CC BY
21
Анализ абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем посредством вычисления иннорных определителей
В.Н. Смоляков
Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики,
Ростов-на-Дону
Аннотация: Предлагаются рекуррентные математические выражения, позволяющие посредством разработанной программы определить коэффициенты специального полинома, получаемого из передаточной функции нелинейной импульсной системы любого порядка. Приводится методика проверки строгой положительности полученного полинома (являющегося аналогом характеристического полинома системы) по знакам определителей иннорной матрицы и тем самым определить факт абсолютной устойчивости системы.
Ключевые слова: нелинейные импульсные системы, вычисление коэффициентов полинома, построение иннорных матриц, определение абсолютной устойчивости по знакам определителей инноров.
Критерий абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем (НИС) с неустойчивой или нейтральной линейной импульсной частью (ЛИЧ) имеет вид [1-3]:
1 + кЖ0'а>) -
Яв-> 0, Ую е [ — ж; + ж], (1)
1 + гЖ(/ю)
7
О = - + ]ю0), (2)
о т=—<&
где То - период квантования; ю0 - частота квантования; ю - круговая частота;
ЖО ю) - частотная характеристика ЛИЧ системы
Графическую проверку выполнения критерия (1) для систем с ЛИЧ высокого порядка практически выполнить сложно ввиду трансцендентности выражения (2). Используя ^-преобразование, можно перейти от трансцендентной функции (2) к алгебраической и тем самым исключить указанные трудности. Критерий (1) в этом случае примет вид:
Яв1+кжЛИЧ(м > о, (3)
1 + Г^ЛИЧ (№)
Где у = /V, V = tg(юT0/2) - относительная псевдочастота; характеристика Ф(о) нелинейного элемента (НЭ) удовлетворяет условию:
г < к, П < аФа < Ь, Ф(0) = 0 (4)
а а
Передаточную функцию ЛИЧ НИС представим в виде:
п
I
-= к0
I а у а2 + ]в
у
ГЛИЧ (У) = к0 - = к0 ^Щг, (5)
'=0
алу) = I (-1)' с2у-, а2(у) = I (-1) а 21у2'
ъ(У) = I (-1)4,V, а2^) = I (-1)'а 2
1=0 1=0 где 5 5 (6)
АИ = I(-1)4 V1, в(у) = I (-1)4
1=0 1=0
51
21+1
(-1) а 21+1 , 1=0 1=0
при п четном 5 = п/2, 5] = (п-2)/2; при п нечетном 5 = 5] = (п-1)/2; п - порядок Жлич (у), с и а - коэффициенты, выражаемые через параметры ЛИЧ НИС.
Подставляя (5) в (3), после преобразований получим неравенство, равносильное критерию (3):
к0 (к+г)[а](у)а2(у) + ШШ1 + к20тк[а21(у) + р21(у)] + ^(у) + Р22М =
1 п
=11а^к = Р(^2)>0, VV (7)
Т0 к=0
где ак-действительные числа
Таким образом, НИС будет абсолютно устойчива, если уравнение
Р(У2) = ^аку2к = 0
к=0
не будет иметь положительных вещественных корней для всех V. Подставляя (6) в (7), после преобразований получим:
п 5 5 г 1
р(V2) = I ак(у2) = 11 (-1)'+] [к((г+к)с21а2]+ к02тк с2гсу + а21а^2(+
к=0 1=0 ]=0
51 51 Г 1
+II (-1)'+] [[+к)с21+1а2]+1 + к02гк с21 + аШ1а2]+1 ] 2(1+)+2, '=0 ]=0
откуда следует:
а,.
2к -|
X (—1)к — [[ + к)сф
2к—1 + к0 Гк01С2к— г + ага2к-г
(8)
1=0
где с2к-= d2k-i = 0 при 2к-1 > п; 01 = ф = 0 при 1 > п.
Выражение (8) легко поддается процессу итерации и нахождение коэффициентов ак полинома Р(у2) водится к однородным вычислительным процедурам.
Для проверки строгой положительности полинома Р(у ) применим ин-норы [4 - 8]. Из коэффициентов ак образуем следующие иннорные матрицы:
ап ап-1 ап-2......................ао 0
0 ап ап-1 ап-2.................а0 0
А
2п-1
0
ап
ап-1 ап-2.........а0 0.
а„ ап-1 ап-2
Лз = 0 Л1=пап (п-1) ап-1
пап (п-1)ап-1 (п -2) ап2
......0 -
......0
.......0
,а0......0
..... а0
...........а1
.а1 0 а1 0 0
пап
(п-1)ап-1 (п-2) ап2............а1 0.
пап (п-1)ап-1 (п-2) ап2......................а1 0.
0 0
(9)
А
2п
ап ап-1 ап-2...............
0 ап ап-1 ап-2.....
0 0 ап ап-1
0......
0...............0
0..............0...
0............... Л 4=
0 ......
.а0 0..
......а0 0.
ап-2.
а0 0.
ап ап-1 а ап-2 ап-3
0 Л2= ап ап-111111 ап-2
0 пап (п-1)ап-1 (п-2)ап-2
пап (п-1)ап-1 (п-2) ап.2 (п-З)ап-з
.. 0 .. 0 ... 0
0 0 а0 0 а1 а0 а1 0 а1 0 0
0
пап
(п-1)ап-1 (п-2) ап2............а1.
. 0 0 0 0 0 0 0
(10)
пап (п-1)ап-1 (п-2) ап2......................а1......
Полином Р(у ) будет строго положителен, если [4]:
У2[1, -А2, А4,...,(-1)пА2п] = У1[1, А1, Аз,.,А2п-1] где А2, А4,.,А2п - иннорные определители 2, 4 ,...,2п-го порядка матрицы (10); А1, А3,.,А2п-1 - иннорные определители 1, 3 ,...,2п-1-го порядка
матрицы (9). При этом необходимым условием строгой положительности корней полинома является а0>0 и ап>0.
Для вычисления иннорных определителей, матрицы (9) и (10) можно привести к треугольной форме, используя алгоритм Гаусса [9]. Однако наличие в матрицах (9) и (10) левых треугольников нулей обеспечивает чрезвычайную эффективность алгоритма двойной триангуляризации [10, 11], позволяющего с минимальными вычислительными затратами найти значения иннорных определителей, выполнив в 2 - 4 раза меньше проходов по сравнению с алгоритмом Гаусса. На рис. 1 приводится обобщенная схема алгоритма анализа абсолютной устойчивости НИС, реализующая данную процедуру на ЭВМ.
Рис. 1 - Схема алгоритма анализа абсолютной устойчивости НИС Иллюстративный пример [1]: Проведем анализ абсолютной устойчивости НИС пятого порядка, передаточная функция ЛИЧ которой в w-форме имеет вид:
ЖЛИЧ (w) = 0,5
14,63ws - 189,29w4 + 71,704w3 + 84,824w2 + 17,5w +1 338,72w5 + 802,4w4612,8w3 + 150,16w2 + w '
Характеристика нелинейного элемента удовлетворяет условию (4) с параметрами г = 0,2; к = 5. В результате работы программы получим: Д1 = 0,3881 105; Аз = 2,5975 1015; А5 = 2,7599 1026; А7 = -6,5206 1035; Д9 = -2,621 1039 Д2 = 3,1181010; Д4 = -9,6403 1020; Д6 = 9,848 1039
Д8 = 1,0964 1038 Дю = 5,8027 1039. [■] = ¥2 [+,-,-,-, +,-] =3; VI = V! [+, +, +,-,-,-] = 1. Ряды ¥2[] и V1 неравны, следовательно, исследуемая НИС не является абсолютно устойчивой и необходима коррекция системы.
Литература
1. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973, 416 с.
2. Погорелов В.А., Соколов С.В. Основы синтеза многоструктурных бесплатформенных навигационных систем. Физматлит, 2009. 182 с.
3. Соколов С.В., Синютин С.А. Решение задачи тесной интеграции инерциально-спутниковых навигационных систем, комплексируемых с одометром. Инженерный вестник Дона, 2014, №4, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2716.
4. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука. 1979, 304 с.
5. Серпенинов О.В., Соколов С.В., Тищенко Е.Н. Криптографическая защита информации. МОН РФ, РГЭУ, 2011, 251с.
6. Смирнов Ю.А., Соколов С.В., Титов Е.В. Основы микроэлектроники и микропроцессорной техники. Лань, 2013, 656 с.
7. Sokolov S.V., Yugov Yu.M. Synthesis of integrated inertial and satellite navigational systems on the basis of stochastic filter, invariant to object model. ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences, vol. 10, № 1, January 2015, pp. 265-273.
8. Соколов С.В. Синютин С.А. Лукасевич В.И. Тесная интеграция инерциально-спутниковых навигационных систем, комплексируемых с одометром, на основе использования электронных карт. Инженерный вестник Дона, 2014, №4, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2717.
9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 5-е изд. М.: Физматлит, 2004. 560 с.
10. Jury I., Ahn S.M. A compulatioal algorithm for inners. IEEE Trans. on Automatic Control. 1972. V. AC-17, pp. 541 - 543
11. Смирнов Ю.А., Соколов С.В., Титов Е.В. Основы нано- и функциональной электроники. Лань, 2013, 448с.
References
1. Tsypkin Ya.Z., Popkov Yu.S. Teoriya nelineynykh impul'snykh sistem [The theory of nonlinear pulse systems]. M.: Nauka, 1973, 416 p.
2. Pogorelov V.A., Sokolov S.V. Osnovy sinteza mnogostrukturnykh besplatformennykh navigatsionnykh system [Basics of synthesis of multi-structured strapdown navigation systems]. Fizmatlit, 2009. 182 p.
3. Sinyutin S.A., Sokolov S.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2009, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2716.
4. Dzhuri E. Innory i ustoychivost' dinamicheskikh sistem. [Innory and stability of dynamic systems]. M.: Nauka. 1979, 304 p.
5. Serpeninov O.V., Sokolov S.V., Tishchenko E.N. Kriptograficheskaya zashchita informatsii [Cryptographic protection of information]. MON RF, RGEU, 2011, 251p.
6. Smirnov Yu.A., Sokolov S.V., Titov E.V. Osnovy mikroelektroniki i mikroprotsessornoy tekhniki [Fundamentals of microelectronics and microprocessor technology]. Lan, 2013, 656 p.
7. Sokolov S.V., Yugov Yu.M., ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences, vol. 10, № 1, January 2015, p. 265-273.
8. Sokolov S.V. Sinyutin S.A. Lukasevich V.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2009, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2717.
9. Gantmakher F.R. Teoriya matrits [The theory of matrices]. 5-e izd. M.: Fizmatlit, 2004. 560 p.
10. Jury I., Ahn S.M. IEEE Trans. on Automatic Control. 1972. V. AC-17, pp. 541 - 543.
11. Smirnov Yu.A., Sokolov S.V., Titov E.V. Osnovy nano- i funktsional'noy elektroniki [Basics of nanotechnology and functional electronics]. Lan, 2013, 448 p.
