CC BY
56
Аналитическое определение места судна в прибрежной зоне
А.И. Санаев, В.И. Меньшиков, М.А. Пасечников
Судоводительский факультет МГТУ, кафедра судовождения
Аннотация. Исследованы две расчетные схемы аналитического определения места судна по двум измеренным расстояниям до навигационных ориентиров в прибрежной зоне. Выполнен анализ расчетных схем и сформулированы преимущества расчета обсервованных координат судна, использующего регуляризационный функционал. Найдены пределы пространственной области, в которой может применяться расчет обсервованных координат с регуляризацией.
Abstract. Two calculation schemes of analytical obtaining of the vessel position by two measured intervals up to navigational marks in a coastal area have been studied. The analysis of the calculation schemes has been carried out and the advantages of calculation of observated coordinates of the vessel using a regularization functional have been formulated. The limits of a spatial area where the calculation of observated coordinates with a regularization can be applied have been found.
Увеличение дальности и повышение точности перспективных судовых радиолокационных станций, использование лазерных дальномеров, а также применение вычислительной техники позволяют вновь вернуться к аналитическим методам определения места судна. В данной статье проведено исследование расчетных схем, с помощью которых можно определить обсервованные координаты судна при плавании последнего в прибрежных районах. В частности, рассматриваются прямая аналитическая расчетная схема и ее регуляризованный аналог, привлекающие в качестве исходной информации измеренные дальности до навигационных ориентиров. В интегрированной системе "мостик" подобные расчетные схемы могут использоваться в качестве вспомогательной системы координирования, дополняющей основную геодезическую систему, заложенную, например, в бортовую спутниковую аппаратуру системы HABCTAP-GPS.
Необходимость в дублировании основной системы координирования вызвана тем, что на островах, которые значительно удалены от материков, созданы местные системы координат, основанные на астрономических определениях. Эти системы обычно не связаны с геодезической датой единой системы координат государств. Однако именно в местной системе координат выполнены прибрежные промеры и выпущены навигационные карты. Поэтому безболезненный переход от координирования в глобальной системе к координированию в местной системе можно осуществить лишь с помощью привязки к ориентирам, расположенным на островах. В этом случае обсервованное место судна, найденное по этим ориентирам, будет обеспечивать безопасность навигации относительно опасностей, указанных на картах с местной привязкой.
Кроме того, регуляризованный аналог аналитического определения места судна может быть использован в различных навигационных тренажерах.
2. Метод прямого аналитического расчета обсервованных координат
Рассмотрим первую расчетную схему, считая, что выбраны два навигационных ориентира А и В, и до них измерены расстояния ДА и Дв (рис. 1). Имея координаты ориентиров А(фЛ, ЛА) и В(рв, Лв), в системе электронной картографии (ЭКНИС) всегда можно рассчитать расстояние между ними:
При прибрежном плавании судна расстояние S является малой величиной и предлагаемая к использованию формула обеспечивает более точный расчет, чем все другие, входящие в арсенал сферической геометрии.
При известном расстоянии S в сферическом треугольнике ABC определены три стороны, а это в свою очередь позволяет найти полупериметр Р треугольника, а также углы А и В в этом треугольнике. Для расчета можно рекомендовать следующую систему формул:
1. Введение
sin2(S/2) = sin2[(0g - ^()/2] + cos^s-cos^1-sin2[(^s-^,)/2].
(1)
P = 0.5(Д, + Дв + S), sin2 (A/2) = [sin(P - ДА) • sin(P - S)] / [sinДА -sin S], sin2 (5/2) = [sin(P - Дв) ■ sin(P - S)] / [sin Дв -sin S].
(2)
(3)
(4)
Если далее, привлекая формулу четырех рядом лежащих элементов, найти направление с точки А на точку В (КА.В) и обратное направление с точки В на точку А (Кв-А), то из выражений
tg КА-В = - ЯЛ) / -^рл - smpA ■ ^(Яв - ЯА)], tg КВ-А = Бт(Яв - Ял) / ^Ш^в • ^(ЯВ - Ял) - tg0л •
можно определить направления с точек А и В на обсервованную точку С так:
Кл-с = Кл-в ~ Л Кв-с = КВ-А + В.
(5)
(6)
(7)
(8)
Тогда, по известным направлениям с точек А и В на точку С и известным значениям измеренных расстояний ДА и Дв, далее можно определить обсервованные координаты места судна по одной из предлагаемых систем формул. Так, из треугольника АР^ следует первая система формул:
sin^ = sin^>A • со$Да + eos (pA • втДА ■ cosKA-C , tgÁЯA = tg ДА • sin Ka^c / [cos^A - tg ДА • sin^A • cospel,
Яо = Яа + АЯа,
а из треугольника BPNC вытекает ее вычислительный аналог:
sin^ = sin^s • сosДв + cos^B • со$ДА ■ cosKB.C; tgAЯе = tg Дв ■ sin Kb^c / [cos^A - tg Дв • sin^s • cosb-c], Яо = Да + ДДА-
(9) (10) (ii)
(12)
(13)
(14)
Если взяты дистанция и пеленг (ОРКУ) на один и тот же навигационный ориентир, то, воспользовавшись формулами (9-11) и определив обратный истинный пеленг (ОИП) с навигационного ориентира, можно аналитически рассчитать обсервованные координаты места судна.
Рис. 1. Определение места судна по двум расстояниям, измеренным на сфере
3. Метод эквивалентных линий положения
Пусть до навигационных ориентиров А и В измерены расстояния ДА и Дв (рис. 2). Имея измеренные расстояния, можно найти их разность Ад и сумму Ъд, а затем составить уравнения для софокусной гиперболы и софокусного эллипса. Полученные эквивалентные изолинии обеспечивают вычисление обсервованных координат, причем делают их показатель точности не чувствительным к изменениям величины геометрического фактора.
Рис. 2. Определение места судна по софокусным гиперболе и эллипсу
Составим систему уравнений, описывающую взаимную ориентацию софокусных эллипса и гиперболы, для чего воспользуемся результатами работы (Лесков и др., 1986). В общем виде такую систему можно записать так
tg2x / tg2a - tg2y /tg2b = 1 tg2x / tg2aj - tg2y /tg2¿: = 1
(15)
При решении системы (15) определяются сферические прямоугольные координаты обсервованного места судна. Если затем привлечь формулы сферической тригонометрии и формулы письменного счисления (рис. 3), то с их помощью можно выполнить преобразование прямоугольных координат в географические координаты.
4. Анализ сходимости расчетных схем и сравнение СКП обсервованных координат
Сходимости расчетных схем определялась по данным, полученным из решений конкретного примера. В примере использовались два навигационных ориентира с известными координатами и известными расстояниями до них.
1-я расчетная схема
Ориентир А (рА = 69.945833° N, Яа = 31.947500 E , Дл = 0.364167.
Ориентир В (рв = 69.731667° N, Лв = 33.100000 Е, Дв = 0.270833.
Вычисления, выполненные по прямой аналитической расчетной схеме, в соответствии с формулами (1-11) дали следующие промежуточные результаты:
SA-B = 0.4512709°, р = 0.5431354, А = 36.878416, КА-В = 117.78986, КА-С = 80.91144.
Далее, имея направление КА-С на точку С и расстояние до нее ДА, определяем обсервованные координаты точки С.
(р0 = 70.000265° = 70° 00.016' N, Л0 = 33.000000 = 33° 00.000' E.
2-я расчетная схема
Ориентиры А и В и расстояния до них остались прежними (рис. 2, рис. 3). Вычисления были выполнены в следующей последовательности:
1) Определялись параметры гиперболы и эллипса.
а = 0.0469166°, в = 0.2219061, ах = 0.317750, вг = 0.2237269.
2) Рассчитывались сферические прямоугольные координаты.
X = 0.065925126 ° = 3.9555076' (м.мили), У = 0.2190544° = 13.143268' (м.мили).
3) Рассчитывались направление К0-с от нормали и расстояние S0-c по формулам.
tg KO-C = tgX / sinF = 0.30095405, K0-c = 16.749381°,
sin S0-c = sinX / sinKO4C = 0.0039925949, SO-C = 0.22875945°.
4) Определялись величины SA-B, С, направления KA-B и Кв-А и координаты срединной точки базы О. С = 0.2256354°, КА-В = 117.78986, КВ.А = 29887141, (рср = 69.839694° N, Лср = 32.526682° E.
Рис. 3. Переход от сферических прямоугольных координат к географическим координатам
5) Рассчитывались направление нормали базы П0, а затем и направление П0-с с базы на точку С.
П0 = 28.330635°, П0-с = 45.080016°.
6) Наконец, имея координаты срединной точки базы, направление П0-с и расстояние SO-C ДО точки С, определялись обсервованные координаты точки С.
<Р0 = 70.000603° = 70° 00.036' N, Л) = 33.000307° = 33° 00.018' E.
Сравнение полученных результатов показывает, что расхождение по широте равно 0.020', а по долготе составляет 0.018'. Полученные разности дают право считать сходимость расчетных схем достаточной и, главное, приемлемой для реализации практического координирования места судна в местной геодезической системе.
Продолжая анализ расчетных схем, сравним показатели точности обсервованных координат, присущие каждой из этих расчетных схем. Пусть для первой схемы погрешность измеренного навигационного параметра равна величине ±тД. Тогда для второй схемы с предварительным расчетом разности и суммы расстояний необходимо принимать такую погрешность уже равной ±205тд.
Среднеквадратическая погрешность М0 обсервованных координат для прямой аналитической схемы расчета равна
М0 = (1.41 • тд) / sin©
Среднеквадратическую погрешность обсервованных координат регуляризованной расчетной схемы можно определить так
М0 = 2тд.
Сравнивая показатели точности М0 и М0, нетрудно сделать вывод, что равенство показателей наступит при 0= 45°. В практическом судовождении обсервации принимаются к коррекции счисления, если выполняется условие 30°< 0< 150°. Тогда вторая расчетная схема, обладая пространственными регуляризационными свойствами, способна обеспечить СКП обсервованных координат не хуже, чем прямая аналитическая схема расчета. Выполненный анализ сходимости расчетных схем и сравнение
СКП обсервованных координат места судна позволяют сделать вывод о целесообразности привлечения в программное обеспечение ЭКНИС регуляризованной расчетной схемы координирования, особенно в прибрежных районах с местными геодезическими системами.
5. Взаимосвязь между сферичностью координатной системы и регуляризацией расчетной схемы
В регуляризованной расчетной схеме использовались прямоугольные сферические координаты X и У, которые представляют собой дуги больших кругов. Такая система координирования не является равномерной вследствие непараллельности дуг больших кругов. Поэтому представляется необходимым установить взаимосвязь между непараллельностью осей сферических координат и размерами пространственной области, в которой можно использовать регуляризованную схему расчета обсервованных координат. Для этой цели рассчитаем конкретный пример, взяв за начало координат точку <рср = 70°К Лср = 0°, и совместив истинное направление базы с осью X по направлению, равному ИК = 91°. Базу разобьем на отрезки, равные АД = 0.25°, и от полученных точек на базе будем по нормале рассчитывать координаты У через АД = 0.1° Расчет координат X и У выполним для КБ четверти на площади 60 х 60 морских миль (рис. 4).
Текущее направление базы (ИКТ) и текущие направления нормали к базе (П) найдем, используя выражения вида
Рис. 4. Прямоугольные сферические координаты NE четверти
tgMKT = sin#Ki / [cos#K • cos(/'-4Ц) - tg^Cp- sinii-АД)],
П, = MKTi - 90.
(16) (17)
Для определения текущих координат базы фвазы, %базы, взятых через АД = 0.25°, можно привлечь формулы, записанные так
(19)
(20)
sin^1 = sin^q/COs(i-4^7) + cospcp-cosMKvsin(i-4ID, tgAX1 = sin#K • sin(i-Afl) / [cos^q, cos(i-4H) - sin^, • cosMK1-sin(i-4H)],
X = ДСр + X .
Аналогично определяются текущие координаты нормали. Для этой цели используются формулы (18-20), но с заменой в них ИК1 на П, a q>cp на ф. Интервал расстояний АД выбран равный 0.1°, а все расчеты сведены в приведенные ниже таблицы.
1) Определение текущих курсов и направлений нормалей на базе и на ее продолжении. Исходные данные: <рср = 70.0°N, Лср = 0.0°, ИК1 = 91.0°, АД = 0.25°, i = 4.
Таблица 1
Текущие курсы ИКг АД Направление нормали Щ
1 91.000 00° 0.0° 1.00000°
2 91.68658° 0.25° 1.68658°
3 92.37264° 0.50° 2.37264°
4 93.05797° 0.75° 3.05797°
5 93.74237° 1.00° 3.74237°
2) Определение текущих координат ф X на базе и на ее продолжении. Исходные данные: <рср = 70.0°N, Лн = 0.0°, ИК1 = 91.0°, АД = 0.25°, i = 4.
Таблица 2
АД Ф базы oi л базы I
1 0.00° 70.000 007 0.000 000° 0
2 0.25° 69.994151 0.73065182 1
3 0.50 69.985 1.4607886 2
4 0.75 69.973441 2.1902015 3
5 1.00 69.95862 2.9186836 4
3) Текущие координаты 1-й нормали. Исходные данные: (р1 = 70.0°N, Л1 = 0.0°Е, П1 = 1.0°, АД = 0.1°, i = 10.
Таблица 3
4Д° т' ° У базы 2' ° А базы I N точек базы
1 0.00 70.000 000 0.000 000 00 0 1.0
2 0.1 70.099 986 0.005 127 33 1 1.1
3 0.2 70.199 971 0.010 304 334 2 1.2
4 0.3 70.299 964 0.015 531 77 3 1.3
5 0.4 70.399 950 0.020 810 407 4 1.4
6 0.5 70.499 929 0.026 141 037 5 1.5
7 0.6 70.599 910 0.031 524 468 6 1.6
8 0.7 70.699 895 0.036 961 516 7 1.7
9 0.8 70.799 878 0.042 453 019 8 1.8
10 0.9 70.899 856 0.047 999 846 9 1.9
11 1.0 70.999 844 0.053 602 844 10 1.10
4) Текущие координаты 2-й нормали. Исх. данные: (рг = 69.994151°, Я2= 0.73065182°, П2= 1.68658°, АД= 0.1°, I = 10.
Таблица 4
4Д° т' ° У базы 2' ° А базы I N точек базы
1 0.0 69.994151 0.730618 0 2.0
2 0.1 70.094105 0.73929619 1 2.1
3 0.2 70.194066 0.74802428 2 2.2
4 0.3 70.294026 0.75683735 3 2.3
5 0.4 70.393986 0.76573668 4 2.4
6 0.5 70.493930 0.77472362 5 2.5
7 0.6 70.593884 0.7837995 6 2.6
8 0.7 70.693835 0.79296572 7 2.7
9 0.8 70.793790 0.80222369 8 2.8
10 0.9 70.893742 0.81157488 9 2.9
11 1.0 70.993693 0.82102070 10 2.10
5) Текущие координаты 3-й нормали. Исх. данные: щ = 69.985294°, Л3= 1.4607886°, П3= 2.37264°, АД = 0.1°, I = 10.
Таблица 5
4Д° т' ° У базы 2' ° А базы I N точек базы
1 0.0 69.985294 1.4607886 0 3.0
2 0.1 70.085212 1.4729424 1 3.1
3 0.2 70.185127 1.4852138 2 3.2
4 0.3 70.285048 1.4976045 3 3.3
5 0.4 70.384961 1.5101164 4 3.4
6 0.5 70.484866 1.5227513 5 3.5
7 0.6 70.584764 1.5355112 6 3.6
8 0.7 70.684683 1.5483980 7 3.7
9 0.8 70.784589 1.5614136 8 3.8
10 0.9 70.884491 1.5745601 9 3.9
11 1.0 70.984400 1.5878396 10 3.10
6) Текущие координаты 4-й нормали. Исх.данные: щ = 69.973441°, Я4= 2.1902015°, П4= 3.05797°, АД = 0.1°, I = 10.
Таблица 6
4Д° т' ° У базы у?' О ^ базы I N точек базы
1 0.0 69.973441 2.1902015 0 4.0
2 0.1 70.073299 2.2058539 1 4.1
3 0.2 70.173155 2.2216576 2 4.2
4 0.3 70.273017 2.2376148 3 4.3
5 0.4 70.372878 2.2537278 4 4.4
6 0.5 70.472722 2.2699991 5 4.5
7 0.6 70.572568 2.2864312 6 4.6
8 0.7 70.672416 2.3030263 7 4.7
9 0.8 70.772259 2.3197873 8 4.8
10 0.9 70.872106 2.3367166 9 4.9
11 1.0 70.971951 2.3538168 10 4.10
7) Текущие координаты 5-й нормали. Исходные данные: <р$ = 69.95862°, Л5= 2.9186836°, Л^5= 3.742370°, АД = 0.1°, ' = 10.
Таблица 7
4Д° т' ° У базы 2' ° А базы I N точек базы
1 0.0 69.95862 2.9186836 0 5.0
2 0.1 70.058409 2.9378209 1 5.1
3 0.2 70.158192 2.9571429 2 5.2
4 0.3 70.257974 2.9766523 3 5.3
5 0.4 70.357762 2.9963519 4 5.4
6 0.5 70.457532 3.0162447 5 5.5
7 0.6 70.557303 3.0363336 6 5.6
8 0.7 70.657707 3.0566218 7 5.7
9 0.8 70.756850 3.0771122 8 5.8
10 0.9 70.856612 3.0978081 9 5.9
11 1.0 70.956379 3.1187127 10 5.10
Разбиение выделенного пространства представлено на рис. 4. Аналогичное разбиение можно реализовать и для всех остальных четвертей.
Область, в которой регуляризованная расчетная схема нечувствительна к непараллельности дуг больших кругов, определим путем сравнения прямоугольных сферических координат X и У точек разбиения, рассчитанных по формуле (1), с координатами X и У. Таблица сравнения прямоугольной сферической координаты X с X при различных значениях У представлена ниже.
Таблица 8
N точек X АХ АХ-1852.2
У = 60'
1 1.10 - 2.10 15 14.997706 +0.002294 +4.25
2 1.10 - 3.10 30 29.995396 +0.004604 +8.52
3 1.10 - 4.10 45 44.993129 +0.00687 +12.73
4 1.10 - 5.10 60 59.990843 +0.009157 +16.96
У = 45'
5 1.7 - 2.7 15 14.998887 0.00113 +2.09
6 1.7 - 3.7 30 29.997718 0.002282 +4.23
7 1.7 - 4.7 45 44.996617 00.3383 +6.27
8 1.7 - 5.7 60 59.992948 0.007052 +13.06
У = 30'
9 1.5 - 2.5 15 14.999414 0.000586 +1.09
10 1.5 - 3.5 30 29.998813 0.001187 +2.20
11 1.5 - 4.5 45 44.998255 0.001745 +3.23
12 1.5 - 5.5 60 59.99768 0.00232 +4.30
У = 24'
1 2 3 4 5 6
13 1.4 - 2.4 15 14.999604 0.000396 +0.73
14 1.4 - 3.4 30 29.999215 0.000785 +1.45
15 1.4 - 4.4 45 44.998853 0.001147 +2.12
16 1.4 - 5.4 60 59.998476 0.001524 +2.82
У = 18'
17 1.3 - 2.3 15 14.999721 0.000229 +0.42
18 1.3 - 3.3 30 29.999539 0.000461 +0.85
19 1.3 - 4.3 45 44.999359 0.000641 +1.19
20 1.3 - 5.3 60 59.999152 0.000848 +1.57
У = 12'
21 1.2 - 2.2 15 14.999884 0.000116 +0.21
22 1.2 - 3.2 30 29.999780 0.000220 +0.41
23 1.2 - 4.2 45 44.999716 0.000284 +0.53
24 1.2 - 5.2 60 59.999602 0.000398 +0.74
Из таблицы следует, что в области У = 30 миль и X = 60 миль прямоугольные сферические координаты X отличаются отXне более чем на 4.3 м.
Аналогично при фиксированных значениях X рассчитаем прямоугольную сферическую координату и сравним ее с У. Данные для сравнения сведем в табл. 9.
Таблица 9. Сравнение прямоугольной сферической координат У с У при различных значениях X
N точек У У ЛУ ЛУ-1852.2
1 1.0 - 1.10 60 60.000252 -0.000252 -0.47
2 2.0 - 2.10 60 59.999852 +0.000148 +0.28
3 3.0 - 3.10 60 60.000396 -0.000396 -0.73
4 4.0 - 4.10 60 60.000348 -0.000348 -0.64
5 5.0 - 5.10 60 59.999927 +0.000073 +0.14
6 1.5 - 1.10 30 29.999818 +0.000182 +0.34
7 1.0 - 1.5 30 30.000042 -0.000042 -0.08
8 3.5 - 3.10 30 29.999972 +0.000028 +0.05
9 3.0 - 3.5 30 30.000370 -0.000370 -0.68
10 5.5 - 5.10 30 29.999659 +0.000341 +0.63
11 5.0 - 5.5 30 30.000257 -0.000257 -0.47
Практически в этом случае имеем равенство координат, т.е. У = У. Следовательно, при прибрежном плавании судна непараллельность прямоугольных координат в квадрате 30 х 60 миль не оказывает систематического влияния на расчет места судна в географических координатах.
Здесь следует заметить, что регуляризованная расчетная схема координирования места судна принципиально реализуема при любом активном методе измерения расстояний, в том числе и при определении обсервованных координат по навигационным спутникам (Баранов, 1988). Так, имея координаты двух навигационных спутников, можно определить их базу, а измеренные расстояния преобразовать в разность Лр = ргр\, и сумму Ър= Р2+/1 Если затем выбрать соответствующий референц-эллипсоид, то регуляризованная расчетная схема координирования сведется к решению системы из трех уравнений:
- первое уравнение - гиперболоид двуполостный (а, в, с - параметры гиперболоида)
х2 / а2 + >>2 / Ь2 - г2 / с2 = -1;
- второе уравнение - эллипсоид вращения (яь вь с1 - параметры эллипсоида вращения)
Х12 / а12 + >>12 / Ь12 + г„2 / С12 = 1;
- третье уравнение - референц-эллипсоид Земли (а2, в2, с2 - параметры референц-эллипсоида Земли)
х22 / а22 + >-22 / Ь22 + ¿22 / с212 = 1.
Совместное решение этих уравнений даст обсервованное место судна в рамках регуляризованной расчетной схемы.
6. Заключение
При определении места судна в прибрежных водах аналитические расчетные схемы по определению обсервованных координат судна способны играть роль резервных средств координирования в системах электронной картографии. Однако регуляризованная схема, в отличие от прямого аналитического расчета, обеспечивает пространственную инвариантность и транзитивность СКП обсервованных координат судна. Свойства инвариантности и транзитивности являются базовыми при решении задачи по обеспечению безопасности навигации, особенно в прибрежных районах, где навигационные риски весьма высоки. Следовательно, учитывая эти свойства, регуляризованную аналитическую схему расчета обсервованных координат можно в первую очередь рекомендовать к использованию в программном обеспечении систем электронной картографии таких, например, как ЭКНИС.
Литература
Лесков М. М., Баранов Ю.К., Гаврюк М.И. Навигация. М., Транспорт, 360 е., 1986. Баранов Ю.К. Использование радиотехнических средств в морской навигации. М., Транспорт, 208 е., 1988.
