у2)ау2, равную интегральному значению компоненты вектора потока вероятностей [5]

Ъ Эюк (г, хь Х2)

°1Ю£ (t, x\, х2 ) —

через площадку dy2 границы x1 = к + 1:

7 (

Фк (У2 )dy2 = dy2 J I a1wk

9xi

b (>mk Л 2 9xi

xi =k+1

У1 =k - x2

Решение уравнения (2) в области Qk, в которой x1(0) = k, x2(0) = y2 -случайная величина с распределением фk-1(у2), при нулевых граничных условиях может быть получено с помощью функции Грина:

(x1 - k - atf)2 (x2 - у2 - a2t)2

Qk(t, x1, x2 Ik, У2) =

X \ 1 - exp

• exp

X < 1 - exp

2^11 2^21

2(kx2 - y2x2 + y2k - k2 )2 b2t

X

Здесь два первых сомножителя представляют собой фундаментальное решение уравнения (2) при дельтообразном начальном распределении, а два последних сомножителя выражают нулевые граничные условия при х1 = к + 1 и х2 = к. Решение ©к будет выражаться через функцию Qk следующим образом:

Юк ^, ХЬ Х2) = I Фк-1 (у2 Ш ({, Х1, Х2 | к, у2 )оУ2.

0

Отсюда, учитывая выражение для Qk, приходим к рекуррентной формуле для определения распределения фк(у2) (к = 1, 2, ...) как главной компоненты решения уравнения Колмогорова (2) для данной задачи:

Фк (У2) = | Фк-1 (У2^ф (У2 |У2 ^2 , Ф1(У2) = Qф (У2 I °Х

оо

где

Qф(y2 1 у2 ) =

• exp

‘jr + ‘ir(y''2 -y2 + 1) b1 b2

X

JIk1(2^ ) )

^ = + (у2 - у2 +1)2

2Ь\ 2Ь2

^ + (у2 + у2 +1)2. Ь1 2Ь2

К1 (•) - функция Макдональда.

Аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению для распределения ук(уО (к = 1, 2, ...) [6, 7]:

Теперь определим характеристики выходного потока для СМО общего вида, а прежде для этого докажем следующее утверждение.

Утверждение. Пусть тВых, Авых, Тц, А - соответственно средние значения и дисперсии времени между заявками в выходном потоке из СМО и времени обслуживания. Тогда справедливы следующие аналитические выражения для определения твых, Авых :

где р'о - вероятность того, что обслуженная заявка оставляет СМО пустой;

которого СМО ожидает поступления непосредственно следующей заявки, т.е. времени простоя СМО.

Для доказательства утверждения рассмотрим моменты времени і\ ухода очередной заявки из СМО и ґ2 - ухода непосредственно следующей заявки. Случайная величина Д = ^ ~ї\ существенно зависит от состояния СМО в момент ухода очередной заявки. Если в момент времени і\ СМО окажется занятой, то величина Д будет равна времени обслуживания тц непосредственно

следующей заявки. Если же в момент времени і\ СМО окажется пустой, то величина Д будет равна сумме времени обслуживания тц и остаточного

¥ к(у\) = | ф к-\( у2 (У\ / у2 Му2, ¥( у\ ) = ^( у\ 10),

0

где

(\+у\)2 + (\+у2)2.

2Ь\ 2Ь2

; У\ е[0, ).

^ых тц + р0 ТА, ;

Авых = Ац + р0АХ + р0 (\ - Р'о )( )2 ,

(3)

(4)

Т' и А' - среднее значение и дисперсия остаточного времени Т' , в течение

времени т^. Тогда можем записать следующие выражения для случайной

величины А и ее квадрата А2 по аналогии с законом распределения вероятностей:

А I т^ с вероятностью 1 - Р0, а2

(тц + т^)свероятностью р0;

2 , / т^ с вероятностью 1 - Ро,

(тц + т^ ) с вероятностью Р0.

Отсюда, переходя к математическому ожиданию и дисперсии величины А и учитывая, что М(твых) = М(А) и .Дых = М(А2)-[М(А)]2, после преобразований получим формулы (3) и (4). Утверждение доказано.

Замечание. В стационарном режиме функционирования СМО с бесконечной очередью т^ьк = \, где "т^ - среднее время между заявками во вход' *' / / / / — ном потоке. Тогда величины ро и т^ связаны соотношением РоХ^ = рот^,

где Ро = 1 - р - вероятность отсутствия заявок в СМО, а р = А, / ц - коэффициент загрузки СМО. Тогда формулы (3) и (4) несколько упростятся. Таким образом, выражения (3) и (4) представляют собой точную формулу для определения среднего значения и дисперсии времени между заявками в выходном потоке для СМО общего вида.

Определим теперь неизвестные параметры двумерного диффузионного приближения Ро, т, и , необходимые для вычисления характеристик СМО и ее выходного потока. Плотность распределения вероятностей

у(У1 ) = ^ ¥ к (У1) ординаты процесса х1(^) в момент достижения процессом

к=1

(х1(^), х2(0} границы Г1 позволяет определить все основные характеристики СМО, в том числе остаточное время ожидания т, (время простоя СМО). При известном значении у\ (рис. 1) ордината процесса х^) должна получить приращение у\ для того, чтобы процесс N изменился на единицу, т.е. поступила заявка в свободную СМО. Условное распределение времени достижения уровня у1 процессом (х^), х2(0} имеет вид

1

-• ехр

2я$1 • Г

(У1 - а^)2 2Ь(

с параметрами (У1) = т^ • У1 и (У1) = • У1, где т^ и В - соответст-

венно среднее и дисперсия времени между соседними заявками во входном потоке.

Пусть Шу = | У1¥(У1)оУ1 и Ву = | (У1 - Шу )2 у(Ух)^У1 - математиче-о о

ское ожидание и дисперсия распределения ^(у1). Тогда искомые параметры

тА, тА, Шу ;

В = ВХ Шу + В

¥

(5)

(6)

выражаются через известные параметры входного потока и В - среднего и дисперсии времени между соседними заявками и числовые характеристики распределения ^(уО. Обозначим через рк вероятность того, что за весь период занятости в СМО пришло ровно к заявок (к = 1, 2, ...)

Рк = ^ ^к (Л )^Л . Пусть за достаточно большой интервал времени Т имело

0

место т периодов занятости. Из них в среднем за тг- = т • рг- (1 = 1, 2, ...) периодов занятости через СМО прошло ровно 1 заявок. Тогда вероятность р0 того, что обслуженная заявка оставляет СМО пустой, может быть выражена через вероятности Рк:

р0 = т 721 • т =1721 •Рi. (7)

1=1 1=1

Следовательно, все три неизвестных параметра двумерной диффузионной аппроксимации СМО определены однозначно. Таким образом, зная параметры входного потока х^ и В и определяя численно параметры распределения у (у) - ординаты процесса х^) в момент достижения процессом (х^О, х2(0} границы Г], можно вычислить среднее твь1х и дисперсию Ввых интервалов времени между заявками в выходном потоке из СМО с любой точностью.

Определим характеристики такой СМО. Из соотношения (7) следует, что величина 1/ р0 выражает среднее количество заявок, прошедших через

СМО за период занятости. Тогда средняя длина периода занятости У в СМО может быть определена через параметр р0 :

У=хц 21 • т1/ т=хц/ р0,

1=1

где хц - среднее время обслуживания заявки в СМО.

Из соотношения (5) следует, что средняя длина периода простоя I = х^ • ту, где хА - среднее значение интервалов времени между соседними

заявками во входном потоке.

Среднее время ожидания, как известно из [2], может быть выражено через первые два начальных момента распределения случайной величины I -периода простоя

_ В + Вц + х2 (1 - р)2 12

Ж = —-------ц---—— --------= , (8)

2хА (1 -р) 21 ’ ^

где В и Вц - дисперсии времени поступления и обслуживания.

Определим математическое ожидание квадрата случайной величины I. Для этого заметим, что I = х^, откуда, учитывая (6), получим

I ту + Х^_ т2у ,

где т2у = Ву + т^ - второй начальный момент распределения у (у). Подставляя (9) в (8), окончательно получим

(9)

^ ^ + р0^ - р0^ - Р0^\т2у

2Ро\ '

Среднюю длину очереди можно определить по формуле Литлла [1]

(10)

Ып _Ш, ч

а среднее количество заявок N в СМО - по формуле

N _А( + хц).

3 СМО с конечной очередью и потерями

В этой же модели рассмотрим поведение траектории типа 2 двумерного диффузионного процесса (х1(ґ), х2(0}, что отражает функционирование СМО ОНОШт с ограниченной очередью и потерями. Граница Г2 определена максимально допустимым количеством т заявок в СМО и имеет ступенчатый характер (см. рис. 1).

При достижении траекторией процесса (х1(ґ), х2(ґ)} границы Г2, ордината процесса х1(ґ) мгновенно должна сдвинуться вниз на единицу, что будет означать потерю очередной «лишней» заявки. Тогда видоизменятся рекуррентные формулы для вычисления стационарного распределения ординаты х2(0 процесса (х1(ґ), х2(ґ)} - фк(у2), а именно, начиная с номера к = т - 1, где т -максимально допустимое число заявок в СМО:

Используя параметры диффузионного приближения (см. формулы (5)-(7)), можно определить характеристики выходного потока узла по формулам (3) и (4), а также характеристики потока отказов. При этом для определения среднего значения хотк интервала времени между заявками в потоке отказов воспользуемся уравнением баланса интенсивностей потоков на входе и выхо-

сию Вхотк времени между соседними заявками в потоке отказов. Для этого аналогично распределению ук(У1) (к = 1, 2, ...) на границе Г определяем

заявок на цикле занятости. Тогда дисперсия числа потерянных заявок

Фк (у2) + Фк+1 (У2), если т - 2 < у2 и т -1 < У2 <“.

(11)

2

условные распределения числа N0тк и квадрата числа N0TK - потерянных

2 —2

Вмотк = Мотк - Мотк. От дисперсии числа потерянных заявок легко можно перейти к дисперсии Вхотк :

Вхотк = ВМотк • хотк / Тц ,

где Тц - среднее время цикла занятости.

Что же касается формул (5)-(7) для вычисления параметров двумерной диффузионной аппроксимации р0, и В , то они останутся такими же, из-

меняются только величины ту и Ву, входящие в них в силу пересчета распределений фк(у2) по формулам (11). Для определения основных характеристик такой СМО можем теперь записать формулы, аналогичные формулам для СМО с бесконечной очередью. Вероятность ротк того, что поступившая в СМО заявка получит отказ, будет равна отношению интенсивности потока отказов к интенсивности входного потока ротк = ^отк / ^вх .

Среднюю длину очереди Мд можно определить по формуле

Мд = ^вх Ж (1 — ротк ) , а среднее количество заявок в СМО - по формуле

М = Чх ( +Тц)(1 — ротк ),

где среднее время ожидания Ж вычисляется из выражения (10) с учетом распределения (11).

Заключение

1. Вышеприведенная методика расчета характеристик СМО общего вида реализована в программной системе анализа производительности компьютерных сетей в виде следующих подсистем: «Расчет узла без ограничений на длину очереди», «Расчет узла с ограничениями на объем канального буфера и с потерями». При необходимости данная модель может быть расширена для расчета узла с переменными параметрами поступления и обслуживания, зависящими от состояния системы.

Проведенные расчеты для широкого диапазона изменения параметров потоков, а именно: загрузки узлов от 0,1 до 0,9; коэффициентов вариаций распределений времен поступления и обслуживания от 0,1 до 5,0, показывают относительную погрешность менее 10 %. Следовательно, такой подход к анализу СМО при произвольных законах поступления и обслуживания более привлекателен, чем метод диффузионного приближения процесса образования очереди. При этом точность предлагаемой методики оценивалась в сравнении как с известными результатами из теории массового обслуживания, так и с помощью имитационного моделирования.

В табл. 1 приведены результаты вычислений среднего количества заявок в системе М (первое значение - результат метода двумерного диффузионного приближения, через дробь - результаты имитационного моделирования). Имитационное моделирование проводилось с использованием программной системы анализа СМО с встроенным генератором псевдослучайных последовательностей гамма-распределения. Из табл. 1 и из рис. 2, 3 вид-

но, как увеличение коэффициентов вариаций распределений входного потока и времени обслуживания ухудшает показатели производительности системы.

Таблица 1

р сх си

0,1 0,5 1,0 2,0 5,0

0,1 0,10/0,10 0,101/0,101 0,105/0,105 0,117/0,115 0,211/0,210

0,5 0,111/0,111 0,111/0,111 0,111/0,112 0,117/0,116 0,221/0,219

0,1 1,0 0,111/0,111 0,112/0,111 0,115/0,113 0,125/0,127 0,232/0,231

2,0 0,118/0,116 0,122/0,122 0,133/0,134 0,171/0,168 0,360/0,320

5,0 0,415/0,416 0,420/0,431 0,435/0,441 0,581/0,590 1,076/1,072

0,1 0,506/0,486 0,534/0,514 0,671/0,651 1,345/1,294 6,431/6,340

0,5 0,534/0,534 0,576/0,574 0,737/0,732 1,447/1,446 6,611/6,598

0,5 1,0 0,670/0,661 0,741/0,761 0,945/0,991 1,715/1,719 6,936/7,125

2,0 2,033/1,949 2,014/1,913 2,152/2,101 2,829/2,721 8,147/8,627

5,0 11,50/10,910 11,504/10,876 11,719/11,255 12,622/13,337 18,059/19,011

0,1 0,964/0,962 1,647/1,694 4,961/4,848 16,860/15,664 100,906/103,89

0,5 2,043/1,996 3,002/2,912 6,011/6,459 17,961/16,917 102,282/104,15

0,9 1,0 5,222/5,145 6,204/6,412 9,255/9,013 21,329/23,062 105,469/107,89

2,0 18,242/17,635 19,221/19,958 22,315/21,893 34,511/36,097 118,434/112,88

5,0 111,347/111,04 112,284/112,92 115,385/114,09 127,823/127,36 213,042/212,59

Рис. 2 Графики зависимости вероятности потери сообщений от загрузки р: а - при т = 5; б - при т = 10 (звездочкой обозначен точный результат)

2. Проведены также расчеты характеристик СМО с потерями с использованием 5-формулы Эрланга. Результаты расчетов отражены на рис. 2, 3. Из них видно, что результаты расчетов для таких СМО также хорошо согласуются с теоретическими. На рис. 2 приведены графики зависимостей вероятности потери сообщения ротк в каналах приема-передачи от интенсивности X входного потока (при интенсивности обслуживания ц = 1) и от объема буферной памяти т, выраженного в единицах от сообщений. Графики построены для диапазона изменения коэффициента вариации времени обслуживания заявок си от 0,1 до 2,0 при коэффициенте вариации распределения времен поступления сх = 1, т.е. для пуассоновского входного потока. Аналогичные гра-

фики построены для среднего времени ожидания (рис. 3). Графики, приведенные на рис. 2, 3, позволяют рассчитать необходимые объемы памяти для буферных накопителей при ограничениях на вероятность потери и на время задержки сообщения в узле коммутации. При этом значения объемов, выраженные в единицах от сообщений, можно пересчитать в единицы от бит умножением значений объемов на среднюю длину сообщения.

Рис. 3 Графики зависимости среднего времени ожидания от загрузки р: а - при m = 5; б - при m = 10 (звездочкой обозначен точный результат)

Из вышеприведенных графиков видно, что при увеличении объема буфера среднее время ожидания W стремится к времени ожидания СМО в случае с бесконечной очередью (штриховая линия на рис. 3,б).

3. Вышеуказанный подход расчета узловых характеристик в программной системе реализован совместно с методом декомпозиции сети МО на отдельные СМО решением уравнений равновесия потоков на уровне двух первых моментов распределений интервалов времен поступления и обслуживания.

Список литературы

1. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания : пер. с англ. / Л. Клейнрок ; под ред. В. И. Неймана. - М. : Машиностроение, 1979. - 432 с.

2. Клейнрок, Л. Вычислительные системы с очередями : пер. с англ. / Л. Клейнрок ; под. ред. Б. С. Цыбакова. - М. : Мир, 1979. - 597 с.

3. Боровков, А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания / А. А. Боровков. - М. : Наука, 1980. - 381 с.

4. Ward, A. R. A diffusion approximation for a GI/G/1 queue with balking or reneging / A. R. Ward, P. W. Glinn // Queueing Systems. - 2005. - V. 50. - № 4. - Р. 371-400.

5. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов. - М. : Советское радио, 1977. - 488 с.

6. Тарасов, В. Н. Анализ и расчет сетей массового обслуживания с использованием двумерной диффузионной аппроксимации / В. Н. Тарасов, В. К. Кругликов // Известия АН СССР. Автоматика и телемеханика. - 1983. - № 8. - С. 74-83.

7. Тарасов, В. Н. Компьютерное моделирование вычислительных систем. Теория, алгоритмы, программы / В. Н. Тарасов, Н. Ф. Бахарева. - Оренбург : ИПК ОГУ, 2005. - 225 с.

Тарасов Вениамин Николаевич

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой программного обеспечения и управления в технических системах, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики (г. Самара)

E-mail: vt@ist.psati.ru

Бахарева Надежда Федоровна

кандидат технических наук, доцент, кафедра программного обеспечения и управления в технических системах, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики (г. Самара)

E-mail: vt@ist.psati.ru

Tarasov Veniamin Nikolaevich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of software and control in technical systems, Povolzhsky State University of telecommunication and computer science (Samara)

Bakhareva Nadezhda Fedorovna Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of software and control in technical systems, Povolzhsky State University of telecommunication and computer science (Samara)

УДК 519.872.8 Бахарева, Н. Ф.

Аппроксимативная модель массового обслуживания общего вида и расчет ее характеристик / Н. Ф. Бахарева, В. Н. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. -№ 3 (11). - С. 47-58.