CC BY
39
УДК 539.374
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДОМ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ В КОНИЧЕСКОМ
КАНАЛЕ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ СЕРДЕЧНИКОВ ПУЛЬ
С.В. Недошивин
На основе установленных ранее интегральных зависимостей для расчета среднего напряжения вдоль линий скольжения и правил построения полей линий скольжения, примыкающих к прямолинейным свободным границам в условиях осесим-метричного пластического течения, решена задача о формообразовании сердечников пуль.
Ключевые слова: осесимметричное пластическое течение, аналитический метод линий скольжения, формообразование сердечников пуль.
1. Общие зависимости для расчета средних напряжений вдоль линий скольжения в условиях осевой симметрии.В последних работах по аналитическому описанию полей линий скольжения, схематизирующих пластические области при исследовании процессов пластического течения в коническом канале при изготовлении сердечников пуль, установлены два основных элемента усовершенствования теории моделирования процессов, реализуемых в условиях осесимметричного пластического течения.
В работе [1] проведена проверка и усовершенствование установленных ранее интегральных зависимостей для расчета средних напряжений вдоль линий скольжения и, что более важно, вдоль граничных линий скольжения. Также упрощен подход и математический аппарат применения указанных зависимостей. Эти зависимости приобрели следующий вид:
- при расчете от начальной точки с меньшей радиальной координа-
той:
1 I \ 1 Аг + & о = Оо - 2 • к • (фо — ф) + к--вдоль а-линий; (1)
той:
Го + Аг
Ъ 7 I \ 1 Ьг — А2
о = Оо + 2 • к • (фо — ф) + к--вдоль р -линий; (2)
Го + Аг
-при расчете от начальной точки с большей радиальной координа-
\ 1 Аг + А1
о = Оо — 2 • к (фо — ф) + к--вдоль а -линий; (3)
го
_ 1 / ч 1 Аг — А2 о = Оо + 2 • к (фо — ф) + к--вдоль р -линий. (4)
го
Установленные интегральные зависимости позволяют рассчитывать значения среднего напряжения вдоль граничных линий скольжения и в пластической области в целом, обеспечивающие возможность последующего определения проекций технологических сил в требуемом направлении, в том числе и потребной технологической силы для реализации исследуемой операции.
2. Правила построения полей линий скольжения, примыкающих к прямолинейным свободным границам в условиях осесиммет-ричного пластического деформирования.Построениеполей линий скольжения при схематизации пластических областей в осесимметричных задачах теории пластичности в основном осуществляется по тем же правилам, что и для условий плоской деформации. Однако для соблюдения условия постоянства среднего напряжения вдоль свободных от контакта и внешних нагрузок пластических границ, пластические участки, примыкающие к этим границам, следует описывать отличительными конструкциями полей линий скольжения. Это связано с тем, что, как уже отмечалось, в условиях осевой симметрии значение среднего напряжения в любой точке поля зависит не только от характеристического угла (как в плоских задачах), но и от значения радиальной координаты в цилиндрической системе координат.
Анализ построенных численными методами участков полей линий скольжения в осесимметричных задачах, схематизирующих пластические области, примыкающие к прямолинейным свободным границам в режиме пластичности В, которые приведены, в частности, в работах [2 - 4], позволяет сделать следующие утверждения (рис. 1):
1. Граничная линия скольжения криволинейного треугольного поля АС , расположенная со стороны оси симметрии, является выпуклой, а противоположная СВ - вогнутой.
2. Радиальная проекция Агас выпуклой граничной линии скольжения АС больше осевой проекции А^с .
3. Радиальная проекция Агсв вогнутой граничной линии скольжения СВ меньше осевой проекции А^св .
4. Очевидно, что при увеличении начальной радиальной координаты г0 ® ¥ (удалении пластической области от оси симметрии) радиусы кривизны граничных линий скольжения также должны стремиться к бесконечности, величины радиальных и осевых проекций обеих граничных линий скольжения сравниваются, и конструкция поля приближается к симметричному треугольному, состоящему из отрезков ортогональных прямых линий скольжения и соответствующему условиям плоской деформации. При этом угол 8 изменения углового параметра вдоль граничных линий скольжения (рис.1) должен стремиться к нулю.
Рис. 1. Схема формирования пластической области, примыкающей к прямолинейной свободной границе, при режиме В В осесимметричного
пластического течения
Изложенное выше позволяет предположить, что граничные линии скольжения АС и СВ можно аппроксимировать логарифмическими спиралями. При этом предлагается схема формирования пластической области (в частности, для режима В пластического течения), приведенная на рис. 1. В соответствии с этой схемой и с учетом предварительных утверждений можно сформулировать следующие правила аналитического построения линий скольжения, ограничивающих пластическую область, примыкающую к прямолинейной свободной границе в осесимметричных задачах с режимом В пластического течения деформируемого материала.
1 .Указанная пластическая область схематизируется полем логарифмических спиралей, определяемых образующей окружностью (см. рис. 1), центр которой расположен на линии, совпадающей с прямолинейной свободной границей (в данном частном случае - с радиальной координатой г ).
2. Положение (радиальная координата) центра О и величина радиуса образующей окружности (следовательно, и вся конструкция исследуемого пластического участка) зависят лишь от радиальной координаты го и длины I свободной прямолинейной границы.
3. Очевидно, что минимальное значение Ко и соответственно максимальное значение угла 8 должны соответствовать положению, когда точка А примыкает к оси симметрии z, т.е. при го = 0.
4. При увеличении tq значение радиуса R0 образующей окружности растет и при значительных удалениях свободной границы от оси симметрии конструкция пластической области стремится к известному треугольному полю равномерного напряженного состояния, построенному из отрезков прямых линий скольжения и соответствующему условиям плоской деформации.
5. Для рассматриваемого варианта (рис. 1) известными заданными величинами являются tq и l; искомыми величинами - угол 8 и радиус Rq . Величина tq обычно определяется из схемы исследуемого процесса или предшествующих построений прочих пластических участков. Если длина свободной границы l не определяется однозначно схемой процесса, то аналитическое решение следует проводить с точностью до неизвестной l, а на заключительных этапах составлять дополнительные геометрические соотношения с ее участием для последующего совместного решения.
6. Для определения указанных неизвестных величин необходимы уравнения, связывающие эти неизвестные и имеющие определенный физический смысл. При этом можно использовать, в частности, следующие:
- зависимость, устанавливающую постоянство вдоль прямолинейной свободной границы AB величины среднего напряжения s = -k, т. е. значения 8 и R должны быть такими, чтобы изменение среднего напряжения из точек A и B свободной границы вдоль соответствующих граничных линий скольжения по уравнениям из (1) - (4) давали одинаковое значение среднего напряжения в точке C;
- зависимость, упорядочивающую геометрические параметры конструируемого поля, т. е. сумма горизонтальных проекций граничных линий скольжения Dtac и Лгсв должна быть равна длине отрезка свободной границы l ;
- зависимость, утверждающую, что вертикальные проекции граничных линий скольжения DzAC и DzCB должны быть равны между собой и равны rq • sin 8.
При использовании перечисленных в последнем пункте зависимостей следует учитывать, что если удовлетворить хотя бы одному геометрическому соотношению, то все прочие будут соблюдены автоматически, из правил построения тривиальных полей логарифмических спиралей, а самостоятельной зависимости, упомянутой первой в этом пункте и касающейся совпадений значений средних напряжений в точке C , необходимо удовлетворять обязательно.
На основании изложенного и дополнительного материала, изложенного в работе [5], можно сформулировать следующий алгоритм аналитического описания полей линий скольжения, схематизирующих пластические области, выходящие на прямолинейные свободные границы, в процессах осесимметричного пластического течения.
Известными условиями для несколько более сложного решения задач второго типа [5] являются начальная радиальная координата прямолинейной свободной границы го, а также размеры и форма контактной границы инструмента с пластической областью (длина I свободной границы неизвестна). Тогда построение и аналитическое описание поля линий скольжения сводится к следующим последовательно выполняемым этапам.
1. По установленным правилам строится и аналитически описывается участок поля линий скольжения, примыкающий к свободной прямолинейной границе:
1.1. По геометрическому эскизу исследуемой операции предполагаемая пластическая область схематизируется выбранной конструкцией поля линий скольжения.
1.2. Из анализа возможных направлений главных напряжений и скоростей течения деформируемого материала определяется режим (А или В) пластического течения (полной пластичности) и выявляются а - и р -линии скольжения.
1.3. По установленным правилам определяются относительные геометрические параметры участка поля линий скольжения, примыкающего к свободной границе (с точностью до неопределенной пока длины I этой
границы): величина угла 8; относительный радиус Яо образующей окружности; радиальные и осевые проекции граничных линий скольжения.
2. Остальные участки разрабатываемой конструкции поля линий скольжения строятся по общим правилам, используемым при решении задач в условиях плоской деформации. При этом определяются радиусы кривизны граничных линий скольжения, необходимые угловые параметры и требуемые радиальные и осевые проекции граничных линий скольжения.
3. Длина I свободной прямолинейной пластической границы определяется как сумма радиальных проекций указанных линий скольжения, ограничивающих область, примыкающую к этой свободной границе.
4. Для окончательного установления абсолютных значений геометрических параметров, позволяющих построить и аналитически описать конструкцию поля линий скольжения, необходимо дополнительно составить требуемые геометрические соотношения, схематизирующие исследуемый процесс, в том числе и трансцендентные.
3. Аналитическое описание методом линий скольжения полей линий скольжения пластического течения в коническом канале при изготовлении сердечников пуль.Установленные в разделах 1 и 2 соотношения и правила построения полей линий скольжения обеспечили возможность полного аналитического описания полей линий скольжения в ряде типовых технологических задач обработки металлов давлением.
Качественной моделью пластического формообразования конических головных частей сердечников пуль является осесимметричная задача о течении жесткопластического слоя в коническом канале.
Конструкция варианта поля линий скольжения, схематизирующего пластическую область при штамповке головных частей сердечников пуль, приведена на рис. 2. Данная конструкция образована прямолинейной свободной пластической границей AB слоя, затекающего в конус с односторонним углом при вершине w.
К этой пластической границе примыкает пластический участок, построение которого и его геометрические размеры определяются по правилам, установленным в данном разделе диссертационной работы.
Указанный пластический участок ABC образован логарифмическими спиралями: b -линией AC и a -линией BC, угол поворота 8 которых при перемещении вдоль них от одной крайней точки до другой устанавливается следующим образом. Поскольку для каждой фиксированной степени заполнения конуса деформируемым материалом длина прямолинейной свободной границы AB известна, то данная задача относится к первому типу. Кроме того, начальная радиальная координата r0 = 0, что
позволяет сразу определить величину угла 8 по зависимости
sin 8 exp 8- cos 8- sin 8
4 8=2
exp 8- cos 8 2 • sh8
или по аппроксимирующему ее полиному
8 =-1-= —1— = 15,533° (о,2711 радиан).
о,об44 + о,о711 • г о о,об44
Последующее решение системы уравнений, соответствующих правилам построения полей линий скольжения, примыкающим к прямолинейным свободным границам в условиях осесимметричного пластического течения деформируемого материала, позволяет рассчитать величину радиуса Яо образующей окружности
Я =
lAB
2 • sh8
Таким образом, для каждого текущего положения исследуемого процесса конструкция поля линий скольжения полностью определяется длиной 1АВ свободной границы и двумя угловыми параметрами 8 и ю.
Последующие присоединяемые пластические участки формируются следующим образом. Участки 4, 8 и последующие, примыкающие к оси симметрии, образованы логарифмическими спиралями. Конструкция пластического участка 2, представляющая собой вырожденную начальную характеристическую задачу, образована текущими и конечными линиями скольжения, радиусы кривизны которых содержат более сложные ф -функции, представляющие собой абсолютно и равномерно сходящиеся ря-
13
ды функций Бесселя. Как следствие, радиусы кривизны линий скольжения всех прочих присоединяемых пластических участков (кроме перечисленных выше) также содержат указанные функции. Поскольку в принятом алгоритме аналитического решения теоретических задач методом линий скольжения геометрические и силовые параметры определяются соответствующим интегрированием вдоль граничных линий скольжения с помощью радиусов их кривизны, то результирующие аналитические зависимости для указанных параметров также содержат экспоненциальные функции (от радиусов кривизны логарифмических спиралей), функции Ломмеля (образующиеся при интегрировании функций Бесселя) и введенные ранее условные ф -функции.
Рис. 2. Конструкция поля линий скольжения, схематизирующего пластическую область при штамповке головных частей
сердечников пуль
В частности, для поля линий скольжения, содержащего 11 пластических участков (рис. 2), определенные геометрические и силовые параметры находятся по следующим зависимостям:
- относительная длина штампуемой головной части
И =
И 1
(3 ф (8, ш)- 2 Ф4 (ш, 8) + и о {2 (8 + ш) (8 + ш)ш/})• ^ 8 +
d 0 4 • exp (8 + ш)
+ и1 {28;2д/ 8(8+ ш) /} • sin 8 - ^ (8 + ш)
p 2 = 2p- sin ю-
2
к - do
- относительная технологическая сила, необходимая для реализа ции процесса штамповки головной части соответствующих геометриче ских размеров
exp2 (ю+5) [ 2 - ф4 {5,2ю}- cos (2ю+5)-(и0 {25;^/б2ю /} + 4ф4 {(5 + ю) ,2ю})- cos (ю+35)J + +exp (ю+35) [юф {5,2ю}- sin (ю-25)- U1 {2 (5 + ю) (5 + ю) 2ю /}- cos (ю + 25) J + exp (ю+5)- sh5 + + exp ю ^ 2ю( sh5 + 3 - U1 /}) sin (ю-35) + 2ю( sh5 + cos ю)-(и1{25;2Л/82ю/}- sin (ю+5)) J +
+ 4 -ф4 {(5 + ю) ,2ю}- cos (2ю+5)- 2 (ю+5)и0 {2 (5 + ю) ;2yJ (5 + ю) 2ю /}
Критериальные графические зависимости удельной относительной безразмерной силы пластического формообразования конических головных частей сердечников пуль гладким инструментом от относительной высоты этих головных частей для различных углов при вершине конуса приведены на рис. 3.
Проведенный силовой анализ исследуемой технологической операции штамповки головных частей сердечников пуль позволяет оценить уровень контактных давлений на инструмент, а следовательно, спрогнозировать его стойкость или выбрать материал инструмента. Определение интегральной технологической силы обеспечит возможность рационально выбрать технологическое оборудование по силовому параметру и произвести необходимые прочностные расчеты технологической оснастки.
Рис. 3. Графические зависимости p от А
2
к - do
для различных значений ю
15
Установлено, что попытки применения соотношений плоской теории пластичности в методе линий скольжения для проведения аналогичного силового анализа приводят, в частности, к заниженным оценкам необходимой технологической силы на 24...36 %, в зависимости от геометрических размеров изготавливаемых сердечников пуль и применяемых материалов заготовок.
Список литературы
1. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Гаврилин И.А. Расчет напряжений в осесимметричных полях линий скольжения на примере задачи о вдавливании цилиндрического штампа в полость // Известия Тульского государственного университета. Тула: Изд-во ТулГУ. 2015. Вып. 6. Ч. 1. С. 304-318.
2. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // Сб. переводов «Механика». М.: ИИЛ, 1957. № 1. С. 102 - 122.
3. Друянов Б. А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. 272 с.
4. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 704 с.
5. Панфилов Р.Г., Парамонов Р. А., Хвостов Е.Ю. Условие полной пластичности в осесимметричных задачах теории пластичности // Известия Тульского государственного университета. Тула: Изд-во ТулГУ. 2010. Вып. 2. С. 119 - 127.
Недошивин Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доц., Archon80@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ANALYTICALDESCRIPTION OF THE METHOD OF SLIP LINESOF PLASTIC FLOWIN THE CONICALCHANNEL A TCORE PRODUCTIONBULLETS
S. V. Nedoshivin
On the basis ofpreviously establishedintegralrelationships forcalculating the avera-gestressalong theslip linesandrules of constructionof the slip linesfieldsadjacent tostraightfree boundary inaxisymmetricconditionsof plastic flow, solved the problem ofshapingcoresof bullets.
Key words: аxisymmetricplastic flow, the analytical methodof slip lines, shapingco-rebullets.
Nedoshivin Sergey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, arc-hon80@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
