CC BY
28
УДК 519.866
АНАЛИЗ МОДЕЛИ ЭФФЕКТИВНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ «ПРОИЗВОДИТЕЛЬ - НАЛОГОВЫЙ ЦЕНТР» НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА НЕТРИВИАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ
П.Н. Победаш
Сибирский государственный аэрокосмический университет, г. Красноярск E-mail: pobed_pnp@mail.ru
На основе принципа нетривиальности решения найдено Парето-оптимальное значение свертки критериев в модели эффективного экономического развития системы «производитель - налоговый центр» на бесконечном временном интервале с двумя экономическими агентами - производителем и налоговым центром. Это позволяет оценивать эффективность инвестиционного проекта, описываемого данной моделью, и разрабатывать инвестиционные стратегии, принимая во внимание интересы каждого из его участников.
Ключевые слова:
Многошаговая задача линейного программирования, z-преобразование, свертка критериев, инвестиционный проект, горизонт планирования.
Key words:
Sequential linear programming problem, z-transformation, criteria compression, investment project, planning horizon.
В данной статье рассматривается следующая задача экономической динамики, обобщающая задачу из работы [1] на случай двух критериев, которую назовем моделью эффективного экономического развития системы «производитель - налоговый центр», или, согласно [2], моделью А. Производитель (предприятие) имеет начальный капитал (свободные денежные средства). У него существует возможность организовать производство п видов продукции, пользующейся спросом, купив или арендовав активные основные производственные фонды (ОПФ) - станки, оборудование и т. п. п производственных подразделений (направлений экономической деятельности). Необходимо определить оптимальные суммы, выделяемые на приобретение ОПФ, а также выручку от реализации продукции каждого вида в заданные моменты времени и объем инвестиций, при которых чистые дисконтированные денежные потоки производителя и налогового центра за горизонт планирования Т являются наибольшими.
Предполагается, что выполнены следующие основные предпосылки: 1) учитываются налоги, составляющие большую часть затрат предприятия: налог на добавленную стоимость (НДС), налог на прибыль (НП), налог на имущество (НИ) и отчисления в фонд оплаты труда (ФОТ); 2) предприятие имеет достаточные запасы сырья; 3) срок Т действия инвестиционного проекта (ИП) меньше сроков Тк службы единицы ОПФ каждого типа: Т< Тк (к=1,...,п); 4) на ОПФ каждого типа производится лишь один вид продукции. С учетом приведенных предпосылок математическая постановка сформулированной задачи описывается в классе многокритериальных многошаговых задач линейного программирования (ММЗЛП): найти такие векторы и(/) и х(0, что справедливы условия
x(t +1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) - 5(t); x(0) = a;
C (t ) x(t ) + D(t )u(t ) < h(t ); u(t) > 0 (t = 0,..., T-1); (1)
J =Tfj[(ai (t ), x(t )) + (b (t), u(t))] +
t =0
+(ai(T), x(T)) ^ max (i = 1,..., N). (2)
В дальнейшем для описания многошаговых задач используются обозначения, предлложенные в работе [3]. Здесь u(t) и x(t) - фазовый вектор и вектор управляющих переменных, где uk(t), un+k(t) (k=1,...,n), u2n+1(t), u2n+2(t) - соответственно стоимость приобретаемых ОПФ k-ого вида, выручка от реализации по k-ому виду продукции, внешние и внутренние инвестиции, а xk(t) (k=1,...,n), x„+1(t), xn+2(t), x„+3(t) - накопленная стоимость всех ОПФ k-ого вида, остаточная стоимость всех ОПФ, текущие денежные средства предприятия и накопленные суммы внешних инвестиций в момент t=0,...,T, n -количество видов продукции; a - вектор начального состояния; ^(t), B(t), C(t), D(t) - матрицы коэффициентов уравнений движения и ограничений; a(t), b((t), s(t), h(t) - векторы коэффициентов целевых функций, уравнений движения и ограничений; T, N - количество шагов и критериев соответственно, t - номер шага (дискретное время). Конкретный вид перечисленных исходных матриц и векторов задачи (1), (2) для модели A представлен в отмеченной выше работе [2].
да
Рассмотрим далее ряды Uj (z) = ^ uj (t)z-t;
t=0
да
X(z) = Xx*(t)z- (/=1,...,2n+2;k=1,...,n+3); U(z),
t=0
Xk(z.) - z-изображения, которые содержательно
трактуются аналогично соответствующим переменным исходной модели А с добавлением словосочетания «дисконтированная сумма» при г=1+г, где г - ставка дисконтирования. Как указано в работе [4], нахождение управляющего и фазового векторов, соответствующих Парето-оптимуму ММЗЛП (1), (2), равносильно решению однокри-териальной задачи (1) с условием
J(р) = J ^ тах,
(3)
где вектор параметров
реM = {(Mi,..., Mn) 6
е En : р > 0(v = i,..., N); ¿р = i}.
v=i
Поскольку для модели A число критериев N=2, то обозначим р=р; р=1-р. Рассмотрим вариант этой модели, когда момент начала производства T2=\. Тогда, полагая Т^ю и учитывая, что Тк^-ю (k=1,...,w) в силу предпосылки 3), применим к задаче (1), (3) (эквивалентной модели А в смысле Паре-то-оптимальности) ¿-преобразование. Принимая во внимание свойство z(x(t+1))=z(X(z)-x(0)), получим, согласно [2], однокритериальную статическую задачу линейного программирования (ЗЛП):
(z) = Xk (z) + Uk (z)(k = 1,..., n),
zX„+i(z) = X„+i(z) + ±Uk (z),
k =i
zX„+2(z) = -9Xn+i(z) +Xn+ 2(z)(z) +
k=i
+rTUn+k (z) + U 2n +i (z) + U
2n + 2 (z ),
k =i
zXn+3(z) = Xn+3(z) + U2n+i(z), Xn+ 2(z) > 0,
-«2Xn+i(z) + (i-P)±Un+k (z) > 0,
k =i
Un+k(z) <Qk(z), Un+k(z) <8kXk (z)(k = i,...,n),
Xn+3(z) < I о /(z-i), U 2n+2 (z) < кo; (4)
Uk(z) > 0(k = i,...,2n + 2); J(р, z) = pJi(z) + (i -р) J2(z) ^ max (р е (0; i)), где
J i( z) = -9Xn+i( z) + +rTUn+k (z) - [U 2n +i (z) + U
2n + 2 (z)],
k =i
J 2 (z) = 0Xn+i( z) + pp£jUn+k (z),
k=i
р1=р; р2=1-р. В задаче (4) 0=(1-а3)а2,
ю
Y=(1—«з)(1—в), 8k=PkVk/ck, Qk(z) = Х4k(' + i)z"'
t=i
(k=1,...,w), р=(1-в)«, где « (/= 1,...,3) - ставки
НДС, НИ и НП соответственно; в - доля выручки от реализации, выделяемая на ФОТ; дк(7+1) (¡=1,...,Т-1),Ук, Тк, ск и Рк - соответственно прогнозный спрос в стоимостном выражении для момента 7+1, производительность, срок службы, стоимость единицы ОПФ и стоимость единицы продукции к-го типа; 10, К0 - суммы внешних и внутренних инвестиций, выделяемых на весь срок действия ИП. Полагаем для простоты, что а1=0, так как НДС включается в цену продукции и фактически выплачивается потребителем. При а1>0 модели А и 2А анализируются аналогично.
Отметим, что в силу (3) однокритериальная статическая задача (4) равносильна двухкритериаль-ной ЗЛП при тех же ограничениях и условии J (г)=У\(1),12(г)}^шах, которую, следуя [2], назовем агрегированной моделью эффективного экономического развития (системы «производитель -налоговый центр») на бесконечном интервале, или моделью ZA.
Дадим содержательную трактовку ограничений и целевых критериев задачи (4). Ее равенства, в отличие от уравнений динамики в задаче (1), (2), представляют собой балансовые (статические!) уравнения соответственно дисконтированных сумм стоимостей ОПФ всех производственных подразделений, суммарной остаточной стоимости ОПФ, всех денежных средств и накопленных внешних инвестиций предприятия за весь бесконечный срок действия ИП. 1-е и 2-е неравенства означают неотрицательность дисконтированных сумм денежных средств и чистой прибыли всех производственных подразделений на всем бесконечном горизонте планирования. 3-е и 4-е неравенства в 2А задают ограничения на дисконтированную сумму объема продаж продукции, произведенной к-м ОПФ (подразделением), соответственно суммарным дисконтированным спросом и дисконтированной суммой выпуска по к-му виду продукции. 5-е неравенство в (4) является ограничением на дисконтированные суммы внешних, а 6-е - внутренних инвестиций, выделяемых на реализацию ИП; 7-е условие означает неотрицательность дисконтированных сумм соответствующих переменных модели А.
Обозначим «*» оптимальные значения сверток критериев. Для модели А справедливы теоремы 1-3, доказанные в [2], и используемые в дальнейшем.
Теорема 1. В задаче А существует решение на конечном интервале времени.
Теорема 2. Если выполняются условия:
¡дк<+<»(к=1,...,и); Т^да; г>0; Т=1, (5)
где д-к - максимальный спрос за весь период производства по к-ому виду продукции, то задача А имеет решение. При этом оптимальные значения сверток критериев
¿Т(р) = Р-Л* + (1 -р)Л и ¿*(р) = 11т-Гр)
Т ^да
v =1
на конечном и бесконечном интервалах в проекте, описываемом указанной задачей, неотрицательны:
1Т(л) > 0 (Т е {1,2,...}); 1*(л) >0 (де[0;1]>.
Теорема 3. Свертка /Т*(л) в проекте, описываемом моделью А, есть неубывающая функция от параметров Т,п,Т\уА8к,дку+1) (ке{1,...,и};?е{7^+1,...7—1}>; 10,К0 и невозрастающая от показателей Т1,в иг (Т,п,Т1,Т2е{1,2,...}> при неизменных значениях остальных параметров и ¡ле [0;1].
Из теоремы 2 следует: ИП с отрицательной сверткой заведомо неоптимален. Кроме того, так как свертка критериев JT*(л> в задаче А является не-возрастающей функцией по параметру Т2, то из теоремы 3 следует справедливость теоремы 2 для произвольных значений этого параметра.
Исключая Хк(г) (к=1,...,п+3) из статической задачи (4), получим статическую ЗЛП:
-(в+ 2 - 1)£ик(7) + у(2-1) X
к =1
х1^ип+к (2) + (2 - 1)(и 2п+ 1(2) + + 2(2)) > 0,
к=1
-«2 ^ик (2) /(2 -1) + (1 -в) ^и к (2) > 0,
к=1 к=1
ип+к (2) < (2),
ип+к (2) <8кик (2)/(2-1)(к = 1,..., п),
и2п+1 (2) < /0, и
2п+2 (2) <К0,
ик(2) > 0 (к = 1,...,2п + 2), 1 (л, 2) = [1 - 2л]в х х£ик (2)/(2 -1) + [лу + (1 -л) р] X
2n +1 (г) + и
2n + 2 (г)]
^ тах(л е (0;1)), (6)
где 1 (л, 2) = 1 (л, 2).
В силу соотношения (3) однокритериальная ЗЛП (6) эквивалентна двухкритериальной с теми же ограничениями и условием
где
J (г) = {J i(z), J 2 (z)} ^ max,
J i( z) = -efük (z)/( z-1) +
k =1
+гТип+k (z) - [U 2n+1 (z) + и
2n+ 2 (z)],
k=1
J 2 (z) = efvk (z)/(z -1) +р£ип+k (z),
k=1 k=1
J (л, z) = л-J 1 (z) + (1 -л) J 2 (z).
Из 4-го и 7-го неравенств (для к=п+1,...,2п) задачи (6) следует 7-ое условие для к=1,...,п, которое исключим как избыточное. Рассматривая пока Цгп+1(г)е[0;/о], и2П+2^)е[0;Ко] как параметры, опуская для краткости г и переставив 1-е и 2-е условия на 3-е и 4-е место соответственно, запишем задачу, двойственную к указанной ЗЛП (при этом неограниченным по знаку переменным в прямой задаче соответствуют равенства в двойственной):
-М^ + (0 + ^ п+1 +Ш.2П+2 =
e(1 - 2 л)
(k = 1,..., n),
Xk + Xn +k -УГ[К + 1 +Ä2, + 2 ] >
>лг + (1 - Л)Р (k = 1,...,n),
Xk >0 (k = 1,...,2n + 2),
— n
JD (Л, z) = £ QX + r[U2n +1 + U2n + 2 ]X2n + 1 ^
где
^ min (л e (0; 1)),
Jd (л, z) =
(7)
= Jd (л, z) - ли 2 n+1( z) + и 2n+2 (z)] (л e (0;1)).
Выражая X+k (k=1,...,w) из равенств задачи (7), применяя принцип нетривиальности решения, т. е. находя ненулевые компоненты ее решения
X'* > 0 (k = 1,..., w1), X* = 0(k = n1 +1,..., n), (8)
где «*» обозначены оптимальные значения переменных и критериев, и1е{0,...,и| - количество таких компонент, и учитывая, что в ЗЛП оптимум достигается лишь на границе, перейдем к следующей задаче:
(e+r -ySk )X 2 n+1+(e-ySk )X2n+ 2 > >Vk (k = n +1,...,n), (e+r )X 2 n+1 +ex2 n+2 > [1 - 2л]e, X > 0 (k = 2n + 1,2« + 2), Jd (л, z) =n1X2n+1 +n2 X2n+2 ^ min (л e (0;1)). (9) Здесь
n = U2 n+1 + и2n+2-£ Qk (e+r-ySk )/Sk,
k=1
n = -£ Qk (e-YSk )/s* ,
k=1
Jd (л, z) = Jd (л, z) + £ QkVk / Sk (л e (0;1)),
k=1
Xj = rXj (j = 2n + 1,2n + 2),
%=[1^]e+^rH1^)p]Sk (k=1,...,w), а символ «*» для простоты опущен.
Имеют место следующие леммы.
k=1
k=1
k=1
Лемма 1. Неравенство
% < 0 (к e{1,...,n})
(10)
(k е{1,..., n}).
равносильно условиям
~8к <в/у, /л е (0,5;1) 8к <6/у,/= 1
Лемма 2. Если %>0 (kejwj+l,...,«}), то справедливо условие:
6 + r-Y§k > 0 (к е {п1 +1,...,п}; /е (0;1)).
Заметим, что условие (10) возможно лишь при /е(0,5;1], поскольку иначе щ>0 (k=1,...,n).
Легко видеть, что если Skl=Sk при т. е. в модели ZA существуют различные виды ОПФ с одинаковыми максимальными фондоотдачами, то соответствующие им первые неравенства в (9) совпадают, а значит, одно из них (любое!) можно исключить как избыточное, уменьшив соответственно n и n1. Поэтому в дальнейшем, не ограничивая общности анализа, полагаем, что
(11)
8k, *8k2 (k1 * k2 6{ni + 1,-> П})-
внение в отрезках
Я2И+1 Я2И+2 -+-
«о(5) Ро(8)
где функции ао(5)=ф(5)/(в—5); во(5)=ф(5)/(0-уг5), причем 5=5/п (]=1,...,п-щ) и 5=0 (/'=0). Учитывая, что эти функции возрастают по 5, сведем анализ задачи (9) к двум вариантам:
5<в/7, (13)
8 >в /7,
где 8= max 8k =8k (k0 e {n1 +1,..., n}).
k=n1+1,...,n 0
(14)
Обозначим I'/ ^^=0,...,и-и1) - прямые, задаваемые на плоскости переменных Х-ш (т=2п+1,2п+2) уравнениями
(в + Г - Y5j+щ )Х2п+1 + (в - Y5j +И] )Х2п+2 =
= $1+щ( j =и, п - п) (12)
(в + г)Х2п+1 + вХ2п+2 = [1 - 2р]в (1 = 0),
соответствующие 1-му (/=к-п1) и 2-му (/'=0;50) неравенству (9). Решив систему из двух неэквивалентных (по условию (1-)) уравнений относительно двух неизвестных Х2„+1, Х2„+2 вида (12) для /'=/'1^^2е{0,...,п-п1|;}ХФ]Ь найдем единственную точку пересечения прямых / с координатами
Х в(у+р)(1 -р) ; х Хо
Х2 п+1 =-, Х2п + 1 =--,
ГY ^
где x0=И■Yr+(1-И■)[(в+r)p+Yв]. Отметим, что
—о —о
Х2П+1 > 0;Х2п+2 < о (ре (0;1)). Уравнения (11) представим формально как ура- = 1 ^^=0,...,п-п1),
В частности, при k=k0 из леммы 2 получим: в + r -y8k > 0(k0 e {nl +1,...,n}). (15)
В силу леммы 1 при ие(0,5;1] 1-е и 2-е ограничения ЗЛП (9) можно убрать как избыточные, т. е. ее решение тривиально. Поэтому полагаем щ>0 (к=и1+1,...,и), что равносильно совокупности
>е[0;0,5]
8к >в/y, И е (0,5;1) (k е {n1 +1,..., n}),
8k >в/y, и = 1
из последних двух соотношений которой получим условие (14).
Рассмотрим далее, в соответствии с условиями (13) и (14), 2 альтернативы.
1) Если справедливо соотношение (13), то ЗЛП (9) равносильна задаче
(в + r -y8)X 2n+1 + (e-Y8)X2n+2 >Ф,
Xk > 0 (k = 2n +1,2n + 2),
Jd(и,z) =nX2n+\ +n2X2n+2 ^ min (и e (0;1)). Здесь cp=(p(8).
2) Если верно условие (14), то ЗЛП (9) эквивалентна задаче, отличающейся от последней ЗЛП отсутствием избыточного условия X 2n+1>0. Будем искать однозначное решение ZA, а, следовательно, и ЗЛП (9) в критериальном пространстве, т. е. с точностью до угловых оптимальных точек, в которых достигаются различные оптимальные значения критерия. При этом угловые точки оптимума в задачах, отмеченных в пунктах 1) и 2), принадлежат прямой к, т. е. справедливо равенство
(в + r - Y8)X2n+1 + (в Y 8 )X 2n+2 = ф, с учетом которого имеем:
^ =
(Хо + НЪ2П+ 2 )(8k -8k0) (в+ r -Г8к)8к
(k = 1,..., n1).
Поскольк-справедливо неравенство в (8), условие (15), -2„+2>0, г>0, Y>0, х0>0Уре(0;1), 5>0Ук=1,...,п по содержательному смыслу, то из последней формулы следует лемма.
Лемма 3. В задаче (7) выполняется условие:
5 >5 (к = п1)-
Учитывая, что
3 (р, I) = 3 ь (р, I),
а также леммы 1-3, и, упорядочивая 5к (к=1,...,п) по возрастанию, после анализа ЗЛП из пунктов 1) и 2) получим теорему.
Теорема 4. Значение свертки критериев I'(р,1) в задаче 7Л определяется формулами:
J (о г) = V Qkq>k Гп2 > 0
^ (О) < J(о) < JО, г),
(17)
к=ко+1 дк
0 <р < 10 + К0
[9(у + р)(1 -р-ртуЛ к >0 I 9-уд Р' [Рз <10 + К0
Х0Р3 + УР2 <Г^< 0 9 + т-уб '[р <р4
Х0Р3 + ур4 0
9 + т-уб '[р <р4
ре (0;0,5];5 <7
J (О г) =
Х0Р3 + Ур2 1у< 0 9+ т-уд ' [р < 10 + К0
Х0Р3 + У(10 + К0) У> 0
9 + т-уд '[р < 10 + К0
ре (0;1);5>-7
(16)
где
Р1 = X &(9 + т)/5к, Р2 = тах(р;0),
к=к0+1
Рз = хдт (дк-д),
к=к„+1 дк
Р4 = шт(турз /(9 - уд); ^ + К>),
П = , у = =р- р(9 + т-уд).
к=ка+1 дк
В частности, при k0=n, так как р=0 (г=1,...,4); П2=0, из формул (16) имеем:
J*р, г) = 0, ре (0; 0,5]; д <-;
J О, г) =
7
0, у < 0 .
0 + К0) у> 0 (ое(0;1);д>9|-
9+ т -уд
Это совпадает с результатами анализа модели ZB1 (частного случая задачи ZA, когда спрос на продукцию неограничен, т. е. 1-е условие (5) нарушено), полученных из условий Куна-Таккера (см. [2], гл. 3). Справедливость формул (16) также подтверждена численно.
Так как по пост-роению и теореме 3 для сверток критериев JT(р) и J *(р) задач A и ZA справедливо неравенство (см. [2]):
то из теоремы 4 следует теорема 5.
Теорема 5. Свертка критериев JT(o) в ИП, описываемом моделью A, не превосходит значений функции J *(рг), заданной формулами (16), где последовательность дк (k=1,...,n) возрастает.
Заметим, что по теореме 4 (либо теореме 5), выбирая в качестве текущее 8к, удовлетворяющее условию (15), не более, чем за п+1 шагов (поскольку к0е {0,...,п}) найдем такой номер к0, при котором выполняется система неравенств в указанных форму--ах, задающих область определения функции J*(р), а значит, получим и соответствующее им значение этой функции в модели 7Л (его оценку сверху для модели A). При этом по формулам (16) упомянутая функция определяетс-я однозначно в силу единственности показателя, д. При численной реализации расчетов по указанным формулам удобно выразить р (г=1,...,4) и п2 через вспомогательные
п п
суммы ^1(к0) = X Qk /дк и s2(ko) = X Qk, для
к=к0+1 к =к 0+1
которых имеют место рекуррентные соотношения: /^О+Ц+д+д ь])=ь]+1)+О]П (/=п-1,...,0), причем э(п)=0 (г=1;2).
Отметим, что если верно 1-ое из условий (5), то Ок(^) (к=1,...,п), а значит, р —=1,...,4) и п2 конечны, откуда в сил— (16) имеем: J(рг)<го. Тогда из (17) следует, что J (р) ограничена сверху. Поскольку нулевое управление в задаче A допустимо, т. е. множество управлений непусто, то из (5) вытекает разрешимость указанной ММЗЛП на бесконечном интервале времени, или 1-ое утверждение теоремы 2.
Так как свертка критериев JT*(р) в задаче A является неубывающей по параметру Т и невозрастаю-щей по Т в силу теоремы 3, то теорема 5 имеет место не только на бесконечном, но и на конечном горизонте планирования, причем для любых значений Т2.
Выводы
На основе принципа нетривиальности решения модели эффективного экономического развития системы «производитель - налоговый центр» на бесконечном интервале времени найдены выражения оптимального значения свертки критериев ее экономических агентов, что позволяет оценивать фронт ее Парето-множества в критериальном пространстве. Показано, что эти выражения справедливы как на бесконечном, так и на конечном временном интервале. Полученные формулы дают возможность оценить инвестиционную привлекательность реализуемого по указанной модели проекта с учетом целей каждого участника (производителя и налогового центра) для выработки компромиссных инвестиционных решений.
Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (НИР 2.1.1/2710).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Медведев А.В., Победаш П.Н. Применение z-преобразования и дискретного принципа максимума к анализу модели реальных инвестиций // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решет-нева. - 2006. - № 4 (11). - С. 32-37.
2. Медведев А.В. Применение ^-преобразования к исследованию многокритериальных линейных моделей регионального эко-
номического развития. - Красноярск: Изд-во СибГАУ им. акад. М.Ф. Решетнева, 2008. - 228 с.
3. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. - М.: Наука, 1973. - 256 с.
4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 256 с.
Поступила 24.11.2009 г.
УДК 519.865
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПИТАЛА НЕКОММЕРЧЕСКОГО ФОНДА ПРИ ГИСТЕРЕЗИСНОМ УПРАВЛЕНИИ КАПИТАЛОМ
К.И. Лившиц, Я.С. Бублик*
Томский государственный университет *Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске E-mail: kim47@mail.ru
Получены уравнения, определяющие плотность распределения капитала некоммерческого фонда при гистерезисном управлении капиталом. Найдено решение уравнений при экспоненциальном распределении поступающих в фонд премий и в случае малой нагрузки премии.
Ключевые слова:
Некоммерческий фонд, гистерезисное управление, плотность распределения капитала, малая нагрузка премии. Key words:
Uncommercial fund, hysteresis control, distribution density of funds capital, small premium load.
Математическая модель изменения капитала фонда
Под некоммерческим фондом понимается организация, созданная для сбора и распределения денежных средств без получения прибыли. К некоммерческим фондам могут быть отнесены, в частности, все государственные внебюджетные фонды РФ. Построению и исследованию моделей некоммерческих фондов посвящены, например, работы [1-4]. В упомянутых работах исследование характеристик деятельности фонда проводилось в предположении, что управление капиталом фонда является релейным. В настоящей работе рассматривается более общий случай, когда управление капиталом фонда является гистерезисным.
Основной характеристикой состояния фонда является его капитал S(t) в момент времени t. В работе предполагается, что с капиталом S(t) могут происходить следующие изменения:
1. В фонд поступают денежные средства. Будем считать, что моменты поступления денежных средств образуют пуассоновский поток с интенсивностью Я. Поступающие денежные суммы (премии) являются независимыми одинаково распределенными величинами с плотностью распределения ф(х), средним значением М{х}=а и вторым моментом M{x2}=a1.
2. Фонд расходует поступившие денежные средства. Будем считать, что расходование денеж-
ных средств происходит непрерывно во времени со скоростью Ь(я), так что за время Дt выплата составляет Ь(я)ДД Предполагается, что управление расходованием денежных средств определяется следующим образом. Устанавливаются два пороговых значения капитала ^ и S2, причем В области S(t)<S1 Ь(я)=Ь0, в области S(t)>S2 Ь(я)=Ь1. Так как фонд не имеет целью получение прибыли, то естественно считать, что
Ь0 <Яа, Ь1 > Яа. (1)
Таким образом, при S<S0 фонд расходует в среднем меньше средств, чем собирает, а при S>S0 расходует в среднем больше средств, чем него поступает.
Что касается области то здесь устана-
вливается Ь(я)=Ь0 или Ь(я)=Ь1 в зависимости от того, как процесс S(t) вошел в эту область. Если он вошел в нее через порог ^ снизу вверх, то остается Ь(я)=Ь0; если же он вошел в эту область через порог S2 сверху вниз, то остается Ь(я)=Ь1. Таким образом, значение Ь(я)=Ь1 устанавливается при достижении капиталом S(t) значения S2 и оканчивается при уменьшении капитала до значения Область и представляет собой область гистерезиса в управлении капиталом.
Наконец, будем считать, что при S<0 фонд не прекращает своей деятельности, но наступает период неплатежеспособности фонда, обязательства фонда выполняются по мере поступления денежных средств.
