Научная статья на тему 'Анализ возможностей применения методов теории расписаний к задачам деревообрабатывающих производств и их формализация'

Анализ возможностей применения методов теории расписаний к задачам деревообрабатывающих производств и их формализация Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
170
47
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Лесотехнический журнал
ВАК
AGRIS
RSCI
Область наук
Ключевые слова
РАСПИСАНИЕ / ОПТИМАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ / АЛГОРИТМ / СТАНОК / SCHEDULE / OPTIMAL SEQUENCE / ALGORITHM / MACHINE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хухрянская Елена Станиславовна, Юдина Надежда Юрьевна, Ющенко Екатерина Викторовна

Теория расписаний представляет собой научную дисциплину, посвященную разработке методов оптимизации оперативно-календарного планирования. Существуют различные варианты задач теории расписаний, часть из них является NP-полными, часть принадлежит к классу полиномиальных задач, для других задач не удалось доказать принадлежности к какому-либо классу сложности. Задачи теории расписаний, как правило, трудноразрешимы, хотя для некоторых из них существуют эффективные алгоритмы решения. Несмотря на то, что основы классификации моделей планирования лежат в классификации задач расписаний, к которым относятся задачи упорядочения, задачи согласования и задачи распределения, модели систем планирования производства для предприятий деревообрабатывающей отрасли имеют большое количество технологических и организационных параметров, присущих производственным системам дискретного характера, которые в классическом варианте теории расписаний не учитываются. Существует ряд моделей планирования работы производственного участка, методическую основу для которых дает модель Джонсона для n деталей и двух станков, представляющая теоретический интерес, поскольку реально возникающие задачи сложнее. В статье раскрывается возможность использования теории расписаний для задач, связанных с упорядочением работ, чаще всего возникающие при выборе и обосновании технологического процесса в деревообработке. Авторы, используя эвристический подход, в основе методов последовательного конструирования, анализа и отсеивания вариантов предлагают идею пошагового построения решения. Рассмотрена одна из схем поэтапного конструирования оптимальной последовательности облуживания n требований множества N M станками. Результат обобщен для случая более трех станков. Показано, что процесс нахождения оптимальной последовательности является процессом разбиения множества всех возможных перестановок на подмножества и вычисления нижних оценок значений оптимизируемой функции на каждом из подмножеств.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ANALYSIS OF THE POSSIBILITY OF APPLYING OF SCHEDULING THEORY TO PROBLEMS IN WOOD PROCESSING INDUSTRIES AND THEIR FORMALIZATION

Scheduling theory is a scientific branch, devoted to developing of methods for optimizing operational planning and scheduling. There are different variants of scheduling problems, one of them is NP-complete, some belong to the class of polynomial problems, other problems are not able to prove membership of any class of complexity. Scheduling problems are generally intractable, although some of them have effective algorithms for the solution. Despite the fact that the basis of classification of planning models lies in the classification task scheduling, which includes tasks of ordering, coordination problems and problems of distribution, production planning model systems for the wood processing industry have a large number of technological and organizational parameters inherent in the production systems of discrete nature, which in the classic version of scheduling theory is not taken into account. There are several models of planning for a manufacturing site, the methodological basis for which gives Johnson model to n parts and two machines, which is of theoretical interest, since the real emerging problem is more complicated. The article deals with the use of scheduling theory for the tasks associated with the ordering of works, often resulting in the selection and justification of the process in wood processing. The authors, using a heuristic approach based on consistent methods of design, analysis and screening options offers the idea of constructing step by step solution. One of the schemes of phased construction of the optimal sequence of set n tinning machines NM is considered. The result is generalized for the case of more than three machines. It is shown that the process of finding the optimal sequence is the process of partitioning the set of all possible permutations of the subsets and the computation of lower bounds for the values ​​of optimized function for each of the subsets.

Текст научной работы на тему «Анализ возможностей применения методов теории расписаний к задачам деревообрабатывающих производств и их формализация»

УДК 674: 65.012.26

АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ РАСПИСАНИЙ К ЗАДАЧАМ ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩИХ ПРОИЗВОДСТВ И ИХ ФОРМАЛИЗАЦИЯ Е. С. Хухрянская, Н. Ю. Юдина, Е. В. Ющенко

ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»

Helen-kh@yandex.ru

Методы выбора оптимальной последовательности выполнения заданного набора работ на имеющемся комплекте оборудования исследуются на протяжении многих лет и в настоящее время сформулированы в самостоятельный раздел дискретной математики - теорию расписаний. Существуют различные варианты задач теории расписаний, часть из них является ЖР-полными, часть принадлежит к классу полиномиальных задач, для части задач так и не удалось доказать принадлежности к какому-либо классу сложности. Задачи теории расписаний, как правило, трудноразрешимы, хотя для некоторых из них существуют эффективные алгоритмы решения. К задачам теории расписаний относятся:

- задачи упорядочения - минимизации функций на перестановках,

- задачи согласования - определение длительностей выполнения работ при конфликтующих потребностях работ в ресурсах,

- задачи распределения - при альтернативных технологиях выполнения работ.

В дальнейшем будем рассматривать лишь задачи теории расписаний, связанные с упорядочением работ.

Рассматривая первый этап обработки древесины, лесосечные работы, т.е. заготовку древесины, задачу поиска расписаний обычно сводят к задаче одной машины (станка) с возможностью прерывания работ, директивными сроками окончания и произвольными временами появления работы.

В технологии деревообработки, в частности мебельном производстве, это чаще всего относится к порядку запуска в обработку различных деталей. В лесопилении актуальна задача определения оптимальных размеров и порядка запуска в распиловку партий пиловочного сырья с различными размерно-качественными характеристиками (диаметр и длина бревна, его сорт) [1, 2]. Подобного рода задачи весьма сложны с математической точки зрения, поэтому точные решения получены лишь для самых простых случаев - одного или двух станков. В теории расписаний показано, что в общем случае число вариантов решения при последовательной распиловке бревен п диаметров М станками равно (п!^. Данное число при М=4 и п=5 уже превышает 200 миллионов. При возникающих в производстве размерностях задач полный перебор вариантов решений может потребовать значительных

вычислительных ресурсов, поэтому практически методом полного перебора пользоваться нецелесообразно.

Таким образом, необходимо найти способ сокращения числа анализируемых вариантов, т.е. осуществить их целенаправленный отбор. Это достигается различными путями. Однако формализация алгоритма такого отбора часто представляется достаточно сложной. Наиболее перспективным в этом плане оказывается эвристический подход. Эвристические методы основаны на интеллектуальном поиске стратегий компьютерного решения проблемы с использованием нескольких альтернативных подходов [3]. В основе методов последовательного конструирования, анализа и отсеивания вариантов лежит идея пошагового построения решения. Мы рассмотрим одну из схем поочередного (поэтапного) конструирования оптимальной последовательности п* облуживания п требований множества ^ {1, 2, ..., п} М

станками, т.н. схему ветвей и границ. Процесс построения искомой последовательности можно представить как процесс пошагового «развития» частичного ряда а обслуживания некоторых требований из N до полной последовательности п обслуживания всех требований множества N. В [4] приводится один из способов оценки перспективности частичных очередностей для случая М=3. Мы обобщим этот результат для случая М >3.

Обозначим станки через 1,2,...,/,...,т. Каждое требование обслуживается станком 1 в течение а(1) к единиц времени, затем станком 2 в течение а(2)к единиц времени и т.д.

Если требования множества N с N обслуживаются в последовательности

а = ('1,i2,...,ir), г = N , а остальные требования обслуживаются в последовательности а' = ('г+1, ir+2,..., in), то общее время обслуживания всех требований равно:

т(а,а')= тах

1<и <&2 <...<п

5>(1)(1 +5>(2)(1 +... + 2 а(т)'

к=1

к=и

к = ит

(1)

Станок 1 завершает обслуживание требований множества N в момент време-

ни

Станок ] завершает обслуживание требований множества N в момент времени

Т1(а) = 2 а(1)'к.

(2)

к=1

Станок 2 завершает обслуживание требований множества N в момент времени

Т (а) = тах

■' 1<и1 <и2 <...<г

2 а(1)!'к + 2 а(2)г'к +

к=1 к=и

... + 2 а^),к

к=и,

. (4)

Т2(а) = тах

1<и<г

2 а(1) к +2 а(2)г-

к=1

к=и

Определим оценку у(а) последовательности а (по станкам), полагая

/(ст) = тах

Т^ст) + £ а(1)к + тщ|а(2)к +... + а(т)к]

кеЫ

кеЫ \ N

Т2(ст) + £ а(2)к + кт111~[а(3)к +... + а(т)к]

keN\N

Ту(ст) + Е а^)к + тт[аС + 1)к +... + а(т)к]

(5)

кеЖ \ N

тт (ст) + Ха(])к

кеМ \ N

Очевидно, /(ст) < Т(ст,ст') и эту оценку можно использовать в качестве нижней оценки значения Т(ст,ст').

Конструирование оптимальной последовательности включает построение частичных последовательностей, оценку этих последовательностей, выбор для последующего «развития» наиболее перспективной частичной последовательности. Этот процесс является, по существу, процессом разбиения множества всех и! возможных перестановок на подмножества и вычисления нижних оценок значений оптимизируемой функции на каждом из этих подмножеств.

Алгоритм нахождения оптимального решения в этом случае сводится к следующим действиям.

На первом шаге рассматривается и множеств перестановок вида

(ст,ст'), ст = (к),к = 1,п, ст' - произвольная перестановка элементов множества N\{к}, N = {1,2,...,п}. Каждое из этих множеств содержит (п-1)! перестановок.

В качестве нижней оценки значений оптимизируемой функции Т(тс) на множестве перестановок вида (ст,ст') выбираем величину /(ст).

Выбираем перестановку ст =(/1) с наименьшим значением /(ст).

На втором шаге рассматривается п-1 множеств перестановок вида (ст,ст'),ст = (¡1,к),к Ф ¡1, ст' - произвольная перестановка элементов множества N \ , к}. Каждое из этих множеств содержит (и-2)! перестановок.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдена частичная последовательность ст(/1,). Очевидно в этом случае ст'(/и) и Т(ст,ст') = Т(^). В конечном итоге множество всех перестановок оказы-

п-1

вается разбитым на £ г +1 подмножеств,

г=1

что существенно сокращает общее число рассматриваемых вариантов решения.

Алгоритм нахождения оптимального решения более упростится, если обратить внимание на то, что нахождение величин Т(а), по сути, представляет собой задачу коммивояжера. Для нахождения этих величин успешно может быть применен метод динамического программирования [5]. В соответствии со схемой динамического программирования следует разбить процесс на этапы и выделить соответствующие состояния системы.

Для случая обслуживания М стан-

ками r требований существует M+r этапный процесс. Причем возможно не более двух переходов из каждого состояния предыдущего этапа в состояние последующего этапа. Эффективность перехода определяется временем обслуживания, соответствующим состоянию, в которое совершается переход.

Библиографический список

1. Чевычелов Ю.А., Хухрянская Е.С., Болобина А.В. Подсистема подготовки данных для расчета постава и оптимизация процессов деревообработки // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: межвузовский сборник научных трудов. Воронеж, 2008. Вып. 13. С. 127-130.

2. Хухрянская, Е.С. Математические модели раскроя лесоматериалов [Текст]: автореферат дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук: 05.21.05 / Е.С. Хухрянская. - Воронеж, 1998. - 18 с.

3. Гудман С., Хидетниеми С. Введение в разработку и анализ алгоритмов / М.: Мир, 1981. 368 с.

4. Танаев ВС., Шкурба ВВ. Введение в теорию расписаний / М.: Наука, 1975. 256 с.

5. Щербина О.А. Методологические аспекты динамического программирования // Динамические системы, 2007. Вып. 22., C. 21-36.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.