CC BY
46
АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
М.Ю. Хевсокова
Аннотация. В статье предложена методика изучения геометрических преобразований пространства, включающая в себя рассмотрение основных вопросов, касаю щихся введения понятия «преобразование», изучение его свойств, рассмотрены взаимосвязи между преобразованиями, методика изучения композиций преобразований пространства, выделение геометрических ситуаций, приводящих к использованию преобразований пространства.
68
Ключевые слова: геометрическое преобразование пространства, изометрия, композиция преобразований, методика решения задач с использованием геометрических преобразований пространства.
Summary. Proposes methodology ofstudding geometrical transformation ofspace, including consideration of the basic questions, concerning introductions of concept «transformation», studying of its properties, consideration of interconnections between geometrical transformations, technique of studying ofcompositions of transformations ofspace, apportionment of the geometrical situations leading to use of transformations of space.
Keywords: geometrical transformation of space, isometry, compositions of transformations of space, methodology of the decision of probkms with use ofgeometrical transformations ofspace.
В школьном курсе математики, и геометрии в частности, существует тема «Геометрические преобразования пространства», которая недостаточно проработана в методическом плане. На изучение этой темы массовая школа выделяет не более 6 часов в старших классах, и поэтому ни о каком подробном изучении преобразований пространства в массовой школе речи не идет. В данной статье рассмотрим те основные направления, по которым нужно
изучать эту тему в школах и классах с углубленным изучением математики.
1. Геометрические преобразования содержат в себе огромный потенциал. Вот что по поводу значения изучения геометрических преобразований говорит В.Г Болтянский: «Знание свойств движений и других геометрических преобразований, умение применять их к доказательству теорем и решению задач — важный элемент математической культуры, может быть, самый важный
Содержание и технологии образования
метод (наряду с умением применять векторный аппарат и логически мыслить), который должны вынести учащиеся из школьного курса геометрии» [1, 110].
Необходимо отметить еще одну важную проблему, которая не реализуется в школьном математическом образовании. Дело в том, что функции в курсе алгебры и начал анализа и геометрические преобразования в курсе геометрии— это практически один и тот же объект, но об этом ничего не говорится в школе. По этому поводу писал академик А.Н. Колмогоров: «Понятие отображения (функции) является в современной математике одним из наиболее употребительных понятий. Геометрические преобразования — тоже функции. Поэтому было бы противоестественным продолжать игнорировать использование геометрических преобразований в школьном курсе геометрии, как это делалось в наших программах до сих пор» [2, 9]. При изучении преобразований пространства мы должны стремиться к тому, чтобы сделать изложение материала взаимосвязанным и взаимодополняющим. В рамках данной статьи ограничимся определением геометрического преобразования, которое мы будем использовать в дальнейшем.
Определение. Если каждой точке А пространства по правилу / поставить в соответствие единственную точку этого пространства Ар то говорят, что задано геометрическое преобразование пространства. Точку Аг называют образом точки А, а точку А - прообразом точки Аг
Здесь, безусловно, возникает масса сопутствующих вопросов: говорим ли мы о преобразовании пространства или фигуры; как построить систему упражнений, формирующих понятие геометрического преобразования; как связать этот материал с курсом алгебры
и начала анализа и так далее. Вместе с тем, предлагается соответствующая система задач на введение понятия «преобразование пространства», включающая в себя две группы: первая группа задач связана с тем, что задано соответствие точек пространства и необходимо установить является ли оно преобразованием или нет; вторая группа задач связана с тем, что необходимо самостоятельно задать соответствие между точками пространства и доказать, что соответствие является геометрическим преобразованием пространства.
2. В учебно-методических пособиях, касающихся геометрических преобразований, свойства преобразований излагаются в разном объеме, и методика изложения этого материала также различна. Перечислим те свойства преобразований пространства, которые являются обязательными при изучении геометрических преобразований: тождественные преобразования, обратимость преобразований и обратные преобразования, неподвижные элементы преобразования (точка, прямая и плоскость).
3. Большое внимание в школьной практике уделяется преобразованиям, которые сохраняют расстояния между соответствующими точками. За последние десятилетия много говорилось о соответствующей терминологии. Это происходило потому, что для указанных преобразований есть три примерно одинаковых термина: «движение», «перемещение» и «изометрия». Традиционно в математической литературе и большинстве школьных учебников используется термин «движение». Академик А.Н. Колмогоров не разделял эту точку зрения и писал: «...изометрию на физическом языке более естественно называть перемещением, а не движением (движение есть процесс, а перемеще-
69
1 / 2010
Преподаватель XXI
ние — его результат)» [3, 3]. Вместе с тем термин «перемещение» оказался неудачным: он занят в курсе физики. В цитате А.Н. Колмогорова упоминается термин, которым и будем пользоваться — это термин «изометрия». Другой не менее важный вопрос: какие общие свойства изометрии необходимо рассматривать при дифференцированном обучении геометрии? Среди этих свойств следует рассмотреть свойство обратимости любой изометрии, а также свойства изомет-рии переводить три точки, лежащие на одной прямой в три точки, лежащие на одной прямой, причем точку, лежащую между двумя другими, переходить в точку, лежащую между образами двух других точек; переводить отрезок в отрезок той же длины; прямую переводить в прямую, а луч — в луч; угол переводить в равный угол; плоскость переводить в плоскость.
4. Большую часть учебного материала по изучению преобразований пространства занимает изучение конкретных видов преобразований. В разных учебниках число этих видов различно, определения и методика их введения бывают различными. Отметим, что 70 программа изучения преобразований пространства должна включать в себя рассмотрение следующих преобразований: центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия, вращение вокруг оси, параллельный перенос, но расширять круг этих преобразований не склонны. Можно рассмотреть и другие виды изометрий: скользящая симметрия, зеркальный поворот, винтовое вращение. На наш взгляд, самым важным является в дальнейшем применение этого материала при изучении других тем курса геометрии, а для этого необходимо обратить внимание на изучение взаимосвязей между этими преобразованиями. Так, вращение вок-
руг оси на угол 180° может определяться как осевая симметрия пространства. Все симметрии пространства связаны между собой теоремой:
Теорема. Если фигура имеет плоскость симметрии и в ней центр симметрии, то она имеет еще ось симметрии, проходящую через центр перпендикулярно плоскости.
Также справедливы следующие теоремы:
Теорема. Если фигура имеет ось и на ней центр симметрии, то она имеет плоскость симметрии, проходящую через центр перпендикулярно к оси.
Теорема. Если фигура имеет перпендикулярные ось и плоскость симметрии, то она имеет и центр симметрии в точке их пересечения.
5. Другой чрезвычайно важный вопрос связан с изучением композиций преобразований пространства. Для полного изучения этого вопроса практически нет учебного времени. Вместе с тем без композиции преобразований нет теории преобразований. Существует следующий выход из этой ситуации. Анализ литературы об изучении геометрических преобразований пространства позволил выделить наиболее простой способ, который возможен для изучения, — это рассмотрение композиций одноименных преобразований. В результате этих исследований получаем следующую последовательность действий. Наиболее просто обстоит дело с композицией центральных симметрий. Всем известен вывод, что композиция четного числа центральных симметрий в пространстве есть либо тождественное преобразование, либо параллельный перенос; композиция нечетного числа центральных симметрий в пространстве есть центральная симметрия. Изучение композиций преобразований пространства по
Cодержание и технологии образования
видам преобразований идет по следующей схеме:
— композиции четного и нечетного числа центральных симметрий относительно одного и того же центра симметрии и относительно различных центров симметрии в пространстве;
— композиции двух осевых симмет-рий относительно общей оси симметрии, параллельных осей симметрии, пересекающихся осей симметрии и относительно скрещивающихся осей симметрии в пространстве;
— композиции двух зеркальных симметрий относительно общей плоскости симметрии, параллельных плоскостей симметрии, перпендикулярных плоскостей симметрии и пересекающихся плоскостей по общей прямой в пространстве;
— композиции трех зеркальных симметрий относительно трех параллельных плоскостей симметрии, трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии, трех пересекающихся плоскостей по общей прямой и трех плоскостей взаимно пересекающихся в общей точке;
— композиции двух вращений пространства на угол а и р относительной общей оси вращения, параллельных осей вращения, пересекающихся осей вращения и скрещивающихся осей вращения;
— композиции двух параллельных переносов.
6. Существует вечная проблема «как решать задачи», существует более частная задача «как решать геометрическую задачу методом геометрических преобразований». Вопросами решения задач с использованием геометрических преобразований занимались многие математики и методисты: В.Г Болтянский, В.А. Гусев, С.Н. Дорофеев, Я.П. Панарин, Е.В. По-
тоскуев, ГИ. Саранцев и другие. Однако не удается найти разработанной методики решения таковых задач, которая бы подсказывала соответствующий метод и необходимость использования того или иного преобразования. Особенно сложно обстоит дело с преобразованиями пространства, потому что этот метод вообще не описан. Если даже и есть какие-нибудь положения, связанные с методикой решения таких задач, то они чаще всего идут через примеры конкретных задач, поэтому методика решения задач с использованием геометрических преобразований пространства является на сегодняшний день недостаточно разработанной. Исходя из анализа учебных пособий, задачи, решаемые с использованием геометрических преобразований, можно разделить на два вида: 1) задачи, связанные с изучением свойств различных геометрических преобразований, и взаимосвязей между ними; 2) задачи, в формулировки которых не входят геометрические преобразования, но которые решаются с их применением. По первому виду существует огромное количество задач, методика решения которых нуждается в совершенствовании, но рассмотрение таковых задач не входит в рамки нашего исследования. Нас интересует более сложная проблема — это решение различных геометрических задач методом геометрических преобразований, где метод решения задач не следует из условия задачи. В нашей работе разрабатывается одно наиболее перспективное направление — это выделение геометрических ситуаций, приводящие к использованию преобразований, например:
а) если известно, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии, то этот факт может использоваться в разных
71
1 / 2010
Преподаватель XXI
72
ситуациях, решаемых с применением центральной симметрии, например, если требуется доказать, что отрезок любой прямой, проходящий через точку пересечения диагоналей параллелепипеда и заключенный внутри него, делится этой точкой пополам; если требуется доказать, что два тела, полученных при пересечении параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку пересечения его диагоналей, равны и имеют равные объемы;
б) если известно, что правильный тетраэдр имеет три оси симметрии, проходящие через середины противоположных ребер, то данный факт можно использовать в ситуации, например, если нужно доказать, что плоскость, проходящая через отрезок, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, делит его на равные два тела;
в) если нужно доказать, что точка, лежащая в плоскости, находится на наименьшем или наибольшем расстоянии от двух других точек, не лежащих в плоскости, то можно использовать зеркальную симметрию;
г) если требуется доказать, что в правильной треугольной пирамиде плоскость, проходящая через ребро и биссектрису треугольника в основании, делит пирамиду на два равных тела, имеющие равные объемы, то можно использовать зеркальную симметрию;
д) если нужно две фигуры, лежащие в разных плоскостях, перевести в одну плоскость и провести сравнительный анализ, то целесообразно применить вращение вокруг оси;
е) если нужно доказать, что наклонная призма равна прямой призме, построенной на сечении, перпендикулярном боковым ребрам, то целесообразно использовать параллельный перенос.
Здесь приведены не все геометрические ситуации, приводящие к использованию геометрических преобразований пространства, так как их круг может быть расширен. Суть методики решения геометрических задач с использованием геометрических преобразований пространства состоит в следующем: анализируя текст задачи, мы совершаем анали-тико-синтетическую деятельность по нахождению следствий из условия задачи и вырабатываем стратегию по решению той или иной задачи. Путь от ее условия до момента использования геометрического преобразования может быть различным: можно сразу увидеть использование того или иного преобразования или нужно проделать дополнительную работу, чтобы увидеть использование геометрического преобразования. Вместе с тем, практическая значимость геометрических преобразований заключается в применении их к решению задач.
Объем статьи не позволяет рассмотреть все проблемы, которые поднимаются при изучении этой важной темы. Например, здесь не затронуты преобразования подобия пространства, не рассмотрены преобразования в координатах и многое другое. При этом представляется, что материал этой статьи показывает важность и сложность изучения темы «Геометрические преобразования пространства» в школьном математическом образовании.
ЛИТЕРАТУРА
1. Болтянский В.Г. Поворот и центральная симметрия // Математика в школе. — 1989. — № 6. — С. 108-119.
2. Колмогоров А.Н. Геометрия 6 класс. Методическое пособие — М., 1970.
3. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе // Математика в школе. — 1971. — № 6. — С. 2-3.■
