Использование порога разделения возможностей для свертки независимых критериев Текст научной статьи по специальности «Математика»

Действительно, если

(div(pv/)Д)..] к = jjjdiv(pv/)фг>j^d^dQ ,

V

где фг ^к - связанная с узлом (г, ], к) базисная функция,

то в сумме (14) может быть выделена сумма

( + 2’j + 2’к+2 )(+j. j + 2 k + 1 )

Z Ш div(pv/ ХМ-+j+1. k+1

(16)

(г+2j+і k+|)(+1 j+1 k+1)

А преобразование (10) для подынтегрального выражения обеспечивается достаточной гладкостью базисных функций фг ^ к (например, кусочно-трилинейных).

1. Васильев В.С. Трехмерная сеточная модель гидродинамики мелкого моря. I // Известия ТРТУ, 2005. С. 102-109.

2. Фрязинов И.В. Консервативные разностные схемы для трехмерных уравнений Навье-Стокса в криволинейных ортогональных координатах для несжимаемой жидкости. Препринт № 9.- М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1982.

3. Васильев В.С. Энергетически нейтральная строго диссипативная аппроксимация двумерной гидродинамической системы на криволинейной сетке // Известия ТРТУ, 2002, № 1. С. 171-177.

С.П. Вовк

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОРОГА РАЗДЕЛЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ДЛЯ СВЕРТКИ НЕЗАВИСИМЫХ КРИТЕРИЕВ

Многокритериальные задачи представляют собой слабоструктурированные проблемы, т.е. когда исследователь не может определить зависимость между критериями на основе объективной информации. Такие проблемы решаются средствами системного анализа, уделяющего особое внимание анализу целей и переходу от целей к средствам (деревья целей и иерархические схемы).

Одним из подходов к устранению многокритериальности является выделение в процессе решения проблемы двух этапов [1]. Первый - объективный анализ проблемы и исследование бесспорных зависимостей, его результат - построение объективной модели и множества Парето. Второй - окончательное нахождение наилучшего решения с учетом многих критериев представляется ЛПР. Для дальней-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

шего сужения множества Парето нужна дополнительная информация от ЛПР: различные процедуры сводятся к явному или неявному свертыванию частных критериев в единый. При этом для устранения неопределенности, возникающей из-за многих критериев, выявляются системы предпочтений и строят решающие правила, отражающие эти предпочтения. Использование предпочтений ЛПР создает единственную возможность объединить основные параметры проблемы в единую модель, позволяющую оценить варианты решений. При этом нельзя обойтись без изучения объективных параметров модели, без изучения организации, к которой принадлежит ЛПР, внешней среды. При выборе типа модели важным моментом является факт зависимости между объединяемыми критериями.

Как уже говорилось, ввиду отсутствия однозначного общего решения многокритериальных задач, существует множество способов придать многокритериальной задаче вид, допускающий единственное общее решение.

Специалистами по системному анализу и теории принятия решений предложен новый подход для свертки оценок по ряду критериев к обобщенному показателю эффективности:

• в случае независимых показателей используется формула аддитивной взвешенной свертки по методу анализа иерархий (МАИ),

• в случае зависимых показателей применяется метод анализа иерархических процессов (АИП).

Обобщенный критерий в этом случае представляется как zj=(e,h)j - треугольное нечеткое число с центром e и шириной h. Критерием оптимальности служит отношение K=e/h.

Выбор иерархической структуры представления оценки эффективности вызван более высокой эффективностью систем, построенных по модульному принципу, и их высокой устойчивостью и гибкостью. Иерархия отражает анализ более важных элементов структуры и их взаимоотношений и для определения силы воздействия элементов самого низкого уровня на элемент высшего определяется «сила влияния», мерой которой является вес элемента (функция приоритета одного элемента по отношению к другому).

Формула аддитивной взвешенной свертки имеет вид

n

zj• fj(x),

¿=1

где ®i - весовые коэффициенты, показывающие степень влияния частных пока-

n

зателей низшего уровня на общий критерий верхнего уровня zj, = 1;

¿=1

fix) - частные показатели эффективности альтернативы xi на j уровне иерархии.

Определение весовых коэффициентов rai в МАИ осуществляется с использованием принципа иерархической композиции и метода парных сравнений.

В случае зависимых критериев веса представляются как мера возможности или необходимости. Частные показатели эффективности определяются неравенством

min f(x) < E (f) = X1 min f (x)' m( A) - E ( f) = ^ max f (x) • m( A) < max f(x),

где для расчета E* используется необходимость N: m(A) =N(a1)-N(82), а для расчета E* используется возможность П: m(A) =П(а1)-П(а2).

Как видно, применение АИП для анализа иерархических структур не позволяет построить единственное правило определения обобщенного показателя выс-

шего уровня иерархии через значения показателей низшего уровня, минуя расчеты значений промежуточных показателей. В случае АИП все расчеты нужно производить, последовательно определяя значения более общих показателей каждого доминирующего уровня через значения показателей, расположенных уровнем ниже.

Таким образом, видим, что в случае зависимых критериев методы анализа иерархических структур не позволяют получить единственной оценки.

Вниманию предлагается подход, лишенный названного недостатка.

Учет нечеткости, возникающей из-за многих критериев, можно решать с использованием степени разделения возможностей агрегированных предпочтений ЛПР относительно сравниваемых альтернатив.

Например, понятие порог «разделения» [2] используется в линейной модели «разделения зон» Й. Леунга для определения перекрытия двух классов. Порог ограничен условием

h < maxmin{^c (ю), ц (ю)} = sup /и пС (ю).

ю ю

Для выбранного порога h зона оценок, соответствующих классу С., i=1, 2, определяется нечетким подмножеством уровня h. Общее правило выбора порога h состоит в том [2], чтобы выбрать наибольшее возможное значение h, меньшее

maxmin{Uc (ю), ис (ю)}:

Ю 1 2

Zi = {ю I Vc,(ю) ^ maxmin{Uc(ю), Vc2 (ю)}}, ю е Zi.

1 ю

Для случая более двух классов использование операции минимума [2] представляет разумный подход при агрегировании нечетких множеств. Для нахождения порога разделения между всеми классами необходимо найти соответствующие

пороги разделения отдельных классов Сх ^ С2, С1 <^СЪС2 ^ С3,..., Ск_х ^ Ск .

В силу теоремы об отделимости порог разделения

h < min max min{ juc (ю), Vc (ю)}.

¿,j ю ' J

При этом зоны оценок, соответствующих различным классам, будут нечеткими уровневыми подмножествами, определяемыми соотношением

Z. = {ю I и (ю) ^ min max min{ vc (ю), Vc (ю)}}, ю е Z..

i i,J ю ' 1

Для моделирования многокритериального выбора ЛПР I1 на основе степеней важности критерия l для субъекта класса k и совместимости тактики am с критерием 1, задаваемых соответственно отображениями KxL1^- [0,1] и L1 х А1^- [0,1],

X,Vkl1(k, I) V (1, am ) строится отношение _ _|__________________.

и,,= YuAk • 1)

I

Построив парное пересечение агрегированных предпочтений тактик, воспользуемся понятием порог разделения зон [2] для определения желаемого уровня достижения цели h1 :

hl < min max min \u, (c, am ) V, (c am)

mm' c ?кзж qK3 © m

, (с,ат\ц (Сат)

где Ц і (с ат ), Ц і (с а • ) - агрегированные предпочтения рассматривае-

Ч т Ч ' т

т

мого ЛПР класса її относительно тактик ат,ат, є А1(^ для представителей ЛПР ї2 класса к..

Зону тактики ат обозначим 2т,і=1, ..., ті. В зону тактики 21 попадают представители тех классов к, для которых агрегированные предпочтения її относительно тактики ат не меньше порога разделения зон (4.33). После того как в матрице агрегированных предпочтений Q выбран порог ^, зона тактики 21 описывается уровневым множеством

= С I Ц ^ тІП таХ тІП Ц (С ат I Ц ^ ат ))

т \ Чт тт с ^ Чт Чт' '

Уровень достижения цели представляет собой агрегированную оценку. Таким образом, уровень достижения цели представляет собой достойную альтернативу методу анализа иерархических процессов в случае зависимых критериев.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения.- М.: Наука, 1981.- 143 с.

2. Леунг Й. Разделение на торговые зоны в нечетких условиях // Теория возможностей и ее применение.- М.: Наука, 1992.- 272 с.

Л.А. Гинис

ИСТОКИ СОВРЕМЕННОГО КОГНИТИВНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

«В один из дней я понял, что наука идет не туда...»

Бартоломей Коско

Введение

Человечество уверенно шагнуло в третье тысячелетие с огромным запасом мировых информационных ресурсов: знаний, информационных технологий, инструментальных средств, социальных условий, которые дают возможность широкомасштабного и эффективного использования информационных ресурсов общества во всех областях жизнедеятельности. Собственно речь идет о новом качестве человечества - об информационном потенциале мирового сообщества.

Можно ли построить идеальную модель развития нашего сообщества, достаточно ли научного и информационного потенциала, каковы пути и возможности развития человечества - вот какие вопросы волнуют сегодня миллионы людей и ученых. А особенно теперь, когда слишком многие ценности в мире подвергнуты сомнению.

Многие ученые полагают, что построить такую модель социально-экономической системы невозможно. В качестве аргументов выдвигают ее сложность, многофакторность, высокую динамичность протекающих в ней процессов и многое другое. Конечно, любая модель - всегда упрощение действительности. Однако, почему бы не смоделировать ситуации в отдельных регионах, городах, странах, расчленяя их на множество задач-моделей и выстраивая на их основе более сложные, отвечающие требованиям системного подхода? Или, наоборот, возможен путь от общего видения, комплексной модели к частным моделям, объединенным