Анализ чувствительности двухфакторных теплофизических измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.6:620.1

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДВУХФАКТОРНЫХ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И.Н. Ищук

Кафедра «Импульсная техника и электронные приборы»,

Тамбовский военный авиационный инженерный институт

Представлена профессором А.А. Чуриковым и членом редколлегии профессором В. И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: абсолютная погрешность; диапазон измерений; коэффициент чувствительности; методы определения свойств материалов; многофакторные измерения; теплофизические свойства.

Аннотация: Предлагается методика расчета коэффициента чувствительности идентификации теплофизических свойств материалов при решении обратной задачи теплопроводности на основе построения многофакторной функции преобразования. В качестве примера проведен анализ ряда импульсных методов.

Обозначения

а - коэффициент температуропроводности, м2/с;

[,/2,../п] - п факторов матема-

тической модели многофакторного эксперимента;

Q - количество тепла, Дж/м; г - координата, м;

£ - интегральное значение температуры, °С-с;____________________________

Т - температура, °С; иву - отклик вычислительного устройства;

Д - интервал неопределенности;

Дс - абсолютная систематическая погрешность;

X - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); т - время, с.

Постоянно возрастающие требования к точности и повышению надежности средств теплофизических измерений, применение информационных технологий диктуют необходимость разработки новых методов определения теплофизических свойств. Параллельно с методами совершенствуется техника проведения измерений, более точными становятся как математические модели описывающие физические процессы, так и измерительные системы, что в совокупности обеспечивает высокие метрологические показатели определения теплофизических свойств (ТФС).

Для теплофизических измерений могут использоваться системы тел из двух материалов, в плоскости контакта которых расположены импульсные источники тепла и датчики температуры [1, 2]. При этом вопрос выбора из всего многообразия известных методов определения ТФС материалов наиболее точного по-прежнему является актуальным.

Целью настоящей работы является разработка методики расчета коэффициента чувствительности идентификации ТФС при решении обратной задачи теплопроводности.

Представим систему измерений ТФС (коэффициентов тепло- и температуропроводности) в виде двух составляющих: подсистемы объекта контроля и подсистемы вычислительного устройства (ВУ), инструментальная погрешность которого равна нулю. Во временном интервале проводимых измерений формируется отклик ВУ как функция от нескольких переменных, которую принято называть математической моделью многофакторного эксперимента. В соответствии с ГОСТ 24026-80 независимые переменные принято называть факторами, коэффициенты, показатели степени и т.д. - параметрами, а зависимую переменную -откликом. В момент времени т отклик ВУ на основании решения прямой задачи теплопроводности определяется конкретным составом факторов и их абсолютными числовыми значениями

иВУ = Р [/1, /2 ,..., /п ]т .

Данная зависимость для всех реализаций факторов на выбранных интервалах их изменений (Ь■ < /■ < ; Ьг- < ; ■ = 1,...п) описывается многофакторной

функцией преобразования (МФП) измерительной системы [3]. Так, при теплофизических измерениях откликом ВУ могут являться изменяющиеся значения температуры и времени, параметрами - постоянные значения координат, количество тепла и др., факторами - ТФС материала. При этом функция, показывающая взаимосвязь 2-х факторов (коэффициентов тепло- и температуропроводности) от отклика ВУ (температуры или времени), является МФП 2-х факторного косвенного измерения.

Постановка задачи исследования. Погрешность результата косвенных измерений, которыми и являются многофакторные измерения, существенно зависит от сочетания значений непосредственно определяемых величин [4]. Это обстоятельство подчеркивает важность расчета коэффициента чувствительности изменения значения одного фактора к изменению значения другого фактора. Для этого используется общий прием, заключающийся в определении частных производных

[4]

/ = д( [ ( , /2 / ]) , ( <

д/, д/, 1

Полученные таким образом значения чувствительности можно рассматривать как веса, с которыми в суммарную абсолютную погрешность входят составляющие абсолютных погрешностей измерения каждого из /. Из этого следует,

что если-----= 0, то абсолютная погрешность определения фактора / не зависит

д/,

от абсолютной погрешности / , и ее величина будет иметь меньшее значение,

чем при------Ф 0 .

д/,

Однако расчет производной (1) не всегда возможен, в частности, если математическая модель, описывающая физический процесс, имеет сложную аналитическую зависимость, которая не позволяет в явном виде выразить один фактор через другой.

Предлагаемая методика заключается в следующем.

1. Производится графическое построение МФП как функции 2-х факторов от отклика ВУ.

2. На поверхности МФП отображается линия с одинаковыми значениями отклика ВУ (линия неопределенности), для которой строятся соответствующие ей интервалы значений факторов (интервалы неопределенности).

3. Расчет коэффициента чувствительности производится как отношение интервалов неопределенности одного фактора к другому.

Далее представлены методы определения ТФС по следующей форме: точная и упрощенная математические модели, расчетные выражения для ТФС, отклик ВУ, значения параметров и факторов модели, иллюстрации МФП, для которых произведен расчет коэффициентов чувствительности по предлагаемой методике.

Для импульсных методов определения ТФС материалов рассмотрим систему, состоящую из двух полупространств с различными теплофизическими характеристиками: коэффициенты тепло- и температуропроводности первого - Х1 и аь а второго - Х2 и а2, граничащих в некоторой плоскости. Начальная температура полупространств одинакова и равна нулю. В граничной плоскости расположен линейный источник тепла, мгновенно выделяющий в начальный момент времени количество тепла Q Дж/м. Аналитическое решение данной физической модели имеет вид [5]

T (r,т) =

Q

Л1 expі —

2пт(2 —Л2)| 1 I 4Зіт

• —Л2 exp і —

4 32 т I

1 [ 3L - D ]jexp H 3L - D -

(2)

— Л2

1 -1H

32 D JJ

1 1

D J 4 т

л 2 л 2 л 2 л 2

Х1 — Х2 Х1 X 2

где и =-------------—, — Ф —, г - расстояние от линейного источника тепла

X?/ — X 2/ а1 а2

/^1 /а2

до первичного измерительного преобразователя (термопары, терморезистора).

Пусть первое полупространство - тело с известными ТФС, а второе - исследуемое. Для дальнейших рассуждений присвоим следующие значения параметрам модели: а1 = 1-10-7 м2/с; Х1 = 0,05 Вт/(м-К) (материалами с такими свойствами могут быть некоторые виды пенопластов, пластмасс); Q = 1000 Дж/м; г = 5-10-3 м. Полагаем, что искомые ТФС исследуемого материала находятся в диапазоне измерений а2 е [1; 10] -10—7 м2/с, Х2 е[0,2; 1,1] Вт/(м-К).

Для данной физической модели большинство известных методов основано на существенном упрощении, предполагающем, что материал с известными ТФС является идеальным теплоизолятором, а расчетные выражения теплофизических свойств материалов получают на основании выражения для температурного поля полупространства

Т (г, т)=—— ехр |—Г— 1. (3)

' ’ 2птХ [ 4ат|

При практической реализации методов в качестве теплоизолятора используется материал с низким коэффициентом теплопроводности (например, пенопласт или рипор). В этом случае исследуемый материал априорно должен иметь коэф-

фициент теплопроводности на порядок больше, чем материал с известными ТФС

[5]. Введенные значения факторов модели данному условию удовлетворяют.

На основании (2) относительно искомых ТФС построим МФП ряда импульсных методов.

Метод абсолютных значений температур. На основании описанной физической модели и принятых значений ее параметров искомые ТФС можно найти, произведя измерения значений температуры в точке контроля в два заданных момента времени X! и Т2 . Расчетные выражения для ТФС на основании (3) имеют вид:

Пусть момент первого измерения X! = 15 с, второго - Т2 = 25 с, откликом ВУ являются значения температур в моменты времени Т1, Т2 . Многофакторная функция преобразования на основании выражения (2) для Т (г, Т1) представлена на рис. 1.

Допустим, в результате измерений Т (г, Т1) = 4,0 °С, что соответствует линии неопределенности - кривой АВ. Приведем расчет интервалов неопределенности с графической интерпретацией.

1. Произведем проекцию кривой АВ на плоскость осей (Х2; а2} получив, таким образом, кривую СБ.

2. Проекция кривой СБ на ось {а2} даст отрезок СЕ - интервал неопределенности, в котором находится искомая величина коэффициента температуропроводности исследуемого материала.

3. Проекция кривой СБ на ось {Х2} даст интервал неопределенности, равный диапазону измерений коэффициента теплопроводности.

_ r

(4)

4

0.2-1 (Г ВТ/(М-К)

Рис. 1 Многофакторная функция преобразования в момент времени Ті

М2/<

- 14.1 °С

- 11.3 л

2 0 Т(г, Ті)

В результате расчетов определены интервалы неопределенности коэффициентов температуро- и теплопроводности: ®2 6 [2,5; 7,7] -10—7 м2/с,

^2 6 [0,2; 1,1] Вт/(м-К). Коэффициент чувствительности изменения температу-

дa Дa [7,7 - 2,5]-10-7 -7

ропроводности к теплопроводности равен — и — =------------------------= 5,8 -10 .

дХ ДХ 1,1 - 0,2

Вклад в абсолютную систематическую погрешность определения коэффициента температуропроводности абсолютной погрешности коэффициента теплопроводности,

да —7 —8 2

например, равной Д = 0,01 Вт/(м-К), составит —Дс = 5,8-10 -0,01 и 1-10 м /с, и

дХ

следовательно, пренебрегать данным слагаемым частной погрешности нецелесообразно.

МФП для Т (г, Т2) будет иметь вид, подобный иллюстрации рис. 1, следовательно, — ^ 0, что вносит дополнительное слагаемое в абсолютную системати-

да

ческую погрешность определения коэффициента теплопроводности.

При расчете ТФС по формулам (4) при Т (г, Т2) = 5,0 °С получим:

й2 = 2,3 -10-7 м2/с; Х2 = 0,42 Вт/(м-К), что указывает на методическую ошибку определения коэффициента температуропроводности (й2 не входит в интервал неопределенности коэффициента температуропроводности) в связи с выводом расчетных соотношений на основании упрощенного выражения (3).

Произведенные расчеты показывают, что теплофизические измерения в системе тел, состоящей из двух полуограниченных материалов, характеризуются сложной МФП с наличием линий неопределенности. Одному и тому же сигналу иву (в частности Т (г, т)) соответствуют определенные интервалы значений нескольких факторов (коэффициентов тепло- и температуропроводности исследуемого материала), что указывает на наличие дополнительных слагаемых в абсолютной систематической погрешности определения ТФС.

Метод максимальных значений температур. Метод определения ТФС материалов состоит в измерении точки максимума температуры Ттах = Т (г, ттах)

[6]. Откликом ВУ являются: время наступления максимума температуры и значение этой температуры. Для расчета ТФС используют выражения:

г2 О

а =—-----------------, Х =-^----. (5)

4 т 2 еп Т т

^ ^тах ^с/итах ^тах

Многофакторная функция преобразования для ттах на основании (2) представлена на рис. 2. Допустим, в результате измерений ттах = 10 с, что соответствует линии неопределенности - кривой АВ.

Произведем расчет коэффициента чувствительности изменения температуропроводности к изменению теплопроводности. Спроецировав кривую СБ на ось {а2}, получим отрезок СЕ - интервал неопределенности значений коэффициента

температуропроводности а2 6 [6,9; 9,5] -10_7 м2/с. Интервал неопределенности коэффициента теплопроводности равен диапазону измерений Х2 б[0,2; 1,1] Вт/(м-К).

да Да [9,5 - 6,9]-10“7 —7

Коэффициент чувствительности равен — и — =--------------------= 2,9 -10 , что

дХ ДХ 1,1 - 0,2

Г/2 Ю

С

4

- т

тах

Вт/(м-К)

Рис. 2 Многофакторная функция преобразования для ттах

почти в два раза меньше, чем для метода абсолютных значений температур. МФП для Т (г, ттах ) будет иметь вид, подобный иллюстрации рис. 1 и, следовательно

^ 0.

да

При расчете ТФС по формулам (5) при Т (г, ттах)= 6,6 °С получим: а2 = 6,3-10-7 м2/с; ^2 = 0,89 Вт/(м-К), т.е. коэффициент температуропроводности содержит дополнительную погрешность, т.к. а2 не входит в интервал неопределенности Да. Данная методическая погрешность связана с тем, что выражения (5) выведены на основании упрощенной математической модели (3).

Полученные результаты показывают, что по сравнению с абсолютным методом метод максимума температуры является более точным, т.к. в систематическую погрешность определения коэффициента температуропроводности коэффициент влияния частной погрешности от теплопроводности имеет меньший вклад.

Метод наперед заданного отношения температур. Сущность метода состоит в регистрации момента времени то, когда соотношения между температурами в двух точках контроля Г1 и Г2 (0 < Г[ < Г2) достигнет определенного, наперед заданного соотношения Т {г\, Т0) = пТ (, Т0), п > 1 [7]. Расчетные выражения для ТФС имеют вид:

а=

г2

4 Т0 1п( п)

Х=-

б

2пТ( Г1, Т0)Т0

ехр < - 1п( п)-

(6)

Г2

Пусть Г1 = 5-10" м, Г2 = 7-10" м, п = 5. Откликом ВУ являются: время наступления наперед заданного отношения температур и значение температуры в этот момент времени. Многофакторная функция преобразования для Т0 представлена на рис. 3.

Допустим, в результате измерений Т0 = 5,5 с, что соответствует линии неопределенности - кривой АВ, а Т (Г1, Т0) = 5,8 °С. Интервал неопределенности ко-

2

I

То

эффициента температуропроводности составит а2 е[8; 9,5]-10 м2/с, а коэффициента теплопроводности ^2 6 [0,2; 1,1] Вт/(м-К), откуда коэффициент чувстви-

тельности равен

да Да [9,5 - 8]-10

дХ ДХ

1,1 - 0,2

= 1,7-10

-7

да

Для значений Т0 б[20; 44] с, коэффициент чувствительности —и 0. Из

дХ

этого следует, что абсолютная систематическая погрешность определения коэффициента температуропроводности не зависит от абсолютной погрешности коэффициента теплопроводности и ее величина будет иметь меньшее значение, чем для выше рассмотренных методов.

Однако МФП для Т (Г[, Т0) будет иметь вид, подобный иллюстрации на

дХ ) 7 2

рис. 1 и, следовательно, —Ф 0. На основании (6) получим: а2 = 6,8-10- м/с;

да

Х2 = 0,93 Вт/(м-К). Так как а2 не входит в интервал неопределенности Да, следовательно, выражение для расчета коэффициента температуропроводности содержит дополнительную методическую ошибку.

Метод интегральных значений температур. Одним из откликов ВУ может выступать значение температуры, интегрированное по времени. Сущность такого подхода заключается в регистрации в заданной точке контроля г значения температуры £, интегрированного на интервале времени [т1 , Т2 ],

Т2

£ = | Т (г, т ) й т .

Т1

Пусть Т1 = 1 с, а Т2 = ттах (МФП, см. рис. 2). Многофакторная функция преобразования для £ представлена на рис. 4, где кривая ЕО представляет собой линию неопределенности при £ = 50 °С-с.

эС-с

s

7/ 2 10

1.0 Вт/(м-К)

0,2

^2

Рис. 4 Многофакторная функция преобразования для £ Выражение для расчета коэффициента теплопроводности имеет вид

е

х = -

2 nS J т

т1

(7)

В результате проецирования кривой Ш на ось {Х2} интервал неопределенности коэффициента теплопроводности составит Х2 6 [0,59; 0,6] Вт/(м-К), а коэффициента температуропроводности а2 6 [1; 10]-10-7 м2/с, откуда коэффициент

дХ ДХ 0,6 - 0,59 чувствительности равен — и — =--------------------

да Да

= 11111,1. Полученный резуль-

[10 -1] -10-7

тат показывает, что вклад в абсолютную систематическую погрешность определения коэффициента теплопроводности абсолютной погрешности коэффициента

температуропроводности, например, равной Дс = 1-10

-8

м2/с,

составит

дХ

— Дс = 11111,1 -1 -10-8 и 0,0001 Вт/(м-К), и следовательно, данным слагаемым

да

частной погрешности можно пренебречь.

Для выбранных значений ттах = 10 с, а2 = 6,3-10-7 м2/с на основании (7)

имеем Х2 = 0,93 Вт/(м-К).

Из полученных результатов следует, что интегральное значение температуры является эффективным параметром для определения коэффициента теплопроводности, а расчетное выражение (7), полученное на основании упрощенной формулы (3), вносит дополнительную методическую погрешность.

Сравнительный анализ рассмотренных импульсных методов показывает, что для уменьшения абсолютной систематической погрешности идентификации ТФС материалов выходными параметрами ВУ должны быть: время наперед заданного отношения температур Т0 и интегральное во времени значение температуры £.

При этом Т0 обратно пропорционально коэффициенту температуропроводности (рис. 3), £ обратно пропорционально коэффициенту теплопроводности (рис. 4) исследуемого материала.

Таким образом, предложенная методика расчета коэффициента чувствительности на основе построения МФП позволяет оценить значения частных погрешностей, входящих в абсолютную систематическую погрешность определения коэффициентов температуро- и теплопроводности как для известных, так и для вновь разрабатываемых методов.

Список литературы

1. Герасимов Б.И., Глинкин Е.И. Микропроцессоры в приборостроении: Практическое руководство к применению. - М.: Машиностроение, 2000. -С. 25-120.

2. Глинкин Е.И., Фесенко А.И., Ищук И.Н. Анализ новых импульсных способов контроля теплофизических свойств материалов // Тезисы докл. IV между-нар. теплофизической школы, 24-28 сентября 2001 г. - Тамбов: Изд-во ТГТУ, Часть 1. С. 54-57.

3. Зыбов В.Н. Многофакторные измерения в точках неоднозначности // Метрология. - 2002, №2. - С. 3-11.

4. Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 183 с.

5. Фесенко А.И., Маташков С.С. Частотно-импульсный метод определения теплофизических характеристик твердых материалов // Инженерно-физический журнал. - 1998. - Т.71, №2. - С. 338.

6. Фомин С.А., Петров О.А., Вирозуб А.И. Импульсный метод определения ТФХМ без нарушения их сплошности // Расчет конструкций подземных сооружений. - Киев, 1976. - С. 66-71.

7. А.с. 834480 СССР, МКИ в 0Ш 25/18. Способ определения теплофизических характеристик материалов / В.Н. Чернышов и др. - 1979. - Б.И. №20.

Analysis of Sensitivity of Two-Factor Thermophysical Measurements

IN. Ichshuk

Department “Impulse Equipment and Electronic Devices ",

Tambov Military Aircraft Engineering Institute

Key words and phrases: absolute error; measurement range; sensitivity coefficient; methods of determining materials properties; multi-factor measurements; thermophysical properties.

Abstract: Method of calculating sensitivity coefficient of identification of thermophysical properties of materials when solving reverse heat conductivity task on the basis of designing multi-factor conversion function is suggested. Analysis of number of impulse methods is given as an example.

Analyse der Sensibilitat der zweifaktorischen warme-physikalischen Messungen

Zusammenfassung: Es wird die Methodik der Berechnung des Koeffizienten der Sensibilitat der Identifizierung der warme-physikalischen Eigenschaften der Stoffe bei dem Beschluss der ruckgangigen Aufgabe der Warmeleitfahigkeit aufgrund der Konstruktion der vielfaktorischen Funktion der Transformation vorgeschlagen. Als Bei-spiel ist die Analyse der Reihe der Impulsmethoden durchgefuhrt.

Analyse de la sensibilite des mesures thermophysiques a deux phases

Resume: On propose la methode du calcul du coefficient de la sensibilite de l’identification des particularites thermophysiques des materiaux au cours de la solution du probleme inverse du transfert de la chaleur a la base de l’execution de la fonction de la conversion a plusieurs facteurs. En qualite d’exemple on cite l’analyse d’une serie des methodes a impulsions.

ISSN 0136-5835. BecTHHK TrTy. 2003. Tom 9. № 2. Transactions TSTU. 195