Анализ моделей и методов для оценки живучести инфокоммуникационных сетей в условиях чрезвычайных ситуаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Анализ моделей и методов для оценки живучести инфокоммуникационных сетей в условиях чрезвычайных ситуаций

Различные разрушающие воздействия имеют разное влияние на степень и характер повреждения сети. Наиболее эффективными показателями являются характеристики сетей, связанными с потоками в них: математическое ожидание максимального потока, коэффициент пропускной способности, вероятность того, что текущий поток не меньше заданного значения. Не менее важными показателями являются временные характеристики: время внедрения воздействия, время его действия, время до начала восстановления элемента сети, время восстановления. Перед живучестью стоит задача: сеть должна выстроить новый маршрут с учётом повреждения своих основных элементов, максимально сохранив при этом функциональность, которая основывается на надежности первичной сети, которая является фундаментом для организации наложенных сетей. Сетевая инфокоммуникационная система основана на сети массового обслуживания, и потому в ее функционировании всегда присутствует элемент неопределенности, порожденный случайным характером формирования продуктового потока. Дополнительную неопределенность вносит и функционирование входящих в систему многих структурных элементов. Случайный отказ одного из них приводит к перераспределению потоков между каналами. Из-за воздействия чрезвычайных ситуаций физический граф непредсказуемым образом разбивается на неизвестное количество фрагментов, о параметрах которых можно высказывать только вероятностные соображения. Работа посвящена анализу методов оценки надежности и живучести инфокоммуникационных сетей, уязвимостей элементов, структур и систем в условиях чрезвычайных ситуаций. Предложены подходы к моделированию и анализу влияния последствий чрезвычайных ситуаций на основные параметры инфокоммуникационных систем, определены критерии живучести, методы оценки живучести и влияния разрушающих воздействий.

Ключевые слова: живучесть сетей, чрезвычайная ситуация, разрушающие воздействия, инфокоммуника-ционные системыы, оценка живучести.

Ромашкова О.Н.,

д.т.н., профессор кафедры систем телекоммуникаций РУДН, советник директора, ТрансТелеком,

O.Romashkova@b.ffk.iv

Яковлев Р. И.,

аспирант кафедры систем телекоммуникаций РУДН, инженер сектора анализа радиосети, технический департамент ОАО Мегафон, roman_slvrep30@mail.rv;

Roman. I. Yakovlev@Megafon.rv

Информационная система оценки живучести

Задачи анализа сетевых структур большой размерности являются NP-сложными и для их решения часто приходится строить отдельную модель, что сказывается на временных и ресурсных затратах. Исследования в данной области ведутся с середины XX века, и выработано множество подходов для моделирования задач живучести. Основные модели:

• Вероятностные полиномиальные процедурные модели расчета;

• Процедурные модели, построенные с искусственной нейронной сети — ИНС;

• Потоковые модели, основанные на критерии допустимости сетевой инфоуоммуникационной системы (СИС).

Принципиальная схема функционирования сетевой структуры формализуется известной математической моделью, которая называется многопродук-

товой потоковой сетью (МП-сетью) и задается с помощью графа.

Так как количество параметров модели велико и, к тому же, может варьироваться в зависимости от используемой модели возникает потребность хранения большого количества данных, т.е. потребность в БД параметрах модели. Кроме того, часто приходится анализировать не только модель самой сетевой структуры, но также и модели чрезвычайных ситуаций (ЧС), при воздействии которых система должна функционировать. ЧС разделяют на внешние и внутренние. Моделирование внутренних рассматривает отказы программных средств, а внешних - действия всех ЧС, лежащих вне системы. После параметризации полученные данные по ЧС также нужно хранить в специализированной БД. Ситуация развития сетевой структуры с течением времени приводит к необходимости создания БД готовых решений (или моделей), к которым можно будет вернуться в дальнейшем, не производя параметризацию СИС снова. Информационная СИС (СИС) представляет собой распределенную струкгуру, размещенную на большой территории. Схема функционирования ее задается с помощью графа, который определяет физическую структуру СИС, его ребра г; соответствуют физическим компонентам информационной СИС (таким, как каналы связи), проложенным от одной вершины

графа (узла) У1 к другому.

Узлы СИС соответствуют источникам/приемникам потоков, либо осуществляют транзитные функции для существующих потоков. Такие вершины графа информационной СИС носят название транзитных. Сово-

купность ребер, которую надо пройти потоку из вершины у. до вершины ^называется путем (У., У )•

Если для любых двух вершин графа существует путь (УпУ;)’ то гРаФ называется связным (рисунок 1а), в

противном случае граф не связан (рисунок 16). Каждое ребро, входящее в вершину или исходящее из нее, называется инцидентным этой вершине. Общее количество ребер ¿(¡), инцидентных вершине называется степенью вершины. Если граф ориентирован, то различают полу степень исхода (1+0) и захода

Сечением по ребрам (рисунок 1в) называют наименьшее количество ребер, удаление которых из графа разбивает последний на два несвязанных между собой компонента.

Разбиение множества V всех вершин графа на два подмножества V и К, = V называется разрезом по вершинам. Это разбиение определяет разрез по ребрам, Е, и Е-, = Е, где £ — множество всех ребер, выходящих из вершин К, и входящих в вершины У2 . Если элементу графа (ребру, вершине) приписана какая либо физическая величина (например, длина ребра, пропускная способность, задержка обработки информации), эта величина отмечается числом, называемым весом элемента (ребра, вершины).

Рис. 1. Примеры связного (а), несвязного (б) графа и сечения графа по ребрам (в).

Длина пути между вершинами определяется

Каждая вершина имеет максимальную степень d-n- 1, но на практике не все вершины нуждаются в подобной “защите”, подобный усиленный граф нерентабелен. Необходимо создать такой граф из п вершин, чтобы каждая из них имела заданную ей степень Ka,i = lñ, где 1« ка п- 1-

Решение задачи возможно при использовании «сжимающегося множества» чисел. Некоторое множество чисел {АГ,,..., } при n > 1 реализуется в

качестве множества степеней вершин ненаправленного графа Gen вершинами и d = к тогда и только тогда, когда {К.,...,К } последовательно сжимаема.

K,>K,/ = Ü О)

Если К =/, то V/C >2(и-1)- Задается п вершин,

i-i

строится последовательность чисел п- 1 ,п- 2,...,1 из которой и выбираются необходимые значения степени d. Построение графа осуществляется последовательным соединением смежных вершин, не превышая при этом их степени.

На практике, нам не известны ни число источников потоков, ни величины потоков, ни величины концевых задержек при передаче сообщений. Всё, что мы можем сделать - дать вероятностную оценку того или иного параметра. Задержки каналов, узлов, отказы элементов СИС могут привести к изоляции целого участка, но не разрушить ее. СИС останется живучей, но временно бездействующей. Самый непредсказуемый тип воздействия на СИС - внешний (например воздействия, носящие стихийный характер). Значительная часть СИС при таком типе воздействия может быть разрушена, но оставшиеся связанные между собой элементы продолжат функционировать.

Процедурные модели вычисления основных

графовых характеристик

матрицей расстоянии

V., V. выбирается j столбец и /Г-связность

суммируются по і все длины ребер, расположенных в столбце. Вершина, расположенная на наименьшем расстоянии от всех остальных вершин, называется медианой графа, медианное расстояние Я — радиусом графа. Удаление даже одного ребра увеличивает радиус графа, т.к. в таком случае необходимо отыскать обходной и потому более длинный путь. Таким образом, удаление одного или даже нескольких ребер не всегда уничтожает связность графа. Такое свойство графа носит название живучести.

Критерий живучести графа

Удаление всех ребер, инцидентных некоторой вершине, изолирует ее - граф становится не связным, живучесть графа равна нулю.

Для обеспечения наибольшей живучести граф должен строиться с наибольшей степенью d(i) всех его вершин, т.е. полный граф, в котором каждая вершина связана ребром с каждой другой вершиной.

Число ребер т = ——, где п - число вершин.

А’-связность как мера живучести СИС. Неориентированный граф С=(У,Я) называется /г-связным относительно пары вершин у',у"є V, если после удаления любых к-1 ребер обязательно останется путь, соединяющий вершины Vі,Vй. Граф Є называется к-связным, если он является Аг-связным относительно каждой пары своих вершин. В /г-связном графе для любой пары вершин существует не менее К реберно-непересекающихся путей их соединения. Основываясь на этих определениях можно поставить задачу синтеза графа гарантированной высокой живучести: задан граф С=(У,Я), для каждой пары вершин задано целое неотрицательное число К(у',у''). Требуется в графе в найти подграф, в котором для любой пары узлов у'У'є V существует не менее £(у',у")реберно-непересекающихся путей соединения.

Живучесть и диаметр графа СИС

В реально функционирующих информационных сетях используется ограничение на число пере-приемов одного сообщения. Соответственно, в модели

такой СИС будут считаться связными только те пары узлов (вершин графа), между которыми существует путь, имеющий длину не более заданной. При анализе подобных информационных СИС используется понятие диаметра графа.

Пусть в графе С найдены ¿{У',У") - длины кратчайших путей между всеми парами вершин У',У"еУ. Тогда величину А = тахт(У',У''е У) называют диаметром графа. Проблема сложности общей задачи отыскания максимального числа вершинно-непересекающихся путей ограниченной длины Ь. В данном случае эффективное решение задачи существует только для графов с Ь < 3. При анализе живучести информационных СИС используют также верхние и нижние оценки диаметра графа.

Обобщенное понятие диаметра Ь'= шах/?(дг, д>),

х >У

где х,у —произвольные точки на ребрах графа информационной СИС, а р(х,у) - длина пути в графе между этими точками.

Условная связность

Вершины графа СИС считаются связными, если длина соединяющего их пути не превосходит заданной величины. Например, граф С считается условно связным, если удаление некоторого минимального числа ребер (вершин) оставляет в образовавшихся компонентах присущие исходному графу свойства: планарность, двудольность, заданную степень вершин, и т.д. если критерием связности положить минимальное число ребер, удаление которых в каждой компоненте оставляет некоторое N0 число вершин.

Стойкость

При анализе СИС максимальной живучести рассматривается вопрос о минимальной величине затрат, обеспечивающих эту живучесть, т.е. проблема стойкости. Стойкость численно равна наименьшей средней стоимости создания новой компоненты связности. Если стойкость графа с (#) > с 0, то граф содержит не менее с0 реберно- непересекающихся

остовных деревьев.

Вычисление плотности графа. Пусть граф С'=(У,И') - подграф графа С. Плотностью р(С) подграфа С называется отношение мощности множества его ребер к мощности множества его Я’

вершин: p(G’) =

У

ребер. Минимальный разрез - разрез с минимальной пропускной способностью (т.е. включающий в себя наименьшее число ребер). При моделировании считается, что именно этот разрез будет подвергнут наибольшему воздействию ЧС и именно этот разрез укрепляют. При разрушении части СИС происходит перераспределение (перемаршрутизация) потоков.

Рассмотренные выше показатели структурной живучести мало представительны: в основу их построения полагается лишь один из многих аргументов целевой функции живучести графа - связность. Таким образом отыскивается наиболее слабое звено графа, определяется минимальное сечение, которое используется в выражении показателя живучести. Так называемое гарантированное значение живучести графа СИС задается наихудшим состоянием разрушения графа. При удалении ребер одна из вершин графа оказывается в изоляции, однако, если ее заранее объединить с какой-либо устойчивой вершиной, связность графа удастся сохранить. Продолжая далее этот часто употребляемый прием удаления и контракции ребер, сводят исходный граф G к петле. Если всем удалениям ребер обозначить одинаковую вероятность удаления р, то контракция их будет иметь вероятность q=l-p. В результате совокупности всех таких действий создается многочлен изпроизведений р и q различной степени. Численное значение такого многочлена при заданном значении р принимают за критерий живучести R(G) графа G.

Верхний предел живучести СИС.

Прямой метод рекурсивного расчета полинома Татта для полного графа был предложен Аннаном (Annan). Рассмотрим граф Umr, полученный из Кт добавлением новой вершины v и соединением ее с каждой вершиной Кт с помощью г кратных ребер.

По определению Кт изоморфен Uп_х | .

пияу,х,у) = ь

т

. Плотные графы являются менее

уязвимыми.

Сечение и разрез

Понятия сечения и разреза совпадают, но не всегда. Сечение - более общее понятие. При построении процедурной модели живучести СИС под воздействием ЧС для моделирования полного разрушения структуры пытаются удалить множество таких ребер (уж , V, ),/€ М, что их удаление из СИС разрушает

все пути соединения для всех инцедентных пар. Пропускная способность такого разреза равна сумме пропускных способностей всех входящих в него

+ \УукчПит_,/,х,у) + (х-\)Пит_1у,х,у)

Формула соответствует рекурсивному применению формулы удаления/контракции ко всем ребрам, примыкающим к V и объединяющим все изоморфные миноры. Например, применим формулу удаления/контракции к п - 1 ребрам, которые инцидентны вершине К„. Как и в предыдущей процедурной модели, если мы объединим изоморфные миноры с одинаковым расположением ребер, то получим 2(п-1)~ п+1 неизоморфных миноров. Однако эта формула предполагает дальнейшее объединение изоморфных миноров с различным расположением ребер. В этом случае мы получаем, что есть только п-1 неизоморфных миноров.

Т (Кп ;х,у) = Т ; х, у) (2)

получаем из расчета всех T(Ujk^,x,y), таких, что у + к < п-1.

Потоковая модель исследования живучести

Исследование живучести стохастической сетевой информационной системы

Рассмотрим СИС, определённую связным физическим детерминированным графом, т.е. в ней всегда существует путь между двумя произвольными вершинами этого графа. Известны критерии, позволяющие судить о связности графа. Под воздействием ЧС неизвестной плотности и силы [3] часть вершин и ребер графа потеряли свои функциональные способности (оказались полностью поражены) и граф распался на неизвестное число компонентов. Таким образом, можно положить, что проблема живучести -это проблема связности стохастического графа.

При решении задач анализа стохастического графа определяют:

1. Вероятность распадения исходного графа на р компонентов; как правило, отыскивается вероятность того, что стохастический граф связан Р(р = 1);

2. Вероятность р существования ребра или вершин);

3. Вероятность принадлежности двух вершин одной компоненте;

4. Верхняя и нижняя границы вероятности существования графа, ребра которого существуют с вероятностью р.

Структура случайного графа описывается множеством вершин {У0,Уп} и множеством элементарных ситуаций {¿V};/, У = 1 ...И где £у определяет событие, состоящее в наличии или отсутствии связи между вершинами V/ и V- через ребро ■

Определяется вероятность (или распределение вероятностей, если случайные события не являются независимыми) р(£Если события независимы и

равновероятны, граф называется несмещенным, в противном случае - смещенным [14]. СИС должна быть максимально живучей, однако такого математического или даже логического выражения, из которого, варьируя численные значения параметров, можно получить частные решения для разных графов, не существует [5]. Приемлемые значения можно получить для однородных симметрических струюур, где граф имеет форму решетки, в которой каждая вершина соединена с ближайшими соседними (рис. 2) [4].

В этом случае граф определяется степенью вершины (1 и правилом соединения одной вершины с соседними. В начальном состоянии граф предполагается связным, т.е. не имеет изолированных вершин. Это означает, что каждой вершине инцидентно по крайней мере одно ребро.

Пусть Qi - событие, состоящее в том, что не существует поврежденных ребер, инцидентных V(. Объединение событий {Q¡},i = 1..л есть событие, что одна вершина графа не имеет поврежденных ребер. Дополнительным событием поэтому служит следующее: каждая вершина имеет, по крайней мере, одно существующее инцидентное ребро.

Н: :Н Ж

Рис. 2. £>=2,£>=3,0=8 Для решетчатых структур общая живучесть определяется:

Рис. 3. d=6

Рис. 4,d=6

Условием, что рассматриваемые числа реализуются в виде графа, является отношение:

^¿/(/) = 2т\ откуда следует: =

п

Используя дисперсионные соотношения для случайной величины d(l):

£wo-W),

Я-1 н

Получают верхнюю границу вероятности связного графа:

Р{р = 1)<1-

nq

п — 1 ¿0—) —Я и

Нет необходимости искать возможные значения Р, т.к. на практике можно ограничиться вполне прием-

3

лемым значением Р(р = 1) >— [1.3]. Для таких

4

значений Р множитель в квадратных можно заменить значением 0,5. Тогда:

Р(р = \)<\-------qd, d«n — критерий живучести

стохастического однородного графа с заданными п, d, q. Если задано Р( р = 1), то:

d>

1

In q

ln(l-P)-

ln n

т.е. необходимое условие для степени вершин, чтобы граф был связным, т.е. из каждой вершины в среднем должно исходить d ребер при заданных q и п.

Исследуем изменения структуры СИС при внезапном воздействии ЧС.

Введем условия:

1. Каждая вершина имеет в среднем d исходящих ребер;

2. Каждое ребро, инцидентное вершине У! также инцидентно V] с вероятностью:

Р = ------—,1’,у = 1..л;

(и-1)

3. Все вершины и ребра идентичны;

4. Воздействие ЧС направлено в некоторую случайно выбранную область ¿3 , тогда вероятность пора-

т

жения равна —, где Б - площадь, занимаемая СИС;

5. Частота возникновения последствий воздействия ЧС составляет ¡л(1) единиц на единицу площади;

6. Воздействие ЧС на СИС одномоментное;

7. Вершина разрушается в том случае, если под-

вергается воздействию ЧС, мощностью не менее А'*;

8. Ребро разрушается в том случае, если подвергается воздействию ЧС, мощностью не менее ;

9. Восстановительные работы на СИС не про-

водятся.

Если /^(/) велико, то ожидаемое число разрушенных вершин (или ребер) будет соответствовать вероятности того, что любая данная вершина может быть разрушена.

Пусть £*(//) и (//) обозначают ожидаемые

части вершин и ребер, которые подверглись воздействию ЧС с частотой возникновения последствий ¡л .

Вероятность того, что некоторая вершина кч не будет разрушена равна:

\-і

£«»*(/<);

(3)

*=0

разрушено равна:

£»Г(/0;

-я'» (л’’р)к к\ ’

(5)

(6)

р = 1 — е, или а =

Р

Следовательно, учитывая выражения 3-8:

/3 = 1 -ехр

-4

к-О

к=0

Р

>; (9)

Таким образом, выражение (9) определяет среднее количество вершин, не разрушенных воздействием

*-1

ЧС, а рХ 8к(м) ~ сРеДнее число вершин

к=О

первоначального графа, которые могут установить связь с другими после воздействия ЧС и выражение (9) можно использовать для определения коэффициента живучести.

Компонента О , учитывая (3), (4), (5) будет иметь к ■ к .

вид: с/

Задав р > р0 как коэффициент живучести:

I А*(А)

^8РЛМ)

-Іп(І-Д)

А

Учитывая выражения 5-7 получим:

(/

мл у (рРМІ (.(ль+пг)у( 1п(1 А,)

к\ к\ і Р* )

Вероятность того, что некоторое ребро кі не будет

(4)

*=0

Пусть 71Ь и 71' - вероятности того, что воздействие ЧС разрушает данные вершину и ребро, тогда, согласно распределению Пуассона для вероятностей:

(Ю)

Принимая во внимание, что к8 и кь — целые

числа, ограничение некоторым предельным значением, находим минимальное значение с1.

Например, сконструируем граф СИС с большим количеством вершин так, чтобы из вершины, выбранной случайно, можно было установить связь после нападения с 90% (/5 = 0,9) неповрежденных

вершин. При этом считаем, что ребра графа неуязвимы, а вершины подвержены разрушению. Плотность огня составила 100 ударов/км. Вероятность поражения конкретной вершины:

СП 0,05/си

=—= 0,05,*, =1;

5*

Предположим, что после удара осталось в среднем а неповрежденных ребер, направленных из У, причем Уі считается не разрушенной. Для графов, удовлетворяющих условию (1) существует соотношение [4]:

- ^±Л- (7)

Р ’

(8)

£> \к.м~

Таким образом, граф содержащий 380 вершин может выдержать один удар, после которого можно установить связь с 90% оставшихся после удара вершин. Подсчитаем количество оставшихся вершин:

£8,Лм)=е^М5_т = о,оз4;

Т.е. от начальных 380 вершин останется только 3% -12 вершин. Общий поток упадет более чем в 30 раз, СИС станет определенно недопустимой. Или, выражаясь по-другому, СИС будет уничтожена.

Литература

1. Мельников Ю.Е. Модель комплексной оценки и обеспечения живучести распределенных информационновычислительных систем / Ю.Е. Мельников, Ж.С. Сарыпбе-ков // Материалы И Всесоюзной научно- технической конференции. М., 1988.

2. Карманов В.Г., Федоров В.В. Моделирование в исследовании операций / В.Г. Карманов, В.В. Федоров. - М.: Твема, 1996.

3. Фрэнк Г. Сеги, связь и потоки / Фрэнк Г.. Фриш И. пер. с англ. Под ред. Поспелова Д.А. - М.: Связь, 1978. - 448 е., ил.

4. Додонов А.Г. Введение в теорию живучести вычислительных систем / Додонов А.Г., Кузнецова М.Г., Горбачик Е.С. — Киев: Наук, думка, 1990. - 184 с.

5. Малашенко Ю.Е. Потоковые задачи анализа уязвимости многопродуктовых сетей / Малашенко Ю.Е., Новикова Н.М. - М.: ВЦ АН СССР, 1989.

6. Deeter D.L. Heuristic optimization of network design considering all-terminal reliability / D.L. Deeter and A.E. Smith // Proceedings of the Reliability and Maintainability Symposium. -1997,-P. 194-199.

7. Bellmore M. Optimal defense of multicommodity networks / M. Bellmore and H.D. Ratliff // Management Science. -1971. - Vol. 18. N.4. - P. 174-185.

8. Матемагические постановки задач восстановления и обеспечения живучести для многопродуктовых сетей / Давидсон М.Р., Малашенко Ю.Е., Новикова Н.М. [и др.]. - М.: ВЦ РАН, 1993.

9. Мину М. Математическое программирование / М. Мину.-М.: Наука, 1990.

10. Konak A. An improved general upperbound for allterminal network reliability: in revision at HE Transactions / Konak A. and Smith A.E.

11. Dengiz B. Efficient optimization of all-terminal reliable networks using an evolutionary approach / B. Dengiz, F. Al-tiparmak and A.E. Smith // IEEE Transactions on Reliability. -1997. - Vol.46. - P. 18-26.

The analysis of models and methods for an assessment of survivability of infokommunication networks in the conditions

of emergency situations

Romashkova Oksana Nikotaevna, Doctor of Engineering, professor of chair systems telecommunications, RUDN, Transtelecom, adviser of the director, O.Romashkova@b.ttk.ru,

Yakovlev Roman Igorevich,

graduate student of chair systems telecommunications, RUDN,, Megafon, engineer of sector of the analysis of a radio network, technical department, roman_slurep30@mail.ru, Roman.i.Yakovlev@Megafon.ru.

Abstract: Various destroying influences have different influence on degree and nature of damage of a network. The most effective indicators are characteristics of the networks, connected with streams in them: the population mean of the maximum stream, factor of capacity, probability of that the current stream isn't less preset value. Not less important indicators are temporary characteristics: time of introduction of influence, time of its action, time prior to the beginning of restoration of an element of a network, restoration time. Before survivability there is a task: the network should build a new route taking into account damage of the basic elements, having as much as possible kept thus functionality which is based on reliability of primary network which is the base for the organization of the imposed networks. The network infokommunication system is based on a network of mass service and consequently at its functioning always there is the element of uncertainty generated by casual nature of formation of a grocery stream. Additional uncertainty is brought also by functioning of many structural elements entering into system. Casual refusal of one of them leads to redistribution of streams between channels. Because of influence of emergency situations the physical count breaks in an unpredictable way into unknown quantity of fragments about which parameters it is possible to make only likelihood observations. Work is devoted to the analysis of methods of an assessment of reliability and survivability of infokommunication networks, vulnerabilities of elements, structures and systems in the conditions of emergency situations. Approaches to modeling and the analysis of influence of consequences of emergency situations on key parameters of infokommunication systems are offered, criteria of survivability, methods of an assessment of survivability and influence of destroying influences are defined.

Keywords: survivability of networks, the emergency situation, destroying influences, infokommunication systems, a survivability assessment.