CC BY
30
УДК 517.91.1
АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ И КОРРЕКТНОСТЬ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ ТИПА ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ
© И. Р. Шакуров*, Р. М. Асадуллин
Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы Россия, Республика Башкортостан, 450000 г. Уфа, ул. Октябрьской революции, За. Тел./факс: +7 (347) 272 35 28.
E-mail: ildarshakurov@bk.ru
Первые интегралы играют определенную роль в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). С одной стороны, они снижают размерность системы ОДУ, сводя ее к алгеб-ро-дифференциальной, с другой стороны, позволяют анализировать поведение решений, не зная самих решений. В работе рассматривается один из методов построения первых интегралов для систем специального вида.
Ключевые слова: система обыкновенных дифференциальных уравнений, первые интегралы системы, необходимое и достаточное условие, полином, численные методы решения ОДУ.
Введение
В работе будем рассматривать системы дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями произвольной степени. Подобные системы ОДУ возникают при моделировании различных химических и биологических процессов. Предлагается новый способ нахождения соответствующих полиномиальных первых интегралов в явном виде. Кроме того, дается описание всего перечня элементарных шагов, которые нужно проделать, чтобы найти полиномиальный первый интеграл.
Рассмотрим следующую систему ОДУ первого порядка вида
~Т = $ * ( Х2, к , X X к=1Х...,п, (1)
аг
х1,х2,.,хп - неизвестные функции от г.
Пусть у(х1,х2,...,хп)=С - первый интеграл системы (1) (в нашем случае полиномиальный). Тогда необходимым и достаточным условием существования первых интегралов является выполнение соотношения [1]:
k=1
др
dx,,
О
(2)
Алгоритм построения
1) Для системы (1) выпишем соотношение
(2).
2) В (2) выделяем коэффициенты при соответствующих равных степенях х и приравниваем их к нулю. Получаем систему однородных алгебраических уравнений.
3) Полученную на 2-ом шаге систему решаем относительно неизвестных коэффициентов первого интеграла.
4) В случае, если решения ненулевые, подставляем найденные неизвестные коэффициенты в исходную форму первого интеграла.
Рассмотрим пример из [1] (стр. 473), в котором применим каждый шаг алгоритма. В работе первые интегралы найдены в виде
(%2 — Хз ) + х2 = С .
Пример. Для системы
х
X.
x2 - x3,
= X1 I X2,
х3 = 2 х1 + х2
будем искать квадратичный интеграл в виде
W = $ц х1 + $22 х2 + $33 хз +
+
$12 ^^1 х2 I Я23 2 хз I $13 ^^1 хз
1) Используем необходимое и достаточное условие (2)
(2$11 х1 + $12х2 + $13х3) • (х2 - х3) +
+ (2$22 х2 + $12 х1 + $23 х3) • (х1 + х2) +
+ (2$33 х3 + $23 х2 + $13 х1) • (2 х1 + х2) = 0.
где $1 - неизвестные коэффициенты.
2) Выделим коэффициенты при одинаковых степенях и приравняем к нулю.
X12: a12 I 2a13
О;
x2 2 : a12 I a23 I 2a22
О;
x
- a13 = О;
X1 x2:
2a221 a1212a1112a231 a13 = О:
x1 X2: a13 x1 x3 : a23
a12 + 2a33 + a23
2a11 I 4a33
О;
О;
3) Определитель системы равен нулю, следовательно, система имеет нетривиальное решение. Решая систему, находим
2
* автор, ответственный за переписку
426
МАТЕМАТИКА
a,
*13
О, ^2 = О, О- = -—,
а
а
11
23
2
a
а
23
22
■-----------, Ооо
2 23
■ 0,23-
4) Для данной системы первым интегралом будем выражение
1 2 _ I ^
2 а23 ' Х1 2 а23
1
—а
2
23 ' *3 + 023
■ х2 х3 = С
Видим, что первый интеграл, найденный нашим методом, полностью совпадает с первым интегралом, найденным в [1].
В работе Еругина первые интегралы ищутся, после того как система ОДУ решена. Воспользовавшись нашим алгоритмом, можем найти первый интеграл, не решая систему.
Алгоритм, описанный выше, дает возможность показать, что для системы двух линейных дифференциальных уравнений
\ *1 = 011 *1 + 012 \х„
2
021 *1 + 022 *2-
нелинейным первым интегралом будет выражение
W = *
2
2011 012 2
— *1 *2-----------“ *2
021 021
при выполнении условия а11 + а22 — 0 .
Также легко показать, что для систем трех и четырех линейных дифференциальных уравнений
при выполнении условий а11 + а22 + азз — 0 и
а11 + а22 + азз + а44 — 0 , находятся нелинейные первые интегралы третьего и четвертого порядка соответственно.
Для упрощения вычислений данный алгоритм легко может быть реализован на одном из математических пакетов. Например, в среде Мар1е [2], используя команды, й$(/,х1,х2,...,хп) - для вычисления производной, collect(b,x,’distributed’) - для группировки коэффициентов при соответствующих степенях, coeffs(p,x) - для выделения коэффициентов и solve(q,k) - команда для нахождения неизвестных коэффициентов.
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений в виде
х1 = а11 *1,
*2 а22 *2,
х = ах .
п пп п
(3)
К такой системе первый интеграл будем искать в виде
W = С*1 х2 ... хп (4)
Теорема. Если в системе (3) выполнено условие а11 + а22 + к + апп = 0, то существует первый интеграл вида (4).
Доказательство. Проверим необходимое и достаточное условие существования первых интегралов
дW . дW . дW . Л
Т— • * + ---- • *2 + к + ---- • *п = 0
дх, дх, д*
12 п
Сх2х3 ...хп • а11 х1 + С*1 х3 ...хп • а22х2 +
Сх1 х2х4 к.хп • а33х3 + к +
+ С*хп к.х , • а х = О
С*,х2*3 к * • (а,, + а22 + к а ) = О
123 п V 11 22 пп /
В силу того, что в последнем равенстве выражение в скобках равняется нулю, следует доказательство теоремы.
Наряду со стационарными системами, алгоритм нахождения нелинейных полиномиальных первых интегралов можно применить и для нестационарных полиномиальных систем дифференциальных уравнений [3].
С использованием условия (2), также легко решается обратная задача, т.е. задача восстановления коэффициентов системы ОДУ с полиномиальными правыми частями определенной степени по известному полиномиальному первому интегралу.
Покажем для примера из [1] (стр. 474) метод нахождения коэффициентов системы, если известен первый интеграл.
Пример. Для линейной системы 4-го порядка
(5)
* = У а..*.
і і—! У 1
1=1
найдены интегралы W1=х1х4-х2хз и W2=х1хз.
Требуется восстановить коэффициенты системы по первому интегралу.
Для первого интеграла запишем необходимое и достаточное условие
д^ . д^ . д^ . дW .
• х +-
• *2 +Ъ д*
• *3 + 3
дхЛ
-• *4 = 0.
Эх1 1 Эх2 ^х3 ^х4
Выделяя коэффициенты при одинаковых степенях х, и приравнивая к нулю, получим
а.
а33 ’
а34 ’
14 0; а23 0; а32 = 0; ' а41 0, а
31 = а42 , а21 = а43 , а12 = а34 , а22
13 = а24 ; а24 = а24 , а — = а33 , а34
42 3 4 42 а = = а43 ; а44 = а44
Из этого следует, что исходная система имеет
вид:
4
а
x&i ~~ 44 Xl + a34 x>2 + a^4 -X3,
X&2 43 X1 ^^33 X2 1 a24 X4,
X&3 a42 X1 + a33 X3 + a34 X4,
X&4 ~~ a 42 X2 + a 43 X3 + a 44 X4.
(6)
Здесь (а24,азз,аз4,а42,а4з,а44) произвольный век-
пб
тор из к .
Другой интеграл W2=XlXз восстанавливает следующую линейную систему четвертого порядка:
*1 =-а11 X1, *2 = їі( *, г)
*3 = ап *3, .*4 = /А( х, г),
где *=(*],...,х4), /2(х,г), /4(х,г) - произвольные функции.
Если восстановить коэффициенты системы (5), по двум первым интегралам W1=х1х4-х2хз и W2=х1хз, получим
xl = -allxl, x2 = al5xl - allx2
(7)
х3 — а11 х3, х4 — а15 х3 + а11х4,
где (ап,а15) из Я2.
Системы (6) и (7) описывают широкий класс систем, в том числе и систему из [1].
Корректность использования первых интегралов Первые интегралы играют определенную роль при исследовании и решении систем ОДУ. Они позволяют сократить размерность системы, сводя ее к алгебро-дифференциальной.
Рассмотрим следующую модельную систему
ОДУ
|х = у, (8)
1у = _х-
с начальными условиями х(0)=0.5, у(0)=0.5. Для системы (8) первым интегралом будет выражение
х2+у2=0.5.
Найденным первым интегралом можно заменить первое или второе уравнение в системе (8).
х2 + у2 = 0.5,
у = _х.
Из первого уравнения находим х по формуле х = 0.5 _ у2 , а второе решаем численным мето-
дом [4], находим у.
В силу того, что значения х положительны (у убывает на [0,1] и все значения у по модулю меньше 0.5), то выражение ±^0.5 _ у2 можем рассматривать без знака минус на [0, 1].
II.
Заменим второе уравнение системы (8) первым интегралом, а первое оставим без изменения
|х = У,
[х2 + у2 = 0.5.
Первое уравнение решаем численным методом, находим х, а из второго уравнения найдем у из формулы у = +д/0.5 _ х2, причем как видно у принимает до определенного шага положительные значения, затем отрицательные.
Программная реализация для (II) ,требует дополнительного условия определения шага, на котором у меняет знак.
Исходя из описанного выше примера, отмечаем важность дополнительных исследований при замене первым интегралом одно из уравнений системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979. 570 с.
2. Дьяконов В. П. Математическая система Мар1е V - М.: Солон, 1998. 350 с.
3. Шакуров И. Р., Асадуллин Р. М. Первые интегралы для неавтономных систем ОДУ с полиномиальными правыми частями. // Ученые записки: сб. научн. статей физикоматематического факультета БГПУ, выпуск 10, Уфа, 2009. С.122-125.
4. Лапчик М. П., Рагулина М. И., Хеннер Е. К. Численные методы. М.: Издательский центр «Академия», 2008. 384 с.
I.
Поступила в редакцию 22.0з.2012 г.
