Аналитический анализ взаимодействия анкерно-бетонной крепи вертикального ствола с породным массивом Текст научной статьи по специальности «Математика»

© М.С. Плешко, 2012

УДК 622.023 М.С. Плешко

АНАЛИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АНКЕРНО-БЕТОННОЙ КРЕПИ ВЕРТИКАЛЬНОГО СТВОЛА С ПОРОДНЫМ МАССИВОМ

Представлен аналитический метод оценки влияния анкеров на напряженно-деформированное состояние системы «монолитная бетонная крепь — породный массив» в вертикальных стволах.

Ключевые слова: вертикальный ствол, анкерно-бетонная крепь, напряженно-деформированное состояние.

В настоящее время более 90 % вертикальных стволов закреплено монолитной бетонной крепью. Одним из перспективных направлений повышения несущей способности этого вида крепления является опережающая или последующая установка анкеров, которая приводит к изменению напряженно-деформированного состояния системы «крепь — массив» в процессе совместного взаимодействия.

Для определения влияния системы анкеров на напряженно-деформированное состояние крепи и массива воспользуемся решением задачи теории упругости о действии сосредоточенной силы в упругой плоскости, ослабленной круглым отверстием.

В произвольной точке г0 области > г1, имеющей координаты (г0,90),

под углом 91 к действительной оси приложим сосредоточенную силу Q (рис. 1). Она обусловлена возникновением натяжения анкера и определяется с учетом технологии работ.

Из теории упругости [1] известны функции комплексных потенциалов ф и у, характеризующие напряженно-деформируемое состояние бесконечной плоскости от действия со-сре доточенной силы. В нашем случае эти потенциалы имеют вид

I \ Х + ¡У 1 I \ ф( г) = - . п 1п( г - г о) +

2п(х +1)

+Фо (г),

, , X + ¡У , , ,

г) = -ГТ (г - г о) +

2п(х +1) 0

Рис. 1. Расчетная схема

X + ¡У

■ +V 0 (-),

2п(х +1) * - г о

где X, У — проекции силы Q на действительную и мнимую оси соответственно; х = 3 - ^ .

Потенциалы ф 0 (-) и V0 (-), аддитивно входящие в выражения (1) определяются в зависимости от дополнительных условий.

В работе [2] показано, что в случае действия сосредоточенной силы в бесконечной плоскости, ослабленной круглым отверстием, комплексные потенциалы ф и V принимают вид

ф(%) = А (х)1п (%-% о)- В (х)1п v(%) = В (х)1п (%-% о)-А (х)

1 - =

1

%о%у

- А (х)=

1 -р2

% о (1 - % о%)

%0

%-% о % 0%

- В (х)

% о

,%(1 -% о %) %2

- А (х)

1п

1-

1 -р 2

%о %У %о %(1 -%о%)2

где %=-,

А (х) = -В (х) = х

Qехр(101) 2п(х +1) ,

Qехр(-101)

2п(х +1)

Q = (X + ¡У) ехр (-101) = (X - ¡У) ехр (101) , г1 — радиус отверстия.

В случае радиальной установки анкерного стержня направление силы Q нормально к контуру отверстия, следовательно 01 =00. Для переменной % контур отверстия представляется единичной окружностью |%| = 1, а граница

раздела двух сред окружностью |%| = г , г = — .

' ' г1

%

Введем новую переменную С = —, тем самым, определив конформное ото-

г

бражение области |%| > 1 на область > 1, причем точки внешнего контура

кольца 1 < < г (точки границы раздела сред) отображаются на точки единичной окружности = 1.

Для новой переменной комплексные потенциалы примут вид

ф(0 = Л (х)1п (г (С-С 0))-В (х)1п у(С) = В (х)1п (г (С-С 0))-Л (х)

(

1

л

- Л(х)

1 - г2Р0

С 0

1

-Л (х)

1п

1-

с-с0 г2 с 0 с

1 - г2 р 0

- В (х)

г 2с02 (1 - г2с0?)'

С0 1

С(1 - г X 0?) г

г2С0д г2С0с(1 - г2С0С)2

Вектор смешений выражается через комплексные потенциалы следующим образом

и (х, Ц, С) = [хф (С) -£ф' (С) -V(С)

Для определения поля смешений во всей области > 1 зададимся функцией перемещений в форме

и ( Ц, с) + "1 (), у <|С|< 1, и (х 2 , Ц2 , С) + и2 (() |С|> 1, где и1 — голоморфная функция в кольце — < < 1, и2 — голоморфная функция во внешности единичной окружности > 1, причем и1 = 0 в области > 1, и2 (С) = 0 в области — < < 1.

При Е1 = Е0, V1 = V0 функции и1 , и2 всюду равны нулю. Условие непрерывности смешений на границе раздела = 1 имеет вид

и (х 1, Ц1, С) + и1 (С) = и (х2, Ц2, С) + и2 (С) .

Обозначим точку единичной окружности через ст = ехр (/9), тогда контурное условие будет иметь вид и1 (ст) = Ди (ст) + и2 (ст) ,

где Ди1 (ст) = и (х 2 , Ц2 , СТ) - и (х 1, Ц1, ст) .

Из этого условия по интегральной формуле Коши [1] определяем функции и1 , и2 следующим образом

и (0 =

и1 (0 =

2П7{Д 6ст, ^ 1

0, |С|> 1;

и2(С)=

0,

I 1,

V^ 1.

2п/ Г - С

Представим функцию Ди (ст) следующим образом

Ди = = £а, - /, , 1

где а1 = 2 Л (х 0 )-£■ Л (X.)

а2 = 1 ( ^ В (х 0 В (х, ), М-0 М-1 У

аз = 2 С В (х 0 )--1- В (х 1) , М-0 М-1 У

а4 = -аз,

а5 = 1 2 " ( 0 ^ л ^-'У,

аб = -а5 ?

а7 = аз,

а8 = -а5 ?

/1 = 1п (г (ст-С 0 )),

/2 =- 1п

/з

1-

г2С0 -стУ

1 2 2 1 - Г Р 0

/4 = 1п

г2 С 2 (1 - г2 С 0 -ст)' ' г (1 -С 0-ст) >

ст

/5 =- 1п | 1 - ,2

ст

г2 С 0

/б =

[(1 - г2 )с0 -ст+г2р2 -1]

г2с0 (1 -С0 -ст) (1 - г2 )-ст3

ст

г2 ((- г2 с 0 )

А =

(1 - г2 )(1 - г 2р 0 )•■

г 2 С 0 (ст- г2 С 0 )

Значение интегралов типа Коши от функций , у = 1,8 в области — — — 1 обозначим через Г™ , а в области > 1 — через ГГ. Таким образом

оЧАг 6 ст = 2га Г ст - С

Следовательно

1 г Ди .

-У 6 ст =

2га Г ст - С

, 1 — |е| —1,

[ГГ, |с|> 1. )

£ ^Г», |С|> 1.

и=1

Пользуясь правилами вычисления интегралов типа Коши [1], определим функции Г!" и , у = 18 :

Г/" = 1п (г (С-С 0 )),

Г1ех = 0,

П" = 0,

ГГ = 1п

1 —^

1

П!" _

Г3 ~

г2 С0-С

1 2 2 1 - г Р 0

г2С0 (1 - г2С0 •?)'

Г7 ех _

Г3 _

р 0 — ~Т,

Р0 >—, г2

1 - г 2Р 0

г2 с0 (1 - г2 С 0 -с)

Г4" = 1п (С 0),

Р 0 —■

, Р 0 > — г2

Г4ех =- 1п

г (1 -С 0<)

с

1п (-г с 0 ),

Г5" =- 1п

'1

г2 С 0

Г5ех = 0,

'[(1 - г2 )z 0-z +г 2p о - 1]-z

г? in _

r6 =

г2Z0 (1 - г2Z0 -Z) (1 - г2)) о -Z + г2 (p 0 - 1)

г2 Z0

. p 0 — 1 p 0 > 1

P ex _

r6 =

1 - г2p2

p 0 — 1, p 0 > 1

Z 02 (1 -z 0-z) f(1 - г2)[ г4 Z 2 + г2 Z 0-z+z2 ]

£T in _ Г7 _

(1 - г2 )Z3

[г2 (Z-г2 Z 0 )' г4 (1 - г2)Z,

p 0 — ~T ,

p 0 > ~ , г2

P" ex _

f7 _

Z-г 2Z 0

p 0 —■

p0 >— > г2

i (1 - г2)(1 - г2p2)[2г2Z0 +Z]

77 in _

r8 _

г2 Z 0

p 0 — ■

(1 - г2 )(1 - г 2p 2 )-z 3

l г2 (Z- г2Z 0 ) ' г2 (1 - г2)(1 - г2p0)Z0

p0 >— > г2

77 ex _

r8 _

Z-г2 Z 0

3 + -

г 2Z 0

Z-г2 Z 0

0,

p 0 ——,

1

p 0 > ТГ

Таким образом, определено поле смешений от действия сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке области > -1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707с.

2. Завьялов Р.Ю. Теория и методы расчета анкерной крепи протяженных выработок. — Тула, изд. ТулГУ, 2000. — 162 с.ЕЕ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ

Плешко Михаил Степанович — кандидат технических наук, доцент, e-mail mspleschko@rambler.ru,

Шахтинский институт Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института), siurgtu@ siurgtu.ru

0