CC BY
162
А.А. Львов, А.С. Мухамбетжанов
АЛГОРИТМ ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПИКОВ
Рассмотрен простой алгоритм локализации спектральных пиков, позволяющий с достаточной степенью точности оценить частоту синусоиды.
Отсчет, быстрое преобразование Фурье, растекание спектра A.A. L’vov, A.S. Mukhambetzhanov
AN ALGORITM FOR LOCALIZATION OF SPECTRAL PEAKS
їхні
A simple algorithm for localization of spectral peaks, allowing a sufficient degree of accuracy to estimate the frequency sinusoid.
Sample, Fast Fourier Transform, the leakage of the spectrum
На практике при анализе дискретных спектров часто необходимо оценивать частоту синусоиды (или центральной частоты очень узкополосного сигнала). При использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ) по основанию 2 частота интересующего сигнала редко совпадает с центром одного из отсчетов БПФ, частота которого известна точно. В этом случае вследствие утечки спектра дискретный спектр синусоиды, содержащей N отсчетов, может выглядеть, как на рис. 1. Видно, что максимум спектра синусоиды находится между центрами отсчетов с индексами m=5 и m=6. Переменная m представляет индекс отсчетов N-точечного БПФ в частотной области. Расстояние между отсчетами по частоте составляет fS / N, где fS -
частота дискретизации.)
Внимательное изучение рис. 1, а позволяет предположить, что частота синусоиды лежит где-то между m = 5 и m = 5,5, потому что отсчет БПФ m = 5 больше отсчета m = 6. Действительный синусоидальный сигнал в данном случае имеет частоту 5.25 fS /N Гц. В этой ситуации погрешность измерения
частоты равна половине расстояния между соседними отсчетами. Часто необходимо получить более точную оценку частоты.
Например, можно
накопить, 4N отсчетов сигнала и выполнить 4^точечное БПФ, в результате разность частот соседних отсчетов уменьшится до fS / 4N.
О 1 2 З Л 5
7 8
• \.п-г
W-точечное БПФ (от N отсчетов)
Пик спектра синусоиды находится где-то в этом диапазоне частот
Теперь пик находится на т = 21
4/V-точечное БПФ - (к N отсчетам сигнала добавлены 3N нулей)
■я . *: ■ ■ ■ *
і м 111 ■
, 9 -із !7 о* ок 29 33
б
Рис. 1. Амплитудные спектры: а - для ^-точечного БПФ; б - для ^-точечного БПФ
Можно также дополнить исходную последовательность из N отсчетов 3N нулевыми отсчетами и выполнить 4^точечное БПФ расширенной последовательности. Это уменьшит расстояние между бинами до fS / 4N, как показано на рис. 1 б. Если максимум спектра совпадает с отсчетом mpeak = 21, то оценка центральной частоты имеет вид
fpeak = mpeakfS / FFTsize = mpeakfS / 4N . (1)
Обе схемы, увеличение выборки сигнала и дополнение нулями, требуют существенного увеличения объема вычислений. В научной литературе [2] описаны другие методы повышения точности измерения частоты, но большинство из них направлены на повышение точности без учета вычислительных затрат. Опишем относительно простую с точки зрения вычислений схему оценки частоты.
Предположим, что имеются отсчеты БПФ Х(ш) действительного узкополосного сигнала, модули которых представлены на рис. 1. Вертикальная ось здесь имеет линейный, а не логарифмический масштаб.
Центральная частота сигнала в единицах индекса треак может быть оценена как
mpeak = mk - real(d), (2)
где real (d) обозначает действительную часть корректирующею члена d, который определяется как
S = [X(mk+1) - XK_i)j/[2 X (mk ) - XK_i) - X(mk+xj], (3)
где mk - целочисленный индекс наибольшего по модулю отсчета \X(mk )|. Значения X(mk-1) и X(mk+1) представляют комплексные отсчеты спектра по обе стороны
наибольшего отсчета, как показано на рис. 2.
На основе комплексных отсчетов спектра выражаем частоту сигнала через частотный индекс m (который может быть нецелым), и подставляем это значение в
fpeak = mpeakfS / N (4)
для получения оценки частоты в Гц. Оценки (2) и (3) применимы только в случае, когда большая часть энергии сигнала сосредоточена в пределах одного отсчета шириной
( fS /4 N).
Этот алгоритм оценки пика спектра достаточно точен и прост. Ошибка оценки частоты пика составляет примерно 0,06, 0,04 и 0,03 ширины отсчета при отношениях сигнал/шум 3, 6 и 9 дБ, соответственно. Привлекательной особенностью этого алгоритма является то, что он не требует использования окон в отличие от других алгоритмов
локализации пиков спектра, и использует отсчеты БПФ, не требуя вычисления их
модулей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов / Р. Лайонс. М.: ООО «Бином-Пресс», 2006.
656 с.
2. Солонина А.И. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов / А.И. Солонина, Д. А. Улахович, Л. А. Яковлев. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 464 с.
Львов Алексей Арленович -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Мухамбетжанов Арман Сулейманович -аспирант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского
государственного технического университета
Рис. 2. Модули отсчетов БПФ узкополосного сигнала
