Анализ и синтез несимметричных связанных линий в однородной диэлектрической среде Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.372 А.Н. Сычев

Анализ и синтез несимметричных связанных линий в однородной диэлектрической среде

Исследуются несимметричные связанные линии с однородным диэлектриком, которые являются основой для построения трансформирующего направленного ответвителя со слабой связью, квадратурного моста-делителя с двукратной трансформацией импеданса, а также трансформатора импеданса 1:4. Рассмотрены конструкции со слабой и сильной асимметрией, варианты подключения согласованных нагрузок, а также условия физической реализуемости. Представлены формулы расчета параметров линий, которым дана геометрическая интерпретация, позволившая ускорить и сделать наглядными их анализ и синтез. Для трех тестовых структур приведены частотные зависимости, а также расчетные параметры, включая погонные и модальные. Представленные формулы реализованы в компьютерной программе Л8ушИ.

Ключевые слова: несимметричные связанные линии, однородный диэлектрик, погонные параметры, погонные емкости, погонные индуктивности, модальные параметры, характеристическое сопротивление, коэффициент связи, коэффициент симметрии. ао1: 10.21293/1818-0442-2019-22-1-11-19

Связанные линии передачи (СЛ) широко используются в технике СВЧ. Исследованию СЛ и устройствам на их основе посвящено довольно много работ [1-15]. При этом несимметричные СЛ, имеющие свойство межлинейной трансформации импеданса, отсутствующее в симметричных СЛ, позволяют создавать согласующие цепи для СВЧ-транзисторов [8], квадратурные делители мощности, совмещенные с трансформаторами импеданса для мостовых устройств, включая балансные усилители [9], и т.п.

Несимметричные СЛ с однородным или почти однородным заполнением используются наиболее часто и описываются системой из четырёх независимых параметров, выбор которых определяется поставленной задачей [2].

Цель данной работы - представить различные системы параметров, полностью описывающих несимметричные связанные линии с однородным диэлектрическим заполнением, а также дать им геометрическую интерпретацию для упрощения и обеспечения наглядности процесса поиска проектного решения.

Конструкции и схемы несимметричных связанных линий

Общие примеры конструкций несимметричных СЛ с однородным диэлектрическим заполнением в поперечном сечении показаны на рис. 1.

Различают линии со слабой и сильной межлинейной асимметрией. К слабо асимметричным можно отнести, в частности, несимметричные полоско-вые линии с проводниками различной ширины без диэлектрической подложки в однородной диэлектрической среде [2], показанные на рис. 1, а. К сильно асимметричным относятся СЛ с двойным экраном (рис. 1, б) [3], в которых одна из линий, например вторая, экранирует первую, лишая её собственной ёмкости на «землю». При идеальном двойном экранировании такие линии можно назвать полностью асимметричными или триаксиальными [16].

Заметим, что любые несимметричные СЛ с близкими постоянными распространения и обладающие свойством противонаправленности тоже можно отнести к линиям с эквивалентно-однородным диэлектрическим заполнением [1, 8, 9].

8г

1

□

а б

Рис. 1. Несимметричные связанные линии с однородным диэлектрическим заполнением ег: а - линии со слабой асимметрией; б - линии с сильной асимметрией (с двойным экраном)

Схема нагруженного отрезка несимметричных СЛ длиной I и эквивалентные схемы бесконечно короткого отрезка Ах ^0 показаны на рис. 2.

2

9НН9

С01 С02

б в г

Рис. 2. Несимметричные связанные линии: а - схема произвольно нагруженного отрезка; б - эквивалентная схема бесконечно короткого отрезка; в - частичные ёмкости; г - частичные индуктивности

2

а

Погонные параметры связанных линий

Исходными данными при электрическом анализе СЛ с однородным диэлектрическим заполнением (см. рис. 2) являются три независимых коэффициента, выбранных из матрицы погонных емкостей с воздушным заполнением (ег = 1) [4]

С(1) =

Cil (1) -Ci2 (1)

C (1) C22 (1)

(1)

= "0>1 (1) + Ci2 (1) -C12 (1)

_ -C12 (1) C02 (1)+C12 (1)

где C11(1), C22(1) - собственные погонные емкости первой и второй линий соответственно; C01(1), C02(1), C12(1) - собственные частичные и взаимная погонные емкости; а также относительная проницаемость реального диэлектрического заполнения sr. Итак, исходными данными являются всего четыре независимых параметра: или C01(1), C02(1), C12(1), sr, или C11(1), C22(1), C12(1), sr, или их комбинация. По известной матрице погонных емкостей СЛ с воздушным заполнением C(1) можно найти матрицу погонных емкостей СЛ с реальным диэлектрическим заполнением C по формуле

С = er C(1), Ф/м (2)

и погонных индуктивностей L по формуле [5]

L = e»|a»C(1)-1, Гн/м, (3)

где е0 = 8,854-10-12Ф/м; |0 = 0,4л-10-6Гн/м - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемо -сти свободного пространства.

Отсюда можно найти и такие параметры СЛ, как собственные импедансы первой и второй линий соответственно [9]

^ =Vwo7 и Z2 =4L22/C22. (4)

При этом фазовая скорость двух волн в линиях будет иметь только одно значение, определяемое величиной диэлектрической проницаемости среды sr:

V = с/=l/VLnCn = l/VL22C22 , (5) следовательно, будет справедливо ещё одно равенство L11C11 = L22C22 . (6) Кроме того, численные значения коэффициентов емкостной и индуктивной связи линий в однородной диэлектрической среде тоже будут равны друг другу

L12

k = кс = kL =—

(7)

\1спс22

следовательно, значение коэффициента неуравновешенности емкостной и индуктивной связи будет равно нулю [5]

kLC = 8 =

kL - кс 1 - kLkc

= 0 .

(8)

Исходя из (5)-(8), связанные линии передачи с однородным диэлектрическим заполнением обоснованно можно называть или синхронными [2] или с уравновешенной электромагнитной связью.

Модальные параметры

Система модальных параметров отыскивается в результате модального анализа из решения алгебраической проблемы собственных значений [5]. В несимметричных СЛ распространяются в прямом и обратном направлениях по две нормальные волны, называемые синфазной (с) и противофазной (я).

Исходными данными для поиска модальных параметров являются матрицы погонных емкостей С и индуктивностей Ь. Для их произведения выполняется спектральное разложение, которое записывается так:

LC =

Udiag(V V2 )U-1 = U diag(er/c2 )u-1,

(9)

где с - скорость света в свободном пространстве; v -вектор, составленный из значений скоростей нормальных Т-волн - синфазной vc и противофазной v„; sr - относительные диэлектрические проницаемости структур синфазного erc и противофазного sr% возбуждений, соответственно. При этом в однородной среде модальные скорости нормальных Т-волн, а также диэлектрические проницаемости структур синфазного и противофазного возбуждений равны между собой

V—Vc — vn; (10)

Sr —Src . (11)

Исходя из (10) и (11), видим, что решение для (9) не является уникальным и зависит от произвольно задаваемых нормирующих множителей. При этом U -нормированная матрица модальных напряжений, составленная из собственных векторов матрицы-произведения LC, может быть записана как в [6]

и 41 г

LR Rn

где Rc, R% - модальные числа, характеризующие отношения модальных напряжений в линиях. Так как U имеет множество вариантов нормировки, то представим два наиболее важных из них.

Первый вариант, исследованный Кристалом (Cristal) [2], в котором модальные числа при обоих типах возбуждения равны по модулю [5]

lL22 = 1±2_ L11 V Z1

(12)

Rc = -R„ =n =

(13)

где n - коэффициент трансформации (симметрии).

Второй, предложенный Специале (Speciale) [7] и названный им «конгруэнтным», в котором при синфазном возбуждении нормированные напряжения на обеих линиях равны единице, а при противофазном - отношению собственных частичных емкостей или индуктивностей линий [6]:

n - к Coi _ ¿02

C02

Rc = 1; R„ = -R3 = —

- = -^01 = -±02. (14)

1/ п - к С02 101 При этом из условия физической реализуемости всегда должно выполняться двойное неравенство Rя < 0 < Rc. Записанные соотношения (13), (14) можно представить в виде геометрических чертежей, изображенных на рис. 3.

На рис. 3 геометрически показаны области допустимых значений для модальных чисел, обусловленные требованием физической реализуемости.

п = -Як = Яа

\!-Яа Я„

-1/к

/ /' ' Ч-т

-1 -п -к

У\1-Яс Я„

✓ ___< ✓ \ ч

/ / г"

Я„ 1 ! ' ^ Яс=1

---1-(—1 1-•-►

к п 1 1/к

2п

<- 2 -►

Яа - Яп

1 п - к 0 1 1/п - к < 2 >

Яа - Я„

а б

Рис. 3. Полуокружности отношений модальных напряжений в линиях (Я„ < 0 < Яс.): а - модальные числа, равные по модулю п = -Я„ = Яс; б - модальные числа для конгруэнтного варианта в случае одинакового единичного напряжения на каждой из линий (Яс = 1) в режиме синфазного возбуждения

Из полученных выше параметров (10)-(14) вычисляется матрица модальных токов J [6], коэффициенты которой в результате нормировки получают размерность проводимостей

J=Си =Си Шая (с/^) =

7с\

7„1

7"1 7"1

-(7с1Я„) -(7 „1Яс )

(15)

Яс7с 2 Я„7„2 _

где 7с1 - импеданс первой линии при синфазном возбуждении; 7„ - импеданс первой линии при противофазном возбуждении; 7с2 - импеданс второй линии при синфазном возбуждении; 7„2 - импеданс второй линии при противофазном возбуждении. Так как матрица J определяется через и, то, опираясь на (12)-(15), отмечаем, что её элементы тоже не уникальны и имеют несколько вариантов представления, по крайней мере, два, соответствующих (13) и (14).

В первом варианте, когда Яс =-Яп=п, импе-дансы вычисляются по следующим формулам [5]:

к'

7с1 =-

п

7 П1 = 70

п

1+к 1+к

= 71~ТТ = 71

7с2 = п7 0

7 „2 = п70

1 - к 1—к 1+к 1+к 1—к 1—к

= 7

к' 1 - к

-= 7 2

= 7'

к' 1+к

1-к

= 7

- = 7 2

= 7-

1 - к к' ; 1+к ' к' 1 - к к'

(16)

(17)

(18) (19)

(1+к " к' +к

где к' = V1-к2 - характеристический коэффициент; 70 - характеристический импеданс СЛ, здесь выражаемый следующим образом:

7о = 71п = п^7Л7 „1 ; (20)

7о = 72/п = п~147с2 7„2 . (21)

Во втором конгруэнтном варианте [7], когда выполняются соотношения (14), получаем другие формулы модальных импедансов, при записи которых для их корректной идентификации изменим порядок следования индексов на обратный.

71с =

72с =

70к' , п - к ' 70к

1/ п - к

71„= ((п - к); (22) 72„= 70 (п - к). (23)

В случае симметричных СЛ, когда п = 1, предполагается Яа = 1, Я„ = -1, при этом 70е = 7с1 = 7с 2 и

70о = 7„1 = 7„2 .

Также важно отметить, что модальные импедан-сы 7с1, 7„1, 7с2, 7„2 и модальные числа Яа, Я„ всегда соотносятся следующим образом [6]:

7с2 _ 7„2

- ЯсЯ„ = -

(24)

7с1 7„1

Далее с использованием матриц модальных напряжений и и токов J, однозначно определяются матрицы характеристических импедансов (волновых сопротивлений) Z и адмитансов (волновых проводимостей) У, которые записываются:

711 712 _712 722 _

Z = UJ 1 =

У = Z-1 = JU-1 =

Ом; См,

(25)

(26)

У11 -У12 _-У12 722 _

где 711, 722, 712 - собственные и взаимный характеристические импедансы; У1Ь У22, Уг - собственные и взаимный характеристические адмитансы связанных линий, при этом 7т = 1/У12 - взаимный импеданс. Элементы этих матриц вычисляются по формулам

У =

7П 712

_712 7 22

Г У11 -712

У12 У22

■ 70

' к'

1/ п

к

70 к'

п -к -к 1/п

(27)

(28)

где 70 - характеристический импеданс СЛ, отыскиваемый из следующих соотношений [6]:

70 = 47с27„1 = 47с17„2 =47127т ;

(29)

(30)

70 = л/-ЯсЯ„7с17„1 =\}7с27„2 (-ЯсЯ„)

Из (27) можно определить коэффициент импе дансной связи к [5]

712 _7с1 - 7„1 _ 7с2 - 7„2

к =

4711722 7с1 + 7 „1 7с2 + 7 „2

(31)

0

который при однородном диэлектрическом заполнении численно совпадает с коэффициентами индуктивной кь и емкостной кс связи (7).

Ранее упомянутый характеристический коэффициент к' можно вычислить по формуле [15]

2с

к'

л/211222

при этом будут полезны следующие соотношения

к2 + к '2 =

(32)

2122 + 20

= 1;

(33)

2112 22

2с = кV2п222 ; ¿12 = к^2п222 . (34) Кроме вышеприведенных зависимостей также представляют интерес формулы для средних модальных импедансов 2С и 2л:

2с =4211222 + 212 = 20 —к = >/2С12п2\11—к ; (35)

1-к

1-к

2л = >/211222 -212 = ^2с12'

позволяющие дополнительно определить следующие величины:

211222 =(2с + 2я)/2; 212 =(2с - 2л)/2 ; (37)

20 = V2с2л ; 2е =

2С 1+к

2л 1-к

(38)

кI = 2У2с2л .

2 -2 к= ~с ^ л

(39)

с л с л

Большинство представленных выше импеданс-ных соотношений для несимметричных связанных линий 2П Ф 222 можно представить в геометрической форме в виде чертежей, в которых длины отрезков соответствуют числовым значениям искомых параметров (рис. 4).

Из чертежа, показанного на рис. 4, а, видно, что он содержит окружность среднего характеристического импеданса диаметром 2с + 2л = п2ц + 222/п =

= 2^/2ц 222 (штрихпунктирная линия), две полуокружности - верхнюю диаметром 2с1 + 2л1, соответствующую первой линии, и нижнюю диаметром 2с2 + 2л2, соответствующую второй линии, а также два вписанных в «усреднённую» окружность симметричных относительно горизонтальной оси прямоугольных треугольник с равными гипотенузами п2ц= 222/п и катетами 212, 2с, соответствующих параметрам линий.

Итак, используя геометрическое представление математических зависимостей для несимметричных СЛ, можно напрямую из чертежей выявить основные импедансные соотношения, записанные выше.

2с + 2л = 21/21 1222

и---н

2с1 + 2л1 = 2211 Ч->

2с + 2л = 21/21 1222

и---►

2с 2л

б

„ ■ -----, 'ч \ ч

/ / 2 с / \ \

/ к'// 2с \ \

■ 22 /212 2т 1

4-V---' г ^ /-1-—

2с

2л

Рис. 4. Геометрическое представление импедансных соотношений в несимметричных связанных линиях 2п Ф 222 (а); полуокружность среднего импеданса со вписанным треугольником для определения соотношений между параметрами линий и их модальными параметрами (б); две пересекающиеся полуокружности для определения соотношений между модальными и взаимными импедансами (в)

в

а

Теперь выполним математическое спектральное разложение матрицы волновых сопротивлений Z (25) и запишем его следующим образом:

V 2о

где 2(с,л) = ~

Z=V

п + п _1

2с 0 0 2л

(40)

-+Б

- модальные импедансы

линий синфазного и противофазного возбуждений соответственно; Б=ч

(п - п"1))

+к - расчетный

параметр; V - матрица, составленная из собственных векторов матрицы Z, записывается

V =

1

1

„.-1

(41)

где а = (к'2с /2сс +1/и)/к.

Характеристические нагрузки

Рассмотрев общие параметры линий, перейдём к задаче их характеристического нагружения. Возьмём несимметричные СЛ с однородным диэлектриком, разрежем их поперёк, оставим, к примеру, левый полубесконечный отрезок и, отбросив правый, найдем для него схемы замещения (включая параметры), являющиеся полностью согласованными (неотражающими), т.е. характеристическими. Такие эквивалентные схемы должны быть построены на сосредоточенных резистивных элементах, но ими-

тировать полубесконечные СЛ и быть электрически неотличимы от них [15]. Существует две основные конфигурации искомых схем - П- и Т-образные, показанные на рис. 5, а, б.

Формулы для вычисления значений элементов согласованных нагрузок в виде П- и Т-образных схем, замещающих полубесконечный отрезок СЛ, записываются так, что в индексах важна их последовательность записи. Отсюда значения элементов цепи 21с, 21%, 12с, г2л, которые численно совпадают с конгруэнтными модальными импедансами (22), (23), надо отличать от ранее описанных модальных импе-дансов 2с1, 2%1, 2сЪ 2л2 (16)-(19), так как это другие величины. Хотя это не относится к взаимным импе-дансам 2т и г12, которые идентичны, и элементам схем, и элементам характеристических матриц

^ = г о к'/(« - к )=1/ (уСш);

Z2c = Z0k'/(1/n - к)=1/ (vCo2); Zm = Zo к'/к = 1/ (VC12 );

(42)

?1п= 70 (1П - к)/к' = уЬо1';

72л= 7о (п - к)!к' = уЬо2 ;

^ = гок/к'=у/42. (43)

Здесь выполняются следующие соотношения между значениями импедансов элементов нагрузок:

г0 = л/г1сг2л =4г1пг2с = л/г12гт . (44)

Особую важность для практики имеет предельно простая схема замещения в виде пары раздельных нагрузочных резисторов (рис. 5, в), расчётные номиналы которых вычисляются по следующим формулам:

701 = 7о/п ; го2 = 1оп, (45)

отсюда характеристический импеданс и коэффициент трансформации (симметрии) определяются так:

7о =47о17о2; п=тго^го7. (46)

Геометрическое представление дополнительных расчетных соотношений (16)-(19) для этой схемы в случае, когда п = Яс = -Я%, дано на рис. 5, г [15].

vL-Z02h

Рис. 5. Несимметричные связанные линии с оконечными согласованными нагрузками в виде П-образной (а) и Т-образной (б) схем, а также двух резисторов (в); геометрическое представление расчётных импедансов (г)

Схемы включения отрезка связанных линий

Схемы включения отрезка несимметричных связанных линий с однородным диэлектриком позволяют создавать следующие устройства, показанные на рис. 6: трансформирующий направленный ответвитель (НО) со слабой (менее 3 дБ) связью; квадратурный мост в качестве делителя мощности с трансформацией импеданса 1:2; трансформатор импеданса 1:4.

Эти три устройства были проанализированы в частотной области. Их расчетные частотные зависимости модуля [ sij = 2о1о§(/1), дБ] и фазы

[ ф/ = ащ(8/), град] основных коэффициентов

(/, / = 1, 2) матрицы рассеяния 8 показаны на рис. 7.

Электрическая длина отрезка СЛ для всех схем была выбрана одинаковой и составляла 0 = 9о град

ю/ 3бод/ё7/

на частоте/ = 1о ГГц. При этом 6=—=-2-,

V с

где с - скорость света в свободном пространстве; / -геометрическая длина линий.

Основные параметры анализируемых устройств приводятся в табл. 1.

Таблица 1

№ п/п Схема Основные параметры

1 Трансформирующий НО со слабой связью Z01 = 75 Ом; Z02 = 50 Ом; Z1 = 75 Ом; Z2 = 50 Ом; С = 10 дБ; 9 = 90°

2 Квадратурный мост с трансформацией импеданса 1:2 ZBX = 50 Ом; Zo = 25 Ом; Zi = 35,4 Ом; Z2 = 17,7 Ом; С = 3 дБ; 9 = 90°

3 Трансформатор импеданса 1:4 ZBX = 50 Ом; ZBbK = 12,5 Ом; Z1 = 35,4 Ом; Z2 = 17,7 Ом; С = 3 дБ; 9 = 90°

По первой схеме трансформирующего противонаправленного ответвителя (см. рис. 6, а), впервые исследованной в [2], можно сделать следующие выводы: при уровне связи Ш-14 дБ ответвитель работает в двухоктавной полосе частот 4-16 ГГц (см. рис. 7, а); идеальное согласование наблюдается на всех портах и на всех частотах (поэтому эти характеристики не попадают в поле графика); каждая линия на входе и выходе имеет одинаковые нагрузки, при этом значения нагрузочных резисторов совпадают с характеристическими импедансами линий (первый - 75 Ом, второй - 5о Ом); разностный фа-

б

в

г

а б в

Рис. 6. Схемы включения отрезка несимметричных СЛ: а - трансформирующий направленный ответвитель со слабой связью; б - квадратурный мост-делитель мощности с трансформацией импеданса 1:2; в - трансформатор импеданса 1:4

Частота, ГГц а

£

ы тр

е

аме ар

п -

со

0 - 5 - 10

- 15

- 20

- 25

- 30

! 1 1 7.2 1 1 12.8 1 1 !

/ ......../ / - / '■-- .......5п | "--1521| —1531| " . , , N \ V— .."-■ \ ..-■■" \ -

1 V 1 / 1 19 -19 1 1 III,

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Частота, ГГц в

0 ........ 1 1 8 1 12 1 1 1

1

- 5 ~ /

дБ, - 10 ) 1 1 У'" \ _

ы 1 1

тр е ме - 15 -1 - 16

а 1 : | 1

ар - 20 ■* 1 1

п- 1 ■■■ 5п| \ } 1 ;

- 25 1- — - 1541| \ / -1

- 30 ' 1 1 1 1 ••1: 1 1 1 1

6 8 10 12 Частота, ГГц д

14 16 18 20

90 45 0

.д

. - 45

$ - 90 а

©

- 135

- 180

90 45 0

.ад р

¡1 - 45 - 90 135 180

20

Частота, ГГц б

а

©

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Частота, ГГц

г

90

45

« 0

а

& - 45

,а з а

© - 90

- 135

- 180

1111 0 1111

-

- - ф41 1111 1 1 N. 1

6 8 10 12 Частота, ГГц е

14 16 18 20

Рис. 7. Частотные характеристики трёх схем включения отрезка несимметричных СЛ: а, б - модуль и фаза коэффициентов передачи 531 и связи 521 трансформирующего НО со слабой связью 10 дБ; в, г - модуль и фаза коэффициентов передачи 531, связи 521 и отражения 5П (только модуль) квадратурного моста в качестве делителя мощности с трансформацией импеданса 1:2; д, е - модуль и фаза коэффициентов передачи 541 и отражения 5ц (только модуль) схемы трансформатора импеданса 1:4

0

2

4

0

2

4

зовый сдвиг в выходных плечах составляет 90 град на всех частотах (т.е. ответвитель является квадратурным).

Вторая схема (рис. 6, б) - квадратурный мост в качестве делителя мощности с трансформацией импеданса 1:2 - была недавно предложена в [9]. Вход-

ной порт делителя имеет импеданс 50 Ом, второй и третий выходные порты - по 25 Ом, а к четвёртому порту подключена балластная нагрузка 12,5 Ом. Характеристическое сопротивление первой линии -35,4 Ом, второй - 17,7 Ом. Связь между линиями -3 дБ (см. рис. 7, б). Отличие от предыдущей схемы

заключается в том, что здесь используется различие импедансов не только первой и второй линий (поперечная трансформация), но и входных и выходных нагрузок (продольная трансформация). С уровнем входного согласования лучше 19 дБ полоса рабочих частот составляет 7,2-12,8 ГГц, т.е. 56%. Разность фаз в выходных портах - 90 град.

И, наконец, третья схема (см. рис 6, в), образуемая из предыдущей тем, что входной порт 50 Ом остаётся прежним, а на бывших ранее выходными 2-м и 3-м портах обеспечивается отражательный режим холостого хода (ХХ), хотя возможен и короткого замыкания (КЗ); при этом выходным становится 4-й порт с импедансом 12,5 Ом. Тем самым обеспечивается трансформация с четырёхкратным понижением импеданса с 50 до 12,5 Ом в полосе частот 40% (8-12 ГГц) при уровне согласования не хуже 16 дБ. На центральной частоте фазовая задержка составляет 90 град.

Условия физической реализуемости

Для системы из четырёх параметров, характеризующих несимметричные связанные линии в однородной среде, включающей значения диэлектрической проницаемости и трёх погонных емкостей, условия физической реализуемости формулируются весьма просто: значения всех частичных собственных и взаимных емкостей должны быть больше нуля, т.е. (С0Ь С02, С]2) > 0; а значение относительной диэлектрической проницаемости среды должно превышать единицу ег > 1 (см. рис. 1).

Ещё одной удобной для расчёта является система, содержащая другие четыре параметра линий: характеристический импеданс 20, коэффициент им-педансной связи к, коэффициент трансформации (симметрии) п и диэлектрическую проницаемость среды ег. Заметим, что одновременно и произвольно все эти параметры задавать нельзя, поэтому необходимо сформулировать дополнительное условие физической реализуемости несимметричных СЛ. Начнём с характеристического импеданса, который обычно выбирается равным системному импедансу (как правило, 50 Ом). Коэффициент импедансной связи к можно задать любым в диапазоне [0-1). Но вот коэффициент трансформации (симметрии) п ограничивается коэффициентом связи (см. рис. 3) и должен удовлетворять следующему условию физической реализуемости (любому из вариантов) [2]:

к < ш1п|

ш (п±1)

<1 или 1< шах

(±^<1/к . (47)

Отсюда видно, что только в структуре из симметричных связанных линий (п = 1) в однородной диэлектрической среде коэффициент импедансной связи к можно задать произвольно в диапазоне [0; 1). При этом величина связи к определяет максимально допустимый коэффициент межлинейной трансформации п, т. е. слишком большая связь не позволяет достигать большого коэффициента трансформации. Иначе, если требуется большой коэффициент трансформации (большая асимметрия), то необходимо снижать величину межлинейной связи. Например,

при желаемом коэффициенте трансформации (симметрии), равном п= 42 , т.е. двукратном отношении характеристических импедансов линий, их коэффициент связи согласно (43) не должен превышать к = 1/л/2 , т.е. С = -20^(к) = 3 дБ. Ещё пример, для достижения 10-кратного отношения межлинейных импедансов связь должна быть слабее к = 1/%/ш (10 дБ).

Синтез трансформирующего направленного ответвителя

Рассмотрим трансформирующий направленный ответвитель (см. рис. 6, а), построенный на отрезке несимметричных связанных линий с заданным ко -эффициентом связи к, однородным диэлектрическим заполнением ег и нагруженный на концах первой и второй линий парами резисторов 201 и 202 соответственно. Требуется найти характеристический импеданс 20 связанных линий, а также коэффициент трансформации импеданса (симметрии) п. Решение с использованием (20), (21), (45), (46) и (4) находится весьма просто в следующем виде:

20 =4201202 =42122 ; п=42 02!2 01 =4 2 2! 21,

где

21 =4 ¿и/ С11 ; 22 =4 ¿22/ С22

(48)

(49)

- собственные

импедансы первой и второй линий соответственно. Ещё раз заметим, что данный ответвитель идеально согласован во всех портах и на всех частотах. После проверки условия физической реализуемости (47) задачу можно считать окончательно решенной. Синтез погонных параметров линий Теперь решим задачу синтеза погонных параметров. Пусть несимметричные связанные линии в однородной диэлектрической среде изначально описываются величинами четырёх модальных параметров: 20, к, п, ег, которые удовлетворяют условию физической реализуемости (47).

На основе данных модальных параметров СЛ синтезируются их погонные параметры (см. рис. 2) -матрицы погонных емкостей С и индуктивностей Ь - по следующим формулам соответственно:

е

С=

С11 -С12

Ь

41 ¿12

-С12 С22 .

¿12 ¿22

20 к' Н-020л1ег

% к'

п -к

1/ п

к

-к 1/ п

(50)

(51)

где

к ' = 41-1

"Л0 =4^0/е0 ~376,7 Ом - волновое сопротивление свободного пространства.

После синтеза электрических параметров СЛ осуществляется их конструктивная реализация, что является самостоятельной задачей.

В завершение представим три рассчитанные выше структуры связанных линий с полным списком их электрических параметров, которые сведём в табл. 2. Заметим, что первая структура имеет по-лосковую конструкцию [2], показанную на рис. 1, а.

Вторая и третья структуры могут быть исполнены с двойным экраном, как показано на рис. 1, б; при этом они имеют одинаковые импедансные параметры, но различающиеся диэлектрические проницаемости среды.

Таблица 2

* Режим холостого хода - разомкнутый конец линии.

Заключение

Представлены различные системы параметров, полностью описывающие несимметричные связанные линии с однородным диэлектрическим заполнением. Подробно рассмотрены три схемы на таких линиях - трансформирующий направленный ответ-витель со слабой связью, квадратурный мост-делитель с двукратной трансформацией импеданса и импедансный трансформатор 1:4. Системам параметров СЛ дана геометрическая интерпретация, которая позволила ускорить и сделать наглядными их анализ и синтез.

Приведенные в статье формулы реализованы в новой компьютерной программе АБутН, авторами которой являются студенты ТУСУРа В. А. Бондарь, К.Б.-Б. Дагба, Р.А. Калменов, А.И. Степанюга, а также автор данной статьи.

Литература

1. Sorocki J. Broadband balun circuits composed of impedance transforming directional couplers and LH transmission-line sections / J. Sorocki, I. Piekarz, K. Staszek, P. Kaminski, K. Wincza, S. Gruszczynski // Int. Journal of Information and Electronics Engineering. - 2016. - Vol. 6, No. 3, May. - P. 147-150.

2. Cristall E.G. Coupled transmission-line directional couplers with coupled lines of unequal characteristic impedance // IEEE Trans. - 1966. - Vol. MTT-14, No. 7. - P. 337-346.

3. Фильтры и цепи СВЧ / Пер. с англ. Л.В. Алексеева, А.Е. Знаменского, В.С. Полякова. - М.: Связь, 1976. - 248 с.

4. Справочник по элементам полосковой техники / О.И. Мазепова, В.П. Мещанов, Н.И. Прохорова и др. / под ред. А. Л. Фельдштейна. - М.: Связь, 1979. - 336 с.

5. Mongia R., Bahl I.J., Bhartia P. RF and microwave coupled-line circuits. - Norwood: Artech House, 1999.- 520 p.

6. Tripathi V.K. Asymmetric coupled transmission lines in an inhomogeneous medium // IEEE Trans. - 1975. -Vol. MTT-23, No. 9. - P. 734-739.

7. Speciale R. Even- and odd-mode for nonsymmetrical coupled lines in nonhomogeneous media // IEEE Trans. -1975. - Vol. MTT-23, No. 11. - P. 897-908.

8. Abbasi M., Zirath H., Angelov I. Q-, V-, W-band power amplifiers utilizing coupled transmission lines for impedance matching // IEEE MTT-S Int. Microw. Symp. Dig. -2008. - P. 863-866.

9. Wincza K. Asymmetric coupled-line directional couplers as impedance transformers in balanced and n-way power amplifiers / K. Wincza, S. Gruszczynski // IEEE Trans. -2011. - Vol. MTT-59, No. 7. - P. 1803-1810.

10. Сычев А.Н. Синтез идеального фазового отношения для ответвителей на связанных линиях по заданному типу направленности / А.Н. Сычев, С.М. Стручков, Н.Ю. Рудый // Доклады ТУСУР. - 2017. - Т. 20, № 2. - С. 15-18.

11. Сычев А.Н. Фазовращатель на основе транснаправленного ответвителя с развязкой по постоянному току ВЧ-тракта и цепи управления / А. Н. Сычев, Н. Ю. Рудый, И.М. Добуш, К.К. Жаров // Труды XIV Междунар. науч.-техн. конф. Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2018): в 8 т. - Т. 4. - Новосибирск, 2018. - С. 158-161.

12. Сычев А.Н. Кроссоверы СВЧ на связанных линиях с полной связью // Доклады ТУСУР. - 2017. - Т. 20, № 3. - С. 124-127.

13. Sychev A.N. Analog phase shifter of X-band implemented with novel trans-directional coupled-line coupler / A.N. Sychev, I.M. Dobush, N.Y. Rudyi, S.M. Struchkov // 21 European Microwave Week 2018. - Proc. of the 48-th Eur. Microwave Conf., Madrid, Spain. - Sep. 25-27, 2018. -P. 811-814.

14. Сычев А. Н. Моделирование неодинаковых связанных линий с лицевой связью / А.Н. Сычев, К.К. Жаров // Электронные средства и системы управления: матер. докл. MV Междунар. науч.-практ. конф. (28-30 нояб. 2018 г): в 2-х ч. - Ч. 1 - Томск: В-Спектр, 2018. - C. 91-93 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://storage.tusur.ru/ files/122116/2018-1.pdf (дата обращения: 28.01.2019).

15. Сычев А.Н. Параметры несимметричных связанных линий с неоднородным диэлектриком / А.Н. Сычев, Рудый Н.Ю. // Доклады ТУСУР. - 2018. - Т. 21, № 4-1. -C. 7-15. - doi: 10.21293/1818-0442-2018-21-4-1-7-15

16. Триаксиальный кабель [Электронный ресурс]. -Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Триаксиаль-ный_кабель (дата обращения: 18.02.2019).

Численные значения па

раметров связанных линии

Группы Параметры Значения параметров

параметров эис. 6, а [2] Рис. 6, б Рис. 6, в

¿п, мкГн/м 0,264 0,275 0,368

¿12, мкГн/м 0,068 0,137 0,183

Погонные ¿22, мкГн/м 0,176 0,139 0,185

Си, пФ/м 46,8 222 296

С12, пФ/м 18,1 219 292

С22, пФ/м 70,3 440 588

С, дБ 10 3

Z0, Ом 61,24 25

Модальные к 0,3162 0,70

n 0,8165 0,71

8Г 1 2,8 5

Z0, Ом 84,9 59,5

Zn, Ом 44,1 10,5

Модальные Zc1, Ом 104,1 83,8

импедансы Zc2, Ом 69,4 42,3

Z%1, Ом 54,1 14,8

Z%2, Ом 36,0 7,46

Z1, Ом 75 35,2

Импедансы линий Z2, Ом 50 17,8

Z11, Ом 79,1 49,3

Z22, Ом 52,7 24,9

Z12, Ом 20,4 24,5

Z01, Ом 75 50 / 25 50 / ХХ*

Z02, Ом 50 25 / 12,5 ХХ* /12,5

Нагрузочные рези- Z1c, Ом Z2c, Ом Zm, Ом 116 63,9 184 1785 25,2 25,5

Z1„, Ом 58,6 24,8

Z2%, Ом 32,3 0,35

Z12, Ом 20,4 24,5

Сычев Александр Николаевич

Д-р техн. наук, профессор каф. компьютерных систем

в управлении проектировании (КСУП)

Томского государственного ун-та систем управления

и радиоэлектроники (ТУСУР)

Ленина пр-т, 40, г. Томск, 634050, Россия

ORCID 0000-0002-4079-4605

Тел.: +7 (382-2) 41-47-17

Эл. почта: ans@main.tusur.ru

Sychev A.N.

Analysis and synthesis of asymmetric coupled lines in a homogeneous dielectric medium

Asymmetric coupled lines with homogeneous dielectrics are studied, which are the basis for constructing of a transforming directional coupler with a weak coupling, a quadrature coupler divider with a double impedance transformation, as well as a 1:4 impedance transformer. Structures with weak and strong asymmetry, options for connecting matched loads, as well as conditions of physical implementation are considered. The formulas for calculating of the lines parameters, accompanied by geometric interpretation, are presented. Geometric approach allows us to speed up and make visual analysis and synthesis. For the three test structures, frequency dependencies are given, as well as design parameters, including per-unit-length ones and modal ones. The presented formulas are implemented in the «AsymH» computer program. Keywords: asymmetric coupled lines, homogeneous dielectric, per-unit-length parameters, per-unit-length capacitances, per-unit-length inductances, modal parameters, characteristic impedance, coupling coefficient, symmetry coefficient. doi: 10.21293/1818-0442-2019-22-1-11-19

References

1. Sorocki J., Piekarz I. , Staszek K. et. al. Broadband balun circuits composed of impedance transforming directional couplers and LH transmission-line sections, Int. Journal of Information and Electronics Engineering, vol. 6, no. 3, May, 2016, pp. 147-150.

2. Cristall E.G. Coupled transmission-line directional couplers with coupled lines of unequal characteristic impedance, IEEE Trans, 1966, vol. MTT-14, no. 7, pp. 337-346.

3. Microwave filters and circuits, Ed. A.Matsumoto, New York, London: Academic Press, 1970, 349 p.

4. Handbook on components of stripline techniques, Ed. Fel'dstein A.L., M.: Svyaz' Publ., 1979, 336 p. (in Russ.).

5. Mongia R., Bahl I.J., Bhartia P. RF and microwave coupled-line circuits, Norwood: Artech House, 1999. 520 p.

6. Tripathi V.K. Asymmetric coupled transmission lines in an inhomogeneous medium, IEEE Trans., 1975, vol. MTT-23, no. 9, Sept., pp. 734-739.

19

7. Speciale R. Even- and odd-mode for nonsymmetrical coupled lines in nonhomogeneous media, IEEE Trans., 1975, vol. MTT-23, no. 11, pp. 897-908.

8. Abbasi M., Zirtah H., Angelov I., «Q-, V-, W-band power amplifiers utilizing coupled lines for impedance matching» in IEEE MTT-S Int. Microw. Symp. Dig., 2008, pp. 863-866.

9. Wincza K., Gruszczynski S. Asymmetric coupled-line directional couplers as impedance transformers in balanced and n-way power amplifiers, IEEE Trans., 2011, vol. MTT-59, no. 7, pp. 1803-1810.

10. Sychev A.N., Struchkov S.M., Rudyi N.Yu. Synthesis of an ideal phase ratio for a coupled-line coupler with a given type of directionality, Proceedings of TUSUR University, 2017, vol. 20, no. 2, pp. 15-18 (in Russ.).

11. Sychev A.N., Rudyi N.Y., Dobush I.M., Zharov K.K. «A phase shifter based on trans-directional coupler with DC isolation of RF-path and control circuit», in 2018 14th Int. Sci.-Tech. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering Proc. (APEIE-2018), in 8 vol., vol. 1, part 3, Novosibirsk, Oct. 2-6, 2018, pp. 380-383.

12. Sychev A.N. Microwave crossovers based on coupled line couplers, Proceedings of TUSUR University, 2017, vol. 20, no. 3, pp. 124-127 (in Russ.).

13. Sychev A.N., Dobush I.M. , Rudyi N.Y., et. al. Analog phase shifter of X-band implemented with novel trans-directional coupled-line coupler, 21 European Microwave Week 2018, Proc. of the 48-th Eur. Microwave Conf., Madrid, Spain, Sep. 25-27, 2018, pp. 811-814.

14. Sychev A.N., Zharov K.K. Modeling of asymmetric broad-side coupled lines, Electronic tools and control systems: Proc. of XIVInt. scientific-practical Conf. (Nov. 28-30, 2018): in 2 part, part 1, Tomsk: V-Spectrum, 2018, pp. 91-93 (in Russ.). [Online] Available at: https://storage.tusur.ru/files/ 122116/2018-1.pdf (accessed: January 28, 2019)

15. Sychev A.N., Rudyi N.Y. Parameters of asymmetric coupled lines with inhomogeneous dielectrics, Proceedings of TUSUR University, 2018, vol. 21, no. 4-1, pp. 7-15 (in Russ.).

16. Triaxial cable [Online] Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Triaxial_cable (accessed: February 18, 2019).

Aleksandr N. Sychev

Doctor of Engineering Sciences, Professor,

Department of Computer Systems, Tomsk State

University of Control Systems and Radioelectronics (TUSUR)

40, Lenin pr., Tomsk, 634050, Russia

ORCID 0000-0002-4079-4605

Phone: +7 (382-2) 41-47-17

Email: ans@main.tusur.ru