Анализ изменения динамических свойств самолета при согласовании информации между резервированными каналами цифровой системы управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 1

УДК 629.7.05

АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ САМОЛЕТА ПРИ СОГЛАСОВАНИИ ИНФОРМАЦИИ МЕЖДУ РЕЗЕРВИРОВАННЫМИ КАНАЛАМИ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

С. Г. БАЖЕНОВ, Ю. Ф. ШЕЛЮХИН

Рассмотрена проблема влияния наиболее распространенных видов согласования информации между каналами резервированной цифровой системы управления (СУ) на динамические свойства самолета с такой СУ. Учитывается согласование входной информации, выходных значений интегральных звеньев и сигналов апериодических фильтров с использованием цифровых линий связи между каналами. При анализе используются частотные методы. Дается оценка дополнительного запаздывания, вносимого при согласовании входной информации, изменения коэффициента интегрального звена и постоянной времени апериодического фильтра вследствие выравнивания их выходных значений. Проведен расчет областей устойчивости непрерывной системы, цифровой одноканальной системы и цифровой резервированной системы с выравниванием информации.

Ключевые слова: цифровая система управления, резервирование, асинхронность, выравнивание информации, частотная характеристика, область устойчивости, фильтр.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время бортовые цифровые системы управления (СУ) широко применяются для улучшения характеристик устойчивости и управляемости самолетов. Для обеспечения надежности система строится как многоканальный комплекс. Вычислители различных каналов работают асинхронно, т. е. одинаковые процедуры в разных каналах выполняются неодновременно, что ведет к рассогласованию между каналами и может привести к ложному срабатыванию системы контроля. Эта проблема особенно важна для интегральных СУ, поскольку значения интегралов в разных каналах могут принимать произвольные значения, но их сумма определяется законом управления. Для обеспечения идентичности вычислительных процессов, протекающих в различных каналах, применяются различные виды выравнивания информации с помощью обмена данными через линии межканальной связи. Выравнивание информации оказывает влияние на динамические свойства СУ и устойчивость замкнутой системы «самолет — СУ».

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Целью задачи является оценка влияния наиболее распространенных видов выравнивания информации на динамические свойства резервированной асинхронной СУ. Рассмотрим резервированную двухканальную цифровую СУ (рис. 1).

Управляющий сигнал от летчика Х(0 и сигнал обратной связи ДО используются для формирования управляющих сигналов и () и ^ () двух

БАЖЕНОВ Сергей Георгиевич

кандидат технических наук, начальник отдела ЦАГИ

ШЕЛЮХИН Юрий Федорович

кандидат технических

наук, заместитель начальника отделения

Рис. 1. Структура двухканальной цифровой асинхронной системы управления

каналов системы управления. Сигналы Х(7) и У(7)являются векторами произвольной размерности. Закон управления описывается матрицей дискретных передаточных функций Б (г). Управляющие сигналы и (7) и () поступают в блок управления и контроля (БУК) привода, где

осуществляется их контроль и формируется единый командный сигнал на отклонение приводов. Приводы отклоняют аэродинамические поверхности управления самолета, который описывается традиционной системой линеаризованных дифференциальных уравнений 12-го порядка [1]. Все операции второго канала сдвинуты по времени относительно тех же операций первого канала на время т. Как правило, при анализе динамических характеристик как разомкнутой, так и замкнутой системы рассматривают только один канал, считая, что процессы в каналах идентичны и сигналы М1, ^2 и и одинаковые. Для непрерывных систем это допущение справедливо. Однако для дискретных асинхронных систем с разными временами обновления входной информации процессы в разных каналах различны. Для обеспечения идентичности исходных данных и вычислительных процессов в разных каналах между ними предусмотрен обмен информацией и выравнивание сигналов. Может быть предусмотрено выравнивание входных сигналов, значений интегралов и фильтров с большими постоянными времени. Рассмотрим влияние асинхронности и выравнивания информации на передаточные функции от входных сигналов Х и У до управляющего сигнала и и оценим их отличия от тех же передаточных функций, рассчитанных для одноканаль-ной системы. Хотя задача возникла при анализе динамических характеристик СУ самолета, полученные результаты справедливы для любой цифровой резервированной асинхронной СУ, использующей выравнивание информации.

МЕТОДИКА ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИЗА ЦИФРОВЫХ АСИНХРОННЫХ СИСТЕМ

Для качественного исследования цифровых асинхронных резервированных СУ будем использовать следующую методику, включающую два этапа.

1. Используется линейная интерполяция сигналов (командного и обратной связи):

X (о +т) = X (о ) + (0 +Г0 )-X ( )); То

0 < т < То.

У (о +т) = У (о ) + Т-(У ( +То )-У (о)), То

Данное упрощение позволяет выразить значения командного сигнала и сигналов обратной связи в промежуточные моменты времени пТо + т через их значения в моменты времени пТо.

2. Вместо переменного на временном промежутке [пТо; пТо + То] управляющего сигнала и (7) вводится эквивалентный постоянный сигнал. Его значение равно среднему значению сигнала и (7) на временном промежутке [пТо; пТо + То ].

Эти упрощения позволяют свести асинхронную многоканальную систему к синхронной одноканальной с эквивалентным законом управления. Однако при данной замене вносится погрешность линейной интерполяции командного сигнала и сигналов обратной связи, а также погрешность, связанная с заменой переменного управляющего сигнала эквивалентным постоянным.

Ошибка линейной интерполяции функции Х(() на отрезке ¿2 ] оценивается следующим выражением [10]:

^ N 2 ( - h )(t -12 )X "(j)

[, h].

Поэтому для гармонического командного сигнала X (t) = A sin (rnt) с частотой ю относительная ошибка линейной интерполяции оценивается выражением:

X К + т)|< 2 ф - ^(«T )2.

то у

Погрешность быстро растет с увеличением частоты, что не позволяет использовать эту методику в области высоких частот ю > 1/70. Таким образом, погрешность предлагаемой методики значительна лишь при наличии высокочастотных составляющих ю > 1/То в сигналах (командном и обратных связей). Для БЦВМ современных самолетов частоты обновления информации составляют 50 Гц и более. В этом случае методика применима при отсутствии в спектре входных сигналов, составляющих с частотами порядка 6 Гц и выше. При наличии у самолета слабодемп-фированных высокочастотных тонов аэроупругих колебаний использование данной методики может быть сопряжено со значительными ошибками.

ВЫРАВНИВАНИЕ ВХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Рассмотрим двухканальную цифровую СУ, в которой реализовано согласование входных сигналов. Данная процедура выполняется для обеспечения идентичности входной информации в вычислителях разных каналов СУ. Выходной сигнал процедуры выравнивания каждого компьютера есть сумма «собственного» сигнала с весом (1 - с) и «чужого» сигнала, полученного от соседнего вычислителя по цифровым каналам связи, с весом с. Данная система описывается следующей системой уравнений:

и1 (пТо) = (1 - с)Х (пТо) + сХ (пТо - То + т - П2Т0); и2(пТо +т) = (1 -с)Х(пТо +т) + сХ(пТо -п7),

где ui — выходной сигнал процедуры выравнивания в 7-м канале; Х — входной сигнал; с — коэффициент выравнивания; п1, п2 — целые числа, описывающие задержки в межканальных цифровых линиях связи.

Используя линейную интерполяцию входного сигнала, можно записать:

X (о + т) = X (о ) + T-(( (о +T0 )-X (о )) или в операторной форме:

где z=e

Z (X (пТо )) = £ X (пТо ) z~n — Z-преобразование сигнала X (пТо) [2, 3].

п=о

Если БУК формирует выходной сигнал как среднее управляющих сигналов разных каналов, то, используя замену переменного выходного сигнала эквивалентным постоянным, можно записать:

1

1 Гт

К) = -и1 (пТ0 )+- — и2 (пТо - Т0 +т) +

21 То

То-т;

То

! (пТо +т)

Л

где и — выходной сигнал эквивалентной системы. Для Z-преобразований сигналов справедливо:

г (и ) =2 7 (и)+2 +т( -1)]2 ().

2 2V То ) Используя эти выражения, можно найти передаточную функцию эквивалентной системы:

Ж = -2

1 - с-

1 Г т ^ 1 1-1)

7«2 +1

1+41 -1

То V 2

(1 - с/1 - 0'

V Т0

Используя замену в!< « 1 + st, можно получить:

Ж = 1 - ССТ[П1

1].

Данная передаточная функция описывает изменение динамики цифровой системы вследствие выравнивания входной информации. Для фазовой частотной характеристики выравнивание выходных сигналов эквивалентно введению дополнительного временного запаздывания:

Лt =

сТо г

1].

Для типичного случая выравнивания входных сигналов с = о.5, п = п2 = о имеем дополнительное временное запаздывание в четверть периода обновления [4 — 6].

ВЫРАВНИВАНИЕ СИГНАЛОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Рассмотрим двухканальную цифровую систему с астатическими законами управления, содержащими интегральные звенья. Для такой СУ весьма актуальна проблема «разбегания» интегралов или увеличения разницы между значениями интегральных звеньев разных каналов по времени. Основной причиной «разбегания» является различие во входных сигналах интегральных звеньев вследствие асинхронности, т. е. обновления сигналов в разных каналах в разные моменты времени и наличия разных постоянных смещений и случайных составляющих в сигналах датчиков разных каналов.

Еще одной причиной «разбегания» интегралов являются сбои интегральных звеньев, т. е. произвольное изменение их значений вследствие импульсных воздействий. Переходные процессы в трехканальной системе, содержащей интегральное звено, приведены на рис. 2. Проведем количественную оценку «разбегания» интегралов вследствие наличия постоянного смещения и случайной составляющей во входном сигнале на интегральное звено одного из каналов. Операция выравнивания может происходить до и после вычисления интегрального сигнала. Если процедура выравнивания выполняется после вычисления интегрального сигнала, система описывается следующими уравнениями:

и (пТо ) = (1 - с)|>1 (пТо - То ) + ТоЛХ] + сщ (пТ{) - Т{) + т - п{Т{)); и2 (пТо + т) = (1 - с)и2 (пТо +т - То) + си (пТо - пТо).

Рис. 2. Расхождение интегралов при наличии постоянных смещений и случайных составляющих во входном сигнале и вследствие сбоев интегралов

Пусть п = п2 +1. Рассмотрим изменение рассогласования Ли (пТо ) = и (пТо ) - и2 (пТо + т) по времени. Вычитая из первого уравнения второе имеем:

Ли (пТо ) = (1 - с ) [Ли (пТо - То ) + То ЛХ ] - с Ли (пТо - п1То ).

Для установившегося значения рассогласования справедливо выражение:

1 - с.

Ли =-

2с

ТоЛХ.

На рис. 3 приведено изменение рассогласования интегралов по времени при различных значениях коэффициента выравнивания. Видно, что чем больше коэффициент выравнивания интегралов, тем меньше их рассогласование.

Рассмотрим рассогласование интегралов при наличии случайного сигнала на входе в интегральное звено одного канала, тогда как входное воздействие в интегральное звено второго канала нулевое. Описывающие систему уравнения те же, что и в предыдущем случае. Рассмотрим наиболее простой и поддающийся анализу случай, когда входной сигнал является дискретным белым шумом с дисперсией сх. При отсутствии выравнивания дисперсия значения интеграла первого канала (и рассогласование между каналами) растет пропорционально квадратному корню из времени [9], Ли ~ ^¿/То (рис. 4, 5). Таким образом, при отсутствии выравнивания рассогласование интегралов достигнет порога срабатывания, что приведет к срабатыванию системы контроля.

I", - "2|

-Нет выравнивании -о- с = 0.02 -о- с = 0.05 -о- с = 0.1

О 10 20 30 40 1/Т0 50

Рис. 3. Рассогласование между интегральными звеньями без выравнивания и с выравниванием их сигналов при постоянном входном сигнале в одном канале

I 5 Р

: 4

: / 3

М

и/ст и ^

■0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 4. Изменение распределения рассогласования между интегральными звеньями по времени из-за случайного входного сигнала без выравнивания их сигналов:

А — t = 5Т0; О — t = 10Т0; О — t = 20Т0; □ — t = 50Т0

0.4 т-------

С! /(I

0 10 20 30 40 50

Рис. 5. Изменение по времени дисперсии рассогласования между интегральными звеньями из-за случайного входного сигнала без выравнивания и с выравниванием

их сигналов

5 Р

'А

Г ®

2

1 и/а X

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 6. Изменение распределения рассогласования между интегральными звеньями по времени из-за случайного входного сигнала при выравнивании их значений:

А — г = 5То; о — г = 1ото; О — г = 2ото; □ — г = 5ото

При наличии выравнивания дисперсия выходного сигнала интегрального звена ограничена значением, зависящим от коэффициента выравнивания с (рис. 5, 6), а распределение, начиная с некоторого времени, не изменяется (рис. 6). Это является положительным фактором для работы системы контроля и позволяет обоснованно выбрать пороги срабатывания.

Рассмотрим изменение частотной характеристики системы, вызванное выравниванием интегралов. Как отмечалось выше, операция выравнивания может происходить до и после вычисления интегрального сигнала [4 — 6]. Если процедура выравнивания выполняется после вычисления интегрального сигнала, система описывается следующими уравнениями:

и1 (пТо ) = I1 - с) [и1 (пТо - То ) + ТоХ (пТо )] + си2 (пТо - То + т - п2То ); и2 (пТо + т) = (1 - с) [и2 (пТо +т - То ) + ТоХ (пТо +т)] + си1 (пТо - п7 ).

Для 2-преобразований сигналов справедлива система уравнений:

, 1 - с с

1 г гп2 +1 г (и1)

с 11 - с V (и2 )

г

(1 - с)То

(1 - с)То (1 + ( - 1)т/То)

V (Х ).

Разрешая эту систему относительно и и и2 и используя понятие эквивалентного управляющего сигнала, можно получить выражение для эквивалентной передаточной функции (без экстраполятора):

Ж =

То (1 - с) Г |

1 - с

7п2 +1

1 + - 1)

То

'+То11 -1

7п:+1

1 -

1 - с

1 + >-1)

То

где

аег = | 1 -

1 - с Г с2 г ) +п2+1.

1оо

Можно упростить это выражение и получить формулу:

5 1 + С (« + П2 + 1)

2 (1 - С )

откуда видно, что выравнивание приводит к уменьшению коэффициента при интеграле.

На рис. 7 приведены точные частотные характеристики данной системы при различных с и «1 = «2 = N. Можно видеть, что полученные выражения правильно отражают поведение данных характеристик. На рис. 8 приведены частотные характеристики от входного сигнала до рассогласования между каналами, с помощью которых можно оценить уровень «разбега-ния» каналов системы вследствие асинхронной работы, что важно для построения системы контроля.

Амплитуда. дБ

0.1 Фаза, град Частота, Гц ю

-Нет выравнивания а с = 0.1, м = о | ^^^^ ; ... п с = 0.5. п = 0 .....................ли. \.........:

о с = 0.5, и = 1 й Д Л * Л А

о.1 1 Частота, Гц м

Рис. 7. Частотные характеристики двухканальной системы с интегральными звеньями при наличии и отсутствии выравнивания их значений

В том случае, если процедура выравнивания производится до обновления интегрального сигнала, система описывается уравнениями:

и1 (пТ0 ) = [(1 - С)и1 (пТ0 - Т0 ) + Си2 (пТ0 - Т0 + т - П2Т0 )] + Т0Х (пТ0 ); и2 («Т0 + т) = [(1 - С)«2 (пТо + т - Т0 ) + СЫ1 (пТо - «То )] + Т0X (пТ0 + т).

Амплитуда, дБ

■го

-40

0.1

— Нет выравнивания а с = 0.1, и = 0 □ с = 0.5, и = 0 о с - 0.5, п = 1

I--л---Л

□-о-□-□---о---

Частота, Гц ю

Рис. 8. Рассогласование между интегральными звеньями при гармоническом входном сигнале с выравниванием и без выравнивания их значений

Эта система уравнений отличается от вышеприведенной лишь отсутствием множителя (1 - с) при ТХ. Следовательно, эти случаи отличаются лишь амплитудными характеристиками, для передаточной функции цифровой системы справедливо выражение:

* 31

1

5 1 + 2 (п1 + п2 - 1)

и выравнивание приводит к изменению коэффициентов при интеграле. Особенностью этого случая является увеличение коэффициента при «1 = «2 = 0.

ВЫРАВНИВАНИЕ СИГНАЛОВ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ

Рассмотрим двухканальную систему, законы управления которой включают апериодический фильтр. Выходные сигналы фильтров выравниваются. Операция выравнивания может производится до и после расчета сигнала фильтра [4 — 6]. Если выравнивание производится после обновления фильтров, система описывается уравнениями:

[К )=(1 - С

Т Щ («Т - Т))+-+-Х («Т) Т + т

Т + Т0

0

0

( +т) = (1 -с)

Т Ы2 («Т +т-Т0) + -^Х(«Т0 +т)

Т + Т0 4 7 Т + Т0

+ СМ2 («Т -Т0 + Т -«2?0);

+ см1 («Т0 - «1Т0 ).

Для Z-преобразований выходных сигналов справедлива система уравнений:

1 - С Т С

1 --

г Т + Т0

0

С

г«т;

г«2+1

1 - С Т

г Т + Т0

2 («) 2 («2 )

(1 - С) Т°

Т + Т0

0

(

(1 - с1 + (г -1)—

у 'Т + Т0 у 'Т0

2 (X )|.

Разрешая эту систему относительно и и и2 и используя понятие эквивалентного выходного сигнала, можно получить выражение для передаточной функции данной цифровой системы:

Ж =

(1 - с )То/(Т + То ) 1 - 1-с + _с

(

2аег

г Т + То

о г

п2+1

1 + 1)

То

^ Г тГ 1 ^ 1 +—| — 1

То V г

с

гп1

1 -

1 - с Т г Т + То

о у

1 + -1)

То

где

аег =

Г1 - 1 - с Т >

г Т + То

о У

га +п2 +1 '

Чтобы проанализировать влияние выравнивания сигналов на динамические характеристики апериодических фильтров, необходимо решить уравнение:

аег =

1 -

1 - с Т г Т + То

о

7п1 +п2 +1

= о.

Используя подстановку = 1 + , можно получить:

1 1

5 = -

Т

1

2 (1 - с )

( + п +1)

Можно сказать, что влияние выравнивания апериодических фильтров проявляется в основном через изменение их постоянной времени. Этот результат тесно связан с тем фактом, что выравнивание интегралов приводит к изменению их коэффициента, поскольку апериодический фильтр есть интеграл, охваченный обратной связью. Постоянная времени фильтра есть обратная величина коэффициента при интеграле. Изменение коэффициента при интеграле ведет к такому же изменению постоянной времени апериодического фильтра.

Если операция выравнивания выполняется перед расчетом фильтра, система описывается уравнениями:

и1 (пТо ) = -Т^-Т-[(1 - с)и1 К - То ) + си2 (пТо - То + т - п2То )] + 7+ГХ (пТо );

Т + -Г '

о

Т + То

о

^2 (пТо +т) = Т^-Т-[( - с)и2 ( + т- То ) + си1 ( - п1То )] + Х (пТо + т).

Т + -Г '

о

Т + То

о

Используя те же самые приемы, что и в предыдущих случаях, можно получить выражение для передаточной функции эквивалентной системы:

Ж ^ То/(Т+То) ^ - 1-с +_т__с_

2аег 1 г Т + То Т + То гп2 +1

(

1 + 1)

Т

(

п т+то

о

1 -

1 - с Т г Т + 7

\

V

То

^ +41 ^

То Vг

о У

1 + -1)

\

То

где

аег =

1-

1 - с Т

г Т + 7

о У

п +п2 +1

Т

V Т + То У

Чтобы оценить влияние выравнивания на динамические характеристики апериодического фильтра, необходимо решить уравнение:

det =

1 -

1 - с Т г Т + Т0

„2 (

0 У

_«1+«2 +1

Т

V Т + Т0 У

= 0.

Используя подстановку е5 = 1 + 5(, можно получить:

1 1

5 =--,

Т 1 + 2 («1 + «2 - 1)

т. е. влияние выравнивания апериодического фильтра проявляется через изменение его постоянной времени. Как и в предыдущем случае, изменение постоянной времени находится в точном соответствии с изменением коэффициента при интеграле.

На рис. 9 представлены точные частотные характеристики цифровых систем, включающих апериодический фильтр для варианта выравнивания после расчета значения фильтра. Качественное поведение характеристик хорошо объясняется полученными аналитическими выражениями.

Рис. 9. Частотные характеристики двухканальной системы с апериодическими фильтрами при наличии и отсутствии выравнивания их значений

ВЛИЯНИЕ ВЫРАВНИВАНИЯ НА ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ

Проанализируем влияние особенностей цифровой реализации СУ, рассмотренных выше, на области устойчивости самолета с автоматом продольной устойчивости (АПУ) (рис. 10). Представляют интерес следующие архитектурные построения системы управления:

аналоговая;

цифровая одноканальная;

цифровая двухканальная СУ с выравниванием входных сигналов по цифровым каналам межмашинного обмена. При этом замкнутая система становится многосвязной и оценка ее устойчивости значительно усложняется [7, 8]. Однако с помощью методики, описанной выше, эта СУ сводится к одноканальной, и расчет устойчивости замкнутой системы можно вести классическим способом, с помощью частотной характеристики разомкнутой системы.

На рис. 11 приведены области устойчивости замкнутой системы самолет — СУ для рассмотренных вариантов системы управления. Видно, что использование цифровых систем управления уменьшает области устойчивости, поскольку цифровая обработка информации приводит

Рис. 10. Двухканальная цифровая система с астатическим автоматом продольной устойчивости

О 20 40 60 80 к , % шо

ю.

Рис. 11. Области устойчивости при различных построениях системы управления

к дополнительным запаздываниям. Наибольшему искажению подвержена высокочастотная часть границы устойчивости. Выравнивание входных сигналов по каналам межмашинного обмена приводит к сокращению области устойчивости по сравнению с одноканальным вариантом, что объясняется дополнительным фазовым запаздыванием, вызванным осреднением.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ влияния выравнивания информации в резервированных каналах цифровой СУ на динамические свойства типовых звеньев СУ показал, что доминирующим эффектом выравнивания информации являются:

дополнительное запаздывание для прямой цепи;

изменение коэффициента усиления при интеграле для астатических систем; изменение постоянной времени для апериодических фильтров.

Данные изменения динамических свойств необходимо учитывать при тестировании цифровых систем управления с помощью частотных анализаторов и при анализе динамики замкнутой системы «самолет — СУ».

ЛИТЕРАТУРА

1. БюшгенсГ. С., СтудневР. В. Динамика продольного и бокового движения самолета. — М.: Машиностроение, 1978, с. 38 — 39.

2. Цыпкин Я. З. Теория импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1958, с. 37 — 51.

3. Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. — М.: Машиностроение, 1964, с. 64 — 73.

4. Диденко Ю. И., Кушнир П. В., Шелюхин Ю. Ф. Применение метода пространства состояний для анализа устойчивости цифровых систем // Ученые записки ЦАГИ. 1984. Т. XV, № 5, с. 68 — 78.

5. Ку шнир П. В., Шелюхин Ю. Ф. Исследование астатических резервированных цифровых систем управления самолета с асинхронными вычислителями // Ученые записки ЦАГИ. 1986. Т. XVII, № 1, с. 82 — 90.

6. Баженов С. Г., Шелюхин Ю. Ф. Динамика цифровых резервированных асинхронных многотактных систем управления самолетов // Препринт ЦАГИ. 1997, с. 3 — 69.

7. Ильясов Б. Г., Саитова Г. А., Халикова Е. А. Анализ запасов устойчивости гомогенных многосвязных систем управления // Изв. РАН. ТиСУ. 2009, № 4, с. 4 — 12.

8. Зубов С. В. Проблема расчетной устойчивости динамических систем // Изв. РАН, ТиСУ. 2009. № 2, с. 18 — 23.

9. Карлин С. Основы теории случайных процессов. — М.: Мир, 1971, с. 21, 28.

10. Бронштейн И. Н., СемендяевК. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980.

Рукопись поступила 15/Х112011 г.