Абелевы группы как артиновы или нетеровы модули над кольцами эндоморфизмов. Ч. 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

УДК 512.541

АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ КАК АРТИНОВЫ ИЛИ НЕТЕРОВЫ МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ. Ч. 2

П.А. Крылов*, Е.И. Подберезина

*Томский государственный университет

Томский политехнический университет E-mail: hggh45de@mail2000.ru

Описаны абелевы группы A и B такие, что группа гомоморфизмов Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы B. Описание групп A и B, для которых группа Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы A, сведена к случаю, когда группа A не имеет кручения, а группа B - либо квазициклическая группа, либо делимая группа без кручения. Охарактеризованы абелевы группы A и B, для которых группа Hom(A,B) есть нётеров модуль над кольцом E(A) или E(B). Исследование произвольной абелевой группы с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов сведено к исследованию группы без кручения с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов. Исследование группы с нётеровым справа кольцом эндоморфизмов осталось незавершённым. Описаны сепарабельные абелевы группы без кручения с нётеровыми слева или справа кольцами эндоморфизмов.

Полностью решена проблема описания абелевых групп А и В таких, что левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов (теорема 3 [1. С. 178]). Ключом к решению этой проблемы служат следующие два предложения.

Предложение 1. Предположим, что А и В - такие группы, что Иош(А,В) - артинов Е(В)-модуль или артинов Е(А)-модуль. Тогда для некоторого теЫ имеет место разложение

Иош(А,В)=тИош(А,В)©К, где тИош(А,В) - делимая группа, К - ограниченная группа.

Предложение 2. Если тИош(А,В) - делимая группа для некоторого те N то и ш8 - делимая группа.

Эти предложения раскрывают строение следа группы А в группе В при условии, что модуль Иош(А,В) артинов. Нужно подчеркнуть, что это относится как к Е(В)-модулю Иош(А,В), так и к Е(А)-модулю Иош(А,В). Дело в том, что в основе доказательства предложений 1 и 2 лежит рассмотрение цепи Е(В)-подмодулей модуля Иош(А,В), которая является также и цепью Е(А)-подмодулей этого модуля. Поэтому эти предложения важны и для изучения Иош(А,В) как артинова модуля над кольцом Е(А).

Предложения -, 4 и лемма 2 уточняют строение следа £ и коследа А в предположении, что Е(В)-мо-дуль Иош(А,В) артинов.

Предложение 3. Если Иош(А,В) - артинов Е(В)-модуль или Е(А)-модуль, то число делимых р-компонент следа £ конечно.

Лемма 2. Подмодуль Иош(7(р“),$р) Е(В)-модуля Иош(А,В) не является артиновым.

Предложение 4. Если Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов, то _

А = Н ©Х®б ©

т

где Н - конечная группа, О - редуцированная группа без кручения и теЫ.

Предложение 5. Пусть Иош(А,В) является артиновым Е(В)-модулем. Тогда для всякого р, относящегося к группе С, редуцированная р-компонента группы В ограничена. Группа В=й(В)®Е®У, где й(В) - делимая часть группы В; Е - ограниченная группа и всякое р, относящееся к Е, относится и к С; V - некоторая группа, причём Иош(А,В)=0. След £ - артинов Е(В)-модуль.

Предложение 5 интересно тем, что в нём полностью описано строение группы В такой, что Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов. Кроме того, это предложение утверждает, что след группы А в группе В является в этом случае артиновым Е(В)-моду-лем. Последний факт использован в доказательстве достаточности теоремы 3.

Теорема 3. Пусть А и В - некоторые группы. Левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда

£ = В ©Х®б © с,

п

где Б - делимая периодическая группа с конечным числом р-компонент; С - ограниченная группа; П - некоторый кардинал, а

А = н ®Y©Q © °,

т

где Н - конечная группа, О - редуцированная группа без кручения; теЫ и для всякого р, относящегося к группе С, редуцированная р-компонента группы В ограничена.

Причём:

• если Бф0, то -=Н®О, г(О)<<» и г(О)=гр(О) для

всех р, относящихся к группе Б;

• если Б=0, но £®0^О, то г(О)<ж>;

• -сли £ - ограниченная группа, то есть £=С, то

А=Н®О и для любого р, относящегося к £,

Гр(О)<ж.

Теорема 3 относится к основным результатам исследования группы Иош(А,В) как артинова Е(В)-модуля. Она даёт полное описание абелевых групп А и В таких, что Е(В)-модуль Иош(А,В) арти-нов. Понятно, что предложения, о которых выше шла речь, являются существенной частью доказательства её необходимости. Как доказательство утверждений теоремы 3 о ранге (р-р-нге) редуцированной части без кручения группы А, так и доказательство её достаточности основано на построении индуцированных точных последовательностей Е(В)-модулей и теореме 1. В процессе доказательства необходимости теоремы 3 установлено, в частности, что Е(В)-модуль Иош(0,Бр) не артинов.

Приведём несколько следствий теоремы 3 и записанных выше предложений.

Следствие 1. Пусть А и В - группы, причём В

- редуцированная группа. Левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда £ - ограниченная группа и для всякого р, относящегося к £, р-компонента группы В ограничена, а группа А=Н®О, где Н - конечная группа, О - редуцированная группа без кручения и для каждого р, относящегося к £, гр(О)<<».

Следствие 2. Пусть А и В - периодические группы. Левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов в том и только в том случае, если £ - ограниченная группа, причём для любого р, относящегося к £, редуцированная р-компонента группы В ограничена, а А - конечная группа.

Следствие 3. Если А и В - группы без кручения, Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда £ - делимая группа, а А - группа конечного ранга.

Укажем более точные соотношения между следом £, коследом А и группами А и В в случае, когда Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов. По предложению 5 имеем равенство B=d(B)®E®V, где d(B) - делимая часть группы В; Е - ограниченная группа и всякое р, относящееся к Е, относится и к С, причём Иош(А, Р)=0. Из

доказательства этого предложения [1. С. 177] заключаем, что S=d(B)®E[k], если -^Ни S=d(B)[t]®E[k], если А=Н для каких-то к, tеN. В первом случае, d(B)=D®I®Q, С=Е[к], во втором - C=S=d(B)[t]®E[k]. Можно также привести некоторые общие условия, при которых S=d(B)®E или £=Е, то есть след выделяется прямым слагаемым в группе В.

Следствие 4. 1) Пусть А и В - такие группы, как в следствии 1. Тогда имеем В=Е®Ж и £=Е[к] для некоторого кеЫ.

-) Если А и В - группы из следствия 2, то А=А©V для -какой-то группы V, причём Иош(А, Р)=0, а А - конечная группа.

Следствие 5. Пусть А - группа без кручения, В -периодическая группа. Левый Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда £=Б® С, где Б - делимая периодическая группа с конечным_числом р-компонент, С - ограниченная группа, а A=Z0Q® О, где теЫ, О - редуцированная группа без кручения и для любого р, относящегося к группе С, редуцированная р-компонента группы В ограничена, причём: а) если Б^0, то А=О, г(О)<<» и г(О)=гр(О) для всех р, относящихся к Б; б) если Б=0, то есть если £=С, то А=О и для любого р, относящегося к группе £, гр(О)<(х>.

Следствие 6. Пусть А - произвольная, а В - делимая группы. Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда

£=б®:>;^,

п

где Б - делимая периодическая группа с конечным числом р-компонент, п - некоторый кардинал, а

^н®: ®о®о,

где Н - конечная группа, те И, О - редуцированная группа без кручения, причём: а) если Б^0, то А=Н®О, г(О)<(х> и г(О)=гр(О) для всех р, относящихся к группе Б; б) если Б=0, то есть еслислед £

- делимая группа без кручения, то группа А тоже не имеет кручения и г(О)<х>.

Следствие 7. Пусть А и В - делимые группы. Е(В)-модуль Hom-A,B) артинов тогда и только тогда, когда группы А и £ являются группами без кручения, причём ранг группы А конечен.

Проблема описания групп А и В, для которых Иош(А,В) - артинов Е(А)-модуль, сведена по существу к случаю, когда группа А не имеет кручения, а группа В является одной из следующих групп: 1(р), Хр), Q (теорема 20 [2. С. 197]).

Договоримся через Бр (соответственно Лр) обозначать делимую (соответственно редуцированную) р-компоненту группы А. Затем Тр - вся р-компо-нента группы А, то есть Tt=Бp®Rt.

Пусть группы А и В таковы, что правый Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов. Из предложений 1-3 следует, что в таком случае след £ есть прямая сумма делимой группы и ограниченной группы. Поскольку Иош(А,^ есть подмодуль Е(А)-модуля Иош(А,В) для любой подгруппы 1РЬВ, то понятно, что группа £ не может иметь бесконечных прямых разложений. Таким образом, если Иош(А,В) - ар-

тинов Е(А)-модуль, то след £ является прямой суммой делимой группы конечного ранга и конечной группы. Пример модуля Иош(ДХ(р")) показывает, что при этом в следе действительно может присутствовать группа Х(р”).

Что касается строения коследа группы В в группе А для артинова Е(А)-модуля Иош(А,В), то оно получено в предложениях 6 и 7.

Предложение 6. Если Бр^0 и группа В содержит подгруппу Хр”), то Е(А)-модуль Иош(А,В) не является артиновым.

Предложение 7. Если Иош(А,В) - артинов Е(А)-модуль, то редуцированная р-компонента группы А ограничена для любого р, относящегося к группе В, и таких р-компонент конечное число.

Эти предложения вместе с выводом о строении следа группы А в группе В представляют собой доказательство необходимости теоремы 4, которая относится к основным результатам исследования группы Иош(А,В) как артинова модуля над кольцом Е(А).

Обозначим буквами Т и Б соответственно периодическую и делимую части группы А.

Теорема 4. Пусть А и В - некоторые группы. Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда след £ равен прямой сумме конечной группы и делимой группы конечного ранга; для каждого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена, группы А и В не содержат одновременно групп Х(р”); Е(А)-модуль Иош(А/Т,Х(р)) артинов, если р относится к следу £, Е(А)-модуль Иош(А/Т,Х(р”)) артинов, если в следе £ содержится группа Х(р”) и, наконец, Е(А)-модуль Иош(А/(Т+Б)^) артинов, если в следе £ содержится группа Q.

Доказательство достаточности теоремы 4 опирается на использование индуцированных точных последовательностей Е(А)-модулей, теорему 1 и предложение 8.

Предложение 8. Допустим, что редуцированная р-компонента группы А ограничена. Тогда Е(А)-модуль Иош'(Тр,Х(рк)) артинов для всякого ке И, где Тр - р-компонента группы А.

В [2. С. 194-195] рассмотрены примеры. Напомним, что п - некоторый кардинал.

Примеры 1. 1) Пусть А='£?1(р) или А=£®2. Тогда Е(А)-модуль Иош(А,Х(р)) неприводим.

2. Если A^=^LmQ, то Е(А)-модуль Иош(А, Q) неприводим.

Эти примеры интересны сами по себе. Е(А)-мо-дули, рассматриваемые в них, неприводимы, а значит, артиновы и нётеровы. Неприводимость Е(А)-модуля Иош(А,Хр)), где А=:9Х, означает, что кослед группы В в группе А может содержать редуцированную группу без кручения бесконечного ранга, однако Е(А)-модуль Иош(А,В) будет артино-вым, нётеровым (даже неприводимым). Эти примеры играют важную роль в доказательстве арти-

новости (нётеровости) некоторых подмодулей модуля Hom(A,B). Так, доказательство нётеровости E(A)-модуля Hom(D,Q), где D - делимая часть группы A, свелось в конечном счёте к доказательству нётеровости E^-модуля Hom(A, Q), где A=ZæQ из примера 1 (предложение 19). Доказательство артиновости E(A)-модуля Hom(Tp,Z(pk)), где Tp

- ограниченная p-компонента группы A, также свелось к доказательству артиновости E(A)-модуля Hom(A,Z(p)), где A=ï?Z(p) из примера 1 (предложение 8). Это обстоятельство приобретает тем большее значение, что доказательство предложения 8 основано на построении индуцированных последовательностей E(A)-модулей и обосновании неприводимости последних. Поэтому оно представляет собой доказательство и нётеровости указанного модуля. Эти примеры используются и в доказательстве теоремы 4.

В связи с доказательством теоремы 4 необходимо сделать следующие замечания.

1. Доказательство артиновости модуля Hom(A, Q) показывает, что в теореме 4 вместо артиновости модуля Hom(A/(T+D),Q) можно требовать ар-тиновость модуля Hom(A/D, Q) или модуля Hom(A/r,Q).

2. Представим группу A в виде A=R@D, где R - редуцированная, D - делимая группы. Тогда T+D=t(R)®D (здесь t(R) - периодическая часть группы R). Имеет место изоморфизм A/(T+D)=R/t(R), где на группе без кручения R/t(R) определённым способом может быть задана структура левого E(A)-модуля.

3. Теорема 4 в некотором смысле сводит решение проблемы артиновости E(A)-модуля Hom(A,B) к исследованию артиновости модулей Hom(A,Z(p)), Hom(A,Z(p“)), Hom(A,Q), где группа A является группой без кручения и по существу рассматривается как модуль над некоторым подкольцом кольца E(A). Действительно, если A - произвольная группа, то в силу теоремы 4 возможно придётся исследовать артино-вость E(A)-модуля Hom(A/T,Z(p)). Существует канонический кольцевой гомоморфизм E(A)^E(A/T). Если он является сюръективным, то подмодули E(A)-модуля и E(A/T)-модуля совпадают. Однако, вообще, это не так. Так же обстоит дело и с E(A)-модулями Hom(A/T,Z(p“)) и Hom(A/(T+D),Q).

Рассмотрим подробнее строение следа S и коследа A, а также самих групп A и B, если Hom(A,B)

- артинов E(A)-модуль. Для этого будут нужны следующие три леммы.

Лемма З. Допустим, что делимая группа D содержит одну из групп Z(p“) или Q. Тогда E^-мо-дуль Hom(D,Z(p“)) не является артиновым.

Лемма 4. Предположим, что делимая часть D группы A содержит либо группу Z(p“), либо группу Q. Тогда E^-модуль Hom(A,Z(p“)) не является ар-тиновым.

в

Лемма 5. Если смешанная группа А является р-делимой, то есть А=рА, то Е(А)-модуль Иош(А,Х(р”)) не является артиновым.

Пусть теперь группы А и В обладают тем свойством, что правый Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов. На основании предложений 6 и 7 можно написать A=Rp¡ ® ...®Rpk®Бo® V, где Rpl (г=1,...,к) - редуцированные р-компоненты группы А для некоторых р, относящихся к £, являющиеся ограниченными группами, Б0 - делимая группа без кручения, V - некоторая группа. При этом t(V)cKB(A)cVи КВ(А)=КВ(Р) (здесь ^У) - периодическая часть группы V). Разумеется, какие-то слагаемые в записанной сумме могут отсутствовать. Так, ввиду леммы 4-Б0=0, если в £ имеется группа Х(р”). Для коследа А имеем

- =Rpl® ...®Rpl®Бo® V/Kв(A).

Можно проанализировать строение фактор-группы V/KB(У) в зависимости от строения следа £ Не вникая в детали, обратим внимание лишь на несколько основных моментов. Если £ - конечная группа, то - =Rp® ■■■®RPk® V/Kв( V), где V/Kв( V) - ограниченная группа. В случае, когда в £ присутствует группа Q, имеем

- =к®-®^к®Б0)® та V),

где V/KB(V)=0, либо V/KB(V) - группа без кручения. Наконец, если след £ содержит группу Х(р”), то

а=^©...®^,® та V),

где У/KB(У) - редуцированная группа без кручения, причём она не делится на р. Действительно, допустим, что У/Kв( V) - р-делимая группа. Обозначив R=RPl©...©Rpk, найдём, что Е(А)-модуль А/R не имеет1 кручения и не делится на р как группа. Так же как в леммах 4 и 5 можно показать, что не является - артиновым правый Е(А)-модуль

Иош(А/R,Z^“)), чего не может быть.

Обратившись к следу £, на основании имеющейся у нас информации можно записать В=В©Е®Ж, где /

- конечная группа, Е - делимая группа конечного ранга, а Иош(А, Ж)=0. Некоторых из слагаемых Д Е, Жможет не быть. Для следа £ получаем £=¥[т]®Е для какого-то теЫ. Дальнейшим -оиском более точных соотношений между коследом А и следом £ мы занимать не будем. Укажем только, что открыт такой вопрос. Может ли след £ содержать группы Х(р”) и О?

Из теорем 3 и 4 легко вытекает известная теорема 111.3 из книги [3].

Теорема. Кольцо эндоморфизмов Е(А) группы А является артиновым слева (или справа) тогда и только тогда, когда А=В®Б, где В - конечная группа, а Б

- делимая группа без кручения конечного ранга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крылов П.А., Подберезина Е.И. Группа Иош1(А,В) как артинов

Е(В)-модуль // Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во

Том. ун-та, 1996. - Вып. 13-14. - С. 170-184.

2. Подберезина Е.И. Об артиновости Е(А)-модуля Иош1(А,В) //

Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. -

Вып. 13-14. - С. 190-199.

Отметим, что теорема 2 в части эндоартиново-сти соответствует случаю Е(В)-модуля Иош(ДВ) в теореме 3. Теорема 4 а также результаты заметки [4] вызывают такой вопрос. Для каких групп без кручения А Е(А)-модули Иош(А, Q), Иош(А,Хр)) и Иош(А,Х(р”))являются: неприводимыми, артино-выми, нётеровыми?

Приведём несколько следствий теоремы 4. Следствие 8. Пусть А - произвольная, В - редуцированная группы. Е(А)-модуль Иош(А,В) арти-нов тогда и только тогда, когда след £ есть конечная группа; для каждого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена; Е(А)-модуль Иош(А/Т,Хр)) артинов для всякого р, относящегося к следу £.

Следствие 9. Если А и В - периодические группы, то Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов в том и только в том случае, когда след £ — конечная группа и для каждого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена.

Следствие 10. Пусть А и В - делимые группы. Е(А)-моду-ь Иош(А,В) артинов тогда и только тогда, когда А и £ - делимые группы без кручения и ранг группы £ конечен.

Из теорем 3 и 4 можно вывести условия одновременной артиновости Е(А)-модуля и Е(В)-моду-ля Иош(А,В).

Следствие 11. Пусть А - произвольная, В - редуцированная группы. Группа Иош(А,В) является ар-тиновым Е(А)-модулем и одновременно артиновым Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда след £ -конечная группа; для любого р, относящегося к следу £, редуцированная р-компонента группы В ограничена; для каждого р, относящегося к группе В, ре--дуцированная р-компонента группы А ограничена; А=Н® О, где Н- конечная группа, О - редуцированная группа без кручения и для любого р, относящегося к следу £, гр(О)<”; Е(А)-модуль Иош(А/Т,Хр)) артинов для каждого р, относящегося к следу £ Следствие 12. Пусть А и В - периодические группы. Группа Иош(А,В) является артиновым Е(А)-модулем и одновременно артиновым Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда группы А и £ конечны; для каждого р, относящегося к группе £, редуцированная р-компонента группы В ограничена; для любого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена.

Следствие 13. Пусть А и В - делимые группы. Группа Иош(А,В) является артиновым Е(А)-моду-лем и артиновым-Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда группы А и £ являются делимыми группами без кручения конечного ранга.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М.: Мир, 1977. - Т. 2. - 416 с.

4. Крылов П.А., Подберезина Е.И. Строение смешанных абелевых групп с нетеровыми кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994. -Вып. 11-12. - С. 121-129.