CC BY
18
где а, Ь, с € {0,1},
п— 3
Va.bc = (п - 2) —1 ^ 1{У = а, У+1 = Ь, У+2 = с},
¿=0
п—2 п—1
^ь =(п - 1) —1 Е 1{У = а,Ут = Ь}, V« = п—1 £ 1{У = а},
¿=0 ¿=0
при этом в [1] рассматривается не двоичный, а произвольный конечный алфавит состояний цепи Маркова.
Рассмотрим критерий проверки гипотезы Н0 против Н1, основанный на статистике (1):
Г если 5 < ¿х2,1— принимается гипотеза < тт п . . 2 (2)
[ Яь если 5 ^ 4x2,1—
где а = р|5 ^ ¿х2>1—— вероятность ошибки первого рода; — квантиль
уровня а распределения х-квадрат с двумя степенями свободы.
Теорема 1. Пусть в модели вкраплений = п„, а € {0,1}, и среди элементов матрицы переходных вероятностей П есть хотя бы один, отличный от 1/2. Тогда при выполнении условий
т ^ 0, п ^ го, (3)
^т ^ го, п ^ го, (4)
критерий (2) проверки гипотезы Н0 против альтернативы Н1 является состоятельным.
Замечание 1. При отсутствии вкраплений (т = 0) и при наличии вкраплений во всех позициях последовательности X (т = 1) гипотезы Н0 и Н1 неразличимы, поскольку в обоих случаях У является простой однородной цепью Маркова (с глубиной зависимости 1 и 0 соответственно). Критерий будет состоятельным, когда вкраплений «не слишком много», что гарантируется условием (3), но в то же время когда число вкраплений превосходит по порядку квадратный корень из длины наблюдаемого отрезка последовательности X (условие (4)).
ЛИТЕРАТУРА
1. Шойтов А. М. О выявлении факта зашумления конечной цепи Маркова с неизвестной матрицей переходных вероятностей // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2010. №3. С. 44-45.
УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X79/3
АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ ПОЛНОТЫ МНОЖЕСТВА СЛОВ
И ДИНАМИКА ЗАПРЕТОВ1
А. А. Евдокимов
Вводятся инвариантные операции и даётся описание алгоритма распознавания полноты множества слов. Приводится теорема о результатах работы алгоритма и их отношении к свойству полноты исходного множества слов. Формулируется
1 Работа поддержана Новосибирским государственным университетом и грантом РФФИ, проект
№14-01-00507.
Теоретические основы прикладной дискретной математики
11
нерешённая задача об оценке мощностей полных тупиковых множеств слов.
Ключевые слова: множество слов, полнота, динамика запретов, алгоритм 'распознавания.
Задачи о полноте множества слов и избегаемости запрещённых подслов бесконечными символьными последовательностями были впервые сформулированы в [1] и исследованы в [2-4]. Литературу можно посмотреть в [4, 5] в контексте более широкой области исследования, называемой «Combinatorics on words».
Исследованию языков, определяемых заданием запрещённых подслов и иначе называемых в последние годы «антисловарями», посвящено большое число публикаций с указанием различных приложений. В частности, это задачи анализа и синтеза криптографических функций и символьных последовательностей, в которых важны информационные и сложностные характеристики, связанные с изучением взаимосвязи со свойствами их подфункций или подслов.
Множество S слов (запретов) в алфавите A называется полным (или блокирующим ), если любая бесконечная последовательность букв из A не свободна от S, то есть содержит в качестве своего подслова хотя бы одно слово из S [1,2].
Подмножество T С S, T = (X1ai1,... , Xmaim}, где m = |A|, образует тупиковую относительно S систему слов (TCC), если
1) все последние буквы слов в T различны (т.е. это все m букв алфавита A);
2) для всех i = 1,... , m — 1 слово X есть суффикс слова Xi+1.
Если в S существует TCC, то применение к ней Т-операции состоит в удалении в самом длинном слове Xmaim его последней буквы aim (если в ТСС самое длинное слово не единственно, то выбираем любое). Удобно считать, что если S = A, то есть S — это множество всех букв алфавита A, то Т-операция применима к S и её результатом является пустое множество. Сочетая Т-операцию сокращения множества S с двумя другими естественными операциями сокращения — удалением из S одного из двух одинаковых слов и удалением слова X, если в S содержится подслово слова X, получаем последовательность множеств, которая в силу конечности S стабилизируется:
S ^ Si ^ S2 ^... ^ S*.
Теорема 1. Приведённые операции инвариантны относительно свойства множества S быть полным. Их применение (в любом порядке) распознает полноту множества S:
1) либо S* = 0, и тогда S — полное множество;
2) либо S* = 0 и к S* неприменимы операции сокращения, и тогда S — неполное.
Основанный на теореме алгоритм распознавания полноты прост, но этап проверки наличия в S тупиковой системы слов, к которой применима Т-операция, трудоёмок. Однако, в отличие от полиномиального алгоритма в [3], этот алгоритм позволяет работать со словами различной длины в множестве S и получить сокращённое множество S*, эквивалентное S.
Представляет интерес более широкая постановка вопроса о сохранении свойства полноты при изменениях в S, а также то, насколько свойство устойчиво к «ошибкам», например удалению букв в словах или самих слов из S. Расширяя неполные множества и сужая полные, можно находить границы перехода и управлять динамикой изменения свойства полноты и избегаемости запретов S. В этой связи важно получить ответ
на следующий вопрос: насколько велико может быть различие мощностей полных тупиковых (несокращаемых) множеств S, S С An? Например, как ведёт себя (по n при фиксированном m) функция
f (m, n) = max |Si|/|S2|,
где m = |A|, а максимум берётся по всем парам {S1, S2} полных тупиковых множеств, S1,S2 С An? Можно доказать, что эта функция не ограничена никакой константой. Более точные оценки её роста значительно прояснили бы структуру полных множеств слов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Евдокимов А. А., Крайнев В. А. Задачи о полноте систем слов // XXII Обл. науч.-технич. конф. Тезисы. Новосибирск, 1979. С. 105-107.
2. Евдокимов А. А. Полные множества слов и их числовые характеристики // Методы дискретного анализа в исследовании экстремальных структур: сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1983. Вып. 39. С. 7-19.
3. Евдокимов А. А. Исследование полноты множеств слов и языков с запретами // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2004. №9(1). С. 8-12.
4. Evdokimov A. A. and Kitaev S. V. Crucial words and the complexity of some extremal problems for sets of prohibited words // J. Comb. Theory. Ser. A. 2004. V. 105. P. 273-289.
5. Berstel J. and Karhumaki J. Combinatorics on words — a tutorial // Bull. EATCS. 2003. V. 79. P. 178-229.
УДК 512.624.5 DOI 10.17223/2226308X/9/4
О ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ ДЛЯ ОТСУТСТИЯ ВОЗМОЖНОСТИ СОКРАЩЕНИЯ ПЕРИОДА В СТАРШИХ ДВОИЧНЫХ РАЗРЯДНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ НАД ПРИМАРНЫМИ КОЛЬЦАМИ
С. А. Кузьмин
Рассматриваются двоичные разрядные последовательности над примарными кольцами нечётной характеристики. Указано достаточное условие для отсутствия сокращения периода в старших разрядных последовательностях в 2 раза при наличии не всех элементов на цикле исходной линейной рекурренты.
Ключевые слова: линейные рекуррентные последовательности, периоды последовательностей, примарные кольца, разрядные последовательности.
В настоящее время наблюдается особый интерес к изучению p-ичных разрядных последовательностей над кольцами вычетов по модулю pn. Это связано с тем, что данные последовательности обладают высокой линейной сложностью и могут быть использованы в датчиках псевдослучайных последовательностей. Со списком работ по данной тематике можно ознакомиться, например, в [1].
Большое внимание уделяется задаче восстановления линейных рекуррентных последовательностей (ЛРП) над примарными кольцами вычетов по их усложнению, особенно в тех случаях, когда ЛРП максимального периода (ЛРП МП) отображается в свою старшую координатную последовательность [2].
Меньше работ посвящено r-ичным разрядным последовательностям, где r = p, которые также могут быть рассмотрены как усложнения линейных рекуррент над простыми полями и кольцами Галуа. Такие последовательности рассматривались
