Алгоритм и программа расчета числа сочетаний для больших чисел без вычисления промежуточных факториалов путем их разложения на простые множители и сокращений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 303.732.4

01.00.00 Физико-математические науки

АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА РАСЧЕТА ЧИСЛА СОЧЕТАНИЙ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕЗ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ФАКТОРИАЛОВ ПУТЕМ ИХ РАЗЛОЖЕНИЯ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ И СОКРАЩЕНИЙ

Луценко Евгений Вениаминович д.э.н., к.т.н., профессор

Кубанский государственный аграрный университет, Россия, 350044, Краснодар, Калинина, 13, prof.lutsenko@gmail. com

Классическая комбинаторная формула для расчета числа сочетаний из n по m: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!) предполагает промежуточный расчет факториалов, что чаще всего невозможно при n>170 из-за ограничений в разрядности чисел, используемых в языках программирования и созданных помощью них системах. Однако, в ряде случаев необходимо произвести расчет числа сочетаний при n и m значительно превосходящих это ограничение, например при их значениях больше 10000. В подобных случаях возникает определенная проблема, проявляющаяся, например в том, что многие on-line сервисы по расчету числа сочетаний при таких параметрах не работают. В данной статье предлагается ее решение в виде алгоритма и программной реализации. Суть подхода состоит в том, чтобы сначала разложить факториалы на простые множители и сократить их, а уже потом уже производить умножения. Этот подход отличается от приводимых в Internet

Ключевые слова: АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ СИСТЕМНО-КОГНИТИВНЫЙ АНАЛИЗ, ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ СИСТЕМА «ЭЙДОС», ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ ИЗ N ПО M ДЛЯ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

UDC 303.732.4 Physics and Math

AN ALGORITHM AND A PROGRAM FOR CALCULATING THE NUMBER OF COMBINATIONS FOR LARGE NUMBERS WITHOUT CALCULATING THE INTERMEDIATE FACTORIALS BY THEIR DECOMPOSITION INTO PRIME FACTORS AND ABBREVIATIONS

Lutsenko Evgeny Veniaminovich

Dr.Sci.Econ., Cand.Tech.Sci., professor

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Classical combinatorial formula to calculate the number of combinations from n on m: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!) involves the intermediate calculation of factorials, which is often impossible when n>170, due to limitations in the capacity of numbers that are used in programming languages and created through these systems. However, in some cases it is necessary to calculate the number of combinations for n and m much larger than this limit, such as when a value greater than 10000. In such cases, there is a definite problem, which manifests itself, for example in the fact that many on-line services meant to calculate the number of combinations with these parameters do not work properly. In this article, we present its solution in the form of an algorithm and software implementation. The essence of the approach is to first decompose the factorials into prime factors and reduce them, and then to produce multiplication. This approach differs from those cited in the Internet

Keywords: AUTOMATED SYSTEM-COGNITIVE ANALYSIS, "EIDOS" INTELLECTUAL SYSTEM, NUMBER OF COMBINATIONS FROM N ON M FOR LARGE NUMBERS

В Internet встречается задача: «Найти все комбинации m по n, при этом m и n могут быть очень большими числами, вплоть до нескольких десятков тысяч» и предлагаются различные методы ее решения, в том числе и верные, т.е. работающие [1]. Существуют также on-line калькуляторы факториалов [2] и числа сочетаний [3]. Проблема возникает потому, что

при использовании классической комбинаторной формулы числа сочета-

П!

Cm __""

_______ n —-т-где: n - число элементов в исходном множе-

m! (n - m)!,

стве; m - число элементов в подсистеме, для расчета числа сочетаний необходимо предварительно рассчитать значения факториалов, а они в большинстве языков программирования могут быть рассчитаны для значений аргумента, не превосходящим 170, а иногда и еще меньше, например 30.

Для решения этой проблемы предлагается следующий алгоритм, отличающийся от имеющихся в Internet:

1. Найти все простые числа меньшие заданного параметра n.

2. Сформировать массив чисел числителя.

3. Сформировать массив простых сомножителей чисел числителя.

4. Сформировать массив чисел знаменателя.

5. Сформировать массив простых сомножителей чисел знаменателя.

6. Сформировать массив простых сомножителей числителя, не входящих в массив простых сомножителей знаменателя.

7. Перемножить массив уникальных простых сомножителей числителя.

На рисунках 1 и 2 приводятся экранные формы для задания параметров расчета числа сочетаний для расчета одного значения и массива значений:

Рисунок 1. Экранная форма для задания расчета одного значения числа сочетаний

Рисунок 2. Экранная форма для задания расчета массива значений числа сочетаний На рисунке 3 и в таблице 1 приведены результаты расчетов:

Рисунок 3. Результат расчета значения числа сочетаний

Отметим, что далеко не каждый on-line калькулятор позволяет посчитать число сочетаний из 10000 по 5, который без проблем рассчитывается по предложенному алгоритму прилагаемой программой. Это говорит о том, что предлагаемый алгоритм может быть востребован. Но вот, например, сайт Вольфрам-математики [3], дает тот же результат: 832500291625002000.

Таблица 1 - Пример расчета числа сочетаний С при различных значениях п и т

m n

N M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11

N1 1

N2 2 1

N3 3 3 1

N4 4 6 4 1

N5 5 10 10 5 1

N6 6 15 20 15 6 1

N7 7 21 35 35 21 7 1

N8 8 28 56 70 56 28 8 1

N9 9 36 84 126 126 84 36 9 1

N10 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

N11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

N12 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12

N13 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78

N14 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364

N15 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365

N16 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368

N17 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376

N18 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824

N19 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582

N20 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960

N21 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716

N22 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432

N23 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078

N24 24 276 2024 10626 42504 134596 346104 735471 1307504 1961256 2496144

N25 25 300 2300 12650 53130 177100 480700 1081575 2042975 3268760 4457400

N26 26 325 2600 14950 65780 230230 657800 1562275 3124550 5311735 7726160

N27 27 351 2925 17550 80730 296010 888030 2220075 4686825 8436285 13037895

N28 28 378 3276 20475 98280 376740 1184040 3108105 6906900 13123110 21474180

N29 29 406 3654 23751 118755 475020 1560780 4292145 10015005 20030010 34597290

N30 30 435 4060 27405 142506 593775 2035800 5852925 14307150 30045015 54627300

N31 31 465 4495 31465 169911 736281 2629575 7888725 20160075 44352165 84672315

N32 32 496 4960 35960 201376 906192 3365856 10518300 28048800 64512240 129024480

N33 33 528 5456 40920 237336 1107568 4272048 13884156 38567100 92561040 193536720

N34 34 561 5984 46376 278256 1344904 5379616 18156204 52451256 131128140 286097760

N35 35 595 6545 52360 324632 1623160 6724520 23535820 70607460 183579396 417225900

N36 36 630 7140 58905 376992 1947792 8347680 30260340 94143280 254186856 600805296

N37 37 666 7770 66045 435897 2324784 10295472 38608020 124403620 348330136 854992152

N38 38 703 8436 73815 501942 2760681 12620256 48903492 163011640 472733756 1203322288

N39 39 741 9139 82251 575757 3262623 15380937 61523748 211915132 635745396 1676056044

N40 40 780 9880 91390 658008 3838380 18643560 76904685 273438880 847660528 2311801440

N41 41 820 10660 101270 749398 4496388 22481940 95548245 350343565 1121099408 3159461968

N42 42 861 11480 111930 850668 5245786 26978328 118030185 445891810 1471442973 4280561376

N43 43 903 12341 123410 962598 6096454 32224114 145008513 563921995 1917334783 5752004349

N44 44 946 13244 135751 1086008 7059052 38320568 177232627 708930508 2481256778 7669339132

N45 45 990 14190 148995 1221759 8145060 45379620 215553195 886163135 3190187286 10150595910

N46 46 1035 15180 163185 1370754 9366819 53524680 260932815 1101716330 4076350421 13340783196

N47 47 1081 16215 178365 1533939 10737573 62891499 314457495 1362649145 5178066751 17417133617

N48 48 1128 17296 194580 1712304 12271512 73629072 377348994 1677106640 6540715896 22595200368

N49 49 1176 18424 211876 1906884 13983816 85900584 450978066 2054455634 8217822536 29135916264

N50 50 1225 19600 230300 2118760 15890700 99884400 536878650 2505433700 10272278170 37353738800

N51 51 1275 20825 249900 2349060 18009460 115775100 636763050 3042312350 12777711870 47626016970

N52 52 1326 22100 270725 2598960 20358520 133784560 752538150 3679075400 15820024220 60403728840

N53 53 1378 23426 292825 2869685 22957480 154143080 886322710 4431613550 19499099620 76223753060

Ниже приводится исходный текст программы на языке программирования хБаве++:

*** (C) Расчет числа сочетаний для больших чисел без промежуточного расчета факториалов *** путем разложения их на простые множители и сокращения, beta-version, rel: 12.06.2013 *** (C) д.э.н., к.т.н., профессор Луценко Евгений Вениаминович, Россия, Краснодар.

PROCEDURE AppSys

// Рабочий стол остается окном приложения RETURN

FUNCTION Main()

LOCAL GetList[0], GetOptions, nColor, oMessageBox, oMenuWords, oDIg, ; oMenuBar,oMenu1,oMenu2,oMenu3,oMenu4,oMenu5,oMenu6,oMenu7,; oMenu3_3

DC_IconDefauIt(1000)

SET DECIMALS TO 15 SET DATE GERMAN SET ESCAPE On

SET COLLATION TO SYSTEM // Руссификация *SET COLLATION TO ASCII // Руссификация

PUBLIC aSay[30], Mess97, Mess98, Mess99 // Массив сообщений отображаемых стадий исполнения (до 30 на экране) PUBLIC Time_progress, Wsego, oProgress, IOk

PUBLIC nEvery := 100 // Количество корректировок прогресс-бар

g = 0 s = 0

mRegim = 1

@g , 0 DCGROUP oGroupl CAPTION 'Задайте вариант использования программы:' SIZE 62.0, 7.0

@++s, 2 DCRADIO mRegim VALUE 1 PROMPT 'Расчет одного конкретного значения числа сочетаний из N по M' PARENT oGroupl @++s, 2 DCRADIO mRegim VALUE 2 PROMPT 'Расчет таблицы значений числа сочетаний для диапазонов N и M' PARENT oGroup1

s = 3 mN1 = 30 mM1 = 2

@++s+0.2,12 DCSAY "Задайте значение N:" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=1} HIDE {||.NOT.mRegim=1} PARENT oGroup1 @ s ,27 DCSAY "" GET mN1 PICTURE "#######" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=1} HIDE {||.NOT.mRegim=1} PARENT oGroup1 @++s+0.2,12 DCSAY "Задайте значение M:" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=1} HIDE {||.NOT.mRegim=1} PARENT oGroup1 @ s ,27 DCSAY "" GET mM1 PICTURE "#######" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=1} HIDE {||.NOT.mRegim=1} PARENT oGroup1

s = 3 N1 = 1 N2 = 30 M1 = 1 M2 = N2

@++s+0.2, 5 DCSAY "Задайте диапазон значений N:" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=2} HIDE {||.NOT.mRegim=2} PARENT oGroup1 @ s ,27 DCSAY "" GET N1 PICTURE "#######" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=2} HIDE {||.NOT.mRegim=2} PARENT oGroup1 @ s ,37 DCSAY "" GET N2 PICTURE "#######" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=2} HIDE {||.NOT.mRegim=2} PARENT oGroup1 @++s+0.2, 5 DCSAY "Задайте диапазон значений M:" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=2} HIDE {||.NOT.mRegim=2} PARENT oGroup1 @ s ,27 DCSAY "" GET M1 PICTURE "#######" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=2} HIDE {||.NOT.mRegim=2} PARENT oGroup1 @ s ,37 DCSAY "" GET M2 PICTURE "#######" EDITPROTECT {||.NOT.mRegim=2} HIDE {||.NOT.mRegim=2} PARENT oGroup1

DCGETOPTIONS TABSTOP DCREAD GUI ;

FIT ;

OPTIONS GetOptions ; ADDBUTTONS; MODAL ;

TITLE '(C) Луценко Е.В. Расчет сочетаний для больших чисел'

IF mRegim = 1

oScr := DC_WaitOn() Mess := {} IF mN1 <= 21

AADD(Mess, "Число сочетаний из N=# по M=$ по классической формуле с факториалами: C(n,m) = n! / ( m! ( n-m )! ) = "+ALLTRIM(STR(INT(Cf(mN1,mM1))))) ELSE

AADD(Mess, "Число сочетаний из N=# по M=$ по формуле с факториалами: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!) не может быть рассчитано !") ENDIF

AADD(Mess, "Число сочетаний из N=# по M=$ по алгоритму с сокр.простых множителей: C(n,m) = P(m+1,n)/P(1,n-m) = "+C(mN1,mM1))

AADD(Mess, "где: P(a,b)=a*(a+1)*(a+2)*...*b: произведение целых чисел от a до b с шагом 1")

DC_Impl(oScr)

Mess[1] = STRTRAN(Mess[1], "#", ALLTRIM(STR(mN1,15))) Mess[1] = STRTRAN(Mess[1], "$", ALLTRIM(STR(mM1,15))) Mess[2] = STRTRAN(Mess[2], "#", ALLTRIM(STR(mN1,15))) Mess[2] = STRTRAN(Mess[2], "$", ALLTRIM(STR(mM1,15)))

LB_Warning(Mess, "(C) Луценко Е.В. Расчет числа сочетаний для больших чисел" ) ENDIF

IF mRegim = 2

aStructure := { { "N", "C", 15, 0} } FOR j=N1 TO N2 FieldName = "M"+ALLTRIM(STR(j,21)) AADD(aStructure, { FieldName, "C", 250, 0 }) NEXT

DbCreate( "Cnm.dbf" , aStructure )

nMax = 0;FOR mn=N1 TO N2;FOR mm=1 TO mn;++nMax;NEXT;NEXT Mess = 'Расчет числа сочетаний из n по m'

@ 4,5 DCPROGRESS oProgress SIZE 70,1.1 MAXCOUNT nMax COLOR GRA_CLR_CYAN PERCENT EVERY 100

DCREAD GUI TITLE Mess PARENT @oDialog FIT EXIT

oDialog:showO

nTime = 0

CLOSE ALL

USE Cnm EXCLUSIVE NEW SELECT Cnm

DC_GetProgress(oProgress,0,nMax) FOR mn = N1 TO N2 APPEND BLANK

FIELDPUT(1, "N"+ALLTRIM(STR(mn,21))) FOR mm = 1 TO mn FIELDPUT(1+mm, C(mn,mm)) DC_GetProgress(oProgress, ++nTime, nMax) NEXT NEXT

DC_GetProgress(oProgress,nMax,nMax) oDialog:Destroy()

Mess := {}

AADD(Mess, 'Результаты расчета числа сочетаний C(n,m) в базе данных Cnm.dbf') AADD(Mess, 'Из-за большой размерности числа в БД Cnm.dbf представлены в текстовом формате') AADD(Mess, 'Заданием в MS Excel формата ячеек "числовой" они преобразутся в числовой формат') LB_Warning(Mess, "(C) Луценко Е.В. Расчет числа сочетаний для больших чисел")

ENDIF

CLOSE ALL RETURN NIL

********* C(n,m) = n! / (m! (n - m)!) число сочетаний из n по m

FUNCTION Cf(n,m) RETURN(Fact(n)/(Fact(m)*Fact(n-m)))

******** С(п,т) = п! / (т! (п - т)!) число сочетаний из п по т для больших ******** чисел без вычисления промежуточных факториалов путем разложения ******** факториалов на простые множители и их сокращений

******** С(п,т) = Р(т+1,п) / Р(1,п-т), где Р(а,Ь) произведение целых чисел от а до Ь с шагом 1

******** 1. Найти все простые числа меньшие п

******** 2. Сформировать массив чисел числителя

******** 3. Сформировать массив простых сомножителей числителя

******** 4. Сформировать массив чисел знаменателя

******** 5. Сформировать массив простых сомножителей чисел знаменателя

******** 6. Сформировать массив простых сомножителей числителя,

******** не входящих в массив простых сомножителей знаменателя

******** 7. Перемножить массив уникальных простых сомножителей числителя

FUNCTION C(n,m)

***** 1. Найти все простые числа меньшие n, включая 1 и допуская n=1 aPrCh := {} // Массив простых чисел IF n = 1

AADD(aPrCh, 1) ELSE FOR j = 2 TO n

**** Проверка, является ли j простым числом Flag = .T. FOR i=2 TO j-1 IF j=i*INT(j/i) // Делится ли j на i нацело?

Flag = .F.

EXIT ENDIF NEXT IF Flag

AADD(aPrCh, j) ENDIF NEXT ENDIF

* DC_DebugQout( aPrCh )

***** 2. Сформировать массив чисел числителя aChis := {} IF m = n

AADD(aChis, 1) ELSE IF m < n FOR j=m+1 TO n AADD(aChis, j) NEXT

ENDIF ENDIF

* DC_DebugQout( aChis )

******* 3. Сформировать массив простых сомножителей числителя

aPSChis := {}

FOR i=1 TO LEN(aChis)

***** Разложить число на простые множители

aPrMn := {} // Массив простых множителей числа: Chislo

Chislo = aChis[i]

IF Chislo = 1

AADD(aPrMn,1) ELSE Flag = .T. DO WHILE Flag FOR j=1 TO LEN(aPrCh) **** Проверка, делится ли Chislo на простое число из массива aPrCh Flag = .F.

IF Chislo = aPrCh[j] * INT(Chislo/aPrCh[j]) AADD(aPrMn,aPrCh[j]) Chislo = Chislo/aPrCh[j] Flag = .T. EXIT ENDIF NEXT ENDDO ENDIF

***** Занести простые множители числа aChis[j] в массив простых сомножителей числителя FOR j=1 TO LEN(aPrMn)

AADD(aPSChis, aPrMn[j]) NEXT

NEXT

* DC_DebugQout( aPSChis )

***** 4. Сформировать массив чисел знаменателя aZnam := {} IF m = n

AADD(aZnam, 1) ELSE IF m < n FOR j=1 TO n - m AADD(aZnam, j) NEXT ENDIF ENDIF

* DC_DebugQout( aZnam )

******* 5. Сформировать массив простых сомножителей чисел знаменателя

aPSZnam := {}

FOR i=1 TO LEN(aZnam)

***** Разложить число на простые множители

aPrMn := {} // Массив простых множителей числа: Chislo

Chislo = aZnam[i]

IF Chislo = 1

AADD(aPrMn,1) ELSE Flag = .T. DO WHILE Flag FOR j=1 TO LEN(aPrCh)

**** Проверка, делится ли Chislo на простое число из массива aPrCh Flag = .F.

IF Chislo = aPrCh[j] * INT(Chislo/aPrCh[j]) AADD(aPrMn,aPrCh[j]) Chislo = Chislo/aPrCh[j] Flag = .T. EXIT ENDIF NEXT ENDDO ENDIF

*** Занести простые множители числа aZnam[j] в массив простых сомножителей знаменателя FOR j=1 TO LEN(aPrMn)

AADD(aPSZnam, aPrMn[j]) NEXT

NEXT

* DC_DebugQout( aPSZnam )

******** 6. Сформировать массив простых сомножителей числителя, ******** не входящих в массив простых сомножителей знаменателя aPS:= {}

FOR j=1 TO LEN(aPSChis) Pos = ASCAN(aPSZnam, aPSChis[j]) IF Pos = 0

AADD(aPS, aPSChis[j]) ELSE

aPSZnam[Pos] = 1 // Сокращение простых сомножителей числителя и знаменателя ENDIF NEXT

* DC_DebugQout( aPS )

******** 7. Перемножить массив уникальных простых сомножителей числителя и знаменателя

mMulChis = 1

FOR j=1 TO LEN(aPS)

mMulChis = mMulChis * aPS[j] NEXT

mMulZnam = 1

FOR j=1 TO LEN(aPSZnam)

mMulZnam = mMulZnam * aPSZnam[j] NEXT

* DC_DebugQout( mMulChis, mMulZnam, mMulChis/mMulZnam ) RETURN(ALLTRIM(STR(mMulChis/mMulZnam,250)))

FUNCTION LB_Warning( message, ctitle )

LOCAL aMsg := {} DEFAULT cTitle TO '' IF valtype(message) # 'A' aadd(aMsg,message) ELSE

aMsg := message ENDIF

IF LEN(ALLTRIM(cTitIe)) > 0 DC_MsgBox( ,,aMsg,cTitIe) ELSE

DC_MsgBox( „aMsg/Универсальная когнитивная аналитическая система "Эйдос-Х++"') ENDIF

RETURN NIL

Скачать эту программу с исходным текстом, исполнимым модулем и примером выходных форм можно скачать по адресу: http://ej .kubagro.ru/201 б/04/upload/ 110.zip. Для работы программы необходимы библиотеки, которые можно скачать вместе с системой «Эйдос» на сайте автора по адресу: http://lc.kubagro.ru/aidos/ Aidos-X.htm. Их можно поместить либо в папку с программой, либо в папку, на которую прописаны пути поиска файлов, например: c:\Windows\System32\.

Выводы

Материалы данной статьи могут быть использованы в учебном процессе при преподавании дисциплин: «Алгоритмы и структуры данных», «Дискретная математика», «Численные методы», «Основы статистики и комбинаторики» и других.

Литература

1. Сайт: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=62&t=23287

2. Сайт: http ://ru. numb erempire. com/

http ://ru. numb erempire. com/factori al cal cul ator. php

3. Сайт: http://www.wolframalpha.com/input/?i=c(10000,5)&t=elg01

References

1. http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=62&t=23287

2. http://ru.numberempire.com/ http ://ru. numb erempire. com/factori al cal cul ator. php

3. http://www.wolframalpha.com/input/?i=c(10000,5)&t=elg01