CC BY
92
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ
УДК 539.3 DOI: 10.31675/1607-1859-2018-20-3-100-111
В.Н. БАРАШКОВ, М.Ю. ШЕВЧЕНКО,
Томский государственный архитектурно-строительный университет
АНАЛИЗ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ, НАГРУЖЕННОЙ ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ
Рассматривается задача расчёта плоского осесимметричного упругопластического напряжённого состояния толстостенной стальной цилиндрической трубы при действии равномерного внутреннего давления. В трубе реализуются два предельных состояния: упругого и пластического сопротивления материала для двух предельных значений давления. Для промежуточного значения давления сечение трубы состоит из двух концентрических кольцевых зон - внутренней упругопластической зоны и внешней упругой. Исчерпание несущей способности трубы происходит тогда, когда зона упругопластиче-ских деформаций, распространяясь от внутренней поверхности трубы, доходит до её наружной поверхности. Поэтому наличие у внешней поверхности трубы зоны упругого деформирования не приводит к разрушению конструкции.
Ключевые слова: толстостенная труба; плоская осесимметричная упругопла-стическая задача; диаграмма Прандтля; несжимаемый материал; предел упругого сопротивления; предел пластического сопротивления; расчёт прочности.
Для цитирования: Барашков В.Н., Шевченко М.Ю. Анализ упругопластического напряжённого состояния цилиндрической трубы, нагруженной внутренним давлением // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2018. Т. 20. № 3. С. 100-111.
V.N. BARASHKOV, M.U. SHEVCHENKO, Tomsk State University of Architecture and Building
ELASTOPLASTIC STRESS STATE OF CYLINDRICAL PIPE UNDER INTERNAL PRESSURE
The paper deals with calculating the plane axisymmetric elastic-plastic stress state of a heavy wall steel pipe under the uniform internal pressure. Two limiting states are applied to the pipe: elastic and plastic resistance of material for two values of the pressure limit. At the intermediate pressure, the cross-section of the pipe consists of two concentric annular zones, namely the inner the outer elastoplastic zones. Exhaustion of the load-bearing pipe capacity
© Барашков В.Н., Шевченко М.Ю., 2018
occurs when the elastoplastic deformation generated by the inner pipe surface reaches its outer surface. Therefore, the presence of the elastic deformation zone on external pipe surface does not lead to the structural failure.
Keywords: heavy wall pipe; planar axisymmetric elastoplastic problem; Prandtl diagram; incompressible material; elastic strength limit; plastic strength limit; strength analysis.
For citation: Barashkov V.N., Shevchenko M.U. Analiz uprugoplasticheskogo napryazhennogo sostoyaniya tsilindricheskoi truby, nagruzhennoi vnutrennim davleniem [Elastoplastic stress state of cylindrical pipe under internal pressure]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta - Journal of Construction and Architecture. 2018. V. 20. No. 3. Pp. 100-111. (rus)
В статье рассматривается решение задачи о плоском осесимметричном упругопластическом напряжённом состоянии толстостенной трубы, нагруженной на внутренней поверхности равномерным давлением. Задача об упругопластическом деформировании труб рассматривалась многими авторами, например, в работах [1-4].
Толстостенные трубы используются в машиностроении для конструкций с высокими требованиями по надежности; в теплоэнергетике и теплотехнике для оборудования теплосетей и котельных; в нефтедобывающей и нефтеперерабатывающей отрасли в буровых работах и при строительстве нефтепроводов; в химической промышленности бесшовные стальные трубы служат для транспортировки различных агрессивных сред (растворов щелочей, кислот и солей) и функционируют при огромных (до 2-3 сотен атмосфер) нагрузках.
В подобной задаче практический интерес представляет случай симметричного распределения перемещений, деформаций и напряжений относительно продольной оси z цилиндрической системы координат r, 9, z. Окружные перемещения, осевые и угловые деформации, касательные напряжения равны нулю, а радиальные перемещения, радиальные и окружные деформации, радиальные сг и окружные се напряжения зависят только от радиуса r и не зависят от полярного угла 9 .
Для анализа напряжённого состояния трубы необходимо иметь соотношения для вычисления трёх нормальных напряжений аг, сте, az. В упругой стадии работы материала трубы эти напряжения, эпюры которых представлены на рис. 1, определяются по формулам, полученным из решения задачи Ламе при отсутствии внешнего давления [5-7]:
2
a
°r = Pa-2-2
b - a
\ bp r
V J
a
, ce = Pa 7!-2
b - a
,2 f ,2\
v'+7 j
VJ
^z =VK ) , (1)
где ра - внутреннее давление; а и Ь - внутренний и внешний радиусы трубы.
В случае плоской деформации выражение для осевого напряжения с 2 следует из обобщённого закона Гука.
Представленные на рис. 1 результаты показывают, что наиболее напряжённая точка находится на внутренней поверхности трубы г = а.
Рис. 1. Эпюры напряжений в осесимметрично нагруженной внутренним давлением толстостенной трубе
Для упрощения задачи принимается, что материал трубы несжимаем, т. е. коэффициент Пуассона V = 0,5 . Тогда осевое напряжение при упругом деформировании будет
С = 0,5К +се ) = 0,5
2 Ра®2
Раа
■ = соп81:.
(2)
Ъ2 - а2 Ъ2 - а2
При упругопластическом деформировании для напряжения с2 имеет место аналогичное выражение
С = 0,5 (сг +се) . (3)
Поэтому следует иметь в виду, что напряжения сг, с в формуле (3) определяются по соотношениям, соответствующим упругопластической стадии деформирования материала.
С увеличением внутреннего давления от внутренней поверхности к внешней развиваются упругопластические деформации, что приводит к появлению в поперечном сечении трубы двух концентрических кольцевых зон: упругопластической и упругой зон деформирования (рис. 2). Границей зон по длине и толщине трубы является цилиндрическая поверхность радиусом г = с . Во внутренней зоне а < г < с имеют место упругопластические деформации, а в наружной зоне с < г < Ъ деформации остаются упругими.
Для вычисления напряжений в упругой зоне используются соотношения (1), которые с учётом того, что а = с, записываются так [5-7]:
Ъ2 - с2
1 —
с = <
Ъ2 - с2
Л
1 -
(4)
где д - радиальное напряжение (аналог приложенного давления) на границе между зонами.
Напряжения в упругопластической зоне вычисляются по формулам
2 г 2
Ъг = Ра 1п"' °е=°г .
2
2
сг =
Эти выражения следуют из решения системы двух уравнений: дифференциального уравнения равновесия плоской задачи при отсутствии объёмных сил
°г ~°е _0 Ф г
и условия пластичности Губера - Мизеса
а, = от,
которое в цилиндрической системе координат для случая плоской деформации записывается следующим образом:
г 2
(°е -аг.
При этом считается, что материал трубы при упругопластическом деформировании не обладает упрочнением, т. е. является идеальным упругопла-стическим. В этом случае зависимость между интенсивностями напряжений оi и деформаций г, описывается диаграммой Прандтля.
Из условия непрерывности нормальных напряжений оГ и о на границе г = с двух зон с помощью формул (4) и (5) получаются соотношения
Ч = Ра - \ ат 1П С, (6)
ф а
1 с 1
1п— + —
\_С21
2 ат
V ,
Ра* 3 (7)
для определения параметров Ч и с .
Трансцендентное уравнение (7) служит для определения радиуса с цилиндрической граничной поверхности. Далее по формуле (6) вычисляется радиальное напряжение ч , действующее на границе зон. Нормальные напряже-
а
ния в упругопластической зоне трубы подсчитываются по формулам (5) и (3), а в упругой - по формулам (4) и (2).
В качестве примера выбрана труба (цилиндр) с размерами: толщина трубы к = 0,07 м, а = 0,14 м, Ь = 0,21 м; предел текучести материала от = 230 МПа. Отношение радиусов МЬа = Ь/а = 1,5.
При увеличении внутреннего давления в трубе имеют место два предельных состояния.
1. Предел упругого сопротивления трубы. Это состояние соответствует радиусу с = а, т. е. случаю, когда материал по всей толщине трубы деформируется упруго. Из уравнения (7) следует выражение для предельного давления
(
от
Р =~Г
ау
1 - О-
V Ъ2,
= 0,32075 от = 73,7725 МПа.
Подстановка давления Р в соотношения (1) для напряжений в упругой зоне приводит к формулам для определения напряжений, возникающих в трубе при пределе её упругого сопротивления:
от а
сг =
2 Г 1,2\
1 - ы
с =
от а
22
1 -Ъ-
■ , , г2 ,
V У 4 V У
у/з Ъ2 Iх г2 1' ~е л/з Ъ2
Используя эти формулы, получим распределение напряжений по толщине трубы для трёх значений координаты г = а, (Ь+а) /2, Ь:
а) на внутренней поверхности трубы г = а
С =-0,32075с =-73,7725 МПа, с = 0,8340 с = 191,8086 МПа;
б) в средних по толщине точках г = (Ь+а)/2
с =-0,1129 с =-25,9679 МПа, с0 = 0,6261с = 144,0040 МПа;
в) на внешней поверхности трубы г = Ь
с= 0, с= 0,5132с = 118,0361 МПа.
Осевые напряжения с2 одинаковы по длине и толщине трубы и определяются по формуле (2):
а2
с = Р -= 0,2566 с = 59,0180 МПа.
2 РаУЪ2 - а2 т
Напряжения с2 также можно вычислить по формуле (3). Эпюры напряжений представлены на рис. 3.
Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что осевые напряжения по величине меньше радиальных и окружных напряжений; в наиболее тяжёлых условиях находится материал у внутренней поверхности трубы, где окружные напряжения максимальны.
Используя формулу для интенсивности напряжений при отсутствии касательных напряжений [7]
т/2
с, (сг -се )2 + (се -с2 )2 + К -сг )2
вычислим величины с на поверхности трубы г = а для значений напряжений ог =-0,32075ст , ое = 0,8340от , ог = 0,2566от - аг = ат = 230 МПа.
Рис. 3. Эпюры нормальных напряжений при достижении предела упругого сопротивления трубы
Таким образом, интенсивность напряжений на внутренней поверхности трубы равна пределу текучести ст , т. к. используется модель идеального упругопластического тела. При приближении к внешней поверхности трубы величина сг уменьшается, и на внешней поверхности с = 102,222 МПа. Поэтому с увеличением внутреннего давления последним пластически деформируется материал внешней поверхности трубы.
2. Предел пластического сопротивления трубы. Это предельное состояние соответствует значению радиуса с = Ь . В этом случае упругопластиче-ские деформации распространяются на всю толщину трубы, что приводит к исчерпанию её несущей способности. Величина предельного давления определяется из трансцендентного уравнения (7) по формуле
Р,
а рг
= -2 от1п Ь = 0,4682ат = 107,6839 МПа. л/3 а
Подставляя ра рг в соотношения (5), запишем формулы для вычисления напряжений в упругопластической зоне деформирования:
= - Р,
а рг
'Тъ °т 1па, 0е=0"+;|°т
С = 0,5(сг +се) .
Используя эти выражения, получим распределение напряжений по толщине трубы:
а) на внутренней поверхности трубы г = а
С = -0,4682 от =-107,6839 МПа, с0 = 0,6865с = 157,8972 МПа, С= 0,10916 от = 25,10668 МПа;
б) в средних по толщине точках г = (Ь+а) /2
о =-0,2105 от =-48,4212 МПа, о0 = 0,9442 от = 217,1600 МПа,
стг = 0,3 668 с = 84,3694 МПа; в) на внешней поверхности трубы г = Ь аг = 0; ое = 1,1547 от = 265,5811 МПа, стг = 0,57735от = 132,7906 МПа.
Эпюры напряжений представлены на рис. 4. Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что в упругопластической стадии деформирования в наиболее тяжёлых условиях находится материал на наружной поверхности трубы, где окружные напряжения сте = 1,1547от = 265,5811 МПа. В обоих предельных случаях граничные условия в напряжениях выполняются:
г = а, о. =-pa г = b, о = 0.
Г = а, С. =-Papr :
r = b, о = 0.
Рис. 4. Эпюры нормальных напряжений при достижении предела пластического сопротивления трубы
Вычисления интенсивности напряжений по толщине трубы показали, что везде стг = с. Таким образом, материал во всём объёме трубы деформируется упругопластически, согласуясь с диаграммой Прандтля, и для него выполняется условие пластичности Губера - Мизеса.
При нагружении внутренним давлением в трубе реализуется представленное на рис. 2 состояние, которое является промежуточным между двумя предельными состояниями и которое может быть реализовано на практике. Проведём анализ такого напряжённого состояния для расчётного давления
pcaic = 0,39447 от = 90,7282 МПа, удовлетворяющего неравенству
^ calc ^
< Pc < Pa
г а у га гарг'
являющемуся для данной задачи условием прочности [7].
Трансцендентное уравнение (7) для Ь = 1,5 а переписывается так:
(8)
i c 1 ln— + —
а 2
(
1 --
1
Л
N2
ba
= 0,866025
calc
Pc
О
T
и, с введением новой переменной
х = с / а,
приводится к виду
1п х + 0,5 (1 - 0,44444 х2) = 0,34162.
Для решения уравнения использовалось программное средство МаШса«! Из двух найденных корней х1 = 1,13836 и х2 = 1,8937 только х1 позволяет определить действительный радиус с = хга = 0,15937 м, который удовлетворяет условию а < с < Ь .
Из уравнения (6) для известных с и рСа1с определяется величина напряжения д, действующего на границе упругой и упругопластической зон:
2 с
д = рсаа1с —= с 1п - = 0,2448 с = 56,31215 МПа. л/3 а
Ниже представлены результаты расчёта упругопластического напряжённого состояния толстостенной трубы. Для вычисления напряжений во внутренней упругопластической зоне а < г < с использовались формулы (5):
а) на внутренней поверхности г = а = 0,140 м
С =-0,3945от =-90,7282 МПа, с = 0,7602 от = 174,8529 МПа, С = 0,18288 от = 42,06235 МПа, с =С = 230 МПа;
б) в средних по толщине точках г = (с+а) /2 = 0,14969 м
С =-0,3172 от =-72,9631 МПа, с = 0,83747 от = 192,6180 МПа, С = 0,2601 от = 59,82748 МПа, С = С = 230 МПа;
в) на граничной поверхности между двумя зонами г = с = 0,15937 м
С = -0,2448 от =-56,3122 МПа, С = 0,90987 от = 209,2690 МПа,
С = 0,3325 ^ = 76,4784 МПа, С = С = 230 МПа.
Согласно полученным результатам, интенсивность напряжений по всей толщине упругопластической зоны трубы равна пределу текучести.
Для вычисления напряжений в наружной упругой зоне с < г < Ь использовались формулы (4):
а) на граничной поверхности между двумя зонами г = с = 0,15937 м
С = -0,2448 от =-56,3122 МПа, С = 0,90988 от = 209,2726 МПа, С = 0,3325 ^ = 76,4802 МПа, С = С = 230 МПа;
б) в средних по толщине точках г = (Ь+с) /2 = 0,184685 м
С =-0,0974 ^ =-22,4033 МПа, С = 0,76245 от = 175,3637 МПа, С = 0,3325 от = 76,4802 МПа, С = 0,74466С = 171,2712 МПа;
в) на внешней поверхности трубы г = Ь = 0,210 м
С = 0, С = 0,6650 ^ = 152,9604 МПа, С = 0,3325 от = 76,4802 МПа, С = 0,57595 С = 132,4676 МПа.
Судя по величинам интенсивности напряжений, вся наружная зона деформируется упруго, и величина С уменьшается при приближении к внешней поверхности. На рис. 5 и в таблице (п = 1—5) представлены результаты расчёта напряжений в толстостенной трубе с отношением радиусов ЫЬа = 1,5
для ряда значений рса1с, а также положение граничной поверхности г = с. Полученные результаты показывают отсутствие скачка напряжений, а также равенство напряжений Сг и д по абсолютной величине на границе зон г = с, что подтверждает изложенные в работах [5, 7] теоретические положения и достоверность результатов. В рассмотренном примере для расчётного давления р0^ = 90,7282 МПа, составляющего примерно 84 % от величины предела пластического сопротивления р , толщина зоны упругопластичес-кого деформирования г = с « 0,16 м меньше трети толщины трубы (рис. 5).
Рис. 5. Эпюры напряжений при упругом и упругопластическом деформировании трубы с отношением радиусов ЫЬа = 1,5 для рсаа1с = 90,7282 МПа
Результаты расчёта для МЬа =1,5 (п = 1-5) и НЬа =1,0526 (п = 6,7)
п 1 2 3 4 5 6 7
р, , МПа 77,1637 83,9459 90,7282 97,5105 104,2928 13,0146 13,0822
с, м 0,1433 0,1507 0,1594 0,1703 0,1867 0,9525 0,9552
д, МПа 70,942 64,430 56,312 45,433 27,798 12,306 11,624
Сг| г|г=с, МПа -70,942 -64,430 -56,312 -45,433 -27,798 -12,306 -11,624
г 'г=Ь, МПа 0 0 0 0 0 0 0
Окончание таблицы
п 1 2 3 4 5 6 7
max сте 1г=Ь, МПа 123,699 136,725 152,960 174,721 209,994 240,973 242,337
г 'г=Ь, МПа 61,8494 68,363 76,480 87,360 104,997 120,486 121,169
'' 'г=Ь, МПа 107,126 118,408 132,468 151,313 181,860 208,688 209,870
Были просчитаны трубы большого диаметра с близкой к единице величиной параметра МЬа . На рис. 6 и в столбцах п = 6,7 таблицы приведены результаты для такой трубы (И = 0,05 м, а = 0,95 м, Ь = 1,0 м, ЫЬа = 1,0526, от = 230 МПа). Величины предельных давлений равны р = 12,947 МПа,
Рарг = 13,6225 МПа. Следует отметить, что для труб подобной геометрии, которые можно отнести к классу оболочек, вследствие малости относительной толщины диапазон изменения значений параметра с значительно меньше. Поэтому с увеличением расчётного давления более некоторой предельной величины граница г = с между двумя зонами деформирования может выходить за пределы трубы, т. е. с > Ь .
Рис. 6. Эпюры напряжений при упругом и упругопластическом деформировании трубы с отношением радиусов = 1,0526 для рСа'с = 13,0822 МПа
Из представленных результатов расчёта двух типов труб с отношением радиусов N0 = 1,5 и N0 = 1,0526 следует, что наибольшими расчётными давлениями, удовлетворяющими условию прочности (8), для трубы первого типа является рсаа'с « 104,29 МПа и рсаа'с « 13,08 МПа - для трубы второго типа. При этом толщина упругопластической зоны деформирования в первом случае составляет
66,7 % толщины (г = с = 0,1867 м), а во втором случае (рис. 6) - около 10 % толщины стенки трубы (г = с = 0,9552 м). Максимальные значения интенсивности напряжений на внешней поверхности г = Ь труб соответственно равны С = 181,86 МПа и С = 209,87 МПа, что составляет 79 и 91 % от величины предела текучести с .
Изложенный в работе метод позволяет проводить оценку напряжённого состояния, а также расчёт прочности толстостенных труб при действии внутреннего давления с позиций осесимметричной плоской задачи (плоская деформация) теории упругости и пластичности. При реализации задачи используются условия пластичности Губера - Мизеса и несжимаемости материала. Материал трубы считается идеальным упругопластическим, для которого зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций описывается диаграммой Прандтля. Задаваясь удовлетворяющей условию прочности величиной расчётного давления рса1с, для которой у внешней поверхности трубы имеет место зона упругого деформирования, можно не допустить разрушения, ибо наличие такой зоны не приводит к исчерпанию несущей способности конструкции. Для более полной реализации свойств материала при расчёте
прочности трубы следует выбирать величину рса1с ближе к значению предельного давления ра рг .
Библиографический список
1. Александров С.Е., Гольдштейн Р.В. Расчет толщины стенки трубопровода под внутренним давлением при произвольном законе упрочнения // Деформация и разрушение материалов. 2011. № 9. С. 15-25.
2. Артемов М.А., Ларин И.А., Потапов Н.С. Распределение напряжений и деформаций в цилиндрической трубе при выборе кусочно-линейного условия пластичности // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2010. Т. 6. № 9. С. 117-119.
3. Киликовская О.А., Овчинникова Н.В., Пендюрина М.Н. О влиянии упругой сжимаемости и упрочнения материала на решение упругопластической задачи для толстостенной трубы под действием внутреннего или внешнего давления // Вестник Тульского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 16. Вып. 1. С. 72-87.
4. Миронова С.Н. Решение задачи упругопластического деформирования и разрушения толстостенной трубы на основании эндохронной теории пластичности // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физ.-мат. науки. 1996. Т. 4. С. 85-92.
5. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1970. 288 с.
6. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.
7. Барашков В.Н. Решение осесимметричной плоской задачи теории упругости и пластичности для тел вращения с учётом упругих и упругопластических деформаций. Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2015. 84 с.
References
1. Aleksandrov S.E. Raschet tolshchiny stenki truboprovoda pod vnutrennim davleniem pri pro-izvol'nom zakone uprochneniya [Wall thickness calculation of pipeline under internal pressure
and arbitrary law of hardening]. Deformatsiya i razrushenie materialov. 2011. No. 9. Pp. 15-25. (rus)
2. Artemov M.A., Larin I.A., Potapov N.S. Raspredelenie napryazhenij i deformacij v cilindri-cheskoj trube pri vybore kusochno-linejnogo usloviya plastichnosti [Stress-strain distribution in cylindrical tube in selecting piecewise yield criterion]. Vestnik Voronezhskogo gosudar-stvennogo tekhnicheskogo universiteta. 2010. V. 6. No. 9. Pp. 117-119. (rus)
3. Kilikovskaya O.A., Ovchinnikova N.V., Pendyurina M.N. O vliyanii uprugoi szhimaemosti i uprochneniya materiala na reshenie uprugoplasti-cheskoi zadachi dlya tolstostennoi truby pod deistviem vnutrennego ili vneshnego davleniya [Effect of material elastic compressibility and hardening on the elastoplastic problem solution for thick-wall pipe under internal or external pressure]. Vestnik Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika. 2010. V. 16. No. 1. Pp. 72-87. (rus)
4. Mironova S.N. Reshenie zadachi uprugoplasticheskogo deformirovaniya i razrusheniya tolstostennoi truby na osnovanii endokhronnoi teorii plastichnosti [Elastoplastic problem solution of deformation and destruction of thick-wall pipe using endochronic plasticity theory]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya: Fiz.-mat. nauki. 1996. V. 4. Pp. 85-92. (rus)
5. Samul V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of elasticity and plasticity theory]. Moscow: Vysshaya Shkola Publ., 1970. 288 p. (rus)
6. Malinin N.N. Prikladnaya teoriya plastichnosti i polzuchesti [Applied theory of plasticity and creep]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1975. 400 p. (rus)
7. Barashkov V.N. Reshenie osesimmetrichnoi ploskoi zadachi teorii uprugosti i plastichnosti dlya tel vrashcheniya s uchetom uprugikh i uprugo-plasticheskikh deformatsii [Axisymmetric plane problem of elasticity and plasticity theory for bodies of rotation with elastic and elasto-plastic deformation]. Tomsk: TSUAB Publ., 2015. 84 p. (rus)
Сведения об авторах
Барашков Владимир Николаевич, докт. физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник, профессор, Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2, v.n.bar.@mail.ru
Шевченко Марина Юрьевна, студентка, Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2, umibozu1207@yandex.ru
Authors Details
Vladimir N. Barashkov, DSc, Professor, Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia, v.n.bar@mail.ru
Marina U. Shevchenko, Student, Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya sq., 634003, Tomsk, Russia, umibozu1207@yandex.ru
