CC BY
24
Анализ многозвеньевого маршрута оптической сети с маршрутизацией по длине волны и учетом буферного накопителя в устройстве передачи перед звеном
Ключевые слова: преобразование длин волн, звено сети, оптическая сеть, буферный накопитель, линии задержки.
Статья посвящена методам анализа вероятностных характеристик функционирования оптических сетей. Рассматривается модель для анализа вероятностей блокировок маршрутов оптических сетей с маршрутизацией по длине воны, в которой в отличие от известных моделей учитывается оптический буферный накопитель в устройстве передачи, обеспечивающий задержку заявки в течение фиксированного времени.
Башарин Г.П.,
д.т.н., профессор кафедры систем телекоммуникаций РУДН, gbasharin@sci.pfu.edu.iv
Ефимушкин А.В.,
руководитель проектов ООО"Селкрафт", eHmushkin@selcralt.iv
Шибаева Е.С.,
аспирант кафедры систем телекоммуникаций РУДН, esshibaeva@gmail.com
Введение
Полностью оптические сети состоят из оптических волокон, объединенных динамически контролируемыми кроссами (т.е. коммутаторами, выбирающими длины волн), которые предоставляют полностью оптический транспорт между узлами сети. Таким образом, соединения на оптическом уровне являются коммутируемыми, и ограниченная способность по взаимодействию между узлами, наблюдаемая на оптическом уровне, может быть преодолена с помощью статического задания маршрутизации пакетов, что позволяет увеличить возможности взаимодействия между пользователями при рассмотрении виртуальных каналов.
Вместе с маршрутизацией по длине волны конверсия длин волн является важной составляющей обеспечения масштабируемости и улучшения функционирования полностью оптических сетей и является одним из существенных свойств многозвеньевой сети. В сети без конверсии длин волн в узлах, два пользователя взаимодействуют между собой, используя одну и ту же длину волны на каждом звене (волокне) маршрута между ними. Конверсия длин волн вносит большую гибкость в установление соединений между пользователями, позволяя использовать для установления соединения различные длины волн на маршруте. При использовании конверсии длин волн в узлах для установления соединения между парой узлов сети достаточно того, чтобы на каждом звене маршрута существовало хотя бы по одной свободной длине волны. Конверсия длин волн снимает требование наличия одной и той же свободной длины волны на каждом из звеньев маршрута и тем самым уменьшает вероятность блокировки заявки [1].
В оптических сетях для задержки на заданное время оптического сигнала без изменения его формы приме-
няют линии задержки. Линии задержки (ЛЗ) необходимы для применения в аппаратуре связи, для временного уплотнения передаваемой информации [2].
Волоконно-оптические JI3 (FDL - Fibre Delay Line) можно условно разделить на пассивные и активные. Пассивные ЛЗ предназначены для задержки оптического сигнала на заданное время, используя для задержки оптическое волокно. Активные ЛЗ предназначены для задержки высокочастотных сигналов на заданное время. Пассивные ЛЗ широко применяются в оптических сетях [3].
В данной статье будет рассматриваться полностью оптическая конверсия длин волн. Будем предполагать, что преобразование длин волн осуществляется оптическим путем конвертерами длин волн, совмещенными с сетевыми коммутаторами [4]. Дополнительно будем предполагать наличие волоконно-оптической линии задержки перед каждым звеном оптической сети.
Цель статьи раскрыть влияние эффекта конверсии длин волн на работу оптических сетей с учетом оптических ЛЗ. В статье рассмотрен вопрос о зависимости работоспособности сети (вероятности блокировки маршрутов) от количества переприемов в соединении и от числа длин волн в оптическом звене, и разрабатывается приближенный метод вычисления вероятностей блокировок многозвеньевого маршрута оптической сети.
Построение и анализ модели
Предлагается аналитическая модель для нахождения вероятности блокировки маршрута сети, как без возможности преобразования длин волн в узле, так и с полным преобразованием длин волн [5]. В устройстве передачи перед звеном имеются оптические ЛЗ, которые для удобства будем называть буферным накопителем (БН), обеспечивающие задержку заявки в течение фиксированного времени.
В модели, в целях упрощения анализа предполагается не детерминированное, а экспоненциально распределенное время пребывания в буфере со средним, равным указанному фиксированному значению. Таким образом, БН моделируется дополнительной группой приборов, называемой БН для упрощения. Предполагается также, что нагрузки на звенья сети независимы.
Интенсивность поступающего пуассоновского потока на звено / есть Ц, а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром //, тогда нагрузка на звено /' равна /?, =£,///, i=\,J. В случае занятости всех длин волн звена заявка буферизуется в
БН конечной емкости г, причем время пребывания заявки в БН распределено экспоненциально с параметром //0 (рис.1). По окончании этого периода заявка занимает свободную длину волны, при ее наличии, либо блокируется и теряется, не оказывая влияния на поступающий поток заявок.
и
-/£!•>
IV’1
‘‘ РС,-
в,
► | м>| і -1чрИ\
О
\
/'„У ЧРп\,
, </='
0, д:<0,
1, х > 0.
X Е РІП„ = Ь * = 0,^ <7 = 0,г, и(х) =
к = 0 ц = 0
Рассмотрим возможные переходы в состояния
(*,<7)Є X.
а) В состояние (0,</) є X , д = 0,г можно попасть за счет обслуживания заявки на приборе из состояния (1,дг) є X , <7 = 0,/* с интенсивностью //.
б) В состояние (£,<7)єХ, £ = 1,^-1, ц = 0,г — 1 можно попасть:
- из состояния (к- 1,<7)єХ за счет поступления в
СМО заявки с интенсивностью Ц;
- из состояния (/г + 1,<7)еХ за счет окончания обслуживания заявки на приборе с интенсивностью (к + \)И\
- из состояния (£-1,</ + 1)єХ за счет перехода буферизированной заявки из буфера на прибор после периода времени пребывания ее в буфере, экспоненциально распределенного с параметром //0 с интенсивностью
(‘З' + О/'о-
Рис. 1. СМО, моделирующая буферизацию заявок при занятости всех длин волн
Независимость нагрузки между звеньями является очень важным предположением. Точность модели, построенной при этом предположении, зависит от топологии сети и модели трафика. Предполагается статическая маршрутизация. Динамическая маршрутизация дает большую производительность, но ее анализ очень трудоемок. В данной статье проводится анализ показателей эффективности оптической сети при наличии и отсутствии полной конверсии длин волн в узлах.
Пусть Х0) - случайная величина (СВ), опре-
деляющая число занятых длин волн на ьм звене, а Г0* -
СВ числа заявок в БН. Функционирование звена описывается двумерным марковским процессом (МП)
(Х(,)(/),¥0)(/)), />0 с пространством состояний X = ^к,ц): к = 0,IV,ц = 0,г|. Стационарное распределение вероятностей введенного МП
Рк% := Р{Х1П = к,У11) = ч},к = О,»', д = 0~7, существует и находится из следующей системы уравнений глобального баланса (СУГБ) и условия нормировки:
Р1”,(.и(г - ч)1-1 + и(И' -к)и(ч~г+1)1, + *// + <^0) =
= и(*)р^и£, + и(1У -*)#»&.,(* + 1)// +
+ и(к)и(г- ч)р)!1и^(ч + !)//„ +
+ !/(* +1 - и' Щг - ч)р[?ч*Лч + 1)^0 + “(* + 1 - * )«(я)р[пя-А,
(1)
в) В состояние (к,г)е \, к = \,\У-\ можно попасть:
- из состояния (і-1/)єХ за счет поступления в СМО заявки с интенсивностью Ц;
- из состояния (к + 1,г) є X за счет окончания обслуживания заявки на приборе с интенсивностью (к +1)//.
г) В состояние (Ж,0) є X можно попасть:
- из состояния (^Г-1,0)еХ за счет поступления в СМО заявки с интенсивностью Ц;
- из состояния (IV -1,1) є X за счет перехода буферизированной заявки из буфера на прибор с интенсивностью //„, после периода времени пребывания ее в буфере, экспоненциально распределенного с параметром //0.
- из состояния (ИМ) є X за счет окончания периода буферизации заявки в буфере и ее блокировки из-за занятости IV проборов с интенсивностью //„.
д) В состояние (^,<7) є X , ц = \,г — 1 можно попасть:
- из состояния (IV- 1,</)єХ за счет поступления в СМО заявки с интенсивностью Ц;
- из состояния (И7 — 1,д +1) є X за счет перехода буферизированной заявки из буфера на прибор с интенсивностью (<7+1)//0, после периода времени пребывания ее в буфере, экспоненциально распределенного с параметром //0.
- из состояния (^,^г + 1)єХ за счет окончания периода буферизации заявки в буфере и ее блокировки из-за занятости IV проборов С интенсивностью (<7 + 1)//0.
- из состояния (И',д-1)є X за счет поступления в СМО заявки с интенсивностью £,.
е) В состояние (IV,г) е X, можно попасть:
- из состояния (^Г-1,г)еХ за счет поступления в СМО заявки с интенсивностью Ц;
- из состояния (^,/--1)еХ за счет поступления в СМО заявки с интенсивностью Ц;
Отметим, что заявка не будет буферизирована и блокируется в случае занятости IV приборов и переполнения
БН. Для состояний (№,ц)еХ, q = \,r-\ заявка блокируется в случае окончания периода буферизации заявки в буфере и из-за занятости IV проборов.
Интенсивности переходов, соответствующие а)-е), приведены на рис. 2.
На рис. 3 представлен соответствующий граф интенсивностей переходов между состояниями СМО.
Рекуррентный алгоритм вычисления вероятностей состояний СМО
Получим рекуррентный алгоритм вычисления вероятностей Рк',1 • (к,ц)еХ для системы (г + 1)(IV + 1) + 1 уравнений глобального баланса.
Шаг 1. Для всех состояний (0,<у)еХ</ = 0,г вероятности состояний (1,</)еХ</ = 0,г выражаются в виде
р!Ц = —(£, + ЧМо)Ро.1 ■
Р
Шаг 2. Для всех состояний (к,г) е X. к = О,IV вероятности пребывания системы р[‘\ выражаются через вероятность р\'\ пребывания системы в состоянии (0,/•)€ X . Выразим р\'1 через р(0пг .
Р1!г = —(£, + 'Т'о )РоПг ■ Обозначая г[ := — (£, + гцй ), Р Р
_ (О _ 7 г „ (О запишем Р\_г — р0 г .
Выразим р\‘\ через р'„'1 .
р"’, = —[(£,+// + г^„)р\'1 - £,/>£]= — [(/., + ц + гц„)г\Ро.1 - £,/>!!!]
Обозначим Zr■L :=-------[(А, + ц + г/л0)2[ - £,]. Веро-
- Р
ятносгь рз.г можно записать:
„<<> _ 7 г (п Р 2.г *-2 Ро.г •
Продолжая аналогично для остальных состояний (к,г) е X запишем
р\" = +(к-\)р + гМ»)~ ь,г (2)
где значения постоянных 2[_\ и Z^_3 определяются рекуррентно описанным выше способом. При этом
2[ := -Ц7;.,(1, + (* - 1)// + г//0)- 1^;.,], кР
к = \№. (3)
В формуле полагаем 7.г_х = 0, а = 1. Запишем вероятность р[°г в виде р1'.1 = г'ьР^, к=ол.
Шаг 3. Для всех состояний (к,г—1)е\к=0,И/ вероятности пребывания системы />{'*_, ,к = 0,IV выразим через вероятности Ро'’_, пребывания системы в состоянии (0/-1)еХи рд°г пребывания системы в состоянии (0,Г)£Х.
Шаг 4. Для граничного состояния (IV,/--I) вероятность пребывания системы р!,"г., выражается через вероятность рд’ пребывания системы в состоянии (О,/*) е X, используя результаты, полученные на шаге 2:
Р»\ЛгРо + рМ ) = Рг-|.Л + Р«г'!,-Л, г; Ро.1(гр0 + {,№) = ,
Я |г !г-| = ~ (;'^о + Р^ ) ~ % *-11*1 "\р О', . (4)
Используем полученное уравнение для нахождения вероятности Рог-1 пребывания системы в состоянии (0,/--1)еХ через вероятность р(0‘1 пребывания системы в состоянии (0,г) € X .
В полученное уравнение (4) для р,У’г_, на шаге 3 зависящее от р(0‘1_| и рд‘1 подставим вместо р1,'\_{ полученное выражение, зависящее от . Несложными преобразованиями выражаем через р^Ц .
Шаг 5. Для всех состояний (к,г-\)е Х.к = 0,1У подставляем в уравнения выражение р\!\., через Ръ\.
Шаг 6. Для всех состояний (к,ц) еХ.к =0,1У при <7 = г — 2, ц = г—3,<7 = 0 повторяем шаги 3-5.
Шаг 7. Из нормировочного условия находится вероятность р(0пг . Вероятности остальных состояний находятся из полученных выражений на шагах 1-6.
Показатели эффективности системы
Введем следующие показатели эффективности системы: вероятность занятости всех длин волн звена / равна р\у\,; вероятность буферизации заявки вычисляется по
н ...
формуле X р1 ; вероятность потери заявки вследствие
,,=о 4
занятости всех длин волн звена и БН равна р \.
Интенсивность потери заявки после пребывания в БН вычисляется по формуле /и„ Т>ЧРи\ч ■ Совокупная интенсивность потери заявки на звене 9и) равна 5(,’ = А,.Аг!г+Ао1<7Аг!, •
Ч‘ 1
Вероятность потери заявки на звене / совпадает с долей совокупной интенсивности потери заявки от интенсивности поступающего потока заявок: тти) = 9и) IЦ.
Распределение р^^.к = 0,1У,ц = 0,г, позволяет найти маргинальные вероятности занятости к длин волн на звене р[п := р[[:,к =0Л.
Анализ блокировок на примере двухзвеньевого
линейного фрагмента оптической сети
Определим теперь вероятность блокировки для заявок, поступающих на маршрут, состоящий из большего количества звеньев. Во-первых, определим вероятность ц "1 , как вероятность наличия к занятых длин волн на первых п звеньях маршрута. Под занятой длиной волны на маршруте будем понимать длину волны, не доступную хотя бы на одном звене рассматриваемого маршрута. Для маршрута, состоящего из одного звена, имеем ч[и = р[" > к = 0,...,1У.
Для начала рассмотрим маршрут, состоящий из двух звеньев. Пусть а - первое звено маршрута, а Ь - второе,
тогда обозначим за Па и пь количество свободных длин волн находящихся, соответственно, на звеньях а и Ь. Вероятность Р(/ |я„,ял) того, что / длин волн свободны
на звеньях а и Ь, эквивалентна вероятности наличия одних и тех же свободных длин волн, как на звене а, так и на звене Ь .
В качестве пояснения можно представить, что число пи длин волн на звене а это белые шары, которые случайно распределены по IV ячейкам, при условии того, что в каждую ячейку может попасть только один шар. Свободные пь длин волн на звене Ь также можно представить в виде белых шаров, которые случайно распределены по тем же самым IV ячейкам, с условием, описанным выше, только для шаров звена Ь .
Во введенных обозначениях нам необходимо посчитать вероятность наличия / ячеек с двумя белыми шарами; занятые длины волн на звеньях а или Ь представим в виде черных шаров. Заметим, что Р(/1 л„,ил) = Р(/1 пь,пи). Таким образом эта вероятность имеет вид [6,7]:
IVIVV-
p) (w Л n ' a -f
w'
nh n)
0,
+ /I, -W < / < min(/; ,п,),
I h J /I h
в остальных случаях.
.."> _
</»-/
= х x/w - /1 я~ VA и *'W)=
i=07=0
Вероятность блокировки для соединений, поступающих
на маршрут из п звеньев равна л(п,№) = \-\\(\-р\‘,'•).
’ (=1
Если средняя загрузка звеньев одинакова, то рЦ1 = и вероятность блокировки может быть выражена в виде ф,Г) = 1-(1-Ри,)\
Численный пример по предложенной модели
Рассмотрим пример, иллюстрирующий введенную выше аналитическую модель.
В случае отсутствия конверсии длин волн в узлах сети, и при одинаковой интенсивности нагрузки на каждое звено сети, равной единице (р = 1), для маршрута, состоящего из пяти звеньев, найдем вероятности блокировок заявок в зависимости от числа длин волн IV (рис. 4).
При существовании возможности конверсии длин волн в узлах маршрута, аналогичные вероятности при том же значении интенсивности нагрузки на звено будуг равны значениям, представленным на рис. 4.
На п0 и пь накладываются следующие ограничения па+пь-/<.Н', 0 <па,пн<1У.
По формуле условной вероятности распределение запятых длин волн на маршруте из двух звеньев имеет вид
№/-Цри\1Жр?-
(=0 j=0
Введем следующие обозначения.
Обозначим через (/?,И^) вероятность блокировки
маршрута Я, состоящего из | Я |=/7 звеньев, содержащих по IV длин волн без конверсии длин волн в узлах.
Обозначим через л(п,№) вероятность блокировки маршрута К , состоящего из | /? \=п звеньев, содержащих по IV длин волн с полной конверсией длин волн в узлах.
Вероятность блокировки маршрута из двух звеньев без конверсии длин волн в узлах в веденных выше обозначениях можно представить как
л(2,Н') = ^).
Можно распространить описанный выше анализ на нахождение вероятности блокировки заявки, поступающей на маршрут из п звеньев, п > 1 . По существу будем использовать рекуррентную формулу, определяющую распределение занятых длин волн на маршруте из п звеньев через распределение занятых длин волн на маршруте из п -1 звена. Для п > 1
IГ II'
0.12
0.1
0,08
0,06 ■ С конверсией
0.04 ■ Без конверсии
0,02 0 /V i 10 • 15 20 7t(5,iv jc(5,IV w
Если в сети возможно преобразование длин волн, то ограничение на использование одной и той же длины волны для установления соединения отпадает. Блокировка заявки происходит при данных условиях только в отсутствии свободных длин волн, на каком-либо из звеньев маршрута. Поэтому в данном случае можно использовать результаты классической теории для коммутации каналов.
Рис. 4. Изменение значений вероятности блокировки заявок на маршруте в зависимости от количества длин волн на звене сети
Литература
1. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика // М.: РУДН, 2009. - 342 с.
2. Kim J.. Choi J„ Kang М.. Rhee J.-K. К. Design of novel passive optical switching system using shared wavelength conversion with electrical buffer // IEICE Electronics Express. - 2006. - Vol.3, No.24. - P.546-551.
3. Lambert J. Performance Analysis of Optical Fibre Delay Line Bufers and DOCSIS Cable Modem Networks// Universiteit Antwerpen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde & Inforniatica, 2008.-202 p.
4. Анализ вероятностен блокировок коммутатора оптической сети для услуг различного качества с механизмом освобождения каналов от информации // М.: Электросвязь. - 2011. - №2. -С.48-51.
5. Башарин Г.П., Савочкин Е.А.. Ефимушкин А.В. Приближенный метод вычисления вероятностей блокировок оптоволоконной сети II В сб.: Всероссийская научная конференция по проблемам математики и информатики // М.: РУДН. - 2003. -С.45.
6. Berisekas D. Gallager R. Data Networks // Englewood Cliffs, NJ: Prentice-llall, 1992.
7. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks // Chichester: John Wiley & Sons, 1979. - 630 p.
