Улучшенное непараметрическое оценивание для диффузионной эпидемиологической SIR модели по неполным данным Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 65

Tomsk State University Journal of Control and Computer Science

Научная статья УДК 519.2

doi: 10.17223/19988605/65/8

Улучшенное непараметрическое оценивание для диффузионной эпидемиологической SIR модели по неполным данным

Святослав Сергеевич Перелевский1, Евгений Анатольевич Пчелинцев2

12 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 slavaperelevskiy@mail. ru 2 evgen-pch@yandex.ru

Аннотация. Рассматривается задача статистического оценивания по дискретным данным функции распространения эпидемии в стохастической SIR модели типа Кермака-Маккендрика, в которой динамика инфицирования определяется эргодическим диффузионным процессом с неизвестным коэффициентом диффузии. Для оценивания функции сноса диффузионного процесса предлагается улучшенная процедура, обладающая более высокой скоростью сходимости, чем обычные оценки МНК. Приводятся результаты численного моделирования Монте-Карло.

Ключевые слова: эргодический диффузионный процесс; SIR модель; гетероскедастичная регрессия; неполные данные; улучшенное оценивание; среднеквадратический риск; взвешенные оценки.

Благодарности: Исследование выполнено при финансовой поддержке РНФ в рамках научного проекта № 22-21-00302.

Для цитирования: Перелевский С.С., Пчелинцев Е.А. Улучшенное непараметрическое оценивание для диффузионной эпидемиологической SIR модели по неполным данным // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 65. С. 79-88. doi: 10.17223/19988605/65/8

Original article

doi: 10.17223/19988605/65/8

Improved nonparametric estimation for diffusion epidemiological SIR model

from incomplete data

Svyatoslav S. Perelevskiy1, Evgeny A. Pchelintsev2

12 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 slavaperelevskiy@mail. ru 2 evgen-pch@yandex.ru

Abstract. The paper considers the problem of statistical estimation of the epidemic spread function from discrete data in a stochastic SIR model of the Kermack-Mackendrick type, in which the infection dynamics is determined by an ergodic diffusion process with an unknown diffusion coefficient. To estimate the drift function of the diffusion process, an improved procedure is proposed that has a higher convergence rate than least squares estimates. The results of Monte Carlo numerical simulation are given.

Keywords: ergodic diffusion process; SIR model; heteroscedastic regression; incomplete data; improved estimation; mean square risk; weighted estimates.

Acknowledgments: The research was carried out with the financial support of the RSF as part of a scientific project № 22-21-00302.

© С.С. Перелевский, Е.А. Пчелинцев, 2023

For citation: Perelevskiy, S.S., Pchelintsev, E.A. (2023) Improved nonparametric estimation for diffusion epidemiological SIR model from incomplete data. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 65. pp. 79-88. doi: 10.17223/19988605/65/8

Введение

Одной из основных моделей, описывающих эволюцию вспышки эпидемии во времени, является SIR модель Кермака-Маккендрика [1,2]

'S = -PS7, <i = $SI-yI, R = yl,

где динамика передачи зависит от частоты и интенсивности взаимодействий между (здоровыми) восприимчивыми S и инфицированными индивидами I и дает выздоровевших индивидов R. Параметры в и у - частота заражения и скорость выздоровления соответственно. Модель сохраняет N = S + I + R -общее число особей популяции. Отметим, что R, по существу, является интегралом от I и поэтому не играет никакой роли в динамике. В [3] автор предложил модифицировать эту модель следующим образом:

N

/ = ц/, ц = (1)

R = yl,

с начальными значениями S(0) = N, I(0) = R(0) = 1. В данной статье предлагается заменить коэффициент р на неизвестный функциональный параметр |i,(t) и перейти к стохастической модели (1) на [0, T],

заменяя функцию I на стохастический процесс (L)o<t<r, определяемый как It = ey , где процесс (y)o<t<r удовлетворяет на вероятностном пространстве (Q,Jzr,P) стохастическому дифференциальному уравнению

dyt = ц(У') dt + v(yt)dWt, 0 <t < T, (2)

где (Wt )ia0 - стандартный скалярный винеровский процесс, начальное значение yo = 0, ц(-) - неизвестный коэффициент сноса, v(-) - неизвестный стохастический коэффициент диффузии. Применение диффузионных процессов (2) обусловлено тем, что они определяют скорость многих физико-химических, экономических и биологических процессов [4-7].

Задача заключается в том, чтобы оценить неизвестную функцию р() в (2) по наблюдениям (У )о<><n, '} = А, У = Л , где N = [T / 5Г] - размер выборки, параметр 5r е (0,1) - некоторая функция от T, величина [х] обозначает целую часть числа x. Предлагается развить улучшенные непараметрические статистические методы оценивания для стохастической версии эпидемиологической SIR модели, т.е. построить оценку функции сноса, которая имеет более высокую точность по сравнению с обычными оценками наименьших квадратов (МНК) для любого конечного объема наблюдений. В отличие от работ [8, 9], в которых улучшенные оценки построены в случае полных наблюдений (по всей траектории), в данной статье предполагается, что процесс доступен наблюдению только в фиксированные моменты времени (tj)0<j<N.

Качество оценки Д (любой измеримой функции от наблюдений) для неизвестной функции ц-на некотором отрезке [а,Ь], а < Ь, будем измерять среднеквадратическим риском

^э(Д>д):= еэ||Д- д||2 и ||д||2 = £ д2(и) йи . (3)

Здесь Е - математическое ожидание относительно распределения наблюдений (у при фик-

сированных функциях $ = (д, V) е0 := шт г х V= {(д, V): д е мт г, V е Vi, где

Мт г =\ деСЧК):зир(|д(х)| + |д(х)|)<г,-га<и^ д(х)<зирд(х)<-1/га I,

' [ |х|<х, |Х|-Х* |*|>х, ]

V=е С2 (И): < т| |у(л)| < вир тах {|у(х)\,\у(х)\, |у(л)|} < утах |,

^т, ^^ах, г - некоторые положительные числа, т > 1, х > |а| + |Ь|. Выбор коэффициентов $ = (д, V) в уравнении (2) из такого функционального класса © обеспечивает существование единственного сильного решения этого уравнения и эргодичность наблюдаемого процесса (у^к^ с эргодической

плотностью <7э(х)= ^ V 2(1)схр\2^V 1(и)\у(и)с1и \ск V 2(.\")схр| 1(и)\у(и)с1и I (см.: [10]). Тогда

V* I 0 J ) У 0 J

процесс = еу' сходится к функции I из (1). Ясно, что плотность д9(•) неизвестна, поскольку зависит от неизвестных (д, V). Поэтому, чтобы получить приемлемое качество оценивания, нужно сначала оценить д9 (•) на основе первых N0 наблюдений, где

Х0=[М" (Т)], 0 < у < 1,

затем по оставшимся наблюдениям (у )^0<у<лт построить оценку для функции д(-) в (2). Для решения

указанных задач, применяя последовательный подход из [11] и подход улучшенного оценивания из [12, 13], разрабатывается двухшаговая процедура улучшенного оценивания.

В разделе 1 предлагаются оценка плотности и последовательный план, позволяющие свести исходную задачу оценивания функции сноса в модели (2) по неполным наблюдениям к задаче оценивания той же функции в регрессионной модели. В разделе 2 развивается метод улучшенного оценивания для непараметрической гетероскедастичной регрессии с аддитивным шумом при наличии мешающих параметров. В разделе 3 приводятся результаты численного моделирования.

1. Усеченное последовательное оценивание

Используя метод усеченного последовательного оценивания из [11], перейдем от модели (2) к ее аппроксимации дискретной регрессионной моделью. Пусть частота наблюдений

8Г = ((Т +1) (1п Т)1+а )-1 для некоторого а > 0 .

Чтобы оценить плотность дэ (•), используем усеченную ядерную оценку из [11]: Г(8т )1/2, д(2) < (Бт)1/2,

д(г) =

1 «о

д(2), (гтУ,2<д(2)<(гтУ'\ = (4)

а1у г\>1г\ v—1

/ 4-1/2 \ / 4-1/2 0 0 3 =

(8т) 1/2, д(2) > (8т) 1/2,

где 8Т = 1п(Т +1), а > 0, К(Т) = Т-1/2, То = и х3(2,К) = 1ИД]((у ^ -2)/К) , \А(•) - индикатор

множества А. Используя оценку (4), определим порог

Н{г) = к(Ы -)(2д(г) -ет) и/2 = ТШ.

В каждой точке = a + k(Ь - a)/ и, k = 1, п , п = [лТ(Ь - я) / 4] -1, на отрезке [а, Ь] определим последовательный план (хк. (I, ) с

Тк=м />Ж0+1: X гМк,Ь)>Н(2к)\ и X к^ж^Му^-у^), (5)

где %.(2,к) = %.(2,Н)1у<щ+Н(г)1у>щ и - поправочный коэффициент, определенный в [11].

Введение этого коэффициента обеспечивает гарантированную точность последовательной оценки (5) и, как установлено ниже в предложении 2, гауссовость стохастической компоненты шума. Заметим, что момент остановки тк < N п.н. Подставляя в последовательную оценку р.^ из уравнения (2) выражение для у - у ^, приходим к модели непараметрической неоднородной регрессии

л/5

где компоненты шума определяются равенствами

1 Г г г ^

Л* = - ч X I I (Ауя)-Агк))сПГя

1 %

S* = /s m ч S кЛчЛЛчМк,-wt]j.

Предложение 1. Для случайных величин справедливо неравенство шахзир Е3Л* -Л

где = 4

V2

max(r, m)8r+- max

(viL + (r2 + m3 r/2 + m2x,)) и lim T1 = 0 для любого a > 0.

Иф -N0)^_

Предложение 2. Случайные величины являются независимыми одинаково распреде-

ленными условно-гауссовскими с нулевым средним и единичной дисперсией относительно а-алгебры наблюдений ^ , где ^ = У ,0 - £ - ^ .

Свойства оценки (4), оценка для неизвестного коэффициента диффузии и доказательства предложений 1 и 2 приведены в [11, 14]. В работе неизвестный коэффициент диффузии является мешающим параметром. Заметим, что в условиях решаемой задачи коэффициенты - ограниченные случайные величины, т.е. почти наверное

где

о, < min о? < max о? < о*.

St, V

Ст. , а

SrNh s^ (N - N0 )h

V

шах

2. Улучшенные взвешенные оценки

В данном разделе строится процедура оценивания для функции ц(-) в (6) на основе наблюдений (Ук\<к<п. Свойства компонент шума, сформулированные в предложениях 1 и 2, позволяют для этой задачи развить метод улучшенного оценивания, разработанный в [12, 13, 15].

Пусть (ф. ).ч - система функций в пространстве Ц [а, Ь], ортонормированных относительно

эмпирического скалярного произведения: для всех 1 - 7,7' - и

(Ф,, Ф' )и = — £ Ф, ( ^ )Ф' (^ ) = 1,=Л' П k =1

Например, можно рассмотреть систему сплайнов, введенную в [16], или при нечетных п систему тригонометрических функций вида:

1 I 2 Гоо8(2л[3 / 2]/(х), для четных3, х - а

Ф1 = п-, Ф/(х) = \Н-1 • ,„ , ■ 1 (х) = -

у/Ь - а' 3 V Ь - а [8т(2л;[ 3 / 2]/( х), для нечетных 3, Ь -а

Запишем дискретное разложение Фурье функции д:

п

) = 103,пФ3 (), (7)

3=1

где 0.п = (ц,ф)п - коэффициенты Фурье. Тогда для оценивания функции д необходимо оценить неизвестные параметры 0. п. В работе [11] оценки МНК для коэффициентов Фурье определяются как

3 = &Ф3 (), 1 < 3 < п . (8)

п *=1

Подставляя теперь оценки (8) вместо коэффициентов 0. п в разложении Фурье (7), получим оценку

для функции д. Однако полученная такой подстановкой проекционная оценка, как установлено в [17, 18], не является эффективной (минимаксной). Поэтому в [11] предлагаются взвешенные оценки МНК ступенчатого вида: для всех а < 2 < Ъ

п п

Д! (2) = Е Д! (2* )1{2*1 <2<2* } и М 2к )=Е^3'07',п ф3 ( 2к ) , (9)

*=1 3=1

где ^ = (1,...,1Дй+1,...Дя) е [0,1]" - вектор весовых коэффициентов, первые ё (2 < ё < п) компонент которого равны 1, остальные убывают от 1 до 0. Например, можно взять следующие веса: для любых 1 <а<а0+л/1пТ и 0<р<г

^3 = 13 + (! - (3 /Щ )а )1 {й3}, (10)

где й = й(Т) = 2[\[Т / 1пТ], щ = щ + [ (а +1)(2а +1) р^ | , т > 2, а0, ш0 > 0 - некоторые посто-

^ п аа )

янные. Другие примеры весов можно найти в [11, 18].

С целью повышения неасимптотического качества оценивания вместо оценок МНК (8) для коэффициентов Фурье определим следующие сжимающие оценки для 1 < 3 < п :

0*,п =(1 - §п (3)) 03,п , (11)

§п ( 3 )= <

-1 _ (й - 1)(Ъ - а)а,

й ^^<а}, с

п п(г + у1(Ъ - а)й (^ +

9« = (01 и>--->9</ „) ~ вектор первых ¿/оценок МНК, 0и = У""' I)1 п - его евклидова норма в ГГ . Теперь

введем взвешенные сжимающие оценки ступенчатого вида для неизвестной функции д: для всех

а < 2 < Ъ

п п

д!(2)=ед!(2*)1{2*1 <2<г*} и )=ея30*^пф3(2*), (12)

к=1 3=1

Чтобы изучить свойства оценки (12), определим эмпирический среднеквадратический риск оценки Д равенством

^ _^ п

П к=1

Обозначим разность эмпирических рисков взвешенной оценки (12) и взвешенной оценки МНК (9) как

Лп :=^п (Д*,Д) (ДХ,Д) .

Теорема. Пусть наблюдения описываются уравнением (6). Тогда для всех Т, таких что й > 2, и вектора X = (1,...,1Д£г+1,...Дп) е [0,1]" эмпирический риск оценки (12) удовлетворяет неравенству

К--СП + >/(Ь -а)йлТ • с„.

Доказательство. Подставим в определение оценки МНК 9. п в (8) выражение для Ук из (6), получим

J ,n J ,n

b - a

(14)

где

'=' +', ' =лЬ-а £ ак ^ф 7 (^), п'и =ь-а £ %ф 7 (^).

\ п к=1 п k=1

Используя разложение (7) и определение оценки (11)—(12), имеем

К(а!, а)=К(А,,а)+с2„ -2сиЕэ |еи[ £е.„ (е.,„ -е..,я).

Тогда разность эмпирических рисков

j=i

А = с2 - 2с E„

n n n 9

0.

'Y 0 (0 -0 ) = c2 - 2c E„ 0 -1 Y 0 (0 -0 + л. ) .

¿—t J,n \ J,n J,n) n n 9 ^ J,n ^ J,n J,n Ij,n J

7=1 7=1

Из (14) и предложения 2 имеем, что 9; л имеют условно-гауссовское относительно а-алгебры Е

распределение со средним 9. и дисперсией а 2Я = ——£ а * ф2 (^). Тогда, следуя доказательству

теоремы 4.1 из [19], находим

Ea 0,.

-1 d . ч Y0 (0 -0 )

, ¿—î J,n \ J,n J,n ! j=i

>

(d - 1)(b - a)o.

n

E

Используя неравенство Иенсена, оценим снизу последнее математическое ожидание

-1 г п—г г1

E„

0,

= E„

a b -aK 0n + Лп +j-%r.

n

>

d V

0nld + E9^n|d Ul —

n

9 П nld

Заметим, что \е„\л - г . Применяя неравенство Коши—Буняковского и предложения 1 и 2, получим

Еэ |л„|й -V(Ь - а)йЛ* и ^(Ь - а)а*й .

Поэтому

Значит

I » — |2 E8 0n -0n 2 < E8

E„

0 -0 nn

0.

> r +

- с - 2с -

nn

- a)d (^/л^ ^л/ст*)) . (d - 1)(b - a)o.

nlr +

№ - a)d (^ ^VCT7 ))

= Eq

0 -0 nn

-c2.

Таким образом, для разности рисков имеем

An <-C2 + 2E9

d . „ , 2EY(0* -0 )

®YV j,n J,n' j =1

л i,n .

Далее, применяя элементарное неравенство 2 об < ва +в Ъ для любого в > 0, имеем

й

n

d

Следовательно,

Ди < -(1 - ё)с; + ё"V(6 - а)т|* .

Минимизируя правую часть по в , находим г = -\j(b — a)dx\T jcn и приходим к утверждению теоремы. Теорема доказана.

Замечание. Поскольку рассматривается задача непараметрического оценивания, то размерность d > 2 не фиксирована, а является неубывающей функцией от T [19]. В неравенстве из теоремы

второе слагаемое справа yj(b - a)d• си - некий штраф, который платим из-за аппроксимации диффузионной модели (2) регрессионной моделью (6) и из-за того, что наблюдается не вся траектория процесса на отрезке [0, T], а лишь в конечном числе точек (tj)o<j<N. Однако из предложения 1 следует, что при увеличении длительности (и частоты) наблюдений это слагаемое стремится к нулю с большей скоростью, чем -с2 , что обеспечивает улучшение точности, начиная с некоторого T, т.е А„ < 0. Следствие. В условиях теоремы:

1) для любого е > 0 и любого 9 е О справедливо следующее неравенство для среднеквадрати-ческого риска (3) оценки (9):

И8 Ulli) < (1 + 8)291э ц) - (1 + 8)с; + (1 + 8)yl(b-a)ch\Tc„ + 2(1 + Г1)■Щ-;

п

2) при достаточно больших T для разности рисков Д3 (р.) = ^ (р* ,р) - ^ ,р) выполнено

sup Дз(р> <-сП.

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной теоремы и леммы А.2 из [20] о связи эмпирической нормы и нормы пространства Ц [a, b]. Второе - из теоремы, утверждения 1 и предложения 1.

3. Численное моделирование

В этом разделе приведены результаты численного сравнения эмпирических квадратичных рисков предложенной улучшенной процедуры (12) и МНК (9).

Предположим, что в модели (1) функция ц определена на [0, 1] (a = 0, b = 1) как

ц(z) = z sin(2nz).

Вне отрезка может быть доопределена произвольным способом с учетом определения класса Мтг

c m = 2 и r = 10. Для вычисления весовых коэффициентов в (10) положим a = 1, Юо = 100 и р = 1, т.е.

для 1 < j < n :

= !{1<j<d} +(1 - (j 1 ®t ))J{d+1<j<.T},

где d = d(T) = 2[VT /lnT], = 100 + (вТГ/п2 , T > 100.

Эмпирические среднеквадратические риски (13) рассчитываются по приближенной формуле

1 1000

91(ц*,ц) =-VII ц! -ц||2

1000 ы

где ц* - оценка, полученная по 1-й реализации выборки. В таблице приведены результаты поведения эмпирических среднеквадратических рисков при увеличении T.

Из таблицы видно, что эмпирический риск предлагаемой процедуры меньше, чем для процедуры, основанной на оценках МНК для заданных T. Отметим, что риски обеих оценок уменьшаются с ростом T и их пределы при Т неразличимы (поскольку 0 ^ 0 ). Улучшенное оценивание полезно на практике, когда количество наблюдений ограничено. Далее для иллюстрации на рис. 1

представлены графики функции ц (сплошная красная линия) и ее оценок МНК (ступенчатая синяя линия) и улучшенной (ступенчатая черная линия) при Т = 104 (слева) и 105 (справа).

Эмпирические среднеквадратические риски

T 102 103 104 105 106

Й„(ц*,ц) 2,1885 0,7303 0,4641 0,0832 0,0077

8,6656 2,0972 1,0834 0,4762 0,1589

Й„(й,ц)/Й„(ц*,ц) 3,96 2,87 2,33 5.72 20,64

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 1. Графики истинной функции и ее оценок Fig.1. Graphs of the true function and its estimates

Из рис. 1 видно, как предлагаемая оценка «сжимает» оценку МНК и тем самым лучше приближает истинную функцию.

Заключение

В работе впервые рассматривается стохастическая модификация SIR модели типа Кермака-Маккендрика для описания процесса распространения эпидемии, в которой динамика инфицирования определяется эргодическим диффузионным процессом с неизвестным коэффициентом диффузии. Предлагается улучшенная процедура оценивания функции сноса диффузионного процесса, которая позволяет повысить неасимптотическое качество обработки данных. Построение процедуры основано на особом алгоритме сжатия классических оценок МНК. В этом случае дополнительная априорная информация и увеличение объема наблюдения по сравнению с другими методами не требуются. Представленные теоретические результаты подтверждаются соответствующими экспериментальными данными, полученными в ходе моделирования. Видно, что выигрыш в среднеквадратической точности значителен.

Список источников

1. Kermack W.O., McKendrick A.G. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics // Proc. of the Royal Society of Lon-

don. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 1927. V. 115, № 772. P. 700-721.

2. Bustamante-Castaneda F., Caputo J.-G., Cruz-Pacheco G., Knippel A., Mouatamide F. Epidemic model on a network: Analysis

and applications to COVID-19 // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2021. V. 564. Art. 125520. doi: 10.1016 / j.physa.2020.125520

3. Baron M. Statistics and COVID-19: Estimation of Under-Reported Epidemic Counts. Washington DC : American University,

2021.

4. Cohen D.S., Murray J.D. A generalized diffusion model for growth and dispersal in a population // J. Math. Biology. 1981. V. 12.

P. 237-249.

5. Kutoyants Yu.A. Statistical Inferences for Ergodic Diffusion Processes. Berlin : Springer, 2003.

6. Karatzas I., Shreve S.E. Methods of Mathematical Finance. New York : Springer, 1998.

7. Ratcliff R. Diffusion and Random Walk Processes // International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences / J.D. Wright (ed.).

2nd ed. Amsterdam ; New York : Elsevier, 2001. V. 6: DEV-EDU. P. 3668-3673.

8. Pchelintsev E.A., Perelevskiy S.S., Makarova I.A. Improved nonparametric estimation of the drift in diffusion processes // Уче-

ные записки Казанского университета. Сер. Физико-математические науки. 2018. Т. 160, № 2. С. 364-372.

9. Pchelintsev E.A., Perelevskiy S.S. Asymptotically efficient estimation of a drift coefficient in diffusion processes // Applied

Methods of Statistical Analysis. Statistical Computation and Simulation. AMSA 2019, Novosibirsk, 18-20 September 2019 : Proc. of the International Workshop. Novosibirsk : NSTU publisher, 2019. P. 235-242.

10. Galtchouk L.I., Pergamenshchikov S.M. Asymptotically efficient sequential kernel estimates of the drift coefficient in ergodic diffusion processes // Statistical Inference for Stochastic Processes. 2006. V. 9. P. 1-16.

11. Galtchouk L., Pergamenshchikov S.M. Adaptive efficient analysis for big data ergodic diffusion models // Statistical Inference for Stochastic Processes. 2022. V. 25 (1). P. 127-158.

12. Пчелинцев Е.А., Перелевский С.С. Адаптивное оценивание в гетероскедастичной непараметрической регрессии // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 57. C. 38-52.

13. Пчелинцев Е.А. , Перелевский С.С. Адаптивное эффективное оценивание функции в гетероскедастичной регрессии // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 49. C. 73-81.

14. Galtchouk L.I., Pergamenshchikov S.M. Efficient pointwise estimation based on discrete data in ergodic nonparametric diffusions // Bernoulli. 2015. V. 21 (4). P. 2569-2594.

15. Pchelintsev E. Improved estimation in a non-Gaussian parametric regression // Statistical Inference for Stochastic Processes. 2013. V. 16 (1). P. 15-28.

16. Demmler A., Reinsch C. Oscillation matrices with spline smoothing // Numer. Math. 1975. V. 24. P. 375-382.

17. Pinsker M.S. Optimal filtration of square integrable signals in Gaussian white noise // Problems Transimis. Information. 1981. № 17. P. 120-133.

18. Pchelintsev E., Pergamenshchikov S.M., Povzun M. Efficient estimation methods for non-Gaussian regression models in continuous time // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 2022. V. 74 (1). P. 113-142.

19. Pchelintsev E.A., Pergamenshchikov S.M., Leshchinskaya M. Improved estimation method for high dimension semimartingale regression models based on discrete data // Statistical Inference for Stochastic Processes. 2022. V. 25 (1). P. 537-576.

20. Konev V.V., Pergamenshchikov S.M. Robust model selection for a semimartingale continuous time regression from discrete data // Stochastic Processes and their Applications. 2015. № 125. P. 294-326.

References

1. Kermack, W.O. & McKendrick, A.G. (1927) A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics. Proceedings of the Royal

Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 115(772). pp. 700-721.

2. Bustamante-Castaneda, F., Caputo, J.-G., Cruz-Pacheco, G., Knippel, A. & Mouatamide, F. (2021) Epidemic model on a network:

Analysis and applications to COVID-19. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 564. Art. 125520. DOI: 10.1016 / j.physa.2020.125520

3. Baron, M. (2021) Statistics and COVID-19: Estimation of Under-Reported Epidemic Counts. Washington DC: American University.

4. Cohen, D.S. & Murray, J.D. (1981) A generalized diffusion model for growth and dispersal in a population. Journal of Mathematical

Biology. 12. pp. 237-249. DOI: 10.1007/BF00276132

5. Kutoyants, Yu.A. (2003) Statistical Inferences for Ergodic Diffusion Processes. Berlin: Springer.

6. Karatzas, I. & Shreve, S.E. (1998) Methods of Mathematical Finance. New York: Springer.

7. Ratcliff, R. (2001) Diffusion and Random Walk Processes. In: Wright, J.D. (ed.) International Encyclopedia of the Social &

Behavioral Sciences. 2nd ed. Vol. 6. Amsterdam; New York: Elsevier. pp. 3668-3673.

8. Pchelintsev, E.A., Perelevskiy, S.S. & Makarova, I.A. (2018) Improved nonparametric estimation of the drift in diffusion processes.

Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Ser. Fiziko-matematicheskie nauki. 160(2). pp. 364-372.

9. Pchelintsev, E.A. & Perelevskiy, S.S. (2019) Asymptotically efficient estimation of a drift coefficient in diffusion processes.

Applied Methods of Statistical Analysis. Statistical Computation and Simulation. AMSA 2019. Novosibirsk, September 18-20, 2019. Novosibirsk: NSTU. pp. 235-242.

10. Galtchouk, L.I. & Pergamenshchikov, S.M. (2006) Asymptotically efficient sequential kernel estimates of the drift coefficient in ergodic diffusion processes. Statistical Inference for Stochastic Processes. 9. pp. 1-16. DOI: 10.1007/s11203-005-3248-4

11. Galtchouk, L. & Pergamenshchikov, S.M. (2022) Adaptive efficient analysis for big data ergodic diffusion models. Statistical Inference for Stochastic Processes. 25(1). pp. 127-158. DOI: 10.1007/s11203-021-09241-9

12. Pchelintsev, E.A. & Perelevskiy, S.S. (2019) Adaptive estimation in heteroscedastic nonparametric regression. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 57. pp. 38-52. DOI: 10.17223/19988621/57/3

13. Pchelintsev, E.A. & Perelevskiy, S.S. (2019) Adaptive efficient estimation of a function in heteroscedastic regression. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 49. pp. 73-81. DOI: 10.17223/19988605/49/9

14. Galtchouk, L.I. & Pergamenshchikov, S.M. (2015) Efficient pointwise estimation based on discrete data in ergodic nonparametric diffusions. Bernoulli. 21(4). pp. 2569-2594. DOI: 10.3150/14-BEJ655

15. Pchelintsev, E. (2013) Improved estimation in a non-Gaussian parametric regression. Statistical Inference for Stochastic Processes. 16(1). pp. 15-28. DOI: 10.1007/s11203-013-9075-0

16. Demmler, A. & Reinsch, C. (1975) Oscillation matrices with spline smoothing. Numerische Mathematik. 24. pp. 375-382.

17. Pinsker, M.S. (1981) Optimal filtration of square integrable signals in Gaussian white noise. Problems Transimis. Information. 17. pp. 120-133.

18. Pchelintsev, E., Pergamenshchikov, S.M. & Povzun, M. (2022) Efficient estimation methods for non-Gaussian regression models in continuous time. Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 74(1). pp. 113-142.

19. Pchelintsev, E.A., Pergamenshchikov, S.M. & Leshchinskaya, M. (2022) Improved estimation method for high dimension semimartingale regression models based on discrete data. Statistical Inference for Stochastic Processes. 25(1). pp. 537-576.

20. Konev, V.V. & Pergamenshchikov, S.M. (2015) Robust model selection for a semimartingale continuous time regression from discrete data. Stochastic Processes and their Applications. 125. pp. 294-326.

Информация об авторах:

Перелевский Святослав Сергеевич - младший научный сотрудник международной лаборатории статистики случайных процессов и количественного финансового анализа научного управления Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: slavaperelevskiy@mail.ru

Пчелинцев Евгений Анатольевич - доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: evgen-pch@yandex.ru

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Perelevskiy Svyatoslav S. (Researcher, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: slavaperelevskiy@mail.ru Pchelintsev Evgeny A. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: evgen-pch@yandex.ru

The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 22.08.2023; принята к публикации 08.12.2023 Received 22.08.2023; accepted for publication 08.12.2023