Алгоритм двухканального оценивания параметров квазигармонических сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОНИКА,РАДИОТЕХНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

УДК 62.50

К.В. Казаков, А.А. Львов, В.А. Пыльский АЛГОРИТМ ДВУХКАНАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

IEEE стандарт 1057 (IEEE-STD-1057) предоставляет алгоритмы для оценивания параметров волнового сигнала по его зашумленным дискретным временным отсчетам. Разработан альтернативный алгоритм оценивания параметров двухканального квазигармонического сигнала, основанного на нелинейном методе наименьших квадратов. Показано, что в более сложных условиях, когда зашумленные отсчеты проведены только на части периода сигнала, алгоритм дает лучшую точность оценивания по сравнению со стандартным алгоритмом IEEE-STD-1057.

Оценка амплитуды, IEEE стандарты, анализ сигнала, оценка частоты

K.V. Kazakov, A.A. L’vov, V.A. Pylskiy

AN DUAL-CHANNEL ESTIMATION ALGORITHM OF QUASIHARMONIC SIGNAL PARAMETERS

The IEEE Standard 1057 (IEEE-STD-1057) provides algorithms for fitting the parameters of a sine wave to noisy discrete time observations. The contributions of this paper include a new alternative algorithm for dual-channel wave signal parameters estimation with the performance of a nonlinear least squares approach. It is shown that the alternative algorithm provides more accurate estimates than IEEE-STD-1057 in severe conditions with noisy data taken from a part of period only.

Amplitude estimation, IEEE standards, signal analysis, frequency estimation

Во многих современных устройствах формируемые сигналы представляются в виде

ui = u(ti) = Asin(rnti+v) +B + Xi, i = 1,N , (1)

где u - измеряемая величина; x - точно известное значение, которое может изменяться в заданных пределах; A, B, р - неизвестные амплитуда, паразитная постоянная составляющая и начальная фаза сигнала соответственно; v - неизвестный параметр паразитной частотной

модуляции, несущий информацию о качестве выпускаемой продукции или о точности производимых измерений некоторых параметров, характеризующих качество; Л - аддитивный шум, распределённый по нормальному закону. Предполагается, что основная частота О известна точно, а параметр v меняется медленно по сравнению с ней, т.е. О >> |v|, и на некотором интервале изменения x можно считать, что параметр О остаётся постоянным.

Подобный сигнал называется квазигармоническим. Задача заключается в нахождении оценок параметров A, B, р, v по результатам измерения величины u при изменении x. Необходимость решения поставленной задачи возникает в случаях оценивания качества большинства устройств - от датчиков, до аудио- и видеоаппаратуры.

Стандарт американского института инженеров электриков и электронщиков IEEE-STD-1057 [1] предоставляет алгоритмы для оценивания параметров квазигармонического сигнала по его зашумленным дискретным временным отсчетам. Его подробный анализ проведён в [2]. Оценивание проводится как результат минимизации суммы квадратов ошибок, то есть разностей между наблюдениями и значениями, предсказанными моделью. Алгоритм IEEE-STD-1057 обеспечивает точные оценки при наличии гауссовского шума и шума квантования. В случае действия шума, подчиненного нормальному закону распределения, алгоритм обеспечивает оценивание с точностью, близкой к выведенной нижней границе Краме-ра-Рао. В более сложных условиях, когда зашумленные отсчеты проведены только на части периода сигнала, алгоритм дает худшую точность оценивания.

Угловая частота ю может быть известна или нет, что приводит к модели с тремя или четырьмя неизвестными параметрами в случае одноканального квазигармонического сигнала, соответственно. Рассмотрим алгоритм оценивания параметров двухканального квазигармони-ческого сигнала с общей круговой частотой. В этом случае модель с четырьмя параметрами (неизвестная частота) преобразуется в модель с семью параметрами, а в случае трех неизвестных параметров их число становится равным шести. Более сложным и важным с точки зрения практического применения является вариант с неизвестной частотой, так как иначе оценки неизвестных параметров получаются тривиально по методу наименьших квадратов (МНК).

Топология формирователя двухканального сигнала обладает существенной особенностью: сигналы обоих каналов - измерительного и опорного - получены от одного и того же возбуждающего генератора. Это предоставляет дополнительную возможность оптимизации производимой обработки сигналов. Она заключается в совместном оценивании нестабильности частоты v возбуждающего генератора по результатам измерений, полученным в обоих каналах.

С целью формализации данной задачи введем в рассмотрение систему 2N уравнений, аналогичных (1) и описывающих результаты произведенных в обоих каналах измерений:

ui =aS sin[(<4> + v)ti + ф ]+bS + Xi, (2)

uR = Arsin[(o>0 + v)ti + ф ] + BR + XR, i = 1,N, где верхние индексы S и R соответствуют параметрам сигналов измерительного (sensitive)

и опорного (reference) каналов, а трактовка параметров AS, BS, pS, Л/, AR, BR, pR, Л1R, О, v

дана в комментариях к уравнению (1).

По аналогии со случаем одноканального оценивания, применив несложные тригонометрические преобразования, выражения (2) можно преобразовать к следующему виду: uS = ASsin(®0tt)cos(ф)+ ASvttcos(ю0tt )cos(ф)+ AScos(ю0tt )sin(фБ )-

— A vt^sin (®0tj )sin (ф ) + B + ,

uR = ARsin(®0tt)cosф)+ ARvttcos(ю0tt )cosф )+ ARcos(ю0tt )sinф )— ( )

— ARvttsin(ю„tt )sin(фR )+ BR + XR.

После следующей замены переменных и введения обозначений

ди = Ар 008 рр д2 = А5 8ІП рр д3 = А5 V 008 рр д 4 = А^ 8Іп рр

д5 = Вр

п р

дв = А 008 р д7 = А? 8ІП рр д8 = Ап V 008 рр д9 = А^8ІП рр

^ 10 = В

Хц = 8ІП Юо ІІ Х2і = 008 Юо

Х3І = гі 008 Ю0 гі х4і = —і 8ІП Ю01 х5і = 1

(4)

хр = хй = х.. Х;і х а хА ’

] = 1,5, г = 1, N

система (3) линеаризуется относительно новых оцениваемых параметров q1,..., д10 и может быть представлена в матричном виде (5), где вектора оцениваемых параметров Q, результатов измерений и , шумов измерений Л и матрица плана эксперимента X формируются следующим образом:

Q = Ьі, #1оГ, u = к,иN | щ ,[", л = [яр,яN ! я,якм]г,

X =

хі' 0_

0 [Xй

X5 = Xй =

х1Х

х21

х2 N

х31

x3N

х41

х4 N

х51

х5 N

(5)

р р р п п п

Таким образом, вместо семи переменных А , В , р , А , В

р , у исходной системы (2) предстоит оценить десять переменных q10 системы (5). Следовательно, послед-

нюю систему необходимо дополнить тремя уравнениями связи, которые могут быть выбраны по (4) следующим образом:

qз + q4 q8 + q^

д1д4 = #2 q3, #в #9 = #7 ^

#1 + #2

+ #7

Гд1д4 — #2 #3 = 0,

| О-в#9 — #7#8 = 0,

[д3 дв + д3 д7 + д 4 дв + д4 д7 — д1д8 — д1д9 — д2 д8 — д2 д9 = 0

(в)

Выражения (в) задают нелинейные ограничения на области значений оцениваемых параметров ^. Применим подход, основывающийся на линеаризации этих ограничений относительно ошибок оценивания Лді. С этой целью введем в рассмотрение систему уравнений относительно Лді:

ЛU = XЛQ + Л, (7)

где

ло = [л#1,...,Лд10Г, ли = у—XQ.

(8)

I —

(9)

Тогда система ограничений (в) может быть переписана следующим образом:

г(ді + Лд + л^ )—д + л^ )(<?3 + Лд) = о

{°б + ^б )(°9 + ^9 ) — (°7 + Л#7 )(°8 + Л#8 ) = 0

(Яз + Л<?3 )(<?б + Мб ) + (#3 + Л<?3 )(#7 + Л<?7 ) +

+ (°4 + Л#4 )(°б + Мб ) + (°4 + Л#4 )(°7 + Л#7 )

(Оі + Мі )(#8 + ^#8 )— (Оі + Л^ )(#9 + М9 )

— (д + М2 )(°8 + ^8 ) — (°2 + М2 )(°9 + М9 ) = 0 Основываясь на предположении |Лд. | << |д. | , ограничения (9) после раскрытия скобок и отбрасывания членов второго и более порядков приводятся к линейному виду относительно параметров Л#і :

д1д4 + д1 Дд4 + д4 Дд1 — д2д3 — д2 Л д3 — д3 Лд2 = о

О-бЯ-9 + дб Лд9 + д9 Лдб — д7д8 — д7 Лд8 — д8 Л°7 = 0

д3дб + д3 Лдб+ дб Л д3 + д3д7 + д3 Лд7+ д 7 Л д3 + д4дб + д 4 Лдб +

+ дб Лд 4 + д4д7 + д 4 Л д7 + д7 Лд4 — дід8 — ді Лд8 — д8 Л ді — дід9 —

— д1 Лд9 — д9 Лд1 — д2д8 — д2 Л д8 — д8 Л д2 — д2д9 — д2 Лд9 — д9 Л д2 = 0

и могут быть представлены в матричном виде:

ОЛО = Б,

(10)

х

где матрицы G и D определяются:

G

0

0

0

0

~8 - ~9

0 0 0 0

~8 - ~9 ~6 + ~7 ~6 + ~7 0

q 9 - q 8 - q 7

~3 + ~4 ~3 + ~4 - ~1 - ~2

0 ~6 ~1 - ~2

(12)

D = [0].

Амплитудные значения исследуемых сигналов, в большей части составляющие их величину, стабильно определяются при дифферентно задаваемых уровнях зашумлений. Такой эффект достигается за счет использования поправки паразитной частотной составляющей n вместо корректировки всей несущей частоты сигнала ю, заложенной в основу стандартного метода. Получаемые при достаточно быстрой сходимости (не более 2 итераций) нелинейного алгоритма оценки являются несмещенными, состоятельными и эффективными, как оценки максимального правдоподобия. Представленный в статье алгоритм оценивания параметров двухканального квазигармонического сигнала выступает в качестве предпочтительной альтернативы стандартному алгоритму IEEE-STD-1057.

ЛИТЕРАТУРА

1. IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders. IEEE Std. 1057. 1994.

2. Handel, P. Properties of the IEEE-STD-1057 Four-Parameter Sine Wave Fit Algorithm / P. Handel // Trans. Instrum. Meas. 2000. Vol. 49. № 6. P. 1Г89-1193.

Казаков Кирилл Викторович -

магистрант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Львов Алексей Арленович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Пыльский Виктор Александрович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 25.09.09, принята к опубликованию 25.11.09

0

0

4