Научная статья на тему 'Анализ и решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями на основе L-разбиения'

Анализ и решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями на основе L-разбиения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
336
38
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ЗАДАЧА ВЫПОЛНИМОСТИ / ЛОГИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ / ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ / L-РАЗБИЕНИЕ / SATISFIABILITY PROBLEM / LOGICAL CONSTRAINTS / INTEGER PROGRAMMING / L-PARTITION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Адельшин Александр Владимирович, Колоколов Александр Александрович

Исследуются задачи дискретной оптимизации с логическими ограничениями на основе моделей целочисленного линейного программирования и метода регулярных разбиений. Получена верхняя оценка мощности произвольного L-комплекса многогранника задачи 2-выполнимости, использование которой позволяет более эффективно решать некоторые прикладные задачи проектирования сложных изделий с помощью рассматриваемых подходов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Адельшин Александр Владимирович, Колоколов Александр Александрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Analysis and solution of discrete optimization problems with logical constraints on the base of L-partition approach

In the paper, we analize discrete optimization problems with logical constraints based on integer linear programming models and L-partition approach. We obtain an upper bound for the power of any L-complex of the 2-SAT polytope. The use of this evaluation allows to solve some applied problems of designing complex products by these approaches much more efficiently.

Текст научной работы на тему «Анализ и решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями на основе L-разбиения»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2015

Вычислительные методы в дискретной математике

№ 4(30)

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

УДК 519.8

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С ЛОГИЧЕСКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ОСНОВЕ L-РАЗБИЕНИЯ1

А. В. Адельшин, А. А. Колоколов

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия

Исследуются задачи дискретной оптимизации с логическими ограничениями на основе моделей целочисленного линейного программирования и метода регулярных разбиений. Получена верхняя оценка мощности произвольного L-комплекса многогранника задачи 2-выполнимости, использование которой позволяет более эффективно решать некоторые прикладные задачи проектирования сложных изделий с помощью рассматриваемых подходов.

Ключевые слова: задача выполнимости, логические ограничения, целочисленное программирование, L-разбиение.

DOI 10.17223/20710410/30/10

ANALYSIS AND SOLUTION OF DISCRETE OPTIMIZATION PROBLEMS WITH LOGICAL CONSTRAINTS ON THE BASE OF

L-PARTITION APPROACH

A. V. Adelshin, A. A. Kolokolov

Omsk Branch of Sobolev Institute of Mathematics, Omsk, Russia,

E-mail: adelshin@ofim.oscsbras.ru, kolo@ofim.oscsbras.ru

In the paper, we analize discrete optimization problems with logical constraints based on integer linear programming models and L-partition approach. We obtain an upper bound for the power of any L-complex of the 2-SAT polytope. The use of this evaluation allows to solve some applied problems of designing complex products by these approaches much more efficiently.

Keywords: satisfiability problem, logical constraints, integer programming, L-partition.

Введение

Во многих задачах управления, планирования, проектирования и других областях возникают логические ограничения, которые необходимо учитывать в процессе принятия решений. Указанные ограничения часто описываются с помощью логических формул и приводят к задаче выполнимости, одной из центральных в теории сложности, а также к задаче максимальной выполнимости и смешанной задаче с логическими

хРабота поддержана грантом РФФИ №13-01-00862.

Анализ и решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями 101

условиями. Широкое практическое применение этих задач является стимулом для разработки алгоритмов их решения [1-6]. В ряде работ проводились исследования указанных задач на основе моделей целочисленного линейного программирования (ЦЛП) и L-разбиения [7], получены структурные свойства многогранников задач и предложены семейства трудных задач для определённых классов алгоритмов [8-10]. Кроме того, для задачи выполнимости разработан алгоритм, основанный на методе перебора L-классов [5]. В дальнейшем с его использованием предложены алгоритмы решения задачи максимальной выполнимости и смешанной задачи максимальной выполнимости. В данной работе продолжены исследования структуры многогранника задачи выполнимости, получено новое свойство его L-структуры, которое может оказаться полезным при анализе и разработке алгоритмов решения рассматриваемых задач, основанных на методах целочисленного программирования и аппарате непрерывной оптимизации.

Рассмотрим постановку задачи выполнимости (SAT). Пусть xi,... ,xn — переменные, принимающие значение истина или ложь. Под литералом понимается либо переменная Xj, j = 1,... ,n, либо её отрицание. Пусть логическая формула F представляет собой конъюнкцию формул (скобок) Ci, i = 1 ,...,m, каждая из которых является дизъюнкцией литералов. Требуется определить, выполнима ли формула F, т. е. существует ли такой набор значений переменных, при котором F принимает значение истина. Известно, что задача SAT является NP-полной, а в случае, когда каждая скобка содержит не более двух литералов, задача полиномиально разрешима [11]. Многие известные задачи теории графов, построения расписаний, криптографии могут быть сформулированы как задача выполнимости некоторой логической формулы в конъюнктивной нормальной форме [12-14].

Важным обобщением задачи SAT является задача максимальной выполнимости (MAX SAT). Предположим, что каждой скобке Ci соответствует неотрицательный вес ci, тогда задача MAX SAT состоит в отыскании набора значений логических переменных, при котором суммарный вес выполненных скобок будет наибольшим.

Перейдём далее к рассмотрению моделей ЦЛП рассматриваемых задач. Приведём сначала модель для задачи выполнимости. Введём булевы переменные y1,... ,yn, такие, что yj соответствует переменной Xj, а (1 — yj) —её отрицанию, т. е. yj = 1 тогда и только тогда, когда переменная Xj принимает значение истина, j = 1,... ,n. Нетрудно показать, что условие выполнимости логической формулы F эквивалентно существованию решения системы

Е yj — Е yj ^ 1 — |C-1, i =1,...,m; (1)

jec+ jeer

0 ^ yj ^ 1 j = 1,...,n; (2)

yj e Z, j = 1,...,n^ (3)

где C- и C+ — множества индексов переменных, входящих в скобку Ci с отрицанием и без него соответственно; величина | C— | —мощность множества C—.

Для получения задачи ЦЛП необходимо ввести целевую функцию. В качестве такой функции может быть выбрана, например, f (y) = yi ^ max или f (y) =

n

= E yj ^ max, где y = (y1,..., yn). В данной работе рассматривается лексикографиче-j=i

ская постановка задачи ЦЛП, т. е. ищется лексикографически максимальный вектор y, удовлетворяющий системе ограничений (1) — (3).

102

А. В. Адельшин, А. А. Колоколов

Модель ЦЛП задачи максимальной выполнимости выглядит следующим образом:

m

yo = E cizi ^ max; i= 1 (4

E yj - E yj + zi ^ |C-|, i =1,...,m; (5

jeer jec+t

0 ^ yj ^ 1 j = 1,...,n; (e;

0 ^ zi ^ 1, i = 1,..., m; (7

yj, zi E Z, j = 1,..., n, i = 1,..., m. (s:

Здесь каждой скобке Ci поставлена в соответствие переменная Zi, причём в любом допустимом целочисленном решении zi = 1 только в том случае, когда Ci выполнена. Таким образом, оптимальное значение целевой функции равно наибольшему суммарному весу выполненных скобок. Отметим, что если в последнюю модель добавить ограничения вида (1), то получим модель ЦЛП для смешанной задачи с «жесткими» ограничениями (1) и «мягкими» ограничениями (5).

1. О методе регулярных разбиений

Для исследования структуры задач целочисленного программирования, построения и анализа методов их решения А. А. Колоколовым предложен подход, идея которого заключается в выделении семейства специальных разбиений релаксационного множества задачи. Особенности данного подхода подробно описаны в [7].

Приведём необходимые для дальнейшего изложения определения и обозначения. В первую очередь потребуется понятие лексикографического порядка. Для этого рассмотрим функцию

n(x, y) = min{i : Xi = yi, i = 1,..., n}, x,y E Rn, x = y.

Вектор x лексикографически больше (меньше) вектора y, т. е. x У y (x У y), если x = y и xw > yw (xw < yw) для w = n(x,y). Отношение У представляет собой отношение строгого линейного порядка. Запись x У y означает, что либо x У y, либо x = y. Аналогично понимается x У y.

Для множеств X, Y С Rn полагаем: X У Y (X У Y), если x У y (x У y) для любых x E X и y E Y.

Пусть x, y E Rn и x У y. Будем говорить, что точки x и y отделимы, если найдётся точка z E Zn, для которой выполняется x У z У y. Точку z назовём отделяющей.

Дадим определение L-разбиения. Точки x,y E Rn (x У y) называются L-эквивалентными, если не существует отделяющей их точки z E Zn. Это отношение эквивалентности порождает разбиение любого множества X С Rn на непересекающиеся L-классы. Фактор-множество X/L называется L-разбиением множества X. Указанное разбиение обладает рядом полезных свойств, применяемых при разработке и исследовании алгоритмов целочисленного программирования, в частности алгоритмов перебора L-классов. Отметим некоторые из них:

1) каждая точка z E Zn образует отдельный L-класс, остальные классы состоят из нецелочисленных точек и называются дробными;

2) если X — ограниченное множество, то фактор-множество X/L конечно;

3) любой дробный L-класс V E X/L можно представить в виде

V = X П {x : xi = а\,..., xr-1 = ar-1, ar < xr < ar + 1}, где ai E Z, i = 1,..., r; 1 ^ r ^ n.

Анализ и решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями 103

Рангом L-класса V называется величина

r(V)

min{i : Xj = [хф i = 1,... ,n, x E V}, если V — дробный, n + 1 в противном случае.

Подмножество K дробных L-классов из X/L называется комплексом (L-комплексом), если для любых V, V' E K, V У V', не существует точки z E X П Zn, отделяющей V и V', т. е. V У z У V'.

Далее рассмотрим лексикографическую задачу ЦЛП следующего вида: найти лексикографически максимальную точку у* множества (M П Zn), т. е.

найти у* = lexmax(M П Zn), (9)

где M — некоторый выпуклый многогранник. Важную роль в исследовании задачи (9) и методов её решения играет множество

M* = {у E M : Vz E M П Zn (у У z)},

которое называется дробным накрытием задачи (9). Фактор-множество M*/L называется L-накрытием задачи.

Выделение этой части релаксационного множества задачи связано с тем, что в некоторых методах ЦЛП (методах отсечения, перебора L-классов) происходит последовательное исключение точек из M*, т. е. эти методы можно рассматривать как определённые способы «снятия» дробных накрытий.

С использованием метода регулярных разбиений получен ряд теоретических результатов при исследовании задач с логическими условиями [5, 8-10]. Проведён анализ L-структуры многогранников (1) — (2) и (5) — (7) задач выполнимости и максимальной выполнимости. Построены семейства логических формул, для которых мощности L-накрытий задач выполнимости и максимальной выполнимости растут экспоненциально с увеличением числа переменных. Получены оценки числа итераций некоторых алгоритмов целочисленного линейного программирования при решении задач из построенных семейств.

2. Задача 2-выполнимости

Пусть каждая скобка в логической формуле F содержит не более двух литералов. В этом случае задачу выполнимости называют задачей 2-выполнимости. В работе [9] проведён анализ структуры задачи 2-выполнимости и доказана следующая

Лемма 1 [9]. Если многогранник M задачи 2-выполнимости, содержащий целочисленную точку, пересекается с некоторой k-мерной гранью куба Bn = {x E Rn : 0 ^ ^ Xj ^ 1, j = 1,... , n}, то M содержит вершину этой грани.

С помощью этой леммы получена верхняя оценка мощности L-накрытия лексикографического варианта (9) задачи 2-выполнимости

Теорема 1. Если многогранник M задачи 2-выполнимости содержит целочисленную точку, то для мощности L-накрытия выполняется | M* /L | ^ n — 1.

Далее приводятся результаты исследований структуры многогранника данной задачи, обобщающие ранее полученную оценку теоремы 1.

Лемма 2. Пусть существуют а = (а\,... , an) E M П Zn и b = (b\,... ,bn) E M П Zn, такие, что а У b и не существует c E M П Zn со свойством а У c У b. Тогда для П = {у E M : а У у У b} справедливо |Q/L| ^ n — 1.

104

А. В. Адельшин, А. А. Колоколов

Доказательство.

I. Допустим, L-комплекс П/L содержит L-класс V ранга п. Пусть V = {(v^..., vn-i,vn) : 0 < vn < 1}, где Vj Е {0,1}, j = 1,... , n—1. Покажем, что (v1,... , vn-1,0) E M и (v1,... , vn-i, 1) E M. Заметим, что в системе ограничений (1) задачи возможны четыре вида неравенств, содержащих переменную yn: yj + yn ^ 1, yj + yn ^ 1, yj — yn ^ 0 и yj — yn ^ 0. Учитывая множества возможных значений координат v1,... , vn-1, vn, легко видеть, что в любом из перечисленных неравенств значение vn можно положить равным 0 или 1, при этом полученное решение останется допустимым.

Следовательно, если L-комплекс П/L содержит L-класс V ранга п, то a = (v1,... , vn-1,1) Е M, b = (v1,..., vn-1, 0) E M, а значит, |П| = 1.

II. Теперь докажем, что П/L не может содержать два L-класса одного ранга.

Предположим обратное: пусть существуют V1,V2 Е П/L ранга k и V1 У V2. Нетрудно

показать, что они имеют следующий вид:

V1 = {(a1,.. .,ak-1,ak,.. .,an) : 0 < ak < 1, 0 ^ aj ^ 1, j = k + 1,... ,n}, V2 = {(b1,.. .,bk-1,Pk, ...,fin): 0 < вк < 1, 0 ^ fij ^ 1, j = k + 1,... ,n}.

Это вытекает из леммы 1 и того, что между a и b нет других целочисленных точек.

Покажем, что существует целочисленная точка d Е M, такая, что a У d У b, и построим её алгоритмически.

Определим следующие множества. Пусть F — множество всех ограничений задачи, Q* С F, I = {1,...,п} — множество всех индексов переменных формулы, J * С {j : j ^ k}. Будем рассматривать различные целочисленные точки d* = (d1,... , dn): для всех j Е I

dj

aj, если j Е J*, bj, если j Е J*.

Положим Q0 = 0, J0 = {k}, d0 = (a1,... , ak-1,0, ak+1,... , an). Нетрудно показать,

что ak = 1, bk = 0, ak = ak.

Пусть после итерации t имеются Q*, J * и соответствующая точка d*, такие, что выполнены следующие свойства:

— ограничения из Q* содержат только литералы с индексами из J*;

— Vj Е J* (aj = aj).

Покажем, что если d* Е M, то можно построить множества Q*+1 0 Q*, J*+1 0 J* и соответствующую точку d*+1, для которых данные свойства также будут выполнены. Пусть d* удовлетворяет любому ограничению из Q*. Значит, должно существовать ограничение g(yi,yj) Е F\Q*, которому точка d* не удовлетворяет, но удовлетворяют точки a, b и L-класс V1. Попробуем его найти.

Возможны несколько вариантов такого ограничения:

1) i Е J*, j Е J*. Но тогда данному ограничению не удовлетворяет точка a. Противоречие.

2) i Е J*, j Е J*. Но тогда данному ограничению не удовлетворяет точка b. Противоречие.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3) i < k, j Е J*. Возможны четыре вида ограничений: yi + yj ^ 1, yi + yj ^ 1, yi — yj ^ 0 и yi — yj ^ °.

Анализ и решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями 105

Рассмотрим первое из них yi + yj ^ 1:

d* + dj > 1, a + a, ^ 1,

tti + aj ^ 1

ai + dj > 1,

Яг + aj ^ 1, ai + aj ^ 1

ai = 1, dj = 1,

aj = 0, aj = 0

ai = 1, dj = 1, аг + aj ^ 1,

Яг + aj ^ 1

ai = 1 , dj = 1 ,

1 + a j ^ 1, ^

1 + aj ^ 1

^ противоречие с aj = aj.

Аналогично рассматриваются оставшиеся ограничения, которые приводят к таким же противоречиям.

Таким образом, ограничения задачи, удовлетворяющие свойствам 1-3, не являются искомыми. Остаётся последний вариант:

4) j £ J*, i £ J* и i > k. Возможны те же четыре вида ограничений.

Рассмотрим первое yi + yj ^ 1:

d* + dj > 1, ai + aj ^ 1, ^

ai + aj ^ 1

ai 1, bj 1,

aj = 0, ai + a,- ^ 1

ai + bj > 1, ai + я, ^ 1, ai + a, ^ 1

^ (aj = aj)

ai 1, bj 1,

ai + a, ^ 1, ai + a, ^ 1

ai = 1, b

j

, bj

1,

aj = 0, aj > 0 ai + a, ^ 1 ai = ai.

ai = 1, bj = 1,

1 + a j ^ 1, ^

ai + a, ^ 1

ai = 1 , bj = 1 , a, = 0, a, > 0 ^

ai < 1

Аналогично можно рассмотреть оставшиеся виды ограничений и получить такие же результаты.

Теперь рассмотрим множества Qt+1 = Q* U {g(yi, у,)}, Jt+1 = J* U {i} и соответствующую точку d*+1, где d*+1 = bi. Очевидно, что:

— ограничения из Q*+1 содержат только литералы с индексами из J*+1;

- Vj £ J*+1 (aj = а,).

Таким образом, мы построили множества Q*+1 D Q*, J *+1 D J * и соответствующую точку d*+1, для которых выполнены те же условия, что и для d*. А значит, можно строить последовательность пар таких множеств (Q*+2, J*+2), (Q*+3, J*+3), ..., до тех пор, пока не найдём ds £ M. Конечность данного процесса вытекает из конечности множеств F и I .А поскольку а У ds У b по построению, получаем противоречие. Следовательно, L-комплекс П/L не может содержать два L-класса одного ранга.

Таким образом, либо L-комплекс П/L содержит L-класс ранга n, и тогда |Q/L| = 1, либо не содержит, и тогда | П /L | ^ n — 1. ■

Приведём пример формулы, для которой данная оценка достигается.

Пример 1. Рассмотрим логическую формулу

П— 1

F = Л (Xi V Xj ) Д (Xi V xm) Л (xn-1 V Хп ).

i<j^n i=2

Нетрудно показать, что многогранник M содержит только две целочисленные точки: z1 = (1, 0,..., 0) и z2 = (0,0,..., 0), а также в нём содержатся полуцелочисленные

106

А. В. Адельшин, А. А. Колоколов

точки вида

y(k) = ((V^O, 1/2,1/2), k = 1 — 1,

k-1

причём z1 У y(k) У z2. Каждая точка y(k) является представителем L-класса V(k) = {(0,..., O,Vk,... ,vn), 0 < Vk < 1, 0 ^ Vj ^ 1, j = k + 1,... ,n},

k-l

причём r(V(k)) = k. Таким образом, |{y G M : z1 У y У z2}/L| = n — 1.

Лемма 3. Пусть существует a G M П Z и не существует c G M П Z, что a У c. Тогда для П = {y G M : a У y} справедливо |Q/L| ^ n — 1.

Доказательство. Легко показать (аналогично п. I доказательства леммы 2), что L-комплекс П/L не содержит L-класса ранга n, поскольку в противном случае существует точка c G M П Z, для которой а У с.

Допустим, существуют V1,V2 G П/L ранга k < n и V1 У V2:

Vi = {(ai,... ,ak-i,ak, ...,an): 0 < a < 1, 0 ^ aj ^ 1, j = k + 1,... ,n},

где aj G {0,1}, j = 1,... , k — 1, — фиксированные;

V2 = {(в1,.. .,Pk-i,Pk,... ,вп) : 0 < ^k < 1, 0 ^ fa ^ 1, j = k + 1,... ,n},

где в G {0,1}, j = 1,... , k — 1, — фиксированные.

Тогда V1 содержится в (n — k + 1)-мерной грани

51 = {(a1,...,ak-1,yk,...,Уп) : 0 ^ yj ^ 1, j = k,...,n^

V2 содержится в (n — k + 1)-мерной грани

52 = {(въ.. . ,ek-1,yk,.. .,Уп) : 0 ^ yj ^ 1, j = k,. ..,n}

и S1 У S2. Согласно лемме 1, в каждой из этих граней есть вершина, принадлежащая M. Обозначим их с1 G S1 и с2 G S2. Но поскольку а У S1 У S2, получается, что а У с2. Противоречие. ■

Приведём пример формулы, для которой данная оценка достигается.

Пример 2. Рассмотрим логическую формулу

П- 1 П- 1

F = Д (xi V Xi+1) Д (xi V Xi+1).

i= 1 i=1

Многогранник M содержит только две целочисленные точки: z1 = (1, . . . , 1, 1) и z2 = (1,... , 1, 0), а также в нём содержатся полуцелочисленные точки вида

y(k) = (WJ, 1/2,..., 1/2), k = 1,...,n — 1,

k-1

причём z2 У y(k). Каждая точка y(k) является представителем L-класса

V(k) = {(1,... , 1,vk,... ,v„) : 0 < vk < 1, 0 ^ vj ^ 1, j = k + 1,... ,n},

k1

причём r(V(k)) = k.

Таким образом, |{y G M : z2 У y}/L| = n — 1.

Анализ и решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями 107

Из лемм 2 и 3 следует верхняя оценка мощности произвольного L-комплекса многогранника задачи 2-SAT.

Теорема 2. Мощность любого L-комплекса многогранника задачи 2-SAT, содержащего целочисленную точку, не превосходит n — 1.

Полученные свойства полезны при анализе и разработке алгоритмов решения задачи выполнимости и смешанной задачи максимальной выполнимости. В частности, в работе [6] предложен алгоритм решения последней, в котором используется процедура перехода от одного допустимого решения к другому в порядке лексикографического убывания. Эта процедура основана на переборе L-классов и её трудоёмкость определяется числом дробных L-классов между соседними целочисленными решениями. В некоторых прикладных задачах (например, проектирования [5]) набор логических ограничений представляет собой задачу 2-выполнимости, а значит, теорема 2 гарантирует, что перебор допустимых решений в указанной процедуре будет осуществляться достаточно быстро. Таким образом, представляется целесообразным построение алгоритмов, использующих перебор L-классов, для рассматриваемых постановок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колоколов А. А., Адельшин А. В., Ягофарова Д.И. Решение задачи выполнимости с использованием метода перебора L-классов // Информационные технологии. 2009. №2.

С.54-59.

2. Gu J., Purdom P., Franco J, and Wah B. Algorithms for the satisfiability (SAT) problem: a survey // DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. American Mathematical Society, 1996. P. 19-152.

3. HamadiY., JabbourS., and Sais L. ManySAT: a parallel SAT solver // J. Satisfiability, Boolean Modeling and Comput. 2009. No.6. P.245-262.

4. Thornton J., Bain S., Sattar A., and PhamD.N. A two level local search for MAX-SAT Problems with hard and soft constraints // Proc. 15th Australian Joint Conference on Artificial Intelligence, AustAI-2002. Canberra, Australia, 2002. P.603-614.

5. Колоколов А. А., Адельшин А. В., Ягофарова Д. И. Исследование задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями на основе метода регулярных разбиений // Прикладная дискретная математика. 2013. №1(19). С. 99-109.

6. Адельшин А. В., Кучин А. К. Разработка алгоритмов решения смешанной задачи максимальной выполнимости // Материалы V Всерос. конф. «Проблемы оптимизации и экономические приложения». Омск, 2012. С. 99.

7. Колоколов А. А. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном программировании // Сиб. журнал исследования операций. 1994. №2. С. 18-39.

8. Адельшин А. В. Исследование задач максимальной и минимальной выполнимости с использованием L-разбиения // Автоматика и телемеханика. 2004. №3. С. 35-42.

9. Ягофарова Д. И. Анализ L-структуры задачи 2-выполнимость // Материалы конф. «Под знаком ‘Сигма’». Омск, 1994. С. 71-77.

10. Kolokolov A., Adelshin A., and Yagofarova D. Analysis and solving SAT and MAX-SAT problems using an L-partition approach // J. Math. Modeling Algorithm. 2013. No. 12(2). P.201-212.

11. Cook S. A. The complexity of theorem-proving procedure // Proc. 3rd Annual ACM Symp. Theory of Computing. N. Y.: ACM, 1971. P. 151-159.

12. Колоколов А. А., Ярош А. В. Автоматизация проектирования сложных изделий с использованием дискретной оптимизации и информационных технологий // Омский научный вестник. 2010. №2(90). С. 234-238.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

108

А. В. Адельшин, А. А. Колоколов

13. Посыпкин М. А., Заикин О. С., Беспалов Д. В., Семенов А. А. Решение задач криптоанализа поточных шифров в распределенных вычислительных средах // Труды ИСА. 2009. Т. 46. С. 119-137.

14. Massacci F. and Marraro L. Logical cryptanalysis as a SAT problem // J. Automated Reasoning. 2000. No. 24. P. 165-203.

REFERENCES

1. Kolokolov A. A., AdelshinA.V., Yagofarova D. I. Reshenie zadachi vypolnimosti s ispol’zovaniem metoda perebora L-klassov [Solving SAT problem using L-class enumeration method]. Informatsionnye Tekhnologii, 2009, no. 2, pp. 54-59. (in Russian)

2. Gu J., Purdom P., Franco J., and Wah B. Algorithms for the satisfiability (SAT) problem: a survey. DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. American Mathematical Society, 1996, pp. 19-152.

3. Hamadi Y., Jabbour S., and Sais L. ManySAT: a parallel SAT solver. J. Satisfiability, Boolean Modeling and Comput., 2009, no. 6, pp. 245-262.

4. Thornton J., Bain S., Sattar A., and PhamD.N. A two level local search for MAX-SAT Problems with hard and soft constraints. Proc. 15th Australian Joint Conference on Artificial Intelligence, AustAI-2002. Canberra, Australia, 2002, pp. 603-614.

5. Kolokolov A. A., Adelshin A. V., Yagofarova D. I. Issledovanie zadach diskretnoy optimizatsii s logicheskimi ogranicheniyami na osnove metoda regulyarnykh razbieniy [Study of discrete optimization problems with logical constraints based on regular partitions]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2013, no. 1(19), pp. 99-109. (in Russian)

6. AdelshinA.V., Kuchin A. K. Razrabotka algoritmov resheniya smeshannoy zadachi maksimal’noy vypolnimosti [Development of algorithms for solving a mixed problem of maximal satisfiability]. Materialy V Vseross. konf. «Problemy optimizatsii i ekonomicheskie prilozheniya», Omsk, 2012, p. 99. (in Russian)

7. Kolokolov A. A. Regulyarnye razbieniya i otsecheniya v tselochislennom programmirovanii [Regular partitions and truncations in integer programming]. // Sibirsk. Zh. Issled. Oper., 1994, no. 2, pp. 18-39. (in Russian)

8. Adelshin A. V. Issledovanie zadach maksimal’noy i minimal’noy vypolnimosti s ispol’zovaniem L-razbieniya [Investigation of maximum and minimum satisfiability problems using L-partition ]. Avtomat. i Telemekh., 2004, no.3, pp. 35-42. (in Russian)

9. Yagofarova D. I. Analiz L-struktury zadachi 2-vypolnimost’ [Analysis of the L-structure for 2-SAT problem]. Materialy konf. «Pod znakom ‘Sigma’». Omsk, 1994, pp. 71-77. (in Russian)

10. Kolokolov A., Adelshin A., and Yagofarova D. Analysis and solving SAT and MAX-SAT problems using an L-partition approach. J. Math. Modeling Algorithm, 2013, no. 12(2),

pp. 201-212.

11. Cook S. A. The complexity of theorem-proving procedure. Proc. 3rd Annual ACM Symp. Theory of Computing. N. Y., ACM, 1971, pp. 151-159.

12. Kolokolov A. A., YaroshA.V. Avtomatizatsiya proektirovaniya slozhnykh izdeliy s ispol’zovaniem diskretnoy optimizatsii i informatsionnykh tekhnologiy [Computer-aided design of complex products using discrete optimization and information technologies]. Omskiy nauchnyy vestnik, 2010, no. 2(90), pp. 234-238. (in Russian)

13. Posypkin M. A., Zaikin O. S., Bespalov D. V., Semenov A. A. Reshenie zadach kriptoanaliza potochnykh shifrov v raspredelennykh vychislitel’nykh sredakh [Cryptanalysis of stream ciphers in distributed computing systems]. Trudy ISA, 2009, vol. 46, pp. 119-137. (in Russian)

14. Massacci F. and Marraro L. Logical cryptanalysis as a SAT problem. J. Automated Reasoning, 2000, no. 24, pp. 165-203.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.