Аналитическое продолжение функции Грина для уравнения Гельмгольца в слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.6

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СЛОЕ1

Аннотация. В статье рассматриваются функции Грина 1-го и 2-го рода для уравнения Гельмгольца в слое. Доказывается возможность аналитического продолжения через положительную часть действительной оси в нижнюю полуплоскость на основе принципа симметрии Римана-Шварца. Доказана справедливость известного представления функции Грина в верхней полуплоскости для нижней полуплоскости.

Ключевые слова: уравнение Гельмгольца для слоя, аналитическое продолжение функции Грина.

Abstract. In the article Green’s functions first and second kind for the Helmholtz equation in a layer are considered. The opportunity of analytical continuation across positive part of real axis is based upon Riemann-Schwartz principle of symmetry was proved. Correctness of known Green’s functions representations in upper halfplane was proved for lower half-plane.

Keywords: Helmholtz equation in a layer, analytical continuation of Green’s function.

Введение

В ряде задач математической физики важно иметь аналитическое продолжение функций Грина для уравнения Гельмгольца в слое в нижнюю полуплоскость [1]. Обширные исследования по аналитическому продолжению функций Грина для задач математической физики представлены в работе [2]. В статье [3] получены представления для функций Грина в первом квадранте комплексной плоскости и исследованы их свойства. Однако результаты о поведении функций Грина в нижней полуплоскости в этой статье отсутствуют. Целью настоящей работы является доказательство возможности аналитического продолжения функций Грина в нижнюю полуплоскость и получения явной формулы для этого продолжения.

1 Функции Грина 1-го и 2-го рода для уравнения Гельмгольца в слое

Мы будем рассматривать функции Грина 1-го рода G1 (x, y) и 2-го рода G2 (x,y) для уравнения Гельмгольца с параметром k2 в неограниченной области в R3 слоя U ={x = (, x2, x3):-1 < x3 < 0j (для слоя

U+ = {x = (, x2, x3 ):0 < x3 < 1j рассматривается аналогично). Относительно волнового числа k считаем, что Im k > 0 и k Ф 0.

Функция Грина G1 = G1 (x, y), x, y eU определяется как решение краевой задачи (y eU- фиксировано):

1 Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.

8з

АС! + k=-8(х - у ), хєU ;

G^ I 0 = 0^1 , = 0,

11х3 =0 1 х3 =-1 ’

с условиями на бесконечности [3]: для g\n, п > 0,

ЭЙ, п

(1)

(2)

Эр

\1/2

-Яп8\п = 0(р 12), )1п = 0(р 12 )

(3)

т.к. р :=(2 + х2 ) равномерно по всем направлениям хг/р,

х := (Х1, Х2) и равномерно по у из любого ограниченного подмножества в и , где

к2 = к2 - я2п2,1ткп > 0; (4)

кп > 0 , если к >яп ; кп < 0 , если к < -яп, и

0

gl п := 21 С1 (х, у) 008 ппхзйхз .

(5)

-1

Соотношения (3) и (4) являются условиями Зоммерфельда для двумерной ограниченной области. Коэффициенты Фурье (5) являются решениями

2

двумерного уравнения Гельмгольца с параметром кп в области Р>Ро для

некоторого Ро . Отсюда и из условия (3) следует [4], что gl п и

ЭЙ, п

~дР

экспо-

ненциально убывают при р^^ , если к2 < я2п2, (т кп > 0).

Функция Грина О1 (х, у) 1-го рода может быть представлена в одной из следующих форм [3]:

С1 (^ у ) = 2 28ІП пх8ІП пУН01) ( ( - у'|)

(6)

7=1

для х'ф у', где х' :=(х1,Х2) и у' :=(уьУ2)

или

(

ехр

у - 27Є31) ехр (7^ х - У* + 2 Іе3 И

“2 -7'е3І х - У* + 2 7е3 )

где Є3 = (0, 0,1), у* = (,У2,-У3), Н01) (г) - функция Ханкеля нулевого

рядка первого рода. Формулы (6) и (7) имеют смысл при 1т k > 0 и k Ф пп, п є Z . Отметим, что функция Грина 1-го рода определена при k = 0 . Эквивалентность представлений (6) и (7) доказана в [4].

(7)

по-

Функция Грина О2 = О2 (х, у), х, у еи определяется как решение краевой задачи (у е и- фиксировано):

АО2 + к202 =-8(х - у), хе и-;

до2

Эх3

до2

0 Эх3

х- =0 3

= 0,

(8) (9)

х- =-1

с условиями на бесконечности [3]: для g2 п, п > 1,

^§2,п

Эр

- ікп&2,п = о(р 12 ) )2,п = 0(р 12 ) (10)

\1/2

т.к. р :=(2 + х|) равномерно по всем направлениям хг/р, х :=(х1, Х2)

и равномерно по у из любого ограниченного подмножества в и , где

(11)

к^ = к2 - л:2п2,1шкп > 0; кп > 0 , если к >лп ; кп < 0 , если к < -лп, и

&2,п := 21 ^2 (х, у) 8Іп тх-ёх- .

(12)

-1

Соотношения (10) и (11) являются условиями Зоммерфельда для двумерной ограниченной области. Коэффициенты Фурье (12) являются реше-

2

ниями двумерного уравнения Гельмгольца с параметром кп в области Р>Р0

^g2,n

для некоторого Р0. Отсюда и из условия (10) следует [4], что g2n и

Эр

экспоненциально убывают при р^^ , если к2 < л2п2 (1ш кп > 0).

Для функции Грина О2 (х,у) 2-го рода верны следующие представления [3]:

1 ^ 1 ( )

02 (x, у ) = 2 2 1 8 С0!3 л/'х3 соя Луз Щ’{к]\х'- y1), (13)

2 j=01 + 80}

для х'*у', где х':=(х1,х2) и у':=(уьУ2)

или

°2(х,у)=^ I

і =-^

г(1) I

I * I Л ( ік\х-у-2]в3\ ік\х-У +2ІЦ

|х - У - 2Іез\

х - У + 2 І3

(14)

где вз = (0, 0,1). Здесь Н0 (г) - функция Ханкеля нулевого порядка первого рода и 8у- - символ Кронекера. Представления (13) и (14) эквивалентны [3].

Формулы (13) и (14) имеют смысл при Imк > 0 и к Флп, nе Z\{0} . Отметим, что функция Грина 2-го рода не определена при к = 0 .

2 Сходимость представлений для функций Грина и аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость

Будем рассматривать функцию Грина 2-го рода G2 (х, у) и использовать для нее представление (13). Для функции Грина 1-го рода доказательство ничем не отличается.

Пусть к = a + bi, будем считать, что Re к = a > 0 и Im к = b > 0. Тогда

0 <ф<л/2 , где ф = arg к . Для кП получаем

кП =(a + bi )2 -л2 n2 =( - b2 -л2п2 ) + 2abi.

Тогда для любых a > 0, b > 0 найдется n := n такое, что

a2 - b2 - л2 n2 < 0 и kn = ±^Jun + vni , где

un = a2 - b2 - л2 n2 < 0, vn = 2ab > 0 и wn = un + vni. (15)

Следовательно, л/2 < arg wn < л и

, , [ 2 2 f arg w^ . . arg wn

kn =±yjun +vn I cos—:— + i sin

arg wn

Пусть —= ¥, тогда ясно, что 0 <¥ <л/ 2,

kn = un + v^ (cos¥ + isin¥).

/22 /22 Обозначим ^n = д/ un + vn cos ¥ > 0 и лп = -^un + vn sin ¥ > 0, тогда

kn = ± (n + Щп ), используя условие Im ^ > 0, выбираем перед корнем знак

«+» и получаем

К =^n + irln , где ^n > 0 и Лп > 0 .

Из формул (15) для un и vn ясно, что при n ^^: un ^-», а

. , „ arg wn л

vn = 2ab > 0, и, следовательно, ¥ = —2-^ "J. Это значит, что при n

имеем Лп ^ .

Вернемся к рассмотрению ряда (13), обозначим

i1

1 + 8 cos /3 cos л/Уз я01) (jP),

21 + 80 j

где p = \х -у' > 0 , тогда \an\ <

HC)1) (nP) = H04 ( + irln )p)

(1)!

Известно представление [5, с. 29]

НО1^) = -£ /

К ^

—^

тогда |^п | > 2аЬ > 0, и

\ап\ < Я01)((^п + і'Лп )) <) |

К

сЬ tdt, 0 < а^ 2 < к ;

<1 Г ер(п +іЛп )сЬ t

К ■>

1Л

К

-рЦп сЬ Г

1

К

-р^п сЬ < Се-р^п

(16)

где С =

С = 2 Г е2аЬ(1-сЬ г К

< ^ - константа, не зависящая от п .

Из формулы (16) следует, что исходный ряд (13) сходится равномерно и определяет в любом ограниченном подмножестве точек первого квадранта (ек > 0,1шк > 0) аналитическую функцию.

Теперь вернемся к обозначению к2 = к2 - л2п2 . Рассмотрим вопрос о поведении ряда (13) при действительных значениях аргумента к .

При действительных значениях к найдется такое число п , что

к2 = к2 - л2п1 < 0, и, значит, кп будет чисто мнимым. Так как мы имеем условие 1ш кп > 0, то кп = /гп , где гп > 0 при п > п . Известно, что

1К (г) = — Н((1) (/г), где К0 (г) - функция Макдональда, и мы получаем

К

1 1

°2 (x,У) = -Т , о созКпхз соеКпУзКо (ргп). К п=0 1 + §0п

Для К0 (г) известно представление [5, с. 94] К0 (г) = |в

0

Яе г > 0 .

Обозначим ап = ---------—

п к 1 + 5,

Ь = 0 получим, что \ып \ > из этого имеем

0п

2 2/2 а -к п

-созкпх-созкпУ-Ко (р2п), тогда из (15) при

следовательно, |^п| = |кп | >

2 2/2 а -к п

|а„| <|Ко (р;„ ) = 1 е-ЛсЬtdt < Се-^,

(17)

р л а -к п П1-сп t)p

где С = I е1 dt < те - константа, не зависящая от п .

о

Оценка (17) означает, что при действительных значениях к ряд (13) сходится равномерно по к на любом ограниченном подмножестве множества

М = |я + \ (п - к| < Є), п > о] . Кроме того, следует помнить, что при оценке

сходимости мы отбросили конечное число членов ряда (13) до номера п -1 включительно, которые, разумеется, не влияют на сходимость. Значения отброшенных членов, вообще говоря, невещественны. Ясно, что для каждого из отброшенных членов аналитическое продолжение существует и определяется теми же формулами.

Известно, что Ко (2) при 2 > о принимает вещественные значения, и, значит, функция, определяемая рядом (13), может быть продолжена аналитически в четвертый квадрант (е к > о, 1т к < о). Этот факт следует из принципа симметрии Римана-Шварца.

Если теперь мы докажем сходимость ряда (13) при к = а - Ьі, где а > о , Ь > о, то тем самым мы найдем аналитическое продолжение функции Грина

02 (х,У) в части нижней полуплоскости (четвертом квадранте).

2 2

Пусть k = a - bi и a > 0, b > 0, тогда kn =(a - bi) -я'

2 2 n =

= a -b -л n -2abi . Ясно, что для любых a > 0, b > 0 найдется n := n та-

2 2 2 ^2 2 2 2 ^2 кое, что a - b -л n < 0. Пусть a - b - л n = -un, где un > 0 и

2ab = vn > 0 . Тогда к2 = -un - vni и кn = ±i^un + vni . Пусть wn = un + vni,

тогда 0 < arg wn < л/2 . Получаем

у , ■ Г~2 2 f arg wn . . arg wn ^ ,

кп =±4un +vn I cos—f~ + 1 sin^^ I = ±Z ( +Z^n ),

С Г2 2 arg w^ n П 2 . arg wn

где ^n =Vun + vn co^_yn>^ Лп = Vun + vn si^_yn>0.

Из условия Im кп > 0 выбираем знак «+» и получаем

кп = i (n + Щп ).

Теперь мы можем записать ряд (13) в такой форме:

1 те 1

G2(х, у ) = - S 77 -----------------cosлпх3 cosлпу3К0 ((п + /'лп )).

л п=0 1 + 80п

Теперь выясним поведение ^п при п —— те. Так как е Г2 2 arg wn Г~2 2 arg wn

qn = -\/ un + vn cos-2--- и ^un + vn —те , cos------;^---— 1 при n — те, то из

этого следует, что ^п — те при n — те и |^п | > 2ab > 0 .

оо

Обозначим Получаем следующую оценку:

+ 5,

-008

оп

Кпх3 соїз КпУ3Ко ( Р ( (п + ігІп ) ) .

|< Ко (р(п + іг1п ))| = те | е-р(п +іЛп )сЬ tdt

о

< | |Є-іРЛп сЬt

о

-Р^п сЬ t

те

= Л е

о

-Р^п сЬ t

< Се

- Р^п

(18)

где С =

те

С = | е2аЬ(1-сЬ t Рdt

< те - константа, не зависящая от п .

Это значит, что формула (18) дает равномерную оценку, из этого следует, что ряд (13) сходится и при Яек > 0, 1шк < 0 во всяком ограниченном подмножестве точек четвертого квадранта. В соответствии с принципом симметрии Римана-Шварца получаем аналитическое продолжение функции Грина 02 (х,у) из части верхней полуплоскости (ек > 0,1шк > 0) в часть нижней полуплоскости (Яе к > 0,1ш к < 0).

Поскольку функции Н^^(г - ), Кд (г - гд) и ^ - гд имеют точки

разветвления при г = ^, то нам необходимо еще указать, как проводить разрезы из точек разветвления. Один из вариантов проведения разрезов представлен на рис. 1.

о

■О

П

■о—

2л,--' 3л/ 4п х

о

Яек

Рис. 1 Представление области М' на комплексной плоскости

После проведения разрезов для н01)(г - г0) и К0 (г - ) выбирается

главное значение логарифма 1п (г - ^), а для кп = Vк2 - л2п2 выбираются в зависимости от к такие ветви, чтобы kj > 0 при к > л/ или kj < 0 при к <л/ [3].

Если рассматриваемая точка к попадает на разрез, то направление разреза можно немного изменить так, чтобы он не проходил через к .

Таким образом, мы не только доказали, что функцию Грина можно определить во всяком ограниченном подмножестве точек правой полуплоскости при Re к > 0, к Флп , для п = 0,1,2,..., но и доказали справедливость представления (13) для функции Грина 2-го рода во всяком ограниченном подмножестве множества M' = {((eк > 0)\ (п - к| < £, n > 0) (с выбором соответствующих разрезов).

Список литературы

1. Родионова, И. А. О фредгольмовости электромагнитной задачи о собственных колебаниях в слоях, связанных через отверстие / И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. -2004. - № 5. - С. 39-48. - (Естественные науки).

2. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. -М. : Мир, 1977.

3. Morgenrother, K. On the Instability of Resonances in Parallelplane Waveguides / K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 1989. -V. 11. - P. 279-315.

4. Ильинский, А. С. Математические модели электродинамики / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. - М. : Высшая школа, 1991.

5. Бэйтмен, Г. Высшие трансцендентные функции : в 3 т. / Г. Бэйтмен, А. Эрдейи. - М. : Наука, 1974. - Т. 3.

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: Smirnov@Penzadom.ru

Валовик Дмитрий Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет

E-mail: necco@mail.ru

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Valovik Dmitry Viktorovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.6 Валовик, Д. В.

Аналитическое продолжение функции Грина для уравнения Гельмгольца в слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. - № 2 (10). - С. 83-90.