Анализ погрешности определения интегральных характеристик периодических сигналов по мгновенным значениям Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математическое моделирование

УДК 621.317.361

В. С. Мелентьев

АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПО МГНОВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ

Рассматривается влияние погрешности квантования аналого-цифровых преобразователей на точность определения интегральных характеристик по мгновенным значениям периодических сигналов. Приводятся результаты анализа погрешности, которые позволяют оптимально выбирать значения интервалов дискретизации.

В электроэнергетике, радиотехнике, технике связи, в системах автоматического управления обработки информации широко используется измерение интегральных характеристик периодических сигналов (ИХПС): средних, средневыпрямленных и среднеквадратических значений напряжения и тока, активной, реактивной и полной мощности, коэффициента мощности.

При измерении ИХПС цифровыми методами наиболее распространен метод, основанный на обработке мгновенных значений сигналов, равномерно распределенных по периоду. Метод позволяет определять интегральные характеристики сложных периодических сигналов. При этом время измерения примерно равно периоду входного сигнала.

При автоматическом управлении экспериментом, выявлении анормальных режимов работы исследуемых объектов, определении скорости изменения параметров требуются быстродействующие методы и средства измерения ИХПС с временем измерения значительно меньше периода.

Рассмотрим метод [1, 2], обеспечивающий измерение ИХПС за долю периода. Сущность метода заключается в определении интегральных характеристик синусоидальных сигналов по трем мгновенным значениям напряжения и тока, измеренным в равноотстоящие друг от друга моменты времени, первые из которых взяты в произвольный момент времени.

Если сигналы напряжения и тока в исследуемой цепи содержат только первые гармоники, то их мгновенные значения соответственно имеют вид:

и1 = ит а1; и2 = ит (а1 + coAt); из = ит (а1 + 2юД/);

/1 = 1т а2; 12 = 1т 8т(а2 + (oAt); 13 = 1т (а2 + 2юД),

ы(()

где Д/=/2—/1 =/3—/2 - интервал времени между двумя соседними выборками; а1 и а2 - начальные фазы сигналов напряжения и тока.

Временные диаграммы, поясняющие данный метод, приведены на рис. 1.

Основные ИХПС определяются согласно следующим выражениям:

- среднеквадратические значения напряжения и тока

Р и с. 1. Схематические временные диаграммы

I1

1-

212 -11 -12 Z.1 2 1 3! 1 J 1

2

2IWI22 - I3I1

активная мощность

P =

- реактивная мощность

= sign(U2) (2U\ - U3U1 - U12) sign(I2) (2122 - I3I1 -12) U1I1 ;

2^4U2 -(3 + U1 )2 ^412 -(I3 +11 )2

q = sign(I2)Ul (212 -1311 - If) - sign(U2)I1 (2U2 - U3U1 - U12);

^412-(I3 +11 )2

2^4U2 -(3 + U1 )2

(3)

(4)

- коэффициент мощности

я = 2U2 - U3U1 - U12 x 212 -13I1 -112 +

2U^ U22 - U3U1 2I^122 - I3I1

sign (Ul) 1 -

' 2U22 - U3U1 - U12 v

2U^U2 - U3U1 sign(X) =

sign (Il \ 1 -

2

212 - II -12

2 J 3J 1 1

2 I2fi

2 - I3I1

(5)

1, если Х> 0;

0, если Х = 0;

-1, если Х< 0,

где Х - любая из функций и1,и2, Ур J2.

Для реализации данного метода чаще всего используются устройства с двумя аналогоцифровыми преобразователями (АЦП), которые обеспечивают одновременное измерение мгновенных значений переходных процессов.

Оценим погрешность вычисления среднеквадратических значений сигналов согласно (1) и (2) с учетом погрешности АЦП. Если пренебречь погрешностью от нелинейности, то можно считать, что основной погрешностью АЦП является абсолютная погрешность квантования Аи=ипр/2п, где ипр - максимально допустимое входное напряжение АЦП; п - число двоичных разрядов.

Погрешность при вычислении какой-либо функции, аргументы которой заданы приближенно, может быть оценена с помощью дифференциала этой функции. Если известны только предельные абсолютные погрешности аргументов, то при вычислении дифференциалов необходимо для всех производных брать их абсолютные значения.

Предположим, что при амплитудном значении напряжения Vт мгновенные значения напряжений и1, V2 и V3 измеряются с погрешностью преобразования АЦП и предельные абсолютные погрешности измерений равны Ди1, Ди2 и Ди3. В этом случае предельная абсолютная погрешность вычисления среднеквадратического значения напряжения иСКЗ определяется выражением

/ / /

Аискз = (V

СКЗ ) и ди + (

СКЗ ) Ди 2 + (

СКЗ ) из

AU 3.

Вычислив производные и считая, что ДU1=ДU2=ДU3=ДU, где ДU можно представить как отношение амплитудного значения напряжения на входе АЦП к числу уровней квантования этого напряжения, для относительной погрешности вычисления UCK3 получим

1 1 1 ctga1 Г ctga1 sin((1 + 2oAt) sin ( + 2oAt) 2 ] ctga1

dCK3 =

1 ctga1 ctga1 sin((1 + 2oAt) sin ( + 2oAt) 2

sin a1 2sin oAt sin oAt sin a1 sin(a1 + oAt) sin(a1 + oAt)

sin a

2 cos a1 cos a1 sin(a1 + oAt) + 1 cos a1 1 "

sin oAt sin(a1 + oAt) sin2 oAt 2 sin a1 sin oAt sin oAt sin(a1 + oAt)

(6)

На рис. 2 приведен график зависимости ёСКз от начальной фазы сигнала а1 для различных интервалов дискретизации оД/ при 12-разрядном АЦП в соответствии с выражением (6).

2

x

Анализ графика и выражения (6) показывает, что относительная погрешность зависит от момента начала измерения (начальной фазы сигнала) и интервала дискретизации. Для п=12 ^СКЗ<0,5% при интервалах дискретизации 50" < юД/ < 130". В общем случае меньшая погрешность имеет место при юД/ =90°. Увеличение разрядности АЦП приводит к уменьшению погрешности (в 2 раза при увеличении разрядности на единицу).

Произведем оценку погрешности вычисления активной мощности согласно (3) с учетом погрешности АЦП. Будем считать, что предельные абсолютные погрешности преобразования обоих АЦП равны между собой.

В этом случае предельная абсолютная погрешность вычисления активной мощности равна

ДР =

AU 3 +

(Р) и. AUj + (Р) и2 AU2 + (Р)

+ (Р) /. AI. +|(Р) /2 А/2 +|(Р) 1з AIз.

Приведенная погрешность определения активной мощности определяется выражением

gP = 2— {| sin a2 + sign [sin ( + coAt) sign [sin ( + coAt )x [cos a.ctgoAt-sin ( + 2oAt)-

cos a 2

2 sin ( + oAt )sin oAt cos a2

Р и с. 2. Зависимость погрешности определения иСКЗ от начальной фазы и интервала дискретизации при п=12

- 2sin a. ]

sin oAt cos a2

2-

cos a

sin a. +

2 sin(( + (oAt )sin (oAt sign [sin ( + (oAt)] sign [sin ( + (oAt )] cos a.

sin ( + oAt )sin coAt [cos [ctgoAt - sin a. ]

cos a.

sin oAt

2-

2sin ( + oAt) sin oAt cos a2

sm(o:2 + (oAt )sin (oAt

cos a.

2sin ( 2 + (oAt )sin (oAt

[cos a2ctgoAt- sin (2 + 2oAt) - 2 sin a2 ] [cos a2ctgoAt - sin a2 ] >.

(7)

На рис. 3 и 4 приведены графики зависимости уР от угла сдвига фаз между напряжением и током для различных интервалов дискретизации юД/ в соответствии с выражением (7) при 12разрядном АЦП и начальных фазах сигналов 0° и 95°.

wAt, °

Ф

Р и с. 3. Зависимость погрешности определения Р от угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации при начальной фазе 0° и п=12

Р и с. 4. Зависимость погрешности определения Р от угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации при начальной фазе 95° и п=12

Анализ графиков и выражения (7) показывает, что приведенная погрешность определения активной мощности зависит от момента начала измерения (начальной фазы сигнала), угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации. Для п=12 уР<0,2% при ин-

тервалах дискретизации 50" < юД/ < 70" для начальной фазы й1=95°. Если й1=0°, то уР<0,5% при интервалах дискретизации 70" < юД/ < 120".

При вычислении реактивной мощности согласно выражению (4) предельная абсолютная погрешность определяется выражением

ди1 + (о) и ди 2 + (о) и ди3 + (0) 1. Д11 + (0 ) 12 Д12 + (0 ) 13

д<2 =

а приведенная погрешность равна 1

Д13

г 81^ Гб1п ( + юД/)| 8та2 г

sign |^б1п ( + юД/) со8 а2---------^^----[008 о^^юД^т ( + 2юД)-

28т (а1 + юД/) (oДt

юД/

2-

008 а,

8т(( + юД/)п юД/

81п а 2

2 8т(( + юД/)п юД/

[008 а, otg wДt - а, ] +

sign ^81п ( + юД/)] а,

28т (2 + юД/)пюД/

[008 а2otgwДt-sin (2 + 2юД/)-28т а2 ]-sign (а, + юД/)

008 а,

81п а.

юД/

2-

008 а 2

81п(а 2 + юД/)п юД/

81п а,

2 81п(а 2 + юД/)п юД/

[008 а 2ctgwДt - а 2

(8)

На рис. 5 и 6 приведены графики зависимости у о от угла сдвига фаз между напряжением и током для различных интервалов дискретизации юД/ в соответствии с выражением (8) при 12разрядном АЦП и начальных фазах сигналов 0° и 95°.

250 юМ, °

Р и с. 5. Зависимость погрешности определения 0 от угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации при начальной фазе 0° и п=12

Р и с. 6. Зависимость погрешности определения о от угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации при начальной фазе 95° и п=12

Анализ графиков и выражения (8) показывает, что приведенная погрешность определения реактивной мощности зависит от момента начала измерения (начальной фазы сигнала), угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации. Для п=12 уе<0,1% при интервалах дискретизации 40" < юД/ < 140" для начальной фазы а,=0°. Если а,=95°, то уд<1% при интервалах дискретизации 50" < юД/ < 90".

Произведем оценку погрешности вычисления коэффициента мощности согласно (5) с учетом погрешности АЦП. Предельная абсолютная погрешность вычисления коэффициента мощности равна

(Я) и ди1 + (Я) и2 ди2 + (Я) из ди 3 + (Я )' 11 Д11 + (Я ) 12 Д12 + (Я )' 13

Выражение для приведенной погрешности имеет следующий вид

1 / . 1

у? =— cos a2 - sin a9ctga, к--------------

2 и\ 2 1 'Usin2 wDt

. ( „ . \ sin (a + 2wDt) 2sin a,

cos a, sin (a, + 2wAt)-----^--------------------------—r

sin(a + coAt) sin (a, + coAt)

2 cos a1 cos a1 sin(a1 + wAt) sin a 1 cos a1 1 "

sin wAt sin(a1 + wAt) sin2 wAt 2sin wAt sin wAt sin (a1 + wAt)

+ cos a, - sina,ctga2

1

2sin ooAt

cos a2sin

■ t „ * \ sin(a9 + 2wAt)

;in(a 2 + 2wAt)-----------y2---------f

sinla 2 + ooAt)

2sin a 2

(a2 + wAt) sin(a 2 + oAt)

2 cos a2 cos a2 sin (a2 + wAt) sin a2 cos a2 1 "

sin wAt sin(a 2 + wAt) sin2 wAt 2sin wAt sin wAt sin(a2 + wAt)

На рис. 7 и 8 приведены графики зависимости ух от угла сдвига фаз между напряжением и током для различных интервалов дискретизации <жД/ в соответствии с выражением (9) при 12разрядном АЦП и начальных фазах сигналов 5° и 95°.

wAt, °

Ф

Р и с. 7. Зависимость погрешности определения X от угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации при начальной фазе 5° и п=12

330.^.

wAt, °

Ф

Р и с. 8. Зависимость погрешности определения X от угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации при начальной фазе 95° и п=12

Анализ графиков и выражения (9) показывает, что приведенная погрешность определения реактивной мощности зависит от момента начала измерения (начальной фазы сигнала), угла сдвига фаз между напряжением и током и интервала дискретизации. Для n=12 ул<0,5% при интервалах дискретизации 70" < wAt < 120" для начальной фазы а1=5°. Если а1=95°, то уд<0,5% при интервалах дискретизации 50" < wAt < 120".

Проведенный анализ погрешности измерения всего комплекса ИХПС с учетом погрешности квантования АЦП позволяет сделать следующие выводы:

- в диапазоне изменения угла сдвига фаз между напряжением и током от 0° до 360° меньшее значение погрешности имеет место при выборе интервала дискретизации wAt в диапазоне от 70° до 90°;

- в общем случае для увеличения точности вычисления ИХПС (за исключением активной мощности) момент начала измерения а\ следует выбирать в диапазоне от 5° до 10°;

- увеличение разрядности АЦП приводит к уменьшению погрешности (в 2 раза при увеличении разрядности на единицу).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А.с. 1679401, (МКИ) G01R 21/00. Способ определения коэффициента мощности / В.С. Мелентьев, В.С. Баскаков, В.С. Шутов, опубл. в Б.И. 1991, №35.

2. Пат. РФ №2075754, (МКИ) G01R 21/06. Способ измерения активной и реактивной составляющих мощности в цепях синусоидального тока и устройство для его осуществления / В.С. Мелентьев, В.С. Шутов, В.С. Баскаков, опубл. в Б.И. 1997, №8.

Поступила 21.12.2005 г.