Алгоритм решения системы трансцендентных уравнений, определяющих условия совместной работы узлов двигателя Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-2/2016 ISSN 2410-700Х_

вертикально. Для этого необходимо организовать набор из N копий сцены, в каждой из которых

изображения повернуты на угол а-, а = 0,1,...,N — 1. На рис. 4 представлен результат поворота участка

N

изображения глазного дна, представленного на рис. 2, а, примеры сечений по яркости по строкам и результат накопления яркостей по столбцам вдоль строк в пределах выделенного участка глазного дна.

Для обнаружения узких протяженных объектов анализируются участки, уровень которых ниже среднего уровня яркости и описываются в виде контура в комплекснозначном коде. Определение текущей ширины перепада яркости в каждом канале накопления производится с помощью контурного фильтра скользящего среднего (рис. 5). Фильтр скользящего среднего (ФСС) широко используется при обработке контуров и имеет чрезвычайно простую реализацию [3, стр.87.] В обнаружителе длина выходного вектора контурного ФСС сравнивается с порогом по ширине. В случае не превышении длины выходного вектора

контурного ФСС порога, принимается

140

решение об обнаружении объекта.

120

100

80

60

Средний уровень инте 1 нсивности

i

\ /

\J ^бЪект

0 50 100 150 200 250

Рисунок 5 - Определение текущей ширины перепада яркости

После обнаружения фрагмента изображения сосуда благодаря сильной корреляции между пространственными положениями его других фрагментов осуществляется прослеживание всего изображения [4, с. 104].

Список использованной литературы:

1. Сойфер, В. А. Компьютерная обработка изображений // Вестник российской академии наук. - 2001, Т. 71, № 2. С. 119-129.

2. Ильясова, Н. Ю. Оценивание геометрических признаков пространственной структуры кровеносных сосудов // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 3. - С. 529-538.

3. Введение в контурный анализ и его приложение к обработке изображений и сигналов / Под ред. Я.А.Фурмана. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

4. Танаева, Е.Г., Алгоритм выделения сосудистой системы сетчатки на изображениях глазного дна на основе контурного анализа / Е.Г. Танаева, Р.Г. Хафизов, // Символ науки. - 2016. - №1. - С. 102 - 107

© Танаева Е. Г., 2016

УДК 51-74

А.В. Титов, к.т.н., профессор Б.М. Осипов, к.т.н., профессор Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, РФ

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОЙ РАБОТЫ УЗЛОВ ДВИГАТЕЛЯ

Аннотация

В статье изложены алгоритм решения трансцендентных уравнений, который позволяет решать задачи

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-2/2016 ISSN 2410-700Х

согласования характеристик узлов ГТД.

Ключевые слова

Газотурбинный двигатель, математическая модель, система уравнений.

Как известно [1,2] в математической модели программного комплекса вычислительный процесс построен по методу невязок, т.е. в результате последовательного расчета модулей узлов и на основе анализа входных данных автоматически формируется система определяющих уравнений вида

—1(х1, х 2, х 3,... хп ) = у 1 — 2( х1, х 2, х3,... хп) = у 2

(1.1)

—п( х1, х 2, х3,... хп) = уп

Где ^ (|=1,2,...,п) - некоторые функции отличные от нуля на величину невязки у (|=1,2,...,п) вследствие приближенного задания значений независимых переменных (варьируемых параметров) XI (1=1,2,...,п). В результате решения системы уравнений (1.1) требуется определить значения варьируемых параметров XI, при которых невязки у1 обратились бы в ноль с заданной точностью. Для решения таких систем применяются различные математические методы. Хорошо зарекомендовал себя метод Ньютона и ряд его модификаций.

Опыт эксплуатации показал, что широко известный метод Ньютона и его модификации часто не обеспечивает решения данной системы, поэтому был разработан специальный метод. Он включает в себя метод Ньютона-Рафсона. Основное усовершенствование метода заключается в следующем.

Вычисление матрицы Якоби осуществляется путем односторонней вариации по всем варьируемым параметрам "х" системы уравнений (1.1) с нормированием столбцов по формуле

X = Х01 + 4 т (Хтах1 - хтп ), (1.2)

где Х01 - исходное значение варьируемого параметра; х1 - значение варьируемого параметра после вариации;

^maxi ,^mmi

- границы изменения варьируемого параметра;

т - масштаб вариации;

dl - нормирующий коэффициент, первоначально принимаемый равным 1 и затем после вычисления элементов матрицы Якоби уточняемый по формуле

di =

1

(1.3)

f n \

X a

V j=1

где а. - элементы матрицы Якоби.

А =

dfi dfi dfi

dxx dx2 ' ' dxn

df2 df2 df2

dxj dx dxn

dfn dfn ' ' df n

dx dx2 ' ' dxn

(1.4)

Частные производные | -—■ | ^ вычисляются численным методом по следующей формуле

ёх у

f dL\

V dx )

У 0i - yj 0

d. • m (x - x )

i V max i min i f

(1.5)

2

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-2/2016 ISSN 2410-700Х Таким образом получаются матрица Якоби А и матрица нормирующих коэффициентов

d 0 0 0 0 d, 0 0

D =

0 0 0 d.

(1.6)

В результате перемножения матриц А и D получается матрица N.

N = AD (1.7)

После обращения матрицы N и умножения ее на вектор невязок в исходной точке получается искомый вектор приращений к варьируемым параметрам

А X = N уо (1.8)

После чего определяются новые значения варьируемых параметров на данном приближении.

Х1 = Х01 + А Х1 (1.9)

В процессе каждого приближения вдоль вектора, проходящего через точки хо1 и х1, определяющего направление поиска решения, осуществляется линейный поиск лучшего значения нормированной суммы квадратов невязок

X y2

2 2

2=1

S = -- , (1.10)

11 П

поэтому вместо уравнения (1.9) используется уравнение вида

Х1 = Х01 + Л А Х1 (1.11)

Линейный поиск сводится к поиску такого значения Л , при котором бы функция S (Л) принимала минимальное значение.

Стратегия линейного поиска заключается в следующем. Вначале делается единич-ный шаг по уравнению (1.11) при Л =1 и если он удачен (произошло уменьшение S), то на этом приближение заканчивается. В случае неудачного шага ^ > Sо), осуществляется поиск наилучшей длины шага методом параболы (аппроксимация функции S (Л) уравне-нием параболы с поиском его минимума), или методом Киффера (с использованием чисел Фибоначчи). Выбор того или другого метода осуществляется автоматически в зависимо-сти от сложившейся ситуации в процессе поиска. В случае нулевых шагов (Л = 0), что дает возможность предполагать наличие "овражной" ситуации, или "локального минимума" используется овражный алгоритм И.М.Гельфанда.

Кроме перечисленных усовершенствований предусмотрена возможность сохранения матрицы N текущего приближения, если оно оказалось удачным по темпу уменьшения S. В этом случае при расчете А X для последующего приближения по уравнению (1.8) вместо у0 , берется вектор невязок у полученный в процессе данного приближения.

Список использованной литературы:

1. Осипов Б.М., Титов А.В., Хамматов А.Р. Исследование энергетических газотурбинных приводов на основе математических моделей. // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2010. № 1. С. 4547.

2. Осипов Б.М., Титов А.В., Хамматов А.Р. Инструментальная среда исследования газотурбинных установок. // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. 2009. № 1. С. 22-25.

© Титов А.В., Осипов Б.М., 2016