CC BY
43
Петрунин В.В., Трусов В.А.
АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ НА БАЗЕ ПЕРСОНАЛЬНОГО КОМПЬЮТЕРА
Разрабатываемая математическая модель предназначена для учета системной и случайной погрешностей измерительного тракта автоматизированной информационно-измерительной системы. Измерительный тракт состоит из датчиков (Д) , преобразователя сигналов (Пр), аналогового мультиплексора - коммутатора (К) , аналого - цифрового преобразователя (АЦП), устройства ввода цифровых данных в персональный компьютер (УВД).
и„ Unp Uk N
—* Д Пр * К * АЦП УВД
Датчики преобразуют измеряемую величину в напряжение. Преобразователь сигнала преобразует выходной сигнал датчика в параметры, которые необходимы для полноценной работы аналого - цифрового преобразователя, т.е. использования всей его шкалы. Аналого - цифровой преобразователь преобразует аналоговое напряжения преобразователя сигнала в цифровую форму для ввода в компьютер. Устройство ввода цифровых данных в компьютер предназначено для приведения выходного цифрового потока аналого - цифрового преобразователя в стандартный вид и протокол порта компьютера. Анализируя измерительный тракт автоматизированной системы с точки зрения его погрешности, необходимо отметить, что общая погрешность тракта состоит из погрешности датчика, погрешности преобразователя сигналов, аналогового мультиплексора, погрешности аналого - цифрового преобразователя. Устройство ввода цифровых данных не влияет на основную погрешность. Устройство преобразует формат цифровых данных аналого -цифрового преобразователя в формат необходимый для ввода данных в порт компьютера. Это устройство оперирует только с цифровыми данными, поэтому вопрос о погрешностях в аналоговых величинах здесь не стоит.
Математическая модель измерительного тракта будет выглядеть следующим образом. Выходное напряжение датчика:
ид = ки„ + и01 ±Аид ,
где кх - коэффициент датчика, иох- аддитивная погрешность датчика, ±ЛЦд - общая случайная погрешность датчика, приведенная к его выходу. Выходное напряжение преобразователя сигнала:
ипр = к2ид + и02 ± Липр ,
где к2 - коэффициент усиления усилителя постоянного тока, ио2 - постоянный коэффициент, дающий смещение всей усилительной характеристике или начальное смещение, Липр - общая случайная погрешность
преобразователя уровней, приведенная к выходу. Таким образом, выходное напряжение преобразователя сигнала записывается как
и„р = к2 ( + ( ±лид) + ) ± липр =
= к\к2ивх + к2и01 ± к2Лид + и02 ± Липр
где ±к2Лид ±Ли - случайная составляющая выходного сигнала преобразователя. Выходное напряжение
коммутатора:
ик = ¡ФпР + иоз ±Лик ,
где кз - коэффициент передачи коммутатора, иоз - постоянный коэффициент, дающий смещение характеристике коммутатора, Лик - общая случайная погрешность коммутатора, приведенная к выходу. Таким образом, выходное напряжение коммутатора записывается как
ик = кз (их+к ± кд+и02 ± Липр)+) ± Лик =
к1к2к3иех + к2к3и01 ± к2к3Лид + к3и02 ± к3Липр + и03 ± Лик
Уравнение, описывающее работу аналого - цифрового преобразователя выглядит следующим образом:
ид = пи )МЗР ,
где: п (ик) - номер цифрового уровня в сетке преобразования, МЗР - младший значащий разряд аналого -цифрового преобразователя или шаг квантования;ид- ближайшее (меньшее) дискретное значение напряжения сетки преобразования аналого - цифрового преобразователя, соответствующее входному аналоговому напряжению.
МЗР = икон ~ ин
n (Uк) =
2п
где: Ukoh и Uh - конечное и начальное напряжения шкалы аналого - цифрового преобразователя; n - разрядность АЦП.
U
1МЗР
где: Uk - аналоговое входное напряжение аналого - цифрового преобразователя. Аналого-цифровой преобразователь вносит следующие виды погрешностей: - нелинейности (погрешность нелинейности- это максимальное отклонение линеаризованной реальной характеристики преобразования от прямой линии, проходящей через крайние точки этой характеристики преобразования АЦП.); - дифференциальной нелинейности (погрешность дифференциальной нелинейности- это отклонение фактической разности уровней (входного сигнала АЦП), соответствующим двум соседним переключениям кода, от идеального значения этой разности, равной 1 МЗР. Для идеального АЦП разница уровней между соседними переключениями кода в точности равна 1 МЗР.); - погрешность полной шкалы (погрешность полной шкалы- это отклонение уровня входного сигнала, соответствующего последнему переключению кода от идеального значения, после того как была откорректирована погрешность биполярного нуля.); Для примера приведены погрешности, взятые из каталога, на интегральную микросхему AD7 8 90 фирмы Analog Devices - таблица 1 Таблица 1
Погрешности интегральной микросхемы AD7 8 90 фирмы Analog Devices
Вид погрешности____________________| Значение
Интегральная нелинейность 1 МЗР 0.0244
Дифференциальная нелинейность 1 МЗР 0.0244
Полной шкалы Общая 2.5 МЗР 0.061
АЦП 0,1098
Уравнение погрешности аналого - цифрового преобразователя представляет собой следующий вид:
U
ІМЗР
1МЗР
Таким образом, общая погрешность тракта будет выглядеть следующим образом:
AU = Uк - Ud = Uк -
U,,
1МЗР =
1МЗР
k1k2k3Uex + k2k3U01 — k2k3AUд + k3U02 — k3AUnp + U03 — AUк -k1k2k3Uex + k2k3U01 — k2k3AUd + k3U02 — k3AUnp + U03 —AU к
1МЗР
1МЗР
Данная модель учитывает систематическую и случайную погрешности измерительного тракта информационно-измерительной системы.
Использование персонального компьютера позволяет получать характеристики погрешностей измерения с помощью математической обработки измеренных данных.
Случайные погрешности характеризуются с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами.
Начальным моментом л-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида
представляющий собой математическое ожидание степени ^ При л=1
£¡1 (X) = М[Х]= Jхрх (x)dx --
тУ
т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений. Центральным моментом л-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида
Первый центральный момент:
Первый центральный момент результатов наблюдений равен нулю, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.
Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.
При л=2
00 00 Ц_Х] = 0[Ь} = М\[Х-!пх}2}= \(x-mx)2p,(x)dx= jô2#,
Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.
Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:
С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной
г т е иеппатнпг,т, ^ |6| }<е
еличины
вероятность
Для этого рассмотрим неравенство Чебышева:
s — Зо і
Полагая ■Л , можно наити вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается
от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, т. е. веро-
ятность того, что случайная погрешность окажется больше
За
=-«0.11
fax? 9
Вероятность того, что погрешность измерения не превысит
X .
Зо
составит соответственно
Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности
меньше которой она
не может быть ни при каком распределении. Обычно <■ 1 1 > значительно больше 0.89. Так, например,
в случае нормального распределения погрешностей эта вероятность составляет 0.9973.
Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его
au=ик - Ud=ик -
или
разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков .
Третий момент случайных погрешностей служит характеристикой асимметрии, или скошенности
распределения.. Отличие этого момента от нуля указывает на асимметрию распределения. Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень среднеквадратического отклонения и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию Бк распределения:
Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением
а.^Р-з
Число 3 вычитают из отношения
потому, что для широко распространенного нормального распре-
деления погрешностей г'‘+‘-"-1 ". Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю,
более плосковершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные - положительным
Постоянные систематические погрешности не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая величина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры с точностью, определяемой погрешностью аттестации меры и случайными погрешностями измерения, равна искомой систематической погрешности.
Ценность полученных при поверке результатов определяется их постоянством в течение некоторого промежутка времени и независимостью от тех изменений внешних условий, которые допустимы при эксплуатации средств измерений с заданной точностью. Тогда полученные при поверке данные могут быть использованы для вычисления поправок, необходимых для исправления результатов наблюдений.
Время, затраченное персональным компьютером на обработку результатов измерения, усреднение результатов, на введение поправок, составляет доли миллисекунд. Величина погрешности измерения уменьшается практически до 1МЗР.
