CC BY
181
Библиографический список
1. Коненков Ю. К. Об изгибной волне «рэлеевского» типа // Акустический журнал. 196g. Т. б, вып. 1. С. 124-12б.[Konenkov Yu. K. A Rayleigh-Type Flexural Wave // Soviet Phys. Acoustics. 1960. Vol. 6, iss. 1. P. 122-123.]
2. Norris A. N. Flexural edge waves // J. of Sound and Vibration. 1994. Vol. 171. P. 571-573.
3. Thompson I., Abrahams I. D., Norris A. N. On the existence of flexural edge waves on thin orthotropic plates // J. Acoust. Soc. America. 2002. Vol. 112. P. 1756-1765.
4. Zakharov D. D., Becker W. Rayleigh type bending waves in anisotropic media // J. Sound and Vibration. 2003. Vol. 261. P. 805-818.
УДК 629
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОШИБОК БИНС, ФУНКЦИОНИРУЮЩЕЙ В НОРМАЛЬНОЙ ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВИЖЕНИЯ ВДОЛЬ ЭКВАТОРА С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ НА ПОСТОЯННОЙ ВЫСОТЕ
М. Ю. Логинов1, М. Г. Ткаченко2, Ю. Н. Челноков3
1 Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратов E-mail: mike.loginov@gmail.com 2Автономный университет Мехико E-mail: mich@xanum.uam.mx 3Саратовский государственный университет E-mail: chelnokovYuN@gmail.com
В работе получено в явном виде аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС), функционирующей в нормальной географической системе координат, для случая движения с постоянной скоростью и на постоянной высоте вдоль земного экватора. Решение представлено в удобном для исследования виде, описывает влияние неточного задания начальных условий интегрирования на точность нахождения параметров навигации и справедливо в случае отсутствия инструментальных погрешностей гироскопов и акселерометров. Полученное решение может быть использовано при анализе точности работы БИНС.
Ключевые слова: инерциальная навигация, бесплатформенные инерциальные навигационные системы, ошибки БИНС, аналитическое решение уравнений ошибок, экватор.
Analytical Solution of Linear Differential Error Equations of Strapdown Inertial Navigation System, Functioning in the Normal Geographic Reference Frame, for the Case of an Object, Following the Geographical Equator
M. Yu. Loginov, M. G. Tkachenko, Yu. N. Chelnokov
Analytical solution of linear differential error equations of the strapdown inertial navigation system, functioning in the normal geographic reference frame, for the object, following the Earth equator with constant speed and on the constant height, is derived. The solution is represented in the form, which is convenient for the analysis. The roots of the auxiliary equation are derived in the explicit form. Obtained results can be used, for example, for analysis of the accuracy of strapdown inertial navigation system.
Key words: inertial navigation, strapdown inertial navigation systems, strapdown INS errors, analytical solution of error equations, equator.
ВВЕДЕНИЕ
При построении алгоритмов функционирования БИНС используются так называемые уравнения идеальной работы БИНС, т.е. дифференциальные и функциональные соотношения, связывающие проекции векторов кажущегося ускорения и абсолютной угловой скорости объекта, измеряемые чувствительными элементами БИНС (при условии их идеального функционирования), с навигационными параметрами (координатами местонахождения и проекциями скорости) и параметрами ориентации. Возможны различные варианты таких уравнений [1-4]. В данной работе используются уравнения идеального функционирования БИНС в нормальной географической системе координат (НГСК), в которых в качестве промежуточных кинематических параметров ориентации используются параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) [4-10]. Эти уравнения используются в настоящее время для построения высокоточных алгоритмов функционирования современных отечественных БИНС, построенных на волоконно-оптических или лазерных гироскопах и кварцевых акселерометрах.
В работе [11] для этих уравнений выведены полные и линеаризованные дифференциальные урав-
нения ошибок, которые позволяют изучать влияние на работу БИНС погрешностей чувствительных элементов (акселерометров и гироскопов), ошибок начального задания параметров ориентации и навигации, а также законов движения объекта. Для аналитического исследования, как правило, используются линеаризованные дифференциальные уравнения ошибок БИНС. В некоторых частных случаях движения объекта становится возможным найти аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок. В работе [1] В. Д. Андреевым построены аналитические решения линейных дифференциальных уравнений ошибок определения декартовых координат объекта в инерциальной системе координат для случаев, когда объект неподвижен в инерциальной системе координат; движется с постоянной в инерциальной системе координат скоростью в неподвижной относительно инер-циальной системы координат плоскости, проходящей через центр Земли; движется с постоянной скоростью по параллели. Последний случай включает в себя, как частные, случай неподвижного по отношению к Земле объекта (рассмотренный В. Д. Андреевым в приближённой постановке) и случай движения объекта с постоянной скоростью вдоль экватора. Решение, построенное в последнем случае с использованием преобразования Карсона-Хевисайда, по мнению В. Д. Андреева, громоздко и трудно обозримо. Более того, для корней характеристического уравнения интегрируемых уравнений ошибок, которые входят в построенное решение, в работе [1] не получены явные выражения через коэффициенты исходной системы.
Отметим, что аналитические решения дифференциальных уравнений ошибок для частных случаев движения объекта позволяют установить свойства уравнений функционирования БИНС, а также аналитически оценить влияние неточного задания начальных условий интегрирования и инструментальных погрешностей БИНС на точность нахождения параметров ориентации и навигации.
В данной работе подробно рассматривается построение аналитического решения линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС [11] для случая движения объекта вдоль земного экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте при отсутствии погрешностей гироскопов (измерителей угловой скорости) и акселерометров. Таким образом, полученное решение позволяет установить свойства уравнений функционирования БИНС в данном конкретном случае движения, а также аналитически оценить влияние неточного задания начальных условий интегрирования на точность нахождения параметров навигации. Решение справедливо в случае отсутствия инструментальных погрешностей гироскопов и акселерометров, представлено в удобном для исследования виде, а для корней характеристического уравнения интегрируемых уравнений ошибок получены явные выражения.
1. ИСХОДНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассматривается задача инерциальной ориентации и навигации объекта в географической опорной системе координат, решаемая с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы, имеющей в своем составе 3 ньютонометра и пространственный измеритель абсолютной угловой скорости, жестко закрепленные на борту объекта, и бортовой вычислитель. Считается, что в задачу инерциальной навигации входит определение ориентации объекта относительно географического сопровождающего трехгранника (параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона), а также углов ориентации объекта: географического курса, углов рыскания, тангажа и крена), проекций линейной скорости движения объекта относительно Земли на оси географического сопровождающего трехгранника, криволинейных географических координат местоположения объекта. В качестве исходной информации для решения этой задачи принимаются проекции векторов кажущегося ускорения и абсолютной угловой скорости объекта на связанные с ним оси (или приращения интегралов от них), формируемые чувствительными элементами БИНС.
При рассмотрении задач ориентации и навигации объекта используются следующие системы координат:
ОхХ*Х**Х* (X*) — геоцентрическая инерциальная система координат с началом в центре масс Земли, принимаемой за эллипсоид вращения. Ось X* направлена по полярной оси Земли (вдоль вектора и угловой скорости вращения Земли); оси X*, X* расположены в плоскости экватора и не участвуют в суточном вращении Земли;
ОхпхП*Пз (п) — геоцентрическая система координат, жестко связанная с Землёй. Ось пХ направ-
лена по оси X*; оси п2, Пз расположены в плоскости экватора, причём ось п2 совпадает с линией пересечения плоскости экватора и гринвичского меридиана;
02Z'Z2^3 ') — нормальная географическая система координат (или НГСК), начало 02 которой совпадает с одной из точек объекта (точкой местоположения чувствительных масс ньютонометра). Ось Z2 направлена по географической вертикали вверх, ось Z' — вдоль касательной к меридиану ^-эллипсоида на север, ось Z3 —вдоль касательной к параллели на восток;
02У1У2У3 (У) — связанная с объектом система координат. Ось У1 направлена по продольной оси объекта, ось У2 — по нормальной, а ось У3 — по поперечной.
Все введённые системы координат являются правыми. Схемы поворотов координатных трёхгранников приведены на рисунке. Здесь ц = ц0 + иЬ (ц — значение угла разворота системы координат п относительно X*, ц0 — значение этого угла в начальный момент времени, и — угловая скорость вращения Земли, Ь — время); Л, ф — географическая долгота и широта местонахождения объекта; ф — географический курс объекта; 7 — углы тангажа и крена.
Л1
а б в
Схемы поворотов координатных трёхгранников: а — для систем координат X* и п; б — для систем координат п и Z'; в — для систем координат Z' и У
Взаимная ориентация введённых координатных трёхгранников задаётся параметрами Эйлера в соответствии со схемой поворотов
X *
У ~ X * ^ Z' У,
где Л^ и к (] = 0,1, 2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию объекта (трёхгранника У) относительно трёхгранников X* и Z' соответственно; (] = 0,1, 2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию НГСК относительно инерциальной системы координат X*; и — вектор абсолютной угловой скорости вращения объекта (системы координат У).
Рассмотрим исходную систему уравнений инерциальной ориентации и навигации объекта относительно нормальной географической системы координат, являющихся уравнениями идеального функционирования БИНС в НГСК [4,6-8,10]:
Ум = ам + ивУн - (ин + ин) уе, Ун = ан - ивУм + (им + им) Ув - д, уе = ав + (ин + ин) Ум - (им + им) Ун;
2К = ПшК - Пкиъ' = (пш - ШШг') к, К = (ко, К1, К2, К3 ) , иъ' = (0, им ,ин ,ив) ;
-Л = уе / (Д1 соэ ф), ф = Ум/#2, Н = ун/а; им = им + Уе/#1, ин = ин + (уе ^ ф) /#1, ив = -Ум/#2, им = и соэ ф, ин = и эт ф;
#1 = (а + Н) /а, #2 = (а + Н)(1 - в2) /а3
Ко К2 - К1 К3 Ко К1 - К2 К3
^ ^ = -Д
= (1 -
в эт
1/2
^ ф = --
к2 + к2 - 0, 5'
Ко + к2 - 0, 5'
эт § = 2 (К1К2 + коК3) ;
а
аг' = пК тК а,
аz' = (0, ан, ан, ад), а = (0, а1, а2, а3); д = део а2 (1 + 6 Бт2 р) / (а + Н)2 .
Здесь (к = N Н, Е) — проекции относительной скорости объекта (скорости точки 02 системы координат У относительно земной поверхности) на оси НГСК; аг (г = 1, 2,3) и а^ (к = Ж, Н, Е) — проекции вектора кажущегося ускорения (ускорения, измеряемого пространственным ньютонометром) на объектовые оси и на оси НГСК; шг (г = 1, 2, 3) и Шк (к = N Н, Е) — проекции векторов абсолютных угловых скоростей вращения объекта и НГСК на объектовые оси и на оси НГСК; Н — высота местонахождения объекта; пК, тК, пш, т^ — кватернионные матрицы типов п и т [4] (см. ниже); g — модуль ускорения силы тяжести, и = 7, 29 ■ 10-5 с-1 — угловая скорость суточного вращения Земли, е2 = 0, 006692 — квадрат первого эксцентриситета, а = 6378245 м — большая полуось земного эллипсоида вращения Красовского, део = 9, 78049 м/с2, 6 = 5, 317 ■ 10-3.
Используемые в описанных выше соотношениях кватернионные матрицы п и т типов имеют следующий вид (для любого кватерниона 1):
По -11 —¿2 —1з\
п(1) =
¿1 ¿0 12 —13
13 —12 1о 11
т(1) =
13 12 —11 1о
10 —11 —12 —13
11 1о —13 12
12 13 1о —11
13 —12 11 1о
Матрицы пш и mшZ' выглядят так:
пш =
0 —Ш1 —^2 — 0 —Шн —ше\
Ш1 0 Ш3 —^2 , т^ = Шн 0 —ше Шн
Ш2 —Ш3 0 Ш1 Шн ше 0 —ШН
\Ш>3 Ш2 —Ш1 0 \ШЕ —Шн Шн 0
2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОШИБОК
Введём замену переменных следующим образом:
ур = у*р + Дг>р (р = Ж,Н,Е), Н = Н * + ДН, А = А* + ДА, р = р* + Др, к = к* + Дк,
к = (к0 , к*, к2, к3) ,
Дк = (Дко, Дк1, Дк2, Дк3) ,
с К ц = СК г] + ДСк Ц (м = 1, 2, 3), аг = а* + Даг, Шг = ш* + Дшг, (г = 1, 2, 3).
В этих соотношениях величины с верхним индексом «*» обозначают точные (невозмущённые) значения параметров, а величины со знаком Д — отклонения параметров от их точных значений. Таким образом, Дг>р (р = N Н, Е) — ошибки определения проекций относительной скорости объекта на оси НГСК; ДН, ДА, Др — ошибки определения высоты, долготы и широты объекта; Дк& (к = 0,1, 2, 3) и ДСКг^ (г, ] = 1, 2,3) — ошибки определения ориентации объекта относительно НГСК в параметрах Родрига-Гамильтона и направляющих косинусах; Даг, Дшг (г = 1, 2,3) — инструментальные погрешности акселерометров и гироскопов соответственно.
Система линейных дифференциальных уравнений ошибок определения географических координат и проекций относительной скорости объекта может быть записана в матричном виде следующим образом [11]:
ДХ = АДХ + В, (1)
где
А^С = (ДУм, ДУн, ДУЕ, ДЯ, Дф, ДЛ) , ДX = (Дум, Дун, Дуе, ДН, Дф, ДЛ)Т ,
В = (01,02,03,0,0,0)т , 0г = ^ С^- Да^ + ^ Q
33
* Qгj а**, Q = С: ДСТ
5=1 j=1
(2)
В этих соотношениях С* — матрица невозмущённых значений направляющих косинусов, характеризующих ориентацию НГСК относительно инерциальной системы координат X *, ДСл — матрица направляющих косинусов, описывающая ошибку определения ориентации объекта относительно инер-циальной системы координат X *, а элементы aгj = 1, 2,3,4, 5, 6) матрицы А выглядят следующим образом:
а = -н а = и * а = 2и * а . (ин - ин) УЕ - иЕ-н
а11 = - Я*, а12 = иЕ, а13 = -2ин, а14 = -а + Н *-'
а = а * 2и* У * У м им) УЕ + (УЕ
а15 = -ан - 2им уе---—---ь
(им - им) -в , (-Е)2 в2 Э1П2 ф * У * у*в2 Эп ф * соэ ф *
соэ2 ф *
(а + Н *) а *
+ 3
-м-н в Э1п ф соэ ф Я* (1 - в2)
а1б = -аЕ э1п ф*, а21 = -2иЕ, а22 = 0, а23 = 2им,
а24 =
иЕ-м - (им - им) -в + 2д* (а + Н*)
* о * * 2деоа25 э1п ф * соэ ф * (-м) в2 э1п ф * соэ ф * (-Е) в2 э1п ф * соэ ф *
а25 = ам - 2ин -в -
( аа + Н )
Я* (1 - в2) (а + Н*) а *
а2б = ае соэ ф, а31 = ин + ин, а32 = -им - им,
а33 =
-м tg ф * - у *
н
Я*
а34 =
(им - им) -н - (ин - ин) -м
а + Н *
а 2и * У * + 2и * У * + (им - им) -м + УЕв2 э1п ф * (-н соэ ф * - -мэ1п ф *)
а35 = 2им -м + 2ин-н +--^—---Ь
соэ2 ф *
а3б = ам Э1п ф - ан соэ ф ,
(а + Н*) а *
а41 = 0, а42 = 1/а *, а43 = 0, а44 = 0,
а45 = -нв2 э1п ф * соэ ф * ^(а * )3 , а46 = 0, а51 = 1/Я*, а52 = 0, а53 = 0,
а54 =
м
Я* (а + Н *)' 1
а55 = -3
-м в2 э1п ф * соэ ф *
Я* (1 - в2)
а5б = 0, аб1 = 0, аб2 = 0,
а63 =
Я * соэ ф
, а64 =
я * соэ ф * (а + Н *)
-Е э1п ф * -в в2 э1п ф *
, а65 = - , ГГЧ . * , а66 = 0-
#1 соэ2 ф * (а + Н) а *
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЙ ОШИБОК
При выводе изучаемых дифференциальных уравнений ошибок используется следующее матричное соотношение [11]:
Дам Дан ДаЕ
= Дф
/0 -1 0\ /ам\ 100 000
0
+ ДЛ
+ (СК )т
аЕ Да1 Да2
Да3
0
00
уэ1п ф * соэ ф *
+ С,* ДСТ
а1 а2 а3
Э1П ф
соэ ф * 0
ам
+
аЕ
(3)
где СК — матрица направляющих косинусов, описывающая точную (невозмущённую) ориентацию объекта относительно НГСК. Соотношение (3) описывает погрешности Дам, Дан, ДаЕ определения проекций кажущегося ускорения объекта на оси НГСК. Они используются при построении уравнений
*
*
У
Е
а
ошибок определения проекций Дун, Дун, Дуе относительной скорости объекта. Отметим, что неоднородная часть В в уравнениях (1) появляется из третьего и четвёртого слагаемых в правой части соотношения (3).
Будем считать, что инструментальные погрешности гироскопов и акселерометров отсутствуют, т.е. Дау = 0, Дшу = 0 (^ = 1, 2,3). Тогда третье слагаемое в правой части (3) обращается в нуль. Кроме того, учтём, что
дс7
а1 а2 а3
= ДсТ ск
ан
\аЕ/
СК = с* (с;*)7,
где С* — матрица направляющих косинусов, описывающая точную (невозмущённую) ориентацию объекта относительно инерциальной системы координат X*. С учётом этого соотношения, четвёртый член в правой части соотношения (3) примет вид
/а*Л
с* ДСТ С* (С* )т
ан
\аЕ/
(4)
Линейные дифференциальные уравнения ошибок определения ориентации объекта в инерциаль-ной системе координат имеют аналитическое решение, из которого при отсутствии погрешностей гироскопов следует [1,4]:
ДСА(¿) = С*(£) (С* (¿о))Т ДСЛ(¿о). (5)
Подставляя (5) в (4), получим:
С*ДСТ (¿о )С* (¿о)(с*)т с* (С*)
/а%\
ан
\аЕ/
= С^ДСТ (¿о )С* (¿о)(С^)т
н
\аЕ/
(6)
Матрица направляющих косинусов С*, описывающая точную ориентацию НГСК относительно инерциальной системы координат X*, для случая движения объекта по экватору выглядит следующим образом:
1 0 0
С* =
0
соб а:
а:
а: = ^+и+а*
(7)
\0 — б1П а: СОБ а: у
Учитывая (7), а также условие аН = аЕ = 0, справедливое в случае движения объекта вдоль экватора, из (6) получаем новый вектор-столбец:
Ь = ан
а12 СОБ а:+а13 Б1П а:
А22 СОБ2 а: + (А32 + А23) СОБ а: эт а: + А33 Бт2 А А32 соб2 а: + (А33 — А22) СОБ а: эт а: — А23 ЙШ2 А
(8)
где Ау (г,^ = 1, 2,3) — элементы матрицы ДС^(¿о)С*(¿о).
Таким образом, в случае движения объекта вдоль экватора при отсутствии инструментальных погрешностей гироскопов и акселерометров вместо соотношений (1)-(2) получаем уравнения
ДХ = АДХ + Ь,
(9)
где вектор-столбец Ь описывается соотношением (8) и отражает влияние неточного задания начальной ориентации объекта в инерциальной системе координат на вектор ДХ ошибок определения параметров навигации.
4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
При невозмущённом движении объекта вдоль экватора с постоянной скоростью «Е на постоянной высоте Н*, при условии, что Земля — сфера, т.е. а = 1 и е2 =0, будем иметь:
< * =0, а^ = аЕ = 0, аЕ = 9 * - 2и-иЕ - («Е )2/ Я * , = и + «Е/Я * ,
<х>Е = <^Е = о,
«Е = «Е = °
Я * = а + Н *, 9 * = 9еоа2/(Й + Н *) .
Учитывая эти соотношения, рассмотрим однородную систему, соответствующую линейной неоднородной системе (9) дифференциальных уравнений ошибок определения проекций относительной скорости объекта и его криволинейных координат:
где
ДХ = АДХ,
ДХ = (Дзд, Дия, Д«Е, ДН, Д<, ДА)7 ,
(10)
А =
0 0 0 0 -9 0
0 0 а24 0 0
0 -2и - «Е/Я* 0 0 0 -аЕ
0 1 0 0 0 0
1/Я* 0 0 0 0 0
0 0 1/Я* -«V (Я * )2 /
а24 = 29*/Я* - («Е/Я* )2 . Рассмотрим обычную систему линейных уравнений:
(А - вЕ) е = 0,
(11)
(12)
где в — число (вещественное или комплексное), е = (а15а2, а3,а4,а5, а6) . Из системы (11) найдём возможные значения в и соответствующие им собственные векторы е. Перепишем систему (11) в скалярном виде:
-ва1 - 9* а5 = 0, -ва2 + аз + а24а4 = 0,
- (2и + «Е/Я *) а2 - ва3 - аЕа6 = 0, а2-ва4 = 0, а1 /Я1 - ва5 = 0, а3/Я* - а4«ЕI(Я * )2 - ва6 = 0.
Из первого и пятого уравнений системы (12) находим
а1 = -а59* /в , а1 = Я* ва5.
Следовательно, имеются две возможности:
(а) Я* в = -9* /в, откуда в1,2 = ±\/ 9 * /Я * ■ г (г — мнимая единица);
(б) а1 = а5 = 0, и собственные значения в следует определять из второго, третьего, четвёртого и шестого уравнений системы (12).
В случае (а) можно положить а2 = а3 = а4 = а6 = 0, а5 = 1, и из равенства а1 = Я *ва5 получим а1 = 9 * /Я * ■ г. Таким образом, найдены два собственных вектора:
в1 =
^9* /Я* ■ г; 0; 0; 0; 1; 0^ , = (-у/ 9 * /Я * ■ г;0;0;0;1;0^ ,
соответствующих собственным значениям в1 = л/д*/Л* ■2 и в2 = -л/д*/Л* ■ 2.
Рассмотрим случай (б). Из четвёртого уравнения системы (12) находим «2 = в«4 и полученное значение для «2 подставляем во второе, третье и шестое уравнения системы (12). Получаем:
2^Е«3 + («24 - в2) «4 = 0,
- (2и + -Е/Л*) в«4 - в«з - «Я«6 = 0, (13)
а3/Л* - «4-е/(Л*)2 - в«6 = 0.
Из первого уравнения системы (13) находим
«з = (в2 - 024) «42^Е • (14)
Подставляя полученное значение а3 во второе и третье уравнения системы (13), находим:
в (с -Е в2- а24\ 1 (в2 — «24 -ЕА
«6 = 2и + -Е + в ,* 24 «4, «6 =^^ - У* «4. (15)
«я V Л* у Л* в V 2<^Е Л*
Для совместимости двух последних уравнений необходимо, чтобы
__^ Л + -Е + в2 - 024 ^ = 1 в2 - 024 -Е
V R* 2<^Е / R* в V 2<^Е R*
Отсюда после несложных преобразований получаем биквадратное относительно в уравнение:
в4 + в2 [2^Е (2u + vE/R* ) - a24 + aH/R* ] - («24 + 2^ЕvE/R*) «H/R* = 0.
Можно показать, что в широком диапазоне высот H* и скоростей vE полученное уравнение имеет два действительных и два чисто мнимых корня. Это условие перестаёт выполняться при достиже-
/ * i * i ^ / * Nmax\
нии некоторой максимальной скорости (vE) (т.е. при |vE| > (vE) ), которая на нулевой высоте равна (vE)max ~ 7440 м/с и с ростом высоты убывает по закону, близкому к линейному. Так, для высоты H* = 100 км максимальная скорость приблизительно равна (vE)max ~ 7370 м/с , а для высоты H* = 1000 км (vE)max ~ 6820 м/с.
Пусть вз и в4 — вещественные корни, а вб и вб — чисто мнимые. Тогда
вз = -в4 = VPi, вб = -вб = VP2,
Р1 = -^Е (2u + vE/R* ) + («24 - «H/R* )/2 +
1 г 2 1 1/2
+2 [(2^Е (2u + vE/R*) - «24 + «H/R* )2 + 4aH («24 + vE/R* )/R* J ,
P2 = -^Е (2u + vE/R*) + («24 - «H/R* )/2 -
1 г 2 n1/2
- [(2^Е (2u + vE/R*) - «24 + «H/R* )2 +4«H («24 + 2^ЕvE/R* )/R*J
Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям. Из соотношений (14), (15) и четвёртого уравнения системы (12) находим при «4 = 1
«2г) = вг, «3г) = (в2 - «24)/2^Е , «6г) = -вг ^ + -Е/Л* + «3^) /«Я ,
где 2 = 3,4, 5, 6. Отметим, что «34 = «33, «64) = -«63, «36 = «35 и «66) = -«65) • Таким образом, имеем:
ез = (0; в3; «33); 1; 0; «63)) , = (о; -в3; «33); 1; 0; -«63)) ,
е5 = (0; в5; «(5); 1; 0; «65)) , е6 = (0; -в5; «(5); 1; 0; -«65)) • Фундаментальная система решений уравнения (10) имеет вид
W(£) = (е1 ев1*, е2ев2*, езевз*, е4вв4*, е5ввбебвве') ,
где е^ (2 = 1,6) — векторы-столбцы.
Обозначим а65) = /i, в1 = оi, в5 = /i, где г, о;, Д — действительные числа, причём £ = фg*/R *. Тогда, в соответствии с теорией дифференциальных уравнений, общее решение линейной однородной системы (10) запишется в виде
дх (t) = w (t) сс' = (C1, C2, C3, C4, C5, C6 )T,
или в скалярной записи в виде
Дзд = д/g *R * [C2 cos соt — C1 sin соt], Д-VH = вз [Сзевз* — C4е-вз*] + Д [Ce cos(/t) — C5 sin(/t)], Дve = «33) [Сзевз* + С4е-вз*] + а35) [С5 cos(/t) + Ce sin(/t)], ДН = Сзевз* + С4е-вз* + С5 cos(/t) + Ce sin(/t), Д^ = C1 cos(ot) + C2 sin(cot), ДА = «63) [Сзевз* — С4е-вз*] + / [Ce cos(/t) — С5 sin(/t)],
где
вз = л/РТ, со = ^ g*/R*, Д = V—P2, / = —V—P (2u + vE/R* + «35V uh
(16)
(3) (в3)2 - а24 Р1 - а24 (5) (в5)2 - а24 Р2 - а24 ад =-=-, а3 =-=-,
а63) = -в3 (2и + «Е/Я* + а(3))/аЕ = -^РГ (2и + «Е/Я* + а(3))/аЕ , а24 = 29 */Я * - («Е/Я*)2, Р1 = -^Е (2и + «Е/Я*) + (а24 - аЕ/Я*)/2 + (17)
1 г 2 11/2
+2 [(2^Е (2и + «Е/Я *) - а24 + аЕ/Я *)2 + 4аЕ (а24 + 2^Е«Е/Я *)/Я* ] ,
Р2 = -^Е (2и + «Е/Я*) + (а24 - аЕ/Я*)/2 -1 г 2 1 1/2 -2 [(2^Е (2и + «Е/Я *) - а24 + аЕ/Я *)2 + 4аЕ (а24 + 2^Е«Е/Я *)/Я* ] ,
аЕ = 9* - 2и«Е - («Е)2/Я* , а (г = 1,..., 6) — постоянные интегрирования, связанные с константами Сг' соотношениями
С1 = С1 + С2, С2 = г(С1 - С2), С3 = С3,
С4 = С4 5 С5 = С5 + С6 5 С6 = г(С5- С6).
Обозначим начальные условия интегрирования линейной однородной системы (10) через Дг>Е, Д« Д«Е, ДН0, Д<0 и ДА0. При £ = 0 из системы (16) находим:
Д«Е = С2Д«Е = в3(С - С4) + ДСб, Д«Е = а33) (С + С4) + а35)С5,
ДН0 = С3 + С4 + С5, Д<0 = С1, ДА0 = а63) (С3 - С4) + ¿>Сб. Из полученной системы находим константы (г = 1,..., 6):
^ _ 1 (Д«Е - ДН0а35) , ДДА0 - РД«ЕЧ
н ,
C1 C2 -М/^ , C3 = Ц+ даГ — /вз
l/ДиЕ — ДЯ°«35) ДДА0 — ^ а3з) C4 = ~ -тт;-^---^- , C5 =
2 \ а(з) а(5) .~.а(з) г,a Г 5 а(з) а(5) ' V аз — аз дае — /вз / аз — аз
Ce =
а63) AvE - вз АЛ0 А«63) - Рвз
Перепишем решение (16) в виде
(18)
Avn = адsin(ü)t + eAvN), Ave = вз (Сзевз* - C4e-e3t) + ад„н sin^t + ед„н), Ave = «33) (Сзевз* + С4е-вз*) + ад„Е sin^t + ед„Е), АН = Сзевз* + С4е-вз* + адя sin^t + едя), Ар = ад, sin(íDt + ед,), АЛ = «63) (Сзевз* - С4е-вз*) + ад л sin^t + ед л),
где адед, ад„н, ад„в, адя, ад,, ад л — амплитуды гармонических колебаний; едед, ед„н, ед„в, едя, ед,, ед л — начальные фазы этих колебаний; ср, Д — собственные (круговые) частоты колебаний.
Частоты колебаний определяются согласно формулам (17). Амплитуды и начальные фазы колебаний определяются следующими выражениями:
= V^R (С? + С2)1/2 = [g*R* (Ар0)2 + (AvN)2]^ ,
tg ед„„ = -С2/С1 = -А</(Ap^v/g*^*) ;
~ /""^21 1 /2 ~ ад«н = Д IC5 + С^ = Д
а33) АН0 - AvE'
. а33) - а35) .
+
qe3)AvH - вз АЛ0' ^ Да63) - Рвз ,
1/2
tg ед«н = - = С5
Ce = (взАЛ0 - а63) AvH) (а33) - 45))
Да63) - Рвз) («33) АН0 - AvE)
(5) [ri2 , ^21 1/2 (5) ад«Е = «3 |_С5 + CeJ = a3
'«33)АЯ0 - AvE
(3)
— a
(5)
+
a63)AvH -
вз АЛ0 V
Да63) - Рвз )
1/2
t С5
tg ед«в = С =
«33) АН0 - AvE) (Да63) - Рвз)
(3)
a3 a
(5)
(3)
AvE - взАЛ0
адя = [С2 + С2] / =
(3)
АЯ0 - Av0
(3)
a3 a
(5)
/a63)AvE - взАЛ0 V
V Да63) - Рвз /
1/2
(19)
tg едя = тг = С6
С (а33) АЯ0 - AvE) Н3) - Рвз)
a(3) a(5)
a3 - a3
(3)
e
AvE - вз АЛ0
ад, = [С2 + С211/2 = [(Ар0)2 + (Av0 )2/ (g*R* )] 1/2 tg ед, = С1/С2 = ApVAv0 ;
ад л = Р [С2 + С211/2 =
а33)АЯ0 - AvE'
(3)
aa
(5)
+
a63) AvE - взАЛ0 Да63) - Рвз
1/2
С (вз АЛ0 - a63)AvE) (a33) - а35))
tg ед Л С5 (да63) - Рвз) (а33)АЯ0 - AvE) '
Подставим значения констант С (i = 1,...,6) в соотношения (16) и запишем полученное решение дифференциальных уравнений ошибок в матричном виде:
AX (t) = P (t)AX0, (20)
2
2
2
3
3
e
2
3
3
2
2
3
где
ДХ(t) = (Д-un, Д^я, Дve, ДЯ, Др, ДЛ)Т , ДХ0 = (Д<, Д^Н, Д^Е, ДЯ°, Др°, ДЛ°)T , а P(t) — квадратная матрица 6 х 6, элементы pj (i, j = 1,..., 6) которой имеют вид
pii = cos(£t), pi2 =0, pi3 =0, pi4 = 0, pi5 = -A/g*^* sin(wt), pie =0,
(21)
P2i = 0, P22 = (ee3t + е-вз- Да63) cos^t)] / [2 (¿>вз - Да£
(з)
p23 =
1 в3 (евз* - е-вз+ Д sin(Дt)
а(3) а(5)
а3 - а3
p24 =
1 в3 а
(5) (евзt _ е-
e вз+ Да33) sin(Дt)
(3) (5)
а3 - а3
P25 = 0, P26 = - [&Д (евз* + е-вз*) - в3Д cos(üt)] / [2 (¿>^3 - Да63))] , P32 = [>«33) (е^з* - е-вз*) - 2а35)а63) sin^t)] / [2 (>^3 - Да63) P33 = [«33) (евз* + е-вз*) - 2а35) cos(Дt)] / [2 («33) - а35) P34 = - Га3 )«3 ) (евз* + е -вз- 2а33) а35) cos^t)] / [2 (а33) - а35) P3e = - [Д«33) (евз* - е-вз*) - 2^3«35) sin^t)] / [2 (>^3 - Да63)
P3i = 0,
P35 = 0, P4i = 0,
P42 = 2
1 > (евз* - е-вз- 2а63) sin(Дt)
¿>в3 - Да 6
(3)
P43 = 2
1 (евз* + е-вз*) - 2cos(Дt)
(3) (5)
а3 а3
(22)
P44 = - [а35) (е^з* + е-вз- 2а33) cos^t)] / [2 (а33) - а35))] , P45 = 0, P46 = - [Д (евз* - е-вз*) - 2^3 sin^t)] / [2 (¿>^3 - Да63))] , P5i = sin(wt)/v/gR P52 = 0, P53 = 0, P54 = 0, P55 = cos(wt), P56 = 0, P6i = 0,
Рб2 = [¿>«63) (евзt + е-вз^ - 2¿>«63) ео8(Д£)] / [2 (¿>вз - Да63 Раз = [«63) (е^зt - + 2£>в1п(Д^)] / [2 («33) - «35)] ,
Р64 = - [«63)«35) (е^ - е-взt) + 2>«33) в1п(Д*)] / [2 (af - «35))] , p65 = 0, Рее = - [Д«63) (евзt + е-вз*) - 2в3>ео8(Д*)] / [2 (¿>^3 - Да63))] •
Таким образом, (20) представляет собой общее решение однородного линейного матричного дифференциального уравнения ошибок (10) для случая движения объекта вдоль экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте.
Анализ построенного решения показывает, что ошибки по широте и северной составляющей скорости, обусловленные неточным заданием начальных условий Дг>0у, Д^Е, Д^Е, ДН0, Д^0, ДА0 интегрирования дифференциальных уравнений функционирования БИНС, носят гармонический (колебательный) характер с частотой ü = \Jg*/R|, а ошибки по долготе, высоте, вертикальной и восточной составляющим относительной скорости представляют собой композиции гармонических колебаний с частотой Д = у/-р2 и экспоненциальных составляющих. Последние состоят из нарастающих во времени (так как в3 > 0) компонент, содержащих множитель C3евзt, и затухающих во времени компонент, содержащих множитель C4е-взt. Таким образом, из (16) видно, что собственное движение устойчиво по переменным Д^ и Дзд, но неустойчиво по переменным ДА, ДН, Дг>я и Дг>Е.
Получим решение неоднородного дифференциального матричного уравнения (9), которое состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Это решение записывается следующим образом:
ДХ(t) = PСОДХ0 + P(t - т)Ь(т) dr.
(23)
2
2
*
Здесь АХ(г) — вектор-столбец, составленный из погрешностей определения проекций относительной скорости и криволинейных координат объекта; АХ0 — вектор-столбец, составленный из погрешностей задания начальных условий интегрирования. Векторы-столбцы АХ(г) и АХ0 определены согласно соотношениям (21). Элементы матрицы Р задаются соотношениями (22), а вектор-столбец Ь определён соотношением (8). Вместо вектора-столбца Ь можно также использовать вектор-столбец В, описываемый соотношением (2).
Первое слагаемое в правой части (23) определяет собой, как уже отмечалось, ошибки определения проекций относительной скорости и криволинейных координат местоположения объекта, обусловленные неточным заданием начальных координат и проекций скорости объекта, а второе слагаемое — ошибки определения этих величин, обусловленные неточным заданием начальной ориентации объекта в инерциальной системе координат.
Интеграл в правой части (23) может быть вычислен и выражен через элементарные функции, однако полученное аналитическое решение в этом случае приобретает громоздкий вид. Тем не менее выражения для ошибок определения северной составляющей относительной скорости и широты могут быть записаны достаточно компактно при условии = 0, т.е. когда в начальный момент времени оси геоцентрической системы координат п и инерциальной системы координат X * совпадают. Эти выражения выглядят следующим образом:
Азд(г) = соэфг)А-Е - \/этфг)Ар0+ + аНЛ12 ^(¿Ег + Л0) + (а + ¿Е) 8т(оЙ + Л*) + (¿а - ¿Е) зт(аг - Л *)] +
* 2 I
2 [а2 - (¿Е)2]
+
аНЛ13 [2рЕ ^(¿Ег + Л0) + (а - ¿Е) сов(аг - Л *) - (а + ¿Е) сов(аг + Л0)]
2 [а2 - (¿Е)2]
. , , вт(а)г . 0 , . 0
Ар(г) = а-Е + сов(аг)Ар0+
л/9
+аНЛ12 {асовЛ0 [соб(рЕг) - сов(аг)] - этЛ0 [аэт^Ег) - ¿Е ^(аг)]} +
Л/9*Д! [а2 - (¿Е)2]
+ аНЛ13 {соб Л0 [а эт^Ег) - ¿Е ^(аг)] + а эт Л* [соэ^Ег) - сов(аг)]}
[а2 - (¿Е)2]
где Л* — точное значение долготы объекта в начальный момент времени. Видно, что приведённые погрешности представляют собой композиции гармонических колебаний с частотами а = л/9 * и ¿Е = и + -Е/Д*. При этом а близка к частоте Шулера, а ¿Е совпадает с угловой скоростью и суточного вращения Земли при -Е = 0 и близко к ней при -Е > 0.
Для проверки корректности полученного общего решения было получено численное решение АХпит (г) однородной линейной системы дифференциальных уравнений (10) для интервала времени г е [0, 7200 с] при следующих параметрах невозмущённого движения и начальных условиях:
-Е = 600 м/с, Н* = 10000 м, А< = А-Н = А-Е = 0, 01 м/с, АН0 = 1 м, Ар0 = АЛ0 = 1,57 ■ 10-7рад (1 м в линейной мере).
При этом использовался программный пакет МЛТЬЛБ с максимально возможными настройками точности численного интегрирования.
Далее для тех же начальных условий и параметров невозмущённого движения для каждого момента времени с помощью формул (20)-(22) были вычислены погрешности АХап(г) и найдена разность АХпит - АХап. Таким образом, для каждого момента времени было получено расхождение между численным и аналитическим значением погрешности определения каждого из шести параметров навигации.
Описанные вычисления были также проведены для других параметров невозмущённого движения объекта, а именно: -Е = 10 м/с, Н * = 0.
Аналогичная проверка была проведена для полного аналитического решения. Для этого численно интегрировались уравнения (9) и полученные результаты сравнивались с результатами вычисления погрешностей по соотношению (23), в котором интеграл в правой части был вычислен и представлен через элементарные функции.
Анализ полученных результатов показал, что погрешности, полученные с помощью аналитического решения, с высокой точностью совпадают с погрешностями, получаемыми с помощью численного интегрирования линейных уравнений ошибок. Максимальное расхождение между численным и аналитическим решениями проявляется при вычислении вертикальной составляющей относительной скорости Дг>я при условиях (24) и составляет [AvjUm — Avlr]i=7200 ~ 5 ■ 10-4 м/с. Расхождения при вычислении других погрешностей на 3-16 порядков меньше. Это даёт основания утверждать, что найденное решение является корректным и может быть использовано для аналитического нахождения погрешностей функционирования БИНС.
5. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ
Рассмотрим движение объекта вдоль земного экватора на высоте H* = 10000 м с постоянной скоростью vE = 600 м/с. Таким объектом может быть, например, истребитель. Для этого объекта с помощью соотношений (17) найдём величины вз, ш и Д, а также определим периоды Тд и ТД:
вз = 0, 0017323 с-1, ш = 0, 0012354 с-1, Д = 0,0012413 с-1, Тй = 2п/ш « 5086 с « 84, 8 мин, Тд = 2п/Д « 5062 с « 84,6 мин.
Видно, что оба периода близки к периоду Шулера, равному 84,4 мин.
Будем считать, что отсутствуют погрешности чувствительных элементов БИНС (гироскопов и акселерометров), а также погрешности начального задания ориентации объекта в инерциальной системе координат. В этом случае интеграл в правой части (23) обращается в нуль.
Рассмотрим три комбинации начальных условий интегрирования системы (10), представленные в табл. 1 (в табл. 1-3 для угловых величин без скобок приведено значение в радианах, в круглых скобках — в градусах, в квадратных скобках — соответствующее отклонение в линейной мере по дуге малого круга радиуса Rcos ^ *, где R = a + H * = 6388245 м, ^ * =0).
Таблица 1
Наборы начальных условий интегрирования системы (10)
№ Av° AvH AvE AH0, м , рад (0) [м] AA°, рад (0)[м]
I 0 0 0 1 0 0
1, 57 ■ 10-7
II 0 0 0 0 (8, 97 ■ 10-6) [1] 0
1, 57 ■ 10-7
III 0 0 0 0 0 (8, 97 ■ 10-6) [1]
Для приведённых комбинаций найдём, используя полученные выше соотношения, погрешности определения относительной скорости и координат объекта через 1 ч движения, а также амплитуды и начальные фазы гармонических колебаний (см. (18)). Полученные результаты представлены в табл. 2.
Таблица 2
Погрешности определения относительной скорости и координат истребителя
Параметр I II III
Avn (3600), м/с 0 1, 2 ■ 10-3 0
aAvN, м/с — -1, 2 ■ 10-3 —
£Avn — 0 —
Avh (3600), м/с 0, 45 0 -0, 03
Окончание табл. 2
Параметр I II III
ÜAvH , м/с 1,17 ■ 10-5 — 1, 11 ■ 10-4
£avH 0 — п/2
Ave (3600), м/с -0, 03 0 3, 3 ■ 10-3
aAvE, м/с 1, 3 ■ 10-4 — -1, 2 ■ 10-3
£ ave п/2 — 0
AH(3600), м 258 0 -16
a ah , м -9,4 ■ 10-3 — 0,09
£ah п/2 — 0
-4,11 ■ 10-8
Ap(3600), рад (0) [м] 0 (-2, 36 ■ 10-6) [0,26] 0
1, 57 ■ 10-7
üav, рад (0) [м] — (9 ■ 10-6) [1] —
£a^ - п/2 —
-5 ■ 10-6 2, 91 ■ 10-7
AA(3600), рад (0) [м] (-2, 98 ■ 10-4) [33] 0 (1, 67 ■ 10-5) [1,87]
1, 64 ■ 10-8 1, 57 ■ 10-7
a ax, рад (0) [м] (9, 42 ■ 10-7) [0,11] — (8, 92 ■ 10-6) [0,99]
£aa 0 — п/2
Также рассмотрим движение объекта вдоль экватора на нулевой (над уровнем моря) высоте со скоростью г>Е = 10 м/с. Таким объектом может быть морской корабль. С помощью соотношений (17) найдём величины вз, ^ и Д, а также определим периоды Т^ и ТД:
вз = 0,0017471 с-1, ¿ = 0, 0012383 с-1, Д = 0, 0012412 с-1, Тй = 2п/й « 5074 с « 84,6 мин, ТД = 2п/Д « 5062 с « 84,4 мин.
По-прежнему считаем, что погрешности чувствительных элементов БИНС отсутствуют, а ориентация определяется идеально (т. е. отсутствуют погрешности гироскопов и погрешности начального задания ориентации). В этом случае интеграл в правой части (23) обращается в нуль.
Используя три описанные выше комбинации начальных условий, найдём для такого корабля погрешности определения относительной скорости и координат, а также амплитуды и начальные фазы гармонических колебаний (см. (18)). Результаты представлены в табл. 3.
Таблица 3
Погрешности определения относительной скорости и координат корабля
Параметр I II III
Avn (3600), м/с 0 1, 2 ■ 10-3 0
aAvN, м/с — -1, 2 ■ 10-3 —
£Avn — 0 —
Avh (3600), м/с 0,47 0 -1, 3 ■ 10-3
aAvH, м/с 3, 93 ■ 10-6 — 4, 98 ■ 10-5
£Avh 0 — n/2
Ave (3600), м/с -0, 03 0 2■10-3
aAvE, м/с 9, 79 ■ 10-5 — -1, 2 ■ 10-3
£Ave n/2 — 0
AH(3600), м 270 0 -7, 72
a ah , м -3■10-3 — 0,04
Окончание табл. 3
Параметр I II III
Sah п/2 — 0
-3, 95 ■ 10-8
Д^(3600), рад (°) [м] 0 (-2, 26 ■ 10-6) [0,25] 0
1, 57 ■ 10-7
üav , рад (°) [м] — (9 ■ 10-6) [1] —
- п/2 —
-2, 42 ■ 10-6 3,04 ■ 10-8
ДА(3600), рад (°) [м] (-1, 39 ■ 10-6) [15] 0 (1,74 ■ 10-6) [0,19]
1, 24 ■ 10-8 1, 57 ■ 10-7
O.AA, рад (°) [м] (7, 08 ■ 10-7) [0,08] — (8, 98 ■ 10-6) [1]
SA А 0 — п/2
Подчеркнём, что погрешности определения навигационных величин вычислены через 1 ч движения и могут быть меньше максимальных погрешностей, имеющих место внутри интервала движения, за счёт колебательных составляющих в этих погрешностях, имеющих периоды, близкие к периоду Шулера.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Получено аналитическое решение линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат, описывающее влияние неточного задания начальных условий интегрирования дифференциальных уравнений БИНС (погрешностей начальной выставки БИНС) на точность определения навигационных параметров для случая движения объекта вдоль земного экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте. При этом найдены точные явные выражения для корней характеристического уравнения.
Анализ построенного решения показывает, что ошибки по широте и северной составляющей скорости, обусловленные неточным заданием начальных условий AvN, Av°, AvE, AH0, A^0, ДА0 интегрирования дифференциальных уравнений функционирования БИНС, носят гармонический (колебательный) характер с частотой и = \jg*/R|, а ошибки по долготе, высоте, вертикальной и восточной составляющим относительной скорости представляют собой композиции гармонических колебаний с частотой Д = у/—р2 и экспоненциальных составляющих. Последние состоят из нарастающих во времени (так как вз > 0) компонент, содержащих множитель C3ee3t и затухающих во времени компонент, содержащих множитель C4е-взТаким образом, из (16) видно, что собственное движение устойчиво по переменным Д^ и Avn, но неустойчиво по переменным ДА, AH, Avh и Ave.
Библиографический список
1. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы. М. : Физматгиз, 1966. 579 с. [And-reev V. D. Theory of Inertial Navigation. Autonomous Systems. Moscow : Fizmatgiz, 1966. 579 p.]
2. Бромберг П. В. Теория инерциальных систем навигации. М. : Наука, 1979. 296 с. [Bromberg P. V. Theory of Inertial Navigation Systems. Moscow : Nauka, 1979. 296 p.]
3. Захарин М. И. Кинематика инерциальных систем навигации. М. : Машиностроение, 1968. 236 с. [Zakharin M. I. Kinematics of Inertial Navigation Systems. Moscow : Mashinostroenie, 1968. 236 p.]
4. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твёрдого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М. : Физ-матлит, 2006. 512 с. [Chelnokov Yu. N. Quaternion and Bi-quaternion Models and Methods of Mechanics of Solid Bodies and Applications. Geometry and Kinematics of Motion. Moscow : Fizmatlit, 2006. 512 p.]
5. Челнокова Л. А., Челноков Ю. Н. Моделирование работы бесплатформенной инерциальной навигационной системы, определяющей ориентацию объекта в ор-тодромической и географичесчкой системах координат, на универсальных ЭВМ / Сарат. политехн. ин-т. Сара-
тов, 1988. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 11.05.88, № 3763-В88. [Chelnokova L. A., Chelnokov Yu. N. Computer Modelling of the Strapdown INS, Which Determines the Orientation of an Object in the Orthodromic and Geographical Frames / Saratov Polytechnic Institute, 1988. 21 p.]
6. Челнокова Л. А., Челноков Ю. Н. Моделирование работы БИНС на универсальных ЭВМ / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, 1989. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 13.06.89, № 3909-В89. [Chelnokova L. A., Chelnokov Yu. N. Computer Modelling of the Strapdown INS / Saratov Polytechnic Institute, 1989. 15 p.]
7. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернион-ные методы в задачах механики твёрдого тела и материальных систем : автореф. дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. М., 1987. 36 с. [Chelnokov Yu. N. Quaternion and Bi-quaternion Methods in the Problems of Solid Body Mechanics and Material Systems : Abstract of dissertation. Moscow, 1987. 36 p.]
8. Челноков Ю. Н., Петров С. В. О задачах ориентации и навигации объекта в географической и ортодро-мической системах координат. Деп. в ВИМИ 27.05.88, Д07701. 21 с. [Chelnokov Yu. N, Petrov S. V. On the Problems of Orientation and Novigation of an Object
in Geographical and Orthodromic Frames. 1988. 21 p. ]
9. Челноков Ю. Н., Челнокова Л. А., Ланденок И. В. Алгоритм идеальной работы системы ориентации для подвижного объекта // Вопросы авиационной науки и техники : сб. тр. М., 1988. Вып. 10. С. . 17-24. [Chelnokov Yu. N., Chelnokova L. A., Landenok I. V. Algorithm of Ideal Functioning of Orientation System for a Moving Object // Problems of Aviation. Moscow, 1988. Iss. 10. P. 17-24.]
10. Челноков Ю. Н. Инерциальная ориентация и навигация движущихся объектов : учеб. пособие для студ. мех.-мат. фак. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 64 с. [Chelnokov Yu. N. Inertial Orientation and Navigation for Moving Objects : Study Guide. Saratov, 2002. 64 p.]
11. Челноков Ю. Н., Логинов М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. № 10. С. 64-72. [Chelnokov Yu. N, Loginov M. Yu. Differential Error Equation of a Corrected INS, Functioning in a Normal Geographical Frame // Mechatronics, Automation, Control. 2009. № 10. P. 6472.]
УДК 629
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
И. А. Панкратов, Я. Г. Сапунков, Ю. Н. Челноков
Саратовский государственный университет
E-mail: PankratovIA@info.sgu.ru, ChelnokovYuN@info.sgu.ru
С помощью принципа максимума Понтрягина и кватернионных уравнений решается задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата (КА). Управление (вектор реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты) ограничено по модулю. Функционал, определяющий качество процесса управления, равен взвешенной сумме времени переориентации орбиты КА и импульса управления за время переориентации орбиты или затрат энергии. Сформулированы дифференциальные краевые задачи переориентации орбиты КА. Приведены законы оптимального управления, условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Построены примеры численного решения задачи.
Ключевые слова: космический аппарат, орбита, оптимальное управление, кватернион.
Solution of a Problem of Spacecraft's Orbit Optimal Reorientation Using Quaternion Equations of Orbital System of Coordinates Orientation
I. A. Pankratov, Ya. G. Sapunkov, Yu. N. Chelnokov
The problem of optimal reorientation of the spacecraft's orbit is solved with the help of the Pontryagin maximum principle and quaternion equations. Control (thrust vector, orthogonal to the orbital plane) is limited in magnitude. Functional, which determines a quality of control process, is weighted sum of time and impulse (or square) of control. We have formulated a differential boundary problems of reorientation of spacecraft's orbit. Optimal control laws, transversality conditions, not containing Lagrange multipliers, examples of numerical solution of the problem are given.
Keywords: spacecraft, orbit, optimal control, quaternion.
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
Будем считать, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости его орбиты. Тогда орбита КА в процессе управления
