CC BY
38
Dragan Pctković, major, dipt. inž. VP 9445-1, KntSevac
ADAPTIVNIDIGITALNIFILTRI
UDC: 621.39:519.688
Rezime:
Rad opisuje osnove funkcionisanja adaptivnih filtara. U uvodnim razmalranjima obra• dene su osnove matematičke obrade diskretnih signaia i z-transformacije tod adaptivnih filtara. Izlolen je Wienerov problem filtracije. Predstavljeni su CCL petlja i Widrow-Hojfov LMS algoritam i razmotrena brzina konvergencije adaptivnih filtara. Praktično je realizova-na CCL petlja sa osvrtom na brzinu konvergencije.
Kljućne reči: adaptivni filtar, diskretni signal, CCL petlja.
ADAPTIVE DIGITAL FILTERS
Summary:
The paper describes the basb of adaptive filter functioning. The first considerations deal with the mathematical proccessing of discrete signals and the Z-trarsform in adaptive fitters. The Wieners filter proccessing problem was exposed. The Correlation Canceler Loop (CCL) uas presented as well as the Widrow-Hoffs adaptive Least Mean Squares (LMS) step-by-step procedure. The convergency rate of adaptive filters was considered as well. The CCL simulations were obtained pointing out the convergency rate.
Key v>vrds: adaptive filter, discrete signal. Correlation Canceler Loop.
Uvod
Radi reaiizacije željenog ponašanja objekta upravljanja, u sistcmima auto-matskog upravljanja vrši se obrada razli-čitih signaia, kako referentnih, tako i ne-željenih signaia - šumova i smetnji. Ge-neralno uzevši, može se red da je signal realizacija nekog procesa, odnosno funk-cija jedne ili više nezavisno-promenljivih veličina koje sadrže karakteristike i sta-nja sistema, odnosno pojave koje repre-zentuju.
U skladu sa tim odakle potiče neza-visno promenljiva, odnosno funkcija koja se posmatra, signali se mogu razvrstati u nekoliko velikih grupa:
- analogni signali,
- diskretni signali,
- digitalni signali,
- digitalni signali u kontinualnom (realnom) vremenu.
Signali koji su razmatrani u ovom radu pripadaju grupi diskretnih signaia. To su, u stvari, nizovi realnih brojeva, gde se svakom celom broju iz odabranog
VOWOTEHNlCKI CLASNIK 1/2002.
61
SI. / - Grafitka interpretadja diskretnog signalu
segmenta diskretizacije pridružuje odgo-varajući realni broj funkcije argumenta.
Grafički prikaz diskretnog signaia, prikazan je na slid 1.
Kao što se kod kontinualnih sistema upravljanja njihovo dinamičko ponažanje opisuje diferencijalnim jednačinama, ta-ko sc kod diskretnih sistema koriste dife-rentne jednačine pri opisu stanja sistema.
Opšti oblik diferentne jednačine diskretnog sistema» reda M, može se pred-staviti jednačinom:
А/ N
= n>0-j-0 /-1
(1)
Ovakvim opisom diskretnih sistema, preko diferentnih jednačina, moguće je odrediti prenosnu fimkciju, njene polo-ve i nuie, kao i nadn realizacije sistema.
Diferentna jednačina (1) može se predstaviti u opštijem obliku:
V
£«*>>(/*-*) = /(/»), я>0, (2)
*-о
pri čemu je:
f(n) ~ £ b,x(n - i).
-•o
Ovde se niz y(n) naziva rešenjem diferentne jednačine.
Rešenjc diferentne jednačine, a time i ponašanje diskretnog sistema, može se dobiti primcnom rekurentnih formula ili z-transfonnacijom, kao i metodom ana-lognom rešavanju diferencijalnih jedna-čina.
Z-transformacija predstavlja jednu od najvažnijih metoda u postupku analize i sinteze iineamih diskretnih signaia. Ka-ko su povučene пеке paralele uporedenja izmedu kontinualnih i diskretnih sistema, treba istaći da z-transformacija kod diskretnih sistema ima isti značaj kao La-placeova transformaeija za kontinualne sisteme. lako sc sada, u skladu sa domi-nantnom primenom računara, pri analizi i sintezi sistema standardno koristi i metoda prostora stanja, z-transformacija je, ipak, joS uvek u nekim oblastima cfika-sna i korisna, što se naročito odnosi na sintezu filtara.
Diskrctizacija kontinualnog kauzal-nog signaia f(t), može sc uraditi korišće-njem jediničnog impulsa, i(t):
a)
,(1) = ^б(,-кТ) (3)
*»0
tako da se dobija niz (povorka) odbiraka koja je data izrazom:
г it)=mm- (4)
Jednačina (4) može se napisati i u slcdećem obliku:
Г(1) = ^ПкТ)б(1-кТ) (5)
*•0
odakle se dobija kompleksni lik povorke odbiraka:
62
VOJNOHiHNlCKJ Gl-ASNIK I/2002.
F'(s) = LapIace[f{t)] = ^f(kT)e ■
km 0
(6)
U ovom rađu izložen je problem fil-tracije signala i neki aspekti realizacije ovog problema, sa posebnim osvrtom i težištem na adaptivnim filtrima i njihovoj implementaciji.
SI. 2 - Wienerov problem filtracije
Postavka problema filtracije
Wienerov problem filtracije grafički je prikazan na slici 2.
Opšte rešenje problema ne sadrži aprioma ograničenja u odnosu na Wienerov filtar. Uopšteno posmatrano, potre-ban je konačan broj težina kako bi se po-stigla najniža greška proračuna. Medu-tim, u adaptivnim primenama unapred se mora insistirati na konačnom broju težina filtra, Sto je, takođe, važno i zbog pojedi-načne adaptacije algoritma ka svakoj te-žini. Očigledno, beskonačan broj težina u filtru ne može se adaptirati.
Pretpostavlja se da je optimalni Wienerov filtar onaj sa M+l težinom:
A =
bo
b\
.M J
2
+ h
M zM
(7)
Filtar obraduje signal^ tako da pro-računava:
Težine hm odabrane su po optimalnom kriterijumu minimalne greSke najmanjih kvadrata, odnosno:
£ = £[V] = min; e = (9)
Kriterijum minimizacije vodi ka jedna-činama koje odreduju optimalne težine, pa se može pisati:
= 0 (10)
ili, ekvivalentno:
E[e»y{n)] = 0 (П)
To daje normalne jednačine:
£[(*„ -*J.V(n)] = -Лгу(л»>'(п)] = 0
E[y{n)y(n)T]b = Elx,y(.”)\ (12)
ili, drugačije napisano:
x„ =^+U-i +b2yn_2 +
+ M (8)
Rb = r, Л = £[><л)Мя)Г]. г = £[*„>>(л)].
(13)
VOJNOTEHNlCKl GLASNIK 1/2002.
63
Optimalne težine tada su date izrazom:
h = R~'r, (14)
a odgovarajuća minimalna vrednost esti-macione greške računa se prema izrazu:
€=EW]=E[e»(x"" hTyW)\=£[«л]
^ = £[хя2]-Л7£[у(л)хя] = £[хя2]-/-гЛ",г
(15)
Normalne, a posebno ortogonalne jednačine imaju uobičajcnu interpretaciju otklanjanja korelacije. Signal x„ može se izraziti sledcćom jednačinom:
x*=en-x*=e*+bTy(n). (16)
Dati signal sastoji se od dva deia. Prvi deo, s obzirom na ortogonalnost je-dnačina, u potpunosti je nekorelisan sa y(n), dok dmgi deo jeste u korelaciji sa
y(n).
U stvari, filter od x„ otklanja sve što je u korelaciji sa sekundamim ulazom, y(n), a ono što ostaje (ej. inače nije u korelaciji sa y(n). Tako se Wienerov fil-tar nalazi u ulozi otklanjanja korelacije i, ukoliko su primami signal - x„ i se-kundami signal - y(n) u bilo kakvoj korelaciji, filtar će ukloniti sve pomenute k-oreiacije iz izlaznog signala - e„
Teškoća sa ovim rešenjem jeste što statističke veličine R i r moraju biti po-znate ili bar unapred procenjene, što se može učiniti mctodama blok-procesiranja ili adaptivnog procesiranja. Osnovne pre-dnosti blok-procesiranja jesu da je ono zasnovano na jednom, fiksnom uzorku
podataka i da njihova dužina mora biti vrlo kratka. Zbog toga su ovakve metode najpogodnije u apiikacijama sa ograniče-nom dostupnošću podataka, kao, na primer, u parametarskoj spektralnoj estima-ciji zasnovanoj na jednom bloku podataka.
Medutim, dostupnost podataka nije najznačajnija. U promenljivom okruže-nju, čak i sa više prikupljenih podataka, možda neće biti ispravno koristiti ih, zbog toga što stacionamost tada ne bi bila valjana za duži blok podataka. Ipak, i u ovakvim slučajevima se još uvek mo* gu koristiti metode blok-procesiranja, ali se optimalni filtri moraju iznova dizajni-rati sa promenom okruženja, tako da filtar uvek odgovara podacima koje obra-duje.
S druge stranc. u nekim apiikacijama se ne zna koliko često treba rede-finisati filtre, pa se koristi adaptivna im-plementacija koja obezbeduje rcdefinisa-nje optimalnog procesora na automatski način, tako da oni neprekidno ,,prate“ okružcnje.
Kao primeri mogu se navesti pro-blemi sa prijemom signala na radarima i antenama, uz prisustvo ometanja, zatim otklanjanje šuma i eha, lineamo predvi-danje i spektralna estimacija, kao i sistem - identifikacija i kontrola.
Postoji više različitih adaptivnih algoritama, kao što su: Widrow-Hojfov algoritam najmanjih srednjekvadratnih vrednosti (Least Mean Square - LMS), klasičan rekurentni algoritam najmanjih kvadrata (Recursive Least Squares -RLS). zatim brzi RLS algoritam, kao i adaptivni rešetkasti algoritam. Na slici 3 prikazana je tipična adaptivna imple-mentacija Wienerovog filtra.
64
VOJNOTFHNlCKl GLASNUC 1/2002.
AchptMii ** WF
MapBvni ....................
aigorttem
SI. 3 - Adaptivni Wtenerov filter
Adaptivni algoritam neprekidno nadgleda izlazni signal greske e„ i po-kušava da minimizira izlaznu snagu, ifo2], ili ekvivalcntno pokušava da ukloni korelaciju izmcđu e„ i sekundar-nog ulaza y„. Za svako n pri filtraciji se koristc trcnutnc vrednosti težina. Izraču-nati izlaz koristi se, zatim, u adaptiv-nom delu algoritma radi izmenc težina u smeru njihovih optimalnih vrednosti. Vrcmcnom, sa obradom ulaznog signaia, x„, kao i signaia ул, filtar lagano ,,uči“ statistiku ovih ulaza, pa tako i težine idu ka optimalnim vrcdnostima koje su date Wiencrovim rešenjcm kroz jednačinu
(14).
gencije, došlo do promene statistike, filtar bi odgovorio ponovnim podešava-njcm svojih težina novim optimalnim vrcdnostima, i tako redom. Drugim reči-ma, adaptivni filtar ce pratiti ncstacio-name promene ulazne statistike, sve dok se tc promene dešavaju dovoljno sporo za filtar, tako da on konvergira između tih promcna.
Za svaku adaptivnu implementaciju postojc tri bitne osobinc о kojima treba voditi racuna, a to su:
- učenje ili brzina konvergencije algoritma,
- složenost proračuna algoritma,
- numcrička preciznost i stabilnost algoritma.
Brzina konvergencije jc bitna s ob-zirom na to da određuje maksimalni ritam promcna nestacionamih ulaza kojc se korisno mogu pratiti filtrom. Slože-nost proračuna odnosi se na broj opc-racija kojc su neophodnc pri ažuriranju stanja filtra od jednog do sledcceg tre-nutka.
Tabela i
Algoritam Brzina SloŽcnost Stabilnost
Najmanjc srodnjckvadralnc vrednosti (LMS) spur jednostavan stabilan
Najmanji kvadrati. rekurentni. klasieni (RLS) brz siožen stabilan
Najmanji kvadrati, rekurentni, brai (brzi RLS) bra jednostavan ncstabilan
Rcšctkasli brz jednostavan stabilan
Jasno je da ulazna statistika mora ostati ncpromcnjcna, bar onoliko dugo koliko jc filtru potrcbno za ,,učenjc“, kao i za konvcrgenciju ka svojoj optimainoj konfiguraciji. Ukoliko bi, nakon konver-
U tabcli 1 prikazana je raznolikost kriterijuma upotrebc pomenutih algorita-ma u odnosu na navedcne osobinc.
Treba napomenuti da je očito da, uprkos vrsti algoritama koji su ponudeni,
V0JN0TEHNIĆK1GLASNIK 1/2002.
65
*n --------
h
У»------{>
SI. 4 -Jednostavan filtar sa jednim teiinskim koeficijentom
nijedan adaptivni filtar nc može dati bo-Ije гсбспјс ncgo §lo to čini tcorijsko Wi-cncrovo rešenje. Zato treba, pre svcga, najpre tcoretski odrcditi valjanost opti-malnog filtra pre nego §to se krone na aplikativno korišcenjc.
Petlja uklanjanja korelacije (Correlation Canceler Loop -
CCL)
Radi ilustracijc osnovnog principa rada adaptivnih filtara razmatran je naj-jednostavniji moguci filtar sa samo jed-nim težinskim koeficijcntom na slici 4.
Težinski kocficijent h, mora biti op-timalno (xiabran, tako da dajc najbolju mogucu estimaeiju signala u obliku:
8(h)
SI. 5 - Grešta filtra - c
Jednačina se resava itcrativno, koristcci gradijentno-opadajudu metodu.
Zavisnost greske e> od parametra filtra A, jeste parabola prikazana na slid 5.
Kao što se možc videti sa slike, apso-lutni minimum se pojavljuje za optimal-nu vrednost ћф
U adaptivnoj verziji, parametar filtra A jeste vremenski zavisan h(n), i po-pravlja se iz jednog trenutka ka sledećem prema izrazu:
h(n + l)= h(n) + Дkin), (20)
(17)
Estimaciona greška izražcna je na sledeci način:
s(h) = E e„2]= £[(*„ -Лу„)2] =
= E[xa2]-2hE[(xKy„]+E[yH2]
pri čemu jc Дh(n) korekeioni izraz koji mora biti pravilno odabran radi obezbe-divanja konvergendjc vremenski pro-mcnljive tc/.ine h(n), ka svojoj optimal-noj vrednosti, odnosno:
А(и)-> h = R'lrt za л->оо. (21)
£(А) = £[х„2]-2А/- + АјЛ (18)
Uslov minimizaeije definisan je iz-razom:
Sada je operacia filtracije data u jo§ uvek lineamoj, ali i vremenski neinvari-jantnoj formi:
x = h(n)yn. (22)
= -2r + 2ЛЛ * 0
(19)
Izračunavanje estimaeije za sledeci trenutak trcbalo bi obaviti sa novom te-žinom, odnosno:
66
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2002.
(23)
Najjednostavniji način odabira ko-rekcionog izraza Ah(n), jeste gradijent-no-opadajući mctod. Suština ove metodc je u tome da sc zahteva pomcranje osobi-na indcksa bližc minimumu ncgo u pret-hodnom trcnutku, za promenu od A u й+Дй. Tako Дй mora zadovoljiti sledeći uslov:
£(h + Ah)$£ (24)
Uz ovakav zahtev ponavljanje pos-tupka vodiće ka sve izraženijem smanjc-nju vrednosti za e, sve dok se ne dostigne njena najmanja vrednost.
Pretpostavljajući da je Ah dovoljno malo, navedeno se može proširiti na sle-dećiizraz:
Primenjujući ovu ideju na primeru malog adaptivnog filtra odabira se korekcioni izraz Ah(n), u skladu sa jednačinom (26), tako da je:
h(n +1) = h(n) + Ah(n) = h(n) _^^£(^(n))
dh
(28)
Ukoliko se u jednačinu (29) ubaci izraz za gradijent (dz/dh = -2r + 2Rh), može se dobiti:
h (n + t) = h(n) - џ [-2r + 2Rh(n)] » = - 2/jR)h(n) + 2/Jr. (29)
Ova diferentna jednačina može se rešiti u zatvorenoj formi. Na primer, ko-rišćenjem z-transformacije, uz bilo kakve početne uslove h(0), može se dobiti:
£(Л) + ДА^£^5£(Л). (25)
dh
Ako se Ah odabere kao negativni gradijent - \i(dz/dh), tada će nejednakost (25) zasigumo biti zadovoljena. Dakle, izraženo matematički, za:
= (26)
oh
h(n) = h + (1 - 2//Л)"(й(0) - h). (30)
U izrazu (30) ispunjen je uslov da je h=R 'r, odnosno, to je optimalna vrednost. Bez obzira na početni uslov h(0), težinski koeficijent h(n) će konvergirati ka svojoj optimalnoj vrednosti h, ukoliko se obezbedi takav adaptivni parametar p, koji će zadovoljiti sledeću nejednakost:
|l - 2pR\ < 1. (31)
biće:
£ (й) + Ah
de{h)
dh
= £(h)-M
de(h)f
dh
Ss(h).
(27)
Adaptivni parametar џ mora biti dovoljno mali da opravda zadržavanje samo prvog člana reda u Taylorovom razvoju.
S obzirom na to da p mora biti pozi-tivno (zbog negativnog gradijenta), pro-izilazi da se izraz (31) sužava na zadovo-ljenje uslova:
0</r<! !R. (32)
Da bi se odabrao adaptivni parametar p, mora se posedovati apriomo znanje
VOJNOTEHNlCKI GLASNIK 1/2002.
67
(36)
0 veličini R=E [у„2]. Ovakav izbor рага-melra ц garantovaćc konvergenciju, dok će brzina konvergcncije zavisiti od toga koliko jc broj 1-2 pR blizak jedinici. Pri odabiru parametra p mora se voditi raču-na da on bude dovoljno mali da garantuje konvergcnciju, ali nc i previše mali, jer bi tada konvergencija bila isuviše spora.
Widrow-Hoffov adaptivni algoritam najmanjih kvadrata (Least Mean Squares - LMS)
Prethođno je prikazan iterativni na-čin rešavanja originalnog Wienerovog problema filtracije. Sa praktičnog stano-višta ova reformulacija sc još uvek ne može izračunati, pošto adaptacija težin-skih koeficijenata zahteva apriomo po-znavanje korelacije statističkih veličina R
1 r, datih jednačinom (13).
U Widrow-Hoffovom LMS algorit-mu prethodno izloženi adaptivni algoritam zamenjen je onim koji je moguće iz-računati. Gradijcnt koji se pojavljuje u jednačini (28) glasi:
h(n + l) = h(n)-Md£^(n)) (33)
i zamenjen je trenutnim gradijentom. Prcma tome, izraz:
de(g(hn)) = -2£[g.y. ] = -2r + 2 Rh(n) = = -2Е[х.у.] + 2е[у1]Нп) (34)
zamenjuje se izrazom:
^■ = -2е,уп=-2хпу„ + 2угМП) (35)
dh
h(n + 1) = h(n) + 2 ме„уп.
Algoritamski predstavljeno, zahte-vani proračuni obavljaju se kroz sledeće korake:
- u trenutku n dostupna je težina
h(n);
- izračunava se izlaz filtra = Kn)y„;
- izračunava se estimaciona greška = Xn ~ Хц *
- izračunava se naredni težinski ko-eficijent filtra, prema izrazu;
h(n+l) = h(n) + 2penyn;
- prelazi se na sledeći trenutak П—Ч1+1.
Može se zapaziti i sledeće:
1. Izlazna greška e„, putem povratne veze, koristi se za kontrolu adaptacije te-žinskih koeficijenata filtra.
2. Filtar „pokušava" da ukloni kore-laciju sekundamog signala od izlaza e^ što se lako uočava kroz činjenicu da, ukoliko težina h(n) manje-više dostigne svoju optimalnu vrednost, tada je h(n+l)ash(n), pa je, slično, i adaptivna jednačina data izrazom enyn«0.
3. U praksi težina h(n) nikada ne do-segne teoretsku optimalnu vrednost: h=R'r. Umesto toga, težina se stabilizuje oko ove vrednosti i neprekidno varira oko nje.
4. Aproksimacija učinjena na počet-ku razmatranja LMS algoritma poznata je kao stohastička aproksimacija i znatno usložava matematičke aspekte problema.
Diferentna jednačina:
Tako se dobija algoritam sa podesivim Л(л +1) = h(n) + 2џепуп = težinskim koeficijentima: ~ M*) + - h(n)yn )yn
68
VOJNOTEIINIĆKIGLASN1K 1/2002.
SI. 6 - Konvergencija krive h(n) i E{h(n)J
Cini težinu h(n) zavisnom od slučajne promenljive yn> i to izrazito nelineamo, što znatno otežava rad, čak i sa osrednje-nim ponašanjem h(n).
5. Pri razmatranju osrednjenog po-našanja težine h(n) koriste se stedeće ti-pične aproksimacije:
E[Kn+0] = ^Ч«)]+2^Е[лу'я]-2jidh(n)y„2]
4Мл+0]=4ад)+Мад]-2^4Мл))4лг}
^Кп+Щ=Е\Цп)]+2^-ЩЦпр
(38)
Ovde je, u poslednjem izrazu, oče-kivanje E(h(n)] izvučeno kao činilac, s
SI. 7 - Realizacija CCL pellje
obzirom na nezavisnost h(n) od уя Sa ovom aproksimacijom, srednje očekiva-nje E[h(n)] zadovoljava diferentnu jedna-činu.
Težina h(n) će varirati око teoretske očekivane krive konvergencije, dok kon-vergira ka svojoj optimalnoj vrednosti hopt, kao što je prikazano na slici 6.
Nakon konvergencije adaptivna te-žina h(n) neprekidno varira oko Wiene-rovog гебепја - optimalnog h. Mcra ovih odstupanja izražena je veličinom EKh(n)-h)1].
Za postizanje visoke preciznosti konvergiranih težina (mala variranja), za-
VOJNOTEHNIĆKJ GLASNIK 1/2002.
69
SI. 9 - Prxa ileracija ležinskog koeficijeniu - h.
гаџ*0,015
SI. 10 - Druga ilerucija težinskog koefu ijenia -A. zu (I—0.0045
St. H - Treca iterucija iczinskog koeficijenta - A, za џ=0,0022
hteva sc što manje ц ali to u isto vreme usporava stcpcn konvergcncije, odnosno smanjuje brzinu konvergencije.
Sledi primer CCL petljc, koja je rea-Iizovana kao na slid 7. Kao što sc može videti sa slike, filtarski deo jc strogo odvojcn od kontrolne petljc povratne vc-ze koja obavlja adaptaciju tcžine filtra. To jc najjednostavniji moguci adaptivni filtar koji možc formirati clcmentamc blokovc mnogo složcnijih adaptivnih fil-tara višeg rcda.
Ovakva realizacija CCL petlje, koja sc može nac'i u vojnim telekomunikacio-nim uredajima, konkretno - u adaptivnim antenama i radarima, izložena je u simu-Iacionom problemu koji je prikazan na slid 8.
Simulacija je radena u program-skom pakctu MATLAB for WINDOWS. Na ulaz sistema dovodi se signal xa= -0,8yn + un. Zapaža se deo signala xB, koji je u korclaciji sa sckundamim signalom y„ (tj. sa -0,8 y„), kao i drugi deo koji sa yft nijc korelisan (uB).
Teorctsko rešenje glasi:
r = E[x„y„) = £[-0,8y„^] + E[u„y„] =
= -0,8£[>-„у„] = -0,8Л.
(39)
Kako jc h = R'r, sledi: v = -°>8 (40)
Filtar ce, najpre, ukloniti iz yn deo signala koji se odnosi na yn, i kada sc do-tigne optimalna težina. na izlazu će sc dobijati samo odgovarajuci signal, a to jc
u„-
70
VOJNOTEHNICKI GLASN1K 1/2002.
Treba pomenuti da je u simulacio-nom primcru prikazano kako adaptivni parametar џ utiče na ponašanje tcžinskog koeficijenta h i njegovu konvergenciju ka optimalnoj vrcdnosti = -0,8 koja od-govara teoretskom rcšenju Wiencrovog problema filtracijc, što se jasno može vi-deti na slikama 9,10 i 11.
Brzina konvergencije
Osobine konvcrgencijc LMS algori-tama, pa tako i algoritama i/.loženih u ovorn radu, bićc razmotrenc u skladu sa sledecom jednačinom:
— = -2 Е[еиу{п)], gdeje: y(n)
Može se dobiti:
Ут
Уп-i .
шУп-М
(41)
može uzeti R. To je garantovano i za maksimalnu vrednost promenljive X:
0<//<1/ Лт#х (45)
Ukoliko je џ odabrano na polovini intervala (oko 0,5/ Х^ = 1/2 Л^), tada će stepen konvergencije da zavisi od naj-sporijeg, konvergirajućeg izraza oblika (1 -2 цЛ)п, što znači da izraz 1 - 2рХ тога biti Što bliže jedinici. To je mogućc za minimalnu vrednost X =
Dakle, za ц«1/2 može se izra-ziti najsporiji konvergirajući izraz:
[|-2А,Г=[1-^^„Г. (46)
Aproksimativni izraz određuje i konstantu efektivnog vremena (u sekun-dama) za vreme t=nT, gde je T period uzorkovanja, ргета izrazu:
h(n + \) = (\-2t*R)h(n) + 2pr. (42)
Pri tome je matrica R defmisana iz-razom:
gdeje: г = Т
Лвах
Лпш
(47)
Л = £[у(«М«)Г]
= *>-/), ',7 е[0,Л/] («)
Rcšcnje difercntnc jcdnačinc težin-skih koeficijcnata je:
h{n) = A + (I - 2мЛ)п(И(0) - h). (44)
Konvergencija zahteva da veličina 1-2jiR ima vrednost manju od jedinice, za svaku vrednost promenljive X koju
Dakle, odnos Х^Л^ kontroliše br-zinu konvergencije.
Konvergencija je brža što je više is-punjen uslov Х^/ Х,^!, i obratno.
Treba istaći da velika brzina konvergencije neće biti moguća za izrazito autokorelativni signal ул U takvim situa-cijama, kada se zahteva velika brzina konvergencije koju LMS algoritam za ovakve signale realno ne može postići, pribegava se kombinaciji sa drugim algo-ritmima (na primer brzi RLS ili adaptivni rešetkasti algoritam). Treba spomenuti i mogućnosti ubrzavanja konvergencije,
VOJNOTEHNIĆK! GLASNIK 1/2002.
71
које poćivaju na metodi koja je nalik Newtonovom načinu rešavanja sistema jednačina
Implementacija ove metode traži apriomo poznavanje vrednosti za R, koje nije dostupno.
I pored toga, neki algoritmi, zasno-vani na siičnim metodama, imaju znatno veću brzinu konvergencije.
Zaključak
Problem filtracije signala, koji je razmotren u ovom radu, vrlo je važan u mnogim naučno-tehničkim oblastima, kao što su: telekomunikacioni uređaji, rada-
ri, antene, telefonske mreže, uklanjanje ,,du-hova“ (udvojene slike) na TV ekranu, itd.
Od čitavog niza adaptivnih filtara koji se navode u literaturi, pažnja je bila usme-гепа na jednostavnije primere. Bez obzira na to, predstavljcni filtri mogu se upotrebiti u sistemima koji moraju obczbcditi željeno ponašanje objekta upravljanja (regulacije) i što brži odziv, kako na upravljačke signale, tako i na signale smetnje, što otvara mo-gućnosti primene na borbenim sistemima koji se nalaze u VJ.
literature:
[1] Orfanidis. S.: Optimum signal processing - An intro direction. McGraw-Hill Book Company. New York. 1988.
[2] Stojic'. M.: Digiulni sisicmi upravljanja, Naučna knjiga. Beograd.1989.
[3] Obrađovkf. M.; Milosavljcvk'. M: Digital na obrada signala, Vojnoizdavački i novinski centar, Beograd. 1988.
[4] Dcbeljkovid. D.: Stohasiidci lincurm sisicmi auiomatskog upravljanja. NauCna knjiga. Beograd. 1985.
72
VOJNOTEHNlCKI GLASNIK 1/2002.
