CC BY
27
УДК 621.327
АЛГОРИТМЫ СКАНИРОВАНИЯ (РАЗВЕРТКИ) ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
А.И. Алатар, А. А. Михайлов
Рассматриваются выбор алгоритмов сканирования (развертки) для технологии проектирования информационных систем автоматического восстановления (реконструкции) искаженных изображений, который сводится к сравнению алгоритмов сканирования (развертки) входной информации систем восстановления динамических изображениях. Целью выбора алгоритмов сканирования (развертки) для технологии проектирования информационных систем автоматического восстановления (реконструкции) является формирование информационного, математического и программного обеспечения для данных систем.
Ключевые слова: построчное (поколонное) сканирование, условие Гёльдера -Липшица (ОЬ), заполняющая пространство кривая, способы сканирования растров, линейные развертки, спиральная развертка, развертка Вот^орИеёоп, диагональная развертка, кривая Пеано - Гельдера.
Важной проблемой задачи восстановления изображениями является их представления в памяти ЭВМ. Хотя по своей структуре оцифрованное изображение хорошо подходит для обработки на ЭВМ, т.к. является двумерной (трехмерной) матрицей, но возникает задача выбора способа развертки двумерного массива Я2 в одномерную последовательность Л1, при которой учитывалась бы многомерная связанность элементов и линейность архитектуры ЭВМ.
В настоящее время общепринятым способом двумерной развертки информационного поля является построчное (поколонное) сканирование (телевизионная развертка). Данная развертка разрывает структурные связи, существующие между блоками исходного изображения. Эффективным способом упорядочения элементов видео массива является алгоритм, который обходит последовательно пиксели, группируя их [1, 2] и формируя одномерную последовательность, которую удобно хранить и передавать по каналам связи для выделения отдельных объектов (т.к. точки ему принадлежащие, сгруппированы).
Целью статьи является выбор способа развертки двумерного массива в одномерную последовательность, при которой учитывалась бы многомерная связанность элементов и линейность архитектуры ЭВМ.
Математическая постановка проблемы формирования развертки
Математически проблема выбора способа развертки двумерного массива в одномерную последовательность, при которой учитывалась бы многомерная связанность элементов и линейность архитектуры ЭВМ. При этом задача многомерной многоэкстремальной оптимизации можно сформулировать как поиск наименьшего значения суммы квадратичных отклонений между экспериментальными и теоретическими данными для каждого пикселя функция вида
N ( .)
&У) = I (л)э - УГ)2, (1)
к=1
(])„ (/)* • 7 ~
где ук э, ук' - экспериментальное и теоретическое значения /-го компонента в к-й точке, принимает минимальное значение и превращает процесс восстановления динамического изображения в решение задачи безусловной оптимизации
р( у*) = шт{р( у): у е D}, (2)
D = {у е RN : ai < у, < Ь ,1 < i < Щ, (3)
где а, bеRN есть заданные векторы.
Важный в прикладном отношении подкласс задач (2) характеризуется тем, что минимизируемая функция р(у) задана программно реализуемым алгоритмом вычисления значений Ар(у) в точках области поиска D. При этом аналитические способы решения не применимы, а численное решение задачи сводится к построению оценки точного решения на основе некоторого числа к значений функций задачи, вычисленных в точках области D.
Численное решение задачи (2) сводится к построению оценки y*kеD, отвечающей понятию близости к точке у (|У*-у*к||<£, где е>0 есть заданная точность) на основе конечного числа к вычислений значений оптимизируемой функции. Для этих задач предполагается выполнение двух условий:
1. оптимизируемая функция р(у) может быть задана не аналитически, а некоторым алгоритмом вычисления ее значений в точках области D; при этом вычисление одного значения является вычислительно-трудоемкой операцией.
2. в задачах многоэкстремальной оптимизации возможность достоверной оценки глобального оптимума основана на наличии априорной информации о функции, позволяющей связать возможные значения минимизируемой функции с известными значениями в точках осуществленных поисковых итераций. Априорная информация в задаче (2) представляется в таком виде, чтобы целевая функция р(у) удовлетворяла условию Гёльдера -Липшица (ОЬ) с константой Ь [3]
|р(х') - р(х")|<Ь||х'-х"||, X, х"еХ, (4)
где Ь=Ь(р, X) - константа ЬО, 0<Ь<да, ||.|| - норма в пространстве в дальнейшем будет использоваться евклидова норма.
Выражение (4) определяет ограниченности изменения значений функции при ограниченной вариации аргумента. Методам решения задач данного класса посвящена обширная литература [4-6]. Обзор прикладных проблем глобальной оптимизации приведен в [7].
В работах решаются задачи, связанные с выяснением структуры объекта - точечного множества ЕоЯ" - путем построения аппроксимаций отображения
р: Е"®Е1,
где Е1 - одномерная шкала с заданным классифицирующим отношением естественного порядка [8].
Проблема упорядочения точек многомерного пространства обусловлена принципом построения "-мерного декартова пространства [1], которое определено как прямое произведение:
Я" = Е1 х Я х ...х Е1 х Я1,
12 , " 5
где однозначно определён порядок только на каждой координате Я,еЯ1.
Общий анализ задачи построения заполняющей пространство кривой. Задачи многоэкстремальной оптимизации имеют высокую трудоемкость решения по сравнению с другими оптимизационными задачами, т.к. глобальный оптимум является интегральной характеристикой решаемой задачи и требует исследования области поиска. Поиск глобального оптимума сводится к построению сетки в области параметров и выбору наилучшего значения функции на этой сетки. Затраты на решение задачи растут экспоненциально с ростом размерности. Данные методы состоят в заполнении пространства признаков гиперкривой так, чтобы близкие в пространстве объекты оказались близкими и на этой кривой. Весь процесс называется разверткой пространства признаков.
В [1, 9] описан рекурсивный алгоритм синтеза кривой, заполняющей многомерный интервал. Для построения заполняющей пространство кривой (ЗПК) табличные данные приводятся к единичному р-мерному гиперкубу. Стороны этого гиперкуба разбиваются на части и получают квантованное р-мерное. ЗПК порождается путем задания рекурсивного правила обхода данных квантов.
Главными свойствами отображений объектов на ЗПК является взаимная однозначность, сходимость по разбиениям и квазинепрерывность. Взаимная однозначность выражает соответствие каждого кванта р-мерного пространства какому-либо участку ЗПК. Сходимость по разбиениям означает, что при очередном дроблении пространства ЕР на ЗПК сохраняется закон принадлежности отображений новых, более мелких квантов старому - более крупному. Под квазинепрерывностью понимается то, что два соседних отображения квантов на ЗПК обязательно являются также соседними в многомерном пространстве ЕР (обратное условие может не выполняться).
Развертки пространства признаков Ер с помощью ЗПК дополняют информацию о взаимном расположении объектов выборки, которую получают, рассматривая проекции объектов, например, на плоскости главных компонент или выделенных факторов. Для ЗПК близкие на развертке объекты обязательно близки в Ер, но далекие на развертке объекты могут быть близкими в Ер.
Виды простых разверток. В системах обработки изображений распространена растровая модель данных, которая соответствует двумерному изображению, хранящемуся в памяти компьютера в виде одномерной последовательности значений [10]. Рассмотрим наиболее часто применяемые типы разверток [11]:
1) Простейшие линейные развертки, упорядочение элементов двумерного массива в этом случае производится по строкам (столбцам) (рис. 1).
(х: у) order
г--. г
^ г
1..... 1
--
1 1 1
(у, к} order
1 1 1 L Ш
X- I L-- 1 -1 j
-Д
(х, - у) order
| I I
I I I .L-"
i-.....i—4---+—
i —W
(- y, - x) order
-i-V
I
4-
i\ i\
Рис. 1. Способы сканирования растров: обычный линейный порядок (Linear)
К подобным разверткам относят спиральную развертку (рис. 2), которая упорядочивается по последовательно убывающим и чередующимся строкам и столбцам.
Inward (х, у) order
1 Т.....Г.....т
-J \
--i-1-ff- ...
h -t—i—f-
Outward (у, х) order
I-
-1—1-—1~- ~
Inward (х, - у) order
Outward (- у, - х) order
...i LJ L !
...i.....J..1.1.. i 1 i
! Jp | -|.....i—f- ...j j... ...j... Lu ! ™j.....f~
Рис. 2. Спиральная развертка (Spiral)
В указанных способах сканирования учитывается автокорреляция значений ячеек только по одному направлению (по строке).
При обычном линейном порядке сканирования растровых изображений в конце каждой строки происходит скачок на начало следующей строки (рис. 2). В связи с этим изображение представляется вектором длиной ЫхЫ
(Яоо) (Н01} ■■■ (Нш)
(ы10) (нп)... {нш}
■З^ЦНоо,,.; Hj,..., Hnm1
_{Нм0) {Нт)... (Имм)_
где И,} - значения яркостей пикселей.
2) При сканировании Вот^орИеёоп нечетные строки кодируются слева на право, а четные - в обратном направлении (рис. 3).
В этом случае изображение представляется вектором длиной Мх^, где N - целое, четное число
(И00) (И01> ••• (И0м)
(Но) (Нц)- {Н1М)
(HN0) {HNо)- {HNM)_
opr R
^[H00'-"' H 0М , Н1М Н10'-"' Н2и0'-"' Н NM ]Л
Рис 3. Способ сканирования растров Boustrophedonic
3). Аналогично кодируются строки диагонального сканирования растров (Cantor diagonal) (рис. 4), но по диагонали.
(х, у) order
!— Т" Т" " ....
i
л
(у, х) order —г.....г.....т—
(х, - у) order
(- у, - х) order
!-----! !-----! г—I
i
__ \ |\ !
г y Р |
Рис. 4. Способы диагонального сканирования растров (Cantor diagonal).
Условия Гельдера -Липшица и липшицевая функция
Формально действительная функция j(x), определенная на множестве XeRN, является липшицевой, если она удовлетворяет условию GL (4), допускает геометрическую интерпретацию [3]. Если одномерная GL функция j(x) (с известной константой GL L) была вычислена в двух точках, x' и x", то в силу условия (3) на интервале [x', x"] выполняются четыре неравенства:
j(x)<j(x')+L(x-x'), x>x', (5)
j(x)>j(x')-L(x-x'), x>x', (б)
j(x)<j(x")-L(x-x"), x<x", (7)
j(x)>j(x")+L(x-x"), x<x". (б)
Таким образом, функция на интервале [x', x"] должна располагаться внутри области, ограниченной четырьмя линиями, проходящими через точки (x', j(x')) и (x'', j(x")) с угловыми коэффициентами L и -L.
В работе рассматривается задача липшицевой глобальной оптимизации на гиперинтервале, которая является фундаментальным подклассом задачи (2) c ограничениями (3), а целевая функция j(x) удовлетворяет условию GL (4). Такие задачи назы-
402
ваются задачами безусловной липшицевой глобальной оптимизации, несмотря на то что оптимизация проводится на гиперинтервале D, а не на всем пространстве RN. При этом может быть получена оценка наименьшего значения функции р(х) при ее минимизации на интервале [х', х"], поскольку ввиду условий ОЬ (5 - 8) выполняется неравенство
р(х)>Ф(х),
где Ф(х) есть кусочно-линейная функция на интервале [х', х"],
Ф(х) = шах{р(хг)-Ь(х-хг), р(х")+Ь(х-х")}, хе [х', х"].
Наименьшее значение функции Ф(х) на [х', х"] совпадает с оценкой наименьшего значения функции р(х) на данном интервале. Оно вычисляется как
Я=Я[хV']=Ф(х) = Р(х ) + Р(^) - Ь^ (9)
2 2
и достигается в точке
х = х" + х р(х") -р(х ) (10)
2 2Ь '
Условие ОЬ (3) может быть использовано для оценки глобального минимума функции на интервале, а знание константы ОЬ позволяет конструировать алгоритмы глобального поиска и доказывать условия их сходимости [12 - 14].
Редукция размерности. Для снижения сложности алгоритмов глобальной оптимизации, формирующих эффективные покрытия области поиска, в многоэкстремальной оптимизации используются схемы редукции размерности, которые сводят решение многомерных оптимизационных задач к семейству задач одномерной оптимизации и использование эффективных одномерных алгоритмов глобального поиска к редуцированной задаче.
Редукция размерности позволяет снизить сложность разрабатываемых алгоритмов глобального поиска. Данный подход позволяет задействовать аппарат одномерной многоэкстремальной оптимизации для построения эффективных многомерных методов глобального поиска.
Известен метод редукции размерности, который состоит в применении разверток единичного отрезка вещественной оси на гиперкуб. Роль сканирования р: Е"®Е1 играют непрерывные однозначные отображения типа кривой О-Р (Гильберта - Пиано), называемые ЗПК. Использование развертки О-Р у(х), однозначно отображающей единичный отрезок вещественной оси на единичный гиперкуб, позволяет свести многомерную задачу минимизации в области D к одномерной задаче минимизации на отрезке [0,1]
((У*) = Р(у(х*)) = шт{р(у(х)): хе [0,1]}, (11)
При этом кривая О-Р у(х) однозначно отображает отрезок вещественной оси [0,1] на п-мерный куб
у е ЯN : -2-1 < у1 < 2-1, 1 <, < Щ = {у(х) :0 < х < 1}.
Численное построение отображений типа кривой О-Р и соответствующая теория подробно рассмотрены в [4], причем численно построенная развертка является приближением к теоретической кривой О-Р с точностью порядка 2-т, где т - параметр построения развертки. Важным свойством является сохранение ограниченности относительных разностей функции: если функция р(у) в области D удовлетворяла условию ОЬ (4) с константой Ь, то функция р(у(х)) на интервале [0,1] удовлетворяет равномерному условию ОЬ
|р(у(хх)-р(у(х2)| <И |х -х2\Ш хг,х2 е [0,1]}, (12)
где константа Гельдера И связана с константой ОЬ Ь соотношением
Н = АЬё^, а = тахф. - аг :1 < / < Щ. Соотношение (12) позволяет сформулировать алгоритм решения одномерных задач для решения многомерных задач, редуцированных к одномерным. Для этого длины интервалов А. определяются как
Лг=(хг-хг-1)ш,
а определяется выражением
, xt + xt -i 1
xk+1 = 1Г11 -S1gn(z, - z,-1)^
2 11 2r
zt, - zt,-i
N
1 < t, < k + 1,
где zi=j(y(xi)), 1<i<k, ^ =
z,. - z,
max1
i<i<k
-i
A.
r>1 - заданный параметр надежности алго-
ритма решения многомерных задач, редуцированных к одномерным.
Редукция размерности заполняющих пространство кривых Гильберта -Пеано. Для учета семантики входной видеопоследовательности используют топологическую развертку О-Р, позволяющую учитывать двумерную связность пикселей изображения. Каждая ЗПК представлена непрерывной, не дифференцируемой кривой, проходящей через все точки (единичного гиперкуба). Алгоритм построения ЗПК дан в работе [15]. Каждая такая кривая называется «приближением» ЗПК и имеет номер, определяемый ее местом в последовательности, например кривая (рис. 5) есть второе, третье и далее приближение ЗПК. С геометрической точки зрения т-е приближение ЗПК есть повторение некоторого числа раз (т-1)-го приближения в соответствии с законом, определяемым первым приближением, поэтому ЗПК называют самоподобными кривыми.
Поскольку любая ЗПК задает способ упорядочения точек пространства В", то задание ее эквивалентно заданию соответствия между точками единичного отрезка В1 и единичного гиперкуба В" и ее алгоритмическом описании.
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
FW
fW
Щ
f*
k=8
Рис. 5. Второе, третье, четвертое, пятое, шестое и восьмое приближения ЗПК Гильберта — Пеано (Hilbert - Peano) (семейства эталонных ячеек)
При решении задач не требуется знать точного соответствия координат точки в В" и ее координат в R1. Необходимым является определенное число десятичных знаков, что позволяет масштабировать значения координат до целых значений. Ограничение точности дает возможность для поиска соответствия точек В" и В1 применять не ЗПК, а
404
ее соответствующее приближение, что упрощает решение практических задач, а число отличных друг от друга элементов пространства R" становится конечным. Такой квантованный единичный гиперкуб R" называется дискретным пространством.
Способ редукции размерности задачи глобальной оптимизации при помощи кривых (разверток) G-P х(т), те [0, 1] был предложен в работах [16 - 19]. Эти кривые являются фракталами и обладают важным свойством: они однозначно и непрерывно отображают интервал [0, 1] на гиперинтервал D. Такие кривые проходят через каждую точку области D, т. е. заполняют D, что дает основание называть их также кривыми, заполняющими пространство [16, 17, 20, 21]. Данный подход позволил разработать ряд мощных последовательных и параллельных вычислительных методов, подробно описанных в [6, 13, 18, 22].
Кривую со свойством заполнения пространства открыл в 1890 г. Дж. Пеано [23]. Это плоская кривая, заполняющая единичный квадрат и проходящая через каждую его точку по меньшей мере один раз. Кривая Пеано является предельным объектом, получаемым при выполнении следующей процедуры. Каждая сторона единичного квадрата делится на три равные части, что приводит к появлению девяти меньших квадратов. Кривая проходит эти девять квадратов в определенном порядке. Затем каждый из девяти малых квадратов аналогично делится на девять частей, и кривая модифицируется таким образом, чтобы обойти все полученные части и сохранить ее непрерывность.
В 1891 г. Д. Гильберт [15] предложил вариант кривой, заполняющей пространство, основанный на делении стороны единичного квадрата на две равные части, что делит квадрат на четыре равные части. Каждый из четырех полученных квадратов делится на четыре меньших квадрата и т. д. На каждой стадии такого деления Гильберт строит кривую, которая обходит все имеющиеся квадраты. Начальные итерации построения кривой показаны на рис. 5 (область D без потери общности представлена в виде N-мерного гиперкуба D=[—0.5, 0.5]N). В многомерном пространстве кривые G-P строятся аналогично [17, 20, 21].
Для решения задачи глобальной липшицевой оптимизации кривые могут быть применены следующим образом [16, 17, 22]. Если х(т) есть кривая G-P, то из непрерывности (в силу условия (9)) целевой функции ф(х) следует, что
min ф(х) = min ф(х(т)) , (13)
хе D те[0,1]
и исходная многомерная задача (2)-(4) редуцируется к одномерной.
При этом [22, 24] если многомерная функция ф(х) из (1) удовлетворяет условию LG с константой L, то одномерная функция ф(х(т)), те [0, 1], редуцированной задачи (13) удовлетворяет на интервале [0, 1] условию Гельдера с показателем степени 1/N,
где N из (8), и коэффициентом 2UN + 3 в виде
|ф(х(!')) - ф(х(!/'))|<2LVN + 3(|т -т'|)1/N,т,т'е [0,1].
Для решения задачи в правой части выражения (13) могут быть применены одномерные алгоритмы глобальной оптимизации.
Предположение о липшицевости целевой функции не выполняется для функции ф(х(т)) из (13), являющейся гельдеровой, однако, как показано в [16, 17, 24 - 27], многие одномерные алгоритмы липшицевой оптимизации могут быть обобщены на случай минимизации гельдеровых функций.
В численных алгоритмах применяются кривые, аппроксимирующие кривую G-P х(т) c априорно заданным уровнем разбиения, зависящим от требуемой точности поиска. Эффективные схемы вычисления таких кривых, теоретическое обоснование алгоритмов глобального поиска и программные модули, реализующие полученные методы глобальной оптимизации, подробно описаны и изучены в [16, 17, 21, 24, 28 - 29].
405
Ограничения для отображения Я1 на Я" и Я" на Я1. С помощью ЗПК [15, 30 -35] возможно сканирование изображения, причём обход изображения обладает свойством локализации, в отличие от традиционного построчного сканирования, которое является неэффективным из-за постоянной загрузки фрагментов одних и тех же объектов, которые сканировались в предыдущих строчках. Для упорядочения точек В" в В1 при сканировании и В1 в В" при развертки необходимо априорное введения дополнительных условий и ограничений, в качестве которых выступают различные функциональные зависимости, заданные формулой или геометрически, алгоритмы направленного перебора точек и прочие. Эти ограничения задают порядок обхода точек.
Задача упорядочения точек В" эквивалентна построению отображения ф: В"®В1, поскольку множества В" и В1 равномощны, но только на В1 однозначно определен порядок [36]. Операция упорядочения должна производиться так, чтобы точки близкие в пространстве В" оказались близки и в пространстве В1.
Разные виды отображения ф: В"®В1 в различной степени сохраняют локальные и глобальные свойства пространства [37].
Такие сканирования (развертки) позволяют рассматривать группы близких элементов в пространстве и сохранять топологическую близость элементов исходного пространства и элементов полученного в результате развертки одномерного массива.
Известен класс отображений, сохраняющих локальные свойства непрерывности, удовлетворяющие условию ОЬ [38], и глобальные свойства (сохраняющие меру) [22]. Так кривая О-Р определяет объём, площадь, и линию, обеспечивая однозначный способ упорядочения точек в "-мерном пространстве. Обход точек происходит так, что прежде чем покинуть некоторую ограниченную область и перейти к следующей, проходят все точки текущей области.
Точкам близким в В1 соответствуют точки близкие в В", то есть при ф-1: В1®В" сохраняются пространственные связи и отношения с ограниченным искажением метрики, подчинённым условию ОЬ.
Если функция фрегулярна по ОЬ с показателем в окрестности точки , то функция обязательно раз дифференцируема в этой окрестности.
Функция с разрывом в точке имеет показатель ОЬ в этой точке.
Такое представление в дискретном виде [39] обладает наибольшей эффективностью для одномерного представления многомерных множеств. Способ построения этой кривой описан в [37].
Виды фрактальных разверток:
1. Кривая О-Р основывается на делении каждой стороны единичного квадрата на четыре меньших квадрата. Затем каждый из четырех получившихся квадратов делится на четыре меньших квадрата и т.д. На каждой стадии такого деления строится кривая, которая обходит имеющиеся квадраты.
Рекурсивные развертки (рис. 5) являются приближением к некоторой заполняющей пространство кривой [16, 40]. Закон построения этой развертки полностью определяется первым и вторым приближением, т-е приближение заполняющей пространство кривой строится из (т-1)-го в соответствии с законом построения первого приближения (так называемой эталонной ячейкой). Развертка может быть легко обобщена на произвольную размерность массива. Данная развертка является квазинепрерывной на протяжении всего своего хода, т.е. в одномерной последовательности сохраняются двумерные связи.
2. В замкнутых блочных развертках, в отличие от рассмотренных выше, последующее приближение получается из предыдущих за счет использования связей, обеспечивающих замыкание развертки.
3. Порядок сканирования Мортона основан на иерархическом разбиении растрового двумерного изображения, охваченного линией обхода (рис. 6).
Рис. 6. Способы сканирования растров по Мортону (Morton) Z-кривая
При сканировании растра по Мортону линия сканирования представляет собой фрактал [41 - 43]. На рис. 6 ячейки растра сканируется по линии G-P, которые имеют базовый П - образный шаблон, поворачивающийся от уровня к уровню так, чтобы обеспечить непрерывность линии сканирования.
Важным свойством Z-кривой (кривой Мортона) является легкость ее построе-
n—1 n—1
ния. Если представить координаты Xи Y в следующем виде: X = ^xt2', Y = ^yt2', то
i=0
'=0
n—1
значение шага кривой определяется по формуле 2 = I (х + 2у1 )22г. Для подобного
i=0
упорядочивания оказывается, что понятия соседства в смысле положения на кривой и "соседства" в обычном двумерном пространстве очень близки.
Аналитическое описание. Для описания ЗПК необходимо знать вид ее эталонной ячейки (рис. 5). Будем предполагать квазинепрерывность всех приближений ЗПК, это означает, что все участки т-го приближения ЗПК имеют длину Икт и направлены параллельно осям системы координат.
Семейство эталонных ячеек (а-семейство) для произвольной размерности пространства п, которое получается из общей формулы
п
Р (я) = I ( (Я) (14)
г=1
так как при каждом / только одна из функций р1,/ = 1, п отлична от нуля.
Записать функции (1,/ = 1, п можно взяв целую часть:
р/ (я) = I^(-1)еМег(я / 23 + 0,5) - (--1)вп(1вг((я+1) / 23 + 0,5) ^ 7 = ^.
При подстановке я=0, 1, 2,..., 2п-1 и конкретном п из (14) получаем последовательность, являющуюся описанием эталонной ячейки а- семейства п -й размерности. При других значениях также можно строить различные эталонные ячейки. Для п=2 и к=3, 4,. показано семейство эталонных ячеек, являющееся обобщением ячейки а- семейства для п=2, к=2 (рис. 5).
В заключение следует отметить, что сравнение спектров двух одномерных последовательностей [39], полученных с помощью линейной развертки и развертки О-Р при обработке тестового изображения показал, что при применении развертки О-Р изображение, восстановленное с усеченным спектром лучше коррелирует с исходным, а применение развертки О-Р позволяет снизить количество бит необходимых для хранения (передачи) изображения.
Выводы
Проведенный анализ научно-технической задачи разработка метода и моделей обработки растровых изображений позволяет сделать следующие выводы:
1. Для числовых функций одного действительного переменного Р. Липшицем (Я. Ьipschitz, 1864) введено условие, преобразованное Гёльдером (О. Ио/ёвг), и называется условием ОЬ порядка а с константой Липшица. Векторные пространства функций,
удовлетворяющих условию ОЬ, образуют Гёльдерово пространство. Показатель ОЬ является вещественным и характеризует гладкость функции, а локальный (точечный) показатель ОЬ характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке
2. Условие ОЬ представляет неравенство, в котором приращение функции ф(х) оценивается через приращение ее аргумента, т.е. свойства функций ф: 0.®В, заданных на множестве 0.<^Я", таких, что для всех хе Е, достаточно близких к у и показателем а (порядка а), где 0<а<1, и коэффициентом А(у),
Функция ф имеет локальный (точечный) показатель ОЬ в точке , если существует константа и полином порядка такой, что .
3. Редукция размерности задачи глобальной оптимизации при помощи кривых (разверток) О-Р х(т), те[0, 1], которые являются фракталами, определяет важное свойство: они однозначно и непрерывно отображают интервал [0, 1] на гиперинтервал Б и проходят через каждую точку области Б, т. е. заполняют Б, что дает основание называть их кривыми, заполняющими пространство.
4. Заполняющие пространство кривые О-Р и Мортона ^-кривая), обладают искомым свойством локализации. Они рекурсивно сканируют квадрант за квадрантом и не делают длинных переходов из одного квадранта в другой.
5. Константа ОЬ существенно влияет на скорость сходимости алгоритмов лип-шицевой глобальной оптимизации, поэтому важным является корректность оценки. Заниженная оценка истинной константы ОЬ Ь может привести к потере глобального решения, а слишком большое значение оценки константы Ь для минимизируемой целевой функции предполагает (вследствие условия Липшица (4)) сложную структуру функции с резкими перепадами ее значений и узкими зонами притяжения точек минимумов и влечет медленную сходимость алгоритма к точке глобального минимума.
Использование только глобальной информации о поведении целевой функции в ходе ее минимизации может значительно замедлить сходимость алгоритма к точке глобального минимума.
6. Заданное рекурсивное отображение можно построить перечислением на В1 элементов клеточного разбиения в том порядке, в каком через них проходит соответствующая аппроксимация кривой О-Р, т.е. развертывания кривой на числовую ось. Использование развертки О-Р, при оцифровке и вводе информации в ЭВМ сохраняется изначальная топология изображения. Однако не целесообразно вводить в ЭВМ для обработки оцифрованное изображение полностью, т.к. изображение обладает информационной избыточностью, поэтому необходимо решить проблему уменьшения объема вводимой в ЭВМ исходной информации.
7. Однородный показатель ОЬ функции ф на множестве определяется предельным спадом его Фурье-преобразования или спадом коэффициентов вейвлет-преобразования функции, находящихся на линии локальных максимумов модуля вейвлет-преобразования. Функция ф ограничена и имеет однородный показатель ОЬ на множестве.
Список литературы
1. Александров В.В., Лачинов В.М., Поляков А.О. Рекурсивная алгоритмизация кривой, заполняющей многомерный интервал. Известия Академии наук СССР. Серия "Техническая кибернетика". №1. 1970. С. 192-198.
2. Александров В.В., Горский Н.Д. Представление и обработка изображений, рекурсивный подход. Л.: Наука, 1985. 190 с.
3. Манжиров А.В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. 384с.
4. Strongin, R.G. Global Optimization with Non-convex Constraints. Sequential and Parallel Algorithms / R.G. Strongin, Ya.D. Sergeyev - Kluwer Academic Publishers, 2000. 704 p.
5. Floudas C.A. A Review of Recent Advances in Global Optimization / C.A. Floudas, C.E. Gounaris // Journal of Global Optimization. Vol. 45, №1. 2009. P. 3-38.
6. Стронгин Р.Г. Параллельные вычисления в задачах глобальной оптимизации / Р.Г. Стронгин, В.П. Гергель, В. А. Гришагин, К. А. Баркалов. М.: Издательство Московского университета, 2013. 280 с.
7. Pinter J.D. Global Optimization: Scientific and Engineering Case Studies / J.D. Pinter - Springer, 2006. 546 p.
8. Пфанцаглъ И. Теория измерений. М.: Мир, 1976. 248 с.
9. Александров В.В., Горский Н.Д. Алгоритмы и программы структурного метода обработки данных. Л.: Наука, 1983. 208 с.
10. Беликова Т.П. Обработка изображений и синдромный анализ признаков для улучшения изображений / Т.П. Беликова, И.И. Стенина, Н.И. Яшунская // Компьютерная оптика, 1997. №17. С. 103-111.
11. Горский Н.Д., Мысько С.Н., Сухаричев В.П. Сравнительное исследование некоторых характеристик двумерных разверток. Л.: 1982. 24 с.
12. Гришагин В.А., Стронгин Р.Г. Оптимизация многоэкстремальных функций при монотонно унимодальных ограничениях. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984 №4. С. 203-208.
13. Стронгин Р.Г. Информационный метод многоэкстремальной минимизации при измерениях с помехами. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1969. №6. С. 118-126,.
14. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функции. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.. 1972. №12(4). С. 888-896.
15. Hilbert D. Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück. Mathematische Annalen 38. 1891. P. 459-460.
16. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. Информационно-статистический подход. М.: Наука, 1978. 240 с.
17. Стронгин Р.Г. Поиск глобального минимума. Знание, М., 1990. 50 с.
18. Стронгин Р.Г. О сходимости одного алгоритма поиска глобального экстремума. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1973. №4. С. 10-16,
19. Butz R. Space filling curves and mathematical programming. Inform. Control. 1968 №12(4). P. 314-330.
20. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных систем. М.: Мир, 1993. 206 c.
21. Sagan H. Space-Filling Curves. Springer-Verlag, N. Y., 1994. 196 p.
22. Strongin R.G., Sergeyev Ya.D. Global optimization: Fractal approach and nonredundant parallelism. J. Global Optim. 2003 №27(1). P. 25-50.
23. Peano G. Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane. Mathematische Annalen. 1890. №36. P. 157-160.
24. Strongin R.G., Sergeyev Ya.D. Global Optimization with Non-Convex Constraints: Sequential and Parallel Algorithms. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000, Springer 2nd ed. 2013, Springer 3rd ed. 2014
25. Vanderbei R.J. Extension of Piyavskii's algorithm to continuous global optimization. J. Global Optim., 1999. №14(2). P. 205-216.
26. E. Gourdin, B. Jaumard, R. Ellaia. Global optimization of Holder functions. J. Global Optim, 1996. №8(4). P. 323-348.
27. Lera D., Sergeyev Y.D. An information global minimization algorithm using the local improvement technique. J. Global Optim, 2010. №48(1). P. 99-112.
28. Gergel V. P. A software system for multiextremal optimization. European J. Oper. Res, 1993. №65(3). P. 305-313.
29. Стронгин Р.Г., Гергель В.П. О реализации на ЭВМ многомерного обобщенного алгоритма глобального поиска. Вопросы кибернетики. Случайный поиск в задачах оптимизации, АН СССР. М., 1978. С. 59-66.
30. Velho L., Gomez J. Digital Halftoning with Space Filling Curves. Computer Graphics. Vol. 25, №4, 1991.
31. Lawder J.K., King P.J. Using Space-filling Curves for Multi-dimensional indexing. Lecture Notes in Computer Science. 2000. Vol. 1832/2000. P. 20-35.
32. Biswas S. Hilbert Scan and Image Compression. Pattern Recognition, 2000. Proceedings. 15th International Conference. Vol. 3. P. 207 - 210.
33. Cole A. J. Compaction Technique for Raster Scan Graphics Using Space-filling Cureves. Computer journal, 1987. № 30. P. 87 - 92.
34. Warren H. Hakker's Delight. Addison Wesley, 2004. 284 p.
35. Liang JY, Chen CS, Huang CH. Lossless Compression of Medical Images Using Hilbert Space-Filling Curves. Computerized Medical Imaging and Graphics. April 2008. Vol. 32, Issue 3. P. 174- 182.
36. Александров В.В., Горский Н.Д. Алгоритмы и программы структурного метода обработки данных. Л.: Наука, 1983. 208 с.
37. Александров В.В., Лачинов В.М., Поляков А.О. Рекурсивная алгоритмизация кривой, заполняющей многомерный интервал // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. №1. С. 192-198.
38. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия. И.М. Виноградов, 1977. 1985.
39. Горский Н.Д., Мысько С.Н., Сухаричев В.П. Сравнительное исследование некоторых характеристик двумерных разверток. Л.: ЛНИВЦ, 1982. 24 с.
40. Александров В.В., Горский Н.Д., Поляков А.О. Рекурсивные алгоритмы представления и обработки данных. В кн.: Алгоритмы и системы автоматизации исследований и проектирования. М.: Наука, 1980. С. 40-78.
41. Csendes T. Developments in Reliable Computing. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 2000.
42. Dixon L.C. W. Global optima without convexity. Technical report, Numerical Optimization Centre, Hatfield Polytechnic, Hatfield, England. 1978.
43. Evtushenko Yu.G., Potapov M.A. Deterministic global optimization. In E. Spedicato, editor, Algorithms for Continuous Optimization: The State of the Art, NATO ASI Series, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994. P. 481-500.
Михайлов Анатолий Александрович, д-р техн. наук. профессор, mih0l@ mail.ru, Россия, Новочеркасск, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова,
Алатар Али Ихсан, аспирант, mih01@mail.ru Россия, Новочеркасск, Южно -Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова
ANALYSIS OF SCANNING ALGORITHMS (SWEEP) FOR INFORMA TION SYSTEMS
RECOVERY DYNAMIC IMAGES
A.I. Alatar, A.A. Mikhaylov 410
This article discusses the stage of selection of scanning algorithms (sweep) for the design technology of information systems for automatic recovery (reconstruction) of distorted images, which is reduced to a comparison of scanning algorithms (sweep) of input information of dynamic image recovery systems. The purpose of the selection of scanning algorithms (sweep) for the design of information systems for automatic recovery (reconstruction) is the selection of technical andformation of information, mathematical and software.
Key words: row (column) scanning, the condition of Gelder - Lipschitz (GL), the space-filling curve, Methods of raster scanning, linear scanning, Spiral scan, scan Boustro-phedon, diagonal raster scan, the curve Peano- Gelder.
Mikhailov Anatoly Alexandrovich, doctor of technical sciences. professor, mihOlamail. ru, Russia, Novocherkassk, South - Russian state Polytechnic University (SPI) named after M.I. Platov,
Alatar Ali Ihsan, postgraduate, mihOlamail.ru, Russia, Novocherkassk, South -Russian state Polytechnic University (SPI) named after M. I. Platov
УДК 004.942
МУЛЬТИАГЕНТНАЯ МОДЕЛЬ СЕТИ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ СПЕЦИАЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ
Д.В. Волков
Рассматривается моделирование сети передачи данных специального назначения на основе мультиагентного подхода. На основе данного подхода построена мультагентная модель функционирования сети передачи данных специального назначения. Представлены результаты моделирования сети передачи данных специального назначения, которые позволяют наглядно оценить пропускную способность сети и провести на данной модели различные эксперименты.
Ключевые слова: агент, агентное моделирование, сеть передачи данных специального назначения, пропускная способность.
Оценка эффективности функционирования сетей передачи данных специального назначения может проводиться как на этапе планирования, так и в процессе их развертывания, эксплуатационного обслуживания и свертывания. В ходе функционирования сети передачи данных в органы управления постоянно поступает информация о состоянии сети и ее элементов. На основании полученной информации проводится статистическая оценка эффективности функционирования сети.
Под сетью передачи данных специального назначения (СПД СН) понимается совокупность комплексов оконечных средств обмена данными, коммутационных центров, соединенных каналами передачи, через которые проходят пакеты сообщений в процессе передачи оконечного оборудования отправителя до оконечного оборудования получателя.
Противоборствующие стороны стремятся получить выигрыш во времени в свою пользу. К множеству факторов, способствующих достижению этого выигрыша, относится и сокращение выбора на передачу (прием) различных сообщений. Задачи сети связи специального назначения состоят не в том, чтобы обеспечивать должностным лицам наилучшее качество обслуживания, а в том, чтобы при имеющихся средствах передавать максимальное количество сообщений с заданным качеством. Поэтому необходимо знать, обладает ли СПД СН необходимой пропускной способностью для реализации потребностей должностных лиц органов управления.
411
