Научная статья на тему 'Алгоритм численного интегрирования уравнений модели кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции ньютоновской жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре'

Алгоритм численного интегрирования уравнений модели кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции ньютоновской жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
103
39
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ / ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ / КОНВЕКЦИЯ / WARM-UP FIELD / HEAT-CONDUCTING / CONVECTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ряжских В. И., Соболева Е. А., Стогней В. Г.

Предложены математическая модель кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции в виде линеаризованных уравнений Обербека-Буссинеска и алгоритм их численного интегрирования

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ряжских В. И., Соболева Е. А., Стогней В. Г.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE ALGORITHM OF NUMERICAL INTEGRATION OF MODEL EQUATIONS OF CONDUCTIVE LAMINAR-FLOW CONDITIONS OF NEWTONIAN LIQUID THERMAL CONVECTION IN A VERTICAL STANDPIPE

The article presents a mathematical model of conductive laminar-flow conditions of thermal convection in a form of Oberbeck-Boussinesq linearized equations and the algorithm of their numerical integration

Текст научной работы на тему «Алгоритм численного интегрирования уравнений модели кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции ньютоновской жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре»

УДК 536.25

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ КОНДУКТИВНО-ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА ТЕРМОКОНВЕКЦИИ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ РЕЗЕРВУАРЕ

В.И. Ряжских, Е.А. Соболева, В.Г. Стогней

Предложены математическая модель кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции в виде линеаризованных уравнений Обербека-Буссинеска и алгоритм их численного интегрирования

Ключевые слова: температурное поле, теплопроводность, конвекция

Известно, что при достаточно малых числах Грасгофа Ог во внутренних и внешних задачах свободноконвективных течений вязкой несжимаемой жидкости наблюдается

кондуктивно-ламинарный режим [1], когда температурное поле практически совпадает с температурным полем «чистой»

теплопроводности, но среда уже не покоится.

Так как в этом случае абсолютное значение скорости мало, то конвективными составляющими в уравнениях Обербека-Буссинеска, записанных в переменных

Гельмгольца, можно пренебречь, тогда:

—=Д0-УТ х вг; дік

ДТ = -0;

^ = -1 ДТ; 5ік Рг

(1)

(2)

(3)

где относительные переменные: О - вихрь; Т - векторный потенциал; Т - температура; безразмерные комплексы: Ог - векторный

аналог критерия Грасгофа, вид которого определяется масштабированием температуры; Рг - число Прандтля, характеризующее теплофизические свойства среды и является инвариантным ко времени и геометрии задачи; 1к - гомохронное число Жуковского; А -оператор Лапласа; V - градиент.

Для осесимметричной задачи естественной конвекции в цилиндрической системе координат г,г система (1) - (3) имеет вид:

50 520 д2 0 1 50 0

дТ

дік ді2 5Я2 Я дЯ Я2 ~ дЯ

д2 Т д2 Т 1 5Т

ді2 дЯ2 Я дЯ

+——+—+°г—; (4)

(5)

= - ЯО;

Ряжских Виктор Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел.(4732) 55-35-54

Соболева Елена Александровна - ВГТА, старший преподаватель, тел.(4732) 55-35-54

Стогней Владимир Григорьевич - ВГТУ, профессор, тел.(4732) 43-76-62

дТ

дік

1

Рг

д2Т + Я дТ_

, , > (6)

5^ Я дЯ У дЯ'

где і = z|r0; Я = г/г0 ; г0 - радиус цилиндра. В предположении отсутствия фазовых переходов и при наличии известного теплового потока через смоченную границу жидкости (это соответствует, например, условиям хранения криогенных жидкостей в стационарных наземных резервуарах типа РЦВ [2]) совокупность граничных условий представлена следующим образом:

0(Я,і,0) = 0(0,і,ік) = 0(Я,0,ік) = 0 ; (7)

5Т(1, і, ік) 52 Т(1, і, ік)

0(1, і, ік ) = -

дЯ

О

д2 Т

(я,#_1, ік)

(8)

Я дZ2

Т( Я, Z ,0 ) = Т( 0, Z, Zh ) = Т(1, Z, Zh ) =

= Т((,0, Zh ) = Х¥{Я,^1^ ) = 0; (9)

ч дТ (Я,0,Zh) дТ (0^ ^, ч Т (Я, Z,0)=---—’- =---------—’- = 0 ;(10)

дZ дЯ

дТ (1, Z, Zh ) дТ (Я,Г\ ^ )

дЯ ~ ~

где % = г0 /h, h - высота столба жидкости.

Интегрирование системы (4) - (11)

осуществлялось по конечно-разностной схеме

О^1 - 0к ■

і , і і,}

0к +, - 20* . + 0* ■ ,

і, і +1 і, і і, і-1

Дік

(Дік )2

0*+, ■ -20* ■ +0* , ■

+ і + 1, ] і, ] і — 1, і +

(ДЯ )2

0+!,, -0^-!, і 0 і

2(ДЯ)2 (ДЯ)2

+Ог

Ті +1, і ~1і-\,,

2ДЯ

Тк+1 - 2Тк +1 +Тк +1

^і, і+1 2^і, і і, і-1

(Ді )2

Тк+1 - 2Тк+1 +Тк+1

^і+1,і 2^і, і і-1, і

(ДЯ )2

хтfk+1 _ \uk+1

*i+1, j * i-1

k+1 -1, j

2iAR

= -iARQ!

k+1

rpk + 1 rpk

Ti, j - Ti, j

AZh

Pr

T-j+1 - 2Tkj + Tkj-1

(AZ )2

rpk r\rpk . rpk rpk rpk

+ Ti+1, j - 2Ti, j + Ti-1, j + Ti+1, j - Ti-1;

(AR)

2

2iAR

qO = Qk = Ok = 0*

^li, j _ 12i0 j _ ^li,0 ~ 0 5

m k - m k

q k = m, j m-2, j m, j

2AR

mk - k + mk

m, j m-1, j m-2,

(AR )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

mk - 2mk + mk

ok = i,n i,n-1 i ,n-2

Qi,n = ~

iAR (AZ )2

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

m0, =m 0,, = y* =m * = mk m = 0; (18)

rpk rpk

m, j m-2, j

2AR

'T'k . rpk

Ti,n + T i,n-2

2AZ

= -1;

(20)

АЯ = 1 да ; АZ = % '/и ; г = 1,й -1; У = 1,-1.

Расчеты по схеме (12) - (20) показали правомочность принятых допущений и возможность идентификации критического числа Ог при сравнении полученных результатов с решением нелинеарезованной задачи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по гранту № 07-08-00166.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Кн.1, 2. - М.: Мир, 1991. - 678 с.

2. Фомин Н.В., Буланов А.Б. Жидкостные криогенные системы. - Л.: Машиностроение, 1985. - 247 с.

rpk rpk rpk ____ rpk

T 0 = Ti,n - T i,n-2 T0, j T 2, j

Ti, j =

2AZ

2AR

= 0; (19)

Воронежский государственный технический университет Воронежская государственная технологическая академия

THE ALGORITHM OF NUMERICAL INTEGRATION OF MODEL EQUATIONS OF CONDUCTIVE LAMINAR-FLOW CONDITIONS OF NEWTONIAN LIQUID THERMAL CONVECTION IN A VERTICAL STANDPIPE

V.I. Rjazhskih, E.A. Soboleva, V.G. Stogney

The article presents a mathematical model of conductive laminar-flow conditions of thermal convection in a form of Oberbeck-Boussinesq linearized equations and the algorithm of their numerical integration

Key words: warm-up field, heat-conducting, convection

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.