Алгоритм раздельного определения влажностного поля в талой и мерзлой зонах в задаче тепломассопереноса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.546

АЛГОРИТМ РАЗДЕЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЛАЖНОСТНОГО ПОЛЯ В ТАЛОЙ И МЕРЗЛОЙ ЗОНАХ В ЗАДАЧЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

А. Р. Павлов, М. В, Матвеева

При математическом моделировании тепломассопереноса в промерзающих-протаивающих дисперсных средах исходят из существования двух различных предположений о движении влаги. Первый подход основан на допущении наличия миграции влаги как в талой, так и в мерзлой зонах, а при втором рассматривается движение влаги только в талой зоне. В насыщенных пористых средах процесс промерзания сопровождается фазовым превращением влаги в спектре отрицательных температур согласно кривой незамерзшей воды. При этом на границе фазового перехода скачком замерзает так называемая свободная вода. Определение влажностного поля из указанных математических моделей имеет определенные особенности и трудности.

1. Постановка задачи. Пусть требуется определить распределения температуры и влажности в процессе промерзания из решения следующей задачи тепломассопереноса, заданной в области 0 ^ х ^ I,

г > 0.

Температурная задача состоит из следующих уравнений:

* •

(2)

© 2010 Павлов А. Р., Матвеева М. В.

На границе раздела фаз задано условие типа Стефана

Т = Т*, х = £(*), (3)

= Х = <4>

На левом конце стержня х = О задано условие теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона:

дТ

\1— = а(Т-Тс), х = 0, (5)

а на правом конце х = I — условие отсутствия теплопотока

дТ

- = 0, х = 1. (6)

Начальное распределение температуры по длине стержня известно:

Т(х,0) = ^(х), х < I. (7)

Уравнения для влажности в случае учета миграции влаги как в талой, так и мерзлой зонах задаются в каждой зоне:

д~Ш д ( д\¥л \

д^ д (

1¡г = я т<1<1'

(9)

Граничные условия для уравнений (8), (9) формулируются в зависимости от их фазового состояния. В талой области задаются условия (на левой границе происходит влагообмен с окружающей средой, а на правой отсутствует поток влаги):

д^

к2— = - ф), х = О, Т>П, (10)

дх

д^

— = 0, х = 1, Т>п. (11)

дх

Для мерзлого состояния указанные условия принимают следующий вид:

к1—1 = а*(Ш1-ф), х = 0, (12)

дх

х = 1, Т^П. (13)

дх

Начальное распределение влаги во всей области задано так:

Щх,0) = у>* (х), х < I. (14)

Условие на границе фазового перехода следует из подсчета баланса массы (аналогично условию Стефана):

с®

Здесь введены следующие обозначения: Т(х, ¿), Т* — температура точки области с координатой х в момент времени £ и температура фазового перехода; С1, С2 (Л1, Л2) — объемные теплоемкости (коэффициенты теплопроводности) мерзлой и талой зон; Тс — температура среды; Ь — теплота кристаллизации 1 м3 воды; - весовая влажность талой

зоны; Жх — влажность по жидкой фазе в мерзлой зоне (функция количества незамерзшей воды); Ж — весовая влажность по твердой фазе (льду); Ж = + Ж2 — суммарная влажность в мерзлой зоне; к\, — коэффициенты диффузии влаги соответственно в мерзлой и талой зонах; а* — коэффициент влагоотдачи; -0(х) — равновесная влажность, ниже которой нет влагообмена с окружающей средой соответственно. К уравнениям (1)—(15) присоединяется дополнительное условие

Т = 1\ + ^^(Т2-Т1), а < х <Ъ, (16)

Ь — а

обоснование которого дано в предыдущей нашей работе [1].

2. Разностная задача. Для численного решения задачи (1)-(16) вводится равномерная пространственно-временная сетка с шагами Н и т:

ТПь,т = ~йк х йт, Тиь = {х^ = гк, г = 0, N, к = //./V}, йт = = зт, з > 1}.

Для построения однородной разностной схемы для температурной задачи предварительно уравнения (1), (2), (4) записывают в виде одного уравнения, заданного во всей области. Идея такого подхода была заложена еще в работах [2,3]:

дТ д / дТ \ ТЗШ2

где

с={°и Т<Т. Л=/Ль Т<Т„

\ с2, Т > Т*, \ Л2, Т> Т*.

Функция в отличие от соответствующей функции уравнения (1) определена и при Т = Т*, т. е. включает ее значение, входящее в правую часть (4). Справедливость данного утверждения проверяется применением методики, развитой в работах [2,4,5].

Граничные и начальные условия (5), (6), (7) сохраняются и для уравнения (17).

Разностный аналог для задачи тепломассопереноса имеет вид [1] СТТ=(\ТХ)Х + Ь\¥2<Ъ (18)

Т0 = к1Т1+и1, (19)

Ты = к2Тм-1 + (20)

Т<Т*, (21)

^ = , Т > Т*. (22)

В начальный момент, когда обе границы находятся в талом состоянии, граничные условия имеют вид

= (23)

= — + Щ- (24)

Выражения коэффициентов и свободных членов в условиях (19), (20), (23), (24) получаются из аппроксимации соответствующих граничных условий интегро-интерполяционным методом и приведены в [1].

Когда в процессе промерзания граница фазового перехода окажется внутри области, на левой границе имеет место условие (12), а на правой — (11)- Заметим, что в левых частях условий (12), (13) вместо функции \У± можно взять IV, имея в виду равенство = 0. Тогда разностный аналог условия (12) примет вид

Ш0=Ш0+ §^1Д/2(^1Д - Wlt0) - - ф). (25)

НН

Заметим, что в разностном уравнении (21), из которого определяется суммарная влажность, требуется наличие не менее трех узлов разностной сетки в мерзлой области, т. е. фронт фазового перехода должен удовлетворять условию £(£) ^ х2. В том случае, когда х < £(£) < х2, в качестве трех узлов берутся щ, хх, £(£) и на этой совокупности узлов аппроксимируется уравнение (8)

+ (26)

Н1 V £ — Н Н )

Алгоритмы численного решения математических моделей тепло-массопереноса разработаны на основе перехода от уравнений, заданных в талой и мерзлой зонах, к одному уравнению, определенному во всей области [6]. Преимущество такого подхода заключается в том, что отпадает необходимость задания значения влажности на фазовой границе со стороны талой зоны.

Возможен и другой подход при численной реализации математических моделей тепломассопереноса. В этой работе разработан алгоритм определения распределения влажности из решения соответствующих уравнений, заданных в каждой области.

При известной функции количества незамерзшей воды (Т) уравнение (21) можно рассматривать как уравнение для суммарной влажности Ш. Тогда распределение влажности по твердой фазе W2 находится из соотношения ]¥2 = IV — Таким образом, задача сводится к определению влажности в талой зоне. Трудность при таком подходе заключается в неизвестности значения влажности на границе

раздела между мерзлой и талой зонами, которое является граничным условием для влажностной задачи. В случае математической модели с учетом миграции влаги в одной талой зоне указанное значение определялось из условия постоянства суммарной влажности [1]. В рассматриваемом случае эта величина не остается постоянной в процессе промерзания. Для ее определения введем вспомогательную функцию Ф(Т), заданную следующим образом:

W(T), Т ^ Т*,

W1(T) + W2(T*), Т ^ Т*.

Она непрерывна всюду и ее график имеет перегиб в точке Т = Т* (рис. 1).

Ф(Т) =

Ф (Т)

И\{Т)

И'(Г)

Рис. 1. Функция влажности.

Из необходимого условия перегиба

^=0

дТ2

Т Т*

Т

где Тг—, Т — значения Т в ближайших слева и справа узлах сетки ж^ь х^, между которыми находится фронт фазового перехода х =

При Т = Т* соответствующее значение имеет вид

Ji — Ji-1

Отсюда определяем

= i + l''^1 (Ф,~Ф»-1), (27)

J* — Ti-1

которое будет левым граничным условием в талой области.

Начальные условия для разностных задач получаются из условий (7) и (14):

Т(а*,0) = <р(а*), W(xi,0) = <p*(xi). (28)

На основе изложенного определение полей температуры и влажности на данный момент времени состоит из следующих этапов.

1. Из решения температурной задачи (18)-(20), (28) определяется распределение температуры.

2. Из условия (16), написанного при a = xi— и b = xi, между которыми находится фронт фазового перехода, определяется положение фронта x = £(t).

3. Из разностного аналога условия (4) появляется возможность вычислить величину ^г(Т*).

4. Из решения уравнений (21), (25), (26) определяется распределение суммарной влажности.

5. Из решения уравнений (22), (24), (27), (28) определяется распределение влажности в талой области.

3. Примеры численных расчетов. По разработанной методике выполнены расчеты тепломассопереноса при промерзании грунтов. Теплофизические и массообменные характеристики примут вид (для суглинка)

Сск = 1.127 кДж/кг • K, Св= 4.2 кДж/кг • K, Сл = 2.1 кДж/кг • K, рск = 1522 кг/м3, = W00 кг/м3, рл = 916^, L= 51748 кДж/м3, а = 83.5 кДж/м2 • ч -К,

а* = О"5 м/ч, К = 0.3786 • 1 О"5 ехр( 16.46^) м2/ч.

Коэффициенты теплопроводности мерзлого и талого грунтов (суглинка) приняты согласно работе [7]:

Ам = 4.19(0.141 + 2.169 - 1.0492) кДж/м • ч • К,

К = 4.19(0.183+ 1.06д -0.209д2) кДж/м •ч • К,

где 9 — степень влагонасыщенностн,

Тс= -20°С, Т* = 0°С, ф = 0.015, у = 10°С, у* = 0.16951.

Рис. 2. Распределение влажности в процессе промерзания при 4 = 500ч.

Алгоритм позволяет получить распределение температуры во всей области, влажности в талой зоне и суммарной влажности в мерзлой области.

В качестве иллюстрации результаты расчетов распределения влажности в двух различных моментах промерзания приведены на рис. 2 и 3. Из рассмотрения следует, в частности, что в талой области наименьшее

0.05

0.1

0.15

0.2

W

0

0.5

1.5

х

Рис. 3. Распределение влажности в процессе промерзания при 4 = 900ч.

значение влажности наблюдается в окрестности фазовой поверхности, а суммарная влажность возрастает по мере промерзания. Полученная картина качественно совпадает с экспериментальными данными работы [8]. Сравнение влажностного поля, полученное данной методикой, с результатами алгоритма, основанного на переходе от системы уравнений тепломассопереноса к одному уравнению, показывает незначительное отличие.

Разработанный алгоритм более экономичен, поскольку задача решается в более узкой области, которая уменьшается в процессе промерзания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Павлов А. Р., Матвеева М. В. Математическое моделирование процесса промерзания грунта с учетом движения влаги в талой зоне // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 1. С. 142-151.

2. Самарский А. А., Моисеенко В. Д. Экономичная схема сквозного счета для многофазной задачи Стефана // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1965. Т. 5, № 5. С. 816-827.

3. Будак В. М., Соловьева Е. П., Успенский А. В. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1965. Т. 5, № 5. С. 828-840.

4. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

5. Коновалов А. П. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, 1988.

6. Павлов А. Р., Матвеева М. В. Итерационная разностная схема для задачи тепло-массопереноса при промерзании грунтов // Вестн. Самарского гос. ун-та. Сер. естественно-научная. 2007. № 6. С. 242-252.

7. Основы мерзлотного прогноза при инженерно-геологических исследованиях / Под ред. проф. В. А. Кудрявцева. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.

8. Jame Y. W., Norum D. J. Heat and mass transfer in a freezing unsaturated porous medium // Water Resour. Res. 1980. V 16, № 4. P. 811-819.

г. Якутск

2 апреля 2010 г.