CC BY
139
чина во всех сечениях вдоль высоты цилиндра; это отношение равно 1,5 для пристеночного потока и 2,0 для центрального потока.
2. Полученные результаты можно использовать при синтезе упрощенной оценочной модели конвективного движения, используя гипотезу полного вытеснения, т. е. учитывая распределение температуры только по координате г; скорость потока в оценочной модели можно считать постоянной величиной, используя среднее значение с учетом полученных соотношений.
3. В условиях стационарного движения оценочная модель, основанная на гипотезе полного вытеснения, сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, аналитическое решение которых известно; такие оценочные модели удобно применять в вычислительных алгоритмах оптимального управления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Артюшкин А.Ю., Карпов В.И., Татаринов A.B. Энергосберегающий алгоритм оптимального управления температурой брожения пива (термодинамический подход) // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2010. - № 4. - С. 103-106.
2. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пух-начев В.В. Современные математические модели конвекции. - М.: Физматлит, 2008. - 368 с.
3. Гетлинг A.B. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 248 с.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. -6-е изд., стер. - СПб.: Изд-во «Лань», 2003. - 832 с.
5. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. - М.: Высш. шк., 1972. - 368 с.
6. Бэтчелор Дж.К. Введение в динамику жидкости. -М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. -768 с.
Поступила 24.01.11 г.
SYNTHESIS OF ESTIMATION MATHEMATICAL MODEL OF CONVECTION DURING BEER FERMENTATION
A.YU. ARTUSHKIN, A.V. TATARINOV
Moscow State University of Food Production,
11, Volokolamskoye sh., Moscow, 125080; fax: (499) 158-7250, e-mail: sasha_artushkin@mail.ru
The process of natural liquid convection induced during beer fermentation in cylinder-conic tank is considered. For steady state convective motion expressions those define profiles of temperature and velocity are obtained. The ratio of maximum flow speed to average one is estimated. The conclusion about possibility of the synthesis of simplified estimated model for application in computational optimal control algorithms of beer temperature during fermentation process is expressed.
Key words: cylinder-conic tank, beer fermentation, natural convection, mathematical model.
663.551.4
АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ ГАЗА И РАСЧЕТ ПРОТЕЧЕК В ВИНТОВОМ КОМПРЕССОРЕ
Е.Н. КОНСТАНТИНОВ, Т.Г. КОРОТКОВА
Кубанский государственный технологический университет,
350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2; электронная почта: intrel@kubstu.ru
Выполнен анализ уравнения Навье-Стокса, применяемого для сжимаемых жидкостей и газов. Для канала постоянного сечения рассмотрен на молекулярном уровне с позиций теоретической механики для тел переменной массы процесс расширения газа при снижении давления в канале. Показано, что плотность, стоящая перед субстанциональной производной скорости, должна находиться под знаком дифференциала. Полученный результат проиллюстрирован при анализе протечек.
Ключевые слова: уравнение движения Навье-Стокса, сжимаемый газ, переменная плотность, протечки, винтовой компрессор.
В работе [1] обоснована экономическая целесообразность рекуперации теплоты вторичных паров выпаривания барды для обогрева колонн брагоректификационной установки (БРУ) и на стадии ферментативного разваривания. В связи с тем, что переработка барды предусмотрена к внедрению на всех спиртзаводах России, а использование вторичных паров выпаривания позволяет практически полностью компенсировать затраты тепла на БРУ, это направление является перспективным. Дальнейшее снижение энергопотребления связано с использованием на БРУ тепловых насосов, которое практикуется зарубежными предприятиями.
Для компримирования паров спирта целесообразно применение винтовых компрессоров.
Выполненное нами моделирование БРУ с тепловым насосом показало, что эффективность использования этой технологии не бесспорна и может быть сведена практически к минимуму из-за протечек в компрессорах, так как они приводят к значительным потерям мощности и увеличению затрат электроэнергии.
Расчет протечек основан на использовании уравнений гидродинамики сжимаемой жидкости Навье-Стокса. Эти уравнения отличаются от уравнений капельной несжимаемой жидкости. При движении сжимае-
мой жидкости (газа) в ней возникают вызванные трением силы сжатия и растяжения, поэтому уравнения Навье-Стокса принимают следующий вид [2]:
йих >—-й
йиу
I---
й
йиг
V
дР_
дх
дР
ду
-РИ
V 2 . 1 д
V wx Н-------
- 3 дх,
Ъ2 . 1 д
V wy Н-------
, у 3 ду.
дР
ж
V2 иг + - — - 3 дг J
(1)
где р - плотность газа; ц - динамическая вязкость газа; Wx, иу, и2 - со-
йи dWy йи дР дР дР ставляющие скорости вдоль осей х, у и г; —-, —у, —-,--------,-,--
й й й дх ду дг
проекции ускорения и силы давления на оси координат х, у и г; х - время; и - ускорение свободного падения, м/с2;
V2 д ,д'их ,д'их
V их =--------2х- +----^ +-------2^;
йх йу йг
V 2иу _-
с1й
йу
у I ______у
•2 йг2
:- + -
йу2
с!й
йи _ 1 йр н ^
й р йх
йх
1 й
3 йх
(2)
где О - кинематическая вязкость.
На этой основе при ряде допущений получены широко использующиеся формулы для расчета протечек: [4] и [5] соответственно:
п ;2 2 И 1Р11 Рг 2 ' -1
1п Рг 2 + £+
Ч _ кс
— + 21п —
Р
ят
(4)
где Ко - коэффициент сопротивления.
Аналогичный вид имеет уравнение для расчета газопроводов высокого давления, из которого определяют потери напора при изотермическом течении газа [6]:
Р - Р
н к
I
(5)
-; V2- оператор Лапласа (сумма вторых
ддд
производных по осям координат); —, —,----изменение скорости
дх ду дг
по осям х, у и г, связанное с действием сил сжатия и растяжения;
ди . дКу . диг
_ —- + —у— + —г _ сиу и; сиу и - дивергенция скорости, сумма
дх ду дг
изменений скорости вдоль осей координат х, у и г.
Следует отметить, что плотность газа Р переменная величина. Учитывая это, предлагают относить все члены уравнения гидродинамики не к единице объема, а к единице массы. Фактически это осуществляют формальным делением уравнения Навье-Стокса (1) на плотность р [3]. В этом случае перепад давления и все внешние силы отнесены к 1 кг массы, и уравнение (1) для одномерного движения газа приобретает вид
где I - длина газопровода, км; й - диаметр, см; Рн, Рк - давление на входе и выходе, бар; Q - расход газа, отнесенный к нормальным условиям, м3/ч; ё - коэффициент сопротивления; р - плотность газа, кг/м3; и - ускорение свободного падения, м/с2.
Прежде чем решать задачу расчета величины протечек, проанализируем исходное дифференциальное уравнение. На первый взгляд, в уравнении (1) для газовых систем плотность должна находиться под знаком дифференциала. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Для большей наглядности примем простейший случай: канал постоянного сечения. Пусть элементарный объем АУсодержит п молекул, массой т каждая. Тогда
тп АУ'
(6)
(3)
где Р2, Р\, Т2 - параметры газа до (индекс 2) и после (индекс 1) щели; Р, Т- давление и абсолютная температура; ч - массовый расход газа; I, 8 - длина (по фронту) и минимальная высота щели; ё - коэффициент трения (сопротивления) газового потока в щели (ё является функцией числа Рейнольдса Яе); £ - коэффициент местных сопротивлений на входе и выходе (£ является функцией числа Яе, при отсутствии внезапных сужений и расширений £ = 0); Е - коэффициент среды для «мокрых» компрессоров (для «сухих» Е = 0); и - ускорение силы тяжести; у 1 - удельный вес, у 1 = Р\М/ЯТ; М- молекулярный вес; Я - универсальная газовая постоянная,
Этот объем перемещается по каналу постоянного сечения со скоростью м и одновременно из-за снижения давления он расширяется в обе стороны. За бесконечно малое время йх объем расширится на й(АУ). В область расширения суммарно перейдет йп молекул, причем йп/2 - в направлении движения и столько же в обратном направлении. Если вылет произойдет со скоростью V, то в прямом направлении молекулы будут двигаться при расширении со скоростью V + и, а в обратном V - и, где и - скорость системы, которая в связи с уменьшением давления за время йх изменится на йи. Вычислим изменение количества движения всей системы, отнесенное к единице объема. Количество движения в начальный момент времени, отнесенное к единице объема, было тпи. По истечении бесконечно ма-АУ
лого времени йх, а именно в момент времени х + йх, количество движения стало
йтп / , ч\ йтп / , ч\ тп , %
------(V -(и + йи))Н------(V+ (и + йи))Н------(и + йи) .
2АУУ У 2АУУ У ' АУ /
Тогда изменение количества движения всей системы
йтп / , , ч\ йтп / , , ч\
-(V -(и + йи))н---------(V +(и + йи)) +
2АУ тп
2АУ
.тп (и н тпи _ Ей АУ (и и) АУ _ АУ ’
(7)
где Ейх - импульс силы.
После раскрытия скобок и пренебрежения бесконечно малыми высшего порядка получим
ий(тп) + тпйи _ Ей , (8)
где Е - сумма внешних сил давления и вязкостного трения.
1
у
и
V2 и- _
й2
и
Ч
В расчете на единицу объема, как принято при выводе уравнений Навье-Стокса, имеем
d
У AV
Окончательно получим
= d( pw).
d
pw
d
F
AV'
(9)
(10)
Таким образом, доказано, что плотность в уравнении Навье-Стокса должна находиться под знаком дифференциала.
Для случая одномерного стационарного горизонтального движения в канале постоянного сечения
d(pw) dx = _F_ dx d AV
(11)
Таким образом, уравнения Навье-Стокса (1) с учетом сжимаемости газа должны быть записаны в виде
d(pwx
d
d(pwy
d
d(pwz
d
dP
dx
dP
dy
dP
~pg
dz
V2 + 1 d
V wx H--------
x 3 dxj
V 2 + 1 d
V wy H--------
, y 3 dy
V2 wz + - — z 3 dz
(12)
Проанализируем использование различных уравнений для вывода зависимости расхода газа в щели от перепада давления. Рассмотрим уравнение стационарного одномерного течения, которое использовалось в работах [4, 5] в качестве исходного.
pw
dw
dx
где принято, что
64
dF
dP + dFv_ dx dx
pw
0,
(13)
dx
V
w = - =
G GRT
S pS MSP
где S - площадь поперечного сечения канала, м2
(14)
Подставляя (14) в уравнение (13) при учете уравнения неразрывности для сжимаемого газа ё1у(ри) = 0, получим
G2RT dP_
MS2 P2 dx
dP=о.
dx
(15)
Отсюда йРійл = 0. Следовательно, для идеального газа, как и для жидкости в случае отсутствия сил трения, давление не изменяется вдоль канала.
В-третьих, уравнение Навье-Стокса, отнесенное к единице массы, не привносит ничего нового и дает аналогичный результат.
В-четвертых, аналогичный результат получается при использовании полученного нами уравнения (10):
^ w+dP=0.
dx dx
(16)
Таким образом, окончательный результат во всех вариантах имеет вид
Р1 = Р2 = const.
(17)
Для канала винтового компрессора, по которому происходит течение жидкости из парной полости с высоким давлением Р2 в парную полость с низким давлением Р1, полученный результат противоречив. Фактически имеет место значительная разность давлений между парными полостями, а согласно выражению (17) Р1 = Р2. Это противоречие имеет простое разрешение. Действительно, в канале Р1 = Р2, а на входе в канал из парной полости имеет место скачок давлений от Р2 до Р1. Фактически при этом скачке реально наблюдается более смягченная картина (рисунок).
Согласно уравнению (17), Р1 = Р2 = const.
Скорость движения в канале нетрудно рассчитать из равенства потенциальной и кинетической энергий (как при истечении).
p1 w
P — P
P2 P1 .
Откуда
где = —; S - ширина щели; - усредненная по сечению сила тре-
Re
ния; Re — - критерий Рейнольдса.
Во-первых, используем простой вариант FTp = 0 и движение по трубе постоянного сечения S = const, м2. В частности, для жидкости р = const, Э = const и div(w) = 0. При этих условиях уравнение (13) дает dP/dx = 0, т. е. изменение P обусловлено только силами трения Ftp.
Во-вторых, рассмотрим идеальный газ, для которого р = PM/RTпри условии изоэнтальпийного течения в щели, т. е. при T = const. Скорость определяется соотношением
w=
№ - P1)
(18)
(19)
Аналогично изложенному, проведем анализ с учетом потерь на вязкостное трение при ламинарном режиме
dFтr
pw 64 pw , 32 w
dx =
Re 2
dx =
dx. (20)
2
2
Для капельной жидкости при р = const и w = const получим
2
w =
(P - P,
32 l
(21)
Таким образом, для капельной жидкости скорость ее движения, а значит, и расход пропорциональны разности давлений в парных полостях, как и в случае фильтрации.
Для случая течения сжимаемого газа в соответствии с исходными положениями работ [4, 5] с дополнительным уточнением, что коэффициент сопротивления ё зависит от числа Рейнольдса Яе и поэтому является переменным по длине канала, получены следующие результаты:
dw dP 32 w
pw*+dx
0.
(22)
С учетом того, что массовая скорость q = pw = const, а также с учетом выражения (14) имеем
dw dP 32
q-----------1---------------------------— dx = 0.
w
w
Или
I W2
q ln —
w
PM-dP - l =
2
qRT
w2 1 M
q ln^ +----------
w1 2 qRT
P2
32
(23)
l= 0.
Окончательно
q
ln W. + i M (P,2 - P
w
2 RT
D12 )■
32 q
l = 0. (24)
d(pw) dP 32 w
——-w +--------------=
dx dx 2
0.
(25)
Или
Откуда
p _i dP = 32_
p w dx 2
- PMdP = dx.
q RT 2
q
M
64RT l
(P22 - Pi2)
(26)
(27)
(28)
По существу уравнение (24) содержит те же составляющие, что и уравнения в работах [4, 5] и практически совпадает с ними.
При использовании предложенного в настоящей статье уравнения Навье-Стокса получим
Стоящая под знаком дифференциала величина pw = q = const, поэтому d(pw)/dx = 0. И из уравнения (25) получим
Уравнение (28) дает результаты, качественно и количественно отличающиеся от получаемых по уравнениям в работах [4, 5], в последних движущая сила представляет собой корень квадратный из разности квадратов давлений в смежных парных полостях, тогда как в уравнении (28) движущей силой является разность квадратов давлений. Следует отметить, что величина протечек по указанной выше причине сильно изменяется в зависимости от давления в анализируемой полости. Если на последней стадии компримирования при высоком давлении величина протечки равна 9%, то на предыдущих стадиях порядок величины протечек составляет соответсвенно 4, 2 и 1%. При такой величине протечек производительность компрессора снижается на 4,5% при мощности компрессора 230 кВт и равномерном ее распределении по парным полостям. Полученное уравнение использовалось нами при моделировании винтового компрессора с протечками при его использовании в тепловом насосе БРУ
ЛИТЕРАТУРА
1. Левашова Л.М., Устюжанинова Т.А., Короткова Т.Г., Константинов Е.Н. Энергосбережение при производстве этанола // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2011. - № 1. - С. 68-71.
2. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: ООО ТИД «Альянс», 2004. - 753 с.
3. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика сплошных сред. Лекции (Физ. фак. МГУ). - Изд-во физ. фак. МГУ, 1997. - http://www.astronet.ru/db/msg/1173645.
4. Захаренко С.Е. Экспериментальное исследование протечек газа через щели. - Л.: Машгиз, 1953 (Труды ЛПИ). - № 2.
5. Сакун И.А. Винтовые компрессоры. - М.: Машиностроение, 1970. - 400 с.
6. Барекян А.Ш. Основы гидравлики и гидропневмоприводов. - Тверь, 2006. - 84 с.
Поступила 02.03.11 г.
2
2
2
ANALYSIS OF THE EQUATION OF MOTION OF THE NAVIER-STOKES FOR GAS AND CALCULATION LEAKS IN SCREW COMPRESSORS
E.N. KONSTANTINOV, T.G. KOROTKOVA
Kuban State Technological University,
2, Moskovskaya st., Krasnodar, 350072; e-mail: intrel@kubstu.ru
The analysis of the Navier-Stokes equations applied to compressible fluids and gases. For a channel of constant cross section taken at the molecular level in terms of theoretical mechanics for bodies with variable masses of the process of expansion of the gas at lower pressure in the channel. It is shown that the density of facing substantial derivative of speed, should be under the sign of the differential. The results are illustrated in the analysis of leakage.
Key words: equation of motion of the Navier-Stokes equations, compressible gas, variable density, leakage, screw compressor.
