CC BY
0
Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2023.
№ 75. С. 5-20.
Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 2023. 75. pp. 5-20.
ОНТОЛОГИЯ, ЭПИСТЕМОЛОГИЯ, ЛОГИКА
Научная статья УДК 164.3
doi: 10.17223/1998863Х/75/1
ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КЛАСТЕРНОЙ СЕМАНТИКИ ДЛЯ ОСНОВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ МОДАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Николай Львович Архиереев
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия, arkhnl@bmstu.ru, arkh-nikolaj@yandex.ru
Аннотация. Рассматривается единая стратегия построения естественной семантики для основных нормальных модальных логик. Смысл модальных операторов выражается при помощи кластеров - конечных множеств описаний состояний и их систем, выполняющих роль модельных структур семантик возможных миров. Исчерпывающий пересчет кластеров обеспечивается элементарными арифметическими функциями. При построении семантики используются только традиционные для логики понятия.
Ключевые слова: кластер, модальный оператор, возможный мир
Для цитирования: Архиереев Н.Л. Принципы построения кластерной семантики для основных нормальных модальных систем // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2023. № 75. С. 5-20. doi: 10.17223/1998863Х/75/1
ONTOLOGY, EPISTEMOLOGY, LOGIC
Original article
PRINCIPLES OF CONSTRUCTION OF CLUSTER SEMANTICS FOR THE MAIN NORMAL MODAL SYSTEMS
Nikolay L. Arkhiereev
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation, arkhnl@bmstu. ru, arkh-nikolaj@yandex. ru
Abstract. One of the most well-known classes of non-classical logic is a class of so-called normal modal systems. The system that is usually proposed as basic normal logic is system K, including (apart from axioms and inference rules of classical logic) Kripke's axiom and necessitation rule. Traditional semantics for these systems have been constructed in terms of possible worlds, accessibility relation between them, model structure, whose epistemic and ontological status still remains rather unclear. Particular characteristics of accessibility relation may vary in different systems. The choice of system K as basic is usually explained by absence of any restrictions on accessibility relation in this system. However, this utmost technical simplicity results in occurrence in the semantics of K of a dubious notion of a dead end world. Cluster semantics for the main normal modal systems proposed in this article
© Н.Л. Архиереев, 2023
seems to be a natural alternative to the traditional possible world semantics. Cluster semantics includes truth evaluations of two levels and three different types. Formulas without modal operators take one of truth-functional value {t,f} in classical state descriptions (s.d.). Since modal operators are treated as quantifires on s.d., modalized formulas take one of non-truth-functional values {t, f} in sets of s.d. W. Finally, every propositional variable takes in set of s.d. W one of (meta) evaluations {N, I, C} (logically necessary, impossible, contingent). Evaluations of the last type bring about a construction of clusters - finite sets of s.d. and systems of such sets, replacing model structures of possible world semantics. Interpretation of elementary propositions in terms {N, I, C} turns out to be a natural analogue of accessibility relation in possible world semantics, which constitutes a modal level of a logical system and unifies s.d. in certain classes of equivalence. Dead end world proves to be just a random gap of interpretation of propositional variables in terms {N, I, C} on a certain level n > 1, which results in construction of an empty set Wn. Normal modal systems stronger than K can be easily constructed by application of some additional restrictions on possible truth-values of elementary propositions. Keywords: cluster, modal operator, possible world
For citation: Arkhiereev, N.L. (2023) Principles of construction of cluster semantics for the main normal modal systems. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 75. pp. 5-20. (In Russian). doi: 10.17223/1998863Х/75/1
В работе [1] был описан способ построения так называемой кластерной семантики для модальных систем S5, S4 Льюиса и основной интуиционистской системы Гейтинга Int. Данная статья является продолжением указанных исследований и содержит описание общей стратегии построения кластерной семантики для основных нормальных модальных логик.
Кратко напомним концептуальные основы рассматриваемых проблем.
В основе данного подхода к построению семантик модальных систем, впервые предложенного Ю.В. Ивлевым, лежит идея дополнительного истолкования пропозициональных переменных (предикатных символов) формулы с модальными операторами в терминах {N, I, C}, обозначающих соответственно логически истинные (необходимые), логически ложные (невозможные) и логически случайные (недетерминированные) высказывания. В первом случае из исходного множества описаний состояния (о.с.) для формулы исключаются все о.с., содержащие отрицание соответствующей переменной, во втором - все о.с., содержащие вхождения этой переменной без отрицания, в третьем случае результирующее множество содержит по крайней мере два о.с., в которых переменная имеет разные значения. Если, далее, две или более переменных трактуются как логически недетерминированные, каждое их конъюнктивное сочетание дополнительно рассматривается как логически случайное или невозможное. В результате образуются конечные кластеры (в терминологии Ю.В. Ивлева, ОМОСы - ограниченные множества описаний состояний <Г; W'>, где Г - ограничение допустимых истинностных значений переменных формулы; W' - результирующее множество), выполняющие роль модельных структур семантик возможных миров. Полученная семантика полна и непротиворечива относительно исчисления S5 Льюиса, т.е. является естественной теорией логических алетических модальностей.
В кластерных семантиках различают три типа оценок. Двухзначные истинностно-функциональные, которые обычным образом приписываются формулам без модальных операторов в классических о.с. Двухзначные неистинностно-функциональные, которые приписываются формулам с модаль-
ными операторами в кластерах - множествах о.с. W'. При этом операторы необходимости □ и возможности ◊ рассматриваются как кванторы V, 3 соответственно, пробегающие по элементам W'. Трехзначные не-истинностно-функциональные (мета) оценки элементарных высказываний в терминах {N, I, C}, которые также осуществляются относительно множеств о.с. W' (подробнее см.: [1]).
При переходе к построению семантики указанного типа для системы Льюиса S4 сохраняется исходная идея интерпретации переменных формулы в терминах {N, I, C}. Однако поскольку отношение достижимости в S4 уже не является, в отличие от S5, отношением эквивалентности, существенным оказывается понятие «выделенного», или «действительного», мира, в качестве которого последовательно рассматривается каждое исходное классическое о.с. a,j для формулы. Кроме того, в силу наличия в S4 собственных несводимых модальностей неэлементарных степеней, возможными оказываются итерированные метаоценки переменных в терминах {N, I, C}. Исходные оценки N, I в системе S4 могут повторно истолковываться только как необходимые NN, NI, оценка C - либо как необходимая NC, либо как случайная CC. В результате кластеры - аналоги модельных структур S4 (в терминологии Ю.В. Ивлева - ОГОСы, относительно ограниченные множества о.с.) - оказываются трехэлементными упорядоченными последовательностями <Гп; a,j; Wn> (n > 1) [2]. Кластерная семантика полна и непротиворечива относительно исчисления S4 Льюиса, а также относительно системы Гейтинга Int при переводе ее формул в систему S4, предложенном Дж. Маккинси и А. Тарским.
Отличительной особенностью кластерной семантики является использование только традиционных для логики понятий логической истинности, ложности, выполнимости, совместимости / несовместимости высказываний логической системы по истинности и т.д. Кроме того, число кластеров для пропозициональных фрагментов модальных систем всегда конечно: в [1] были продемонстрированы арифметические функции, обеспечивающие исчерпывающий пересчет указанных конструкций для систем S5, S4, Int (дополнительным условием полного пересчета кластеров для предикатных расширений данных систем оказывается конечность предметной области теории). Наконец, многие содержательные особенности соответствующих систем оказываются очевидным следствием самого способа построения кластерной семантики для них (например, для S4 такой особенностью является отсутствие несводимых итерированных модальностей степени выше 3, для системы Int - отсутствие необходимости рассматривать более двух «сильных» (интуиционистских) отрицаний подряд) [1].
Основной целью настоящей статьи, как следует из ее названия, является обобщение представленных в [1] результатов, распространение их на нормальные модальные системы K, D, T, B, а также изложение некоторых выводов философско-методологического характера.
Для простоты изложения ограничимся пропозициональными фрагментами указанных систем. В качестве исходных символов объектного языка далее будем использовать —i, з, □ (отрицание, импликация, оператор логической необходимости соответственно). Прочие классические логические связки, а также понятие формулы определяются стандартным образом. Операторы
логической возможности и случайности определяются как OA = —A и VA = ОАлО—А соответственно.
Набранные жирным шрифтом связки V, 3,е, 0, л, v,v ,з {N, I, C} -
символы метаязыка, которые будут использоваться для записи утверждений о выражениях объектного языка соответствующих логических систем.
Существуют различные способы классификации нормальных модальных логик, связанные с различными основаниями выбора какой-либо из этих систем в качестве базовой или минимальной (несколько подробнее об этом будет сказано ниже). На сегодняшний день в качестве минимальной системы нормальной модальной логики обычно рассматривается система К, которая строится путем добавления к аксиомам и правилам вывода классической логики высказываний (к.л.в.) аксиомы К D(A3B)3(DA3DB) и правила Гёделя (RG): если |-А, то |-DA.
Система D является результатом расширения К за счет добавления к ней «собственной» аксиомы D ПАзОА.
Система Т (М) Фейса-Вригта строится как расширение К путем добавления к ней аксиомы Т ПАзА или эквивалентной ей аксиомы М АзОА.
Так называемая брауэрова система В является результатом расширения Т путем добавления к ней аксиомы В АзПОА или эквивалентной ей аксиомы В1 ОПАзА.
Система S4 может быть описана как результат добавления к аксиомам и правилам вывода системы Т аксиомы Trans ПАзША.
Наконец, система S5 может быть описана как результат объединения аксиом и правил вывода систем Т, В, S4 или же как результат добавления к аксиомам и правилам вывода системы Т единственной аксиомы Un ОАзПОА.
Одним из основных инструментов построения стандартной семантики возможных миров для всех перечисленных систем является так называемая модельная структура - упорядоченная тройка элементов <W, R, | |>, где W -непустое множество возможных миров, RcWxW - заданное на этом множестве бинарное отношение (отношение достижимости или относительной возможности), | | - функция приписывания значений формулам системы в возможных мирах (функция интерпретации). Выбор системы К в качестве базовой нормальной модальной логики обычно объясняется ее «технической минимальностью» - на отношение R в этой системе не налагается никаких дополнительных ограничений, что с формальной точки зрения упрощает доказательство основных метатеорем о свойствах систем: осуществленное для системы К доказательство метатеорем о семантической непротиворечивости и полноте можно легко экстраполировать на остальные нормальные логики, просто рассматривая соответствующие дополнительные ограничения на отношение достижимости. (Для системы D это условие связности отношения достижимости, для T - условие рефлексивности, для В - рефлексивности и симметричности, для S4 - рефлексивности и транзитивности, для S5 - объединение свойств отношения R в системах T, B, S4.) При этом, поскольку постулируется отсутствие любых ограничений на отношение достижимости, в К допускается существование так называемых тупиковых миров - миров, из которых недостижимы никакие элементы W, в том числе и сами эти миры. Исходя из условий истинности / ложности формул с модальными операторами, для та-
ких миров принимается следующее соглашение: все формулы вида ПА истинны, а все формулы вида ОА ложны в тупиковых мирах. В пользу приемлемости подобного соглашения обычно предлагаются следующие аргументы.
Формула ПА истинна в некотором мире, если формула А истинна в каждом достижимом из него мире. Поскольку формула А не может быть опровергнута ни в одном мире, достижимом из тупикового, так как таких миров просто не существует, все формулы вида ПА в тупиковом мире можно считать тривиальным образом истинными. Формула ОА истинна в исходном мире, если существует хотя бы один достижимый из него мир, в котором формула А истинна. Поскольку миров, достижимых из тупикового, не существует, все формулы вида ОА оказываются в тупиковом мире тривиальным образом ложными.
Очевидно, что с чисто технической точки зрения подобное соглашение обеспечивает универсальную общезначимость аксиомы К, ее «ослабленного» варианта О(АзБ)з(ОАзОБ), а также корректность применения правила Гёде-ля во всех возможных мирах. При этом, однако, в тупиковых мирах формулы вида П(Ал—А) оказываются истинными, а формулы вида О(Аv—А) - соответственно, ложными. Последнее, в свою очередь, означает отсутствие в К любых теорем вида ОА.
Ранее отмечалось [1], что вопросы об онтологическом и эпистемическом статусе возможных миров, как и о конкретных видах необходимости и возможности, определяемых большинством из известных модальных систем, остаются, вообще говоря, открытыми. Введение еще более «экстравагантного» понятия тупикового мира сложившейся ситуации никак не проясняет. Попытка же сугубо инструменталистского истолкования возможных миров и отношения достижимости между ними как объектов чисто «технической» природы, призванных всего лишь обеспечить выполнение определенных аксиом логической системы, ставит под вопрос не только «содержательный» характер семантик возможных миров, но и наличие у логики собственной предметной области, отличающей ее, скажем, от теории формальных систем.
Как нам кажется, рассматриваемый в данной статье подход к построению семантик модальных систем позволяет естественным образом решить большинство обозначенных проблем.
При построении кластерной семантики для системы К будем исходить из следующих соображений.
В качестве «выделенных» миров кластеров первой степени последовательно рассматриваются все о.с. для соответствующей формулы.
Поскольку вхождение пропозициональной переменной р в некоторое о.с. а! не гарантирует того, что Ор истинно в а! (р может оказаться ложным во всех мирах, достижимых из мира а!, содержащего р), эта переменная может интерпретироваться как обозначающая логически истинное, логически ложное, логически недетерминированное высказывание. Иными словами, независимо от истинностного значения переменной в исходном о.с. она может принимать любое значение из множества {]\, I, включая отсутствие какого-либо определенного метаистолкования в этих терминах. В последнем случае результирующий кластер <Г1; а;; W1> будет содержать пустое множество о.с. W1, представляющее собой простейший пример тупикового мира.
Поскольку значения формулам ПА, О А приписываются именно в множествах о.с., классическое описание состояния, взятое, так сказать, изолированно, «само по себе», не детерминирует значения формул с модальными операторами. Его детерминирует множество Wl о.с. «целиком», являющееся результатом (мета)истолкования Г1 элементов исходного а! в терминах {] I, С}. Можно сказать, что классическое о.с. превращается в «полноценный» возможный мир (только) в результате подобной процедуры (строгим аналогом понятия «возможный мир» является не отдельное классическое о.с., а о.с., являющееся элементом некоторого множества W1 - а;Е W1).
Принятое в системе К рассмотрение любых комбинаторно допустимых истолкований значений переменных в терминах {] I, С}, включая «пустое» истолкование, требует приведенных выше соглашений об оценке модальных формул в тупиковых мирах. Эти соглашения, как отмечалось, обеспечивают выполнение аксиомы К и следующего методологического требования: если некоторая формула является теоремой системы, доказуемым в ней должно быть и утверждение о необходимости (необходимой истинности) этой формулы. Поскольку понятие необходимости формулы в данном случае увязывается с понятием ее логической истинности, систему К можно считать минимальной возможной основой для построения логики алетических модальностей.
Рассмотрим несколько примеров.
Пусть некоторая формула содержит единственную пропозициональную переменную р.
Относительно каждого о.с. для этой формулы а1 = {р}, а2 = {—р} возможными будут 31 + 1 кластера первой степени:
1. <{]р}; {р}; {{р}}>; 1'. <{]р}; {-р}; {{р}}>;
2. <{1р}; {р}; {{-р}}>; 2'. <{1р}; {-р}; {{-р}}>;
3. <{Ср};{р}; {{р}, {—р}}>; 3'. <{Ср}; {-р}; {{р}, {-р}}>;
4. <{0}; {р}; {{0}}>; 4'. <{0}; {-р}; {{0}}>.
Нетрудно увидеть, что, к примеру, формула Прзр опровержима в кластере 1', формула рзОр опровержима в кластере 2, а формула ПрзОр опровержима в аналогах тупиковых миров - кластерах 4, 4'. Из этого немедленно следует, что в случае отказа от построения кластеров с пустым W1, формула □рзОр оказывается общезначимой в семантике данного типа - она истинна в каждом из непустых приведенных кластеров. Таким образом, аксиома D (условие связности отношения достижимости) является формальным выражением запрета на существование тупиковых миров в семантике модальной системы.
Пусть формула содержит две переменные р, q. Возможными относительно нее оказываются четыре о.с. а1 = {р^}, а2 = {р,-^}, а3 = {—р^}, а4 = {-р,-^}. Относительно каждого из этих о.с. в семантике для К возможными будут 10 (32 + 1) кластеров первой степени W1. (В семантике для D кластеров относительно каждого исходного о.с. будет 32 - запрещены тупиковые миры.)
Приведем все кластеры первой степени для а1 = {р^}:
1. <{]р, {р, q}; {{р, q}} >;
2. <{]р, {р, q}; {{р, -^}}>;
3. <{1р, Nq}; {р, q}; {{-р, q}}>;
4. <{Ip; Iq}; {p, q}; {{—p, —q}}>;
5. <{Np, Cq}; {p, q}; {{p, q},{p, —q}}>;
6. <{Ip, Cq}; {p, q}; {{—p, q},{—p, — q}}>;
7. <{Cp, Nq}; {p, q}; {{p,q},{—p,q}}>;
8. <{Cp, Iq}; {p, q}; {{p, — q},{—p, —q}}>;
9. <{Cp, Cq; {p, q}; {{p, q}, {p, —q}, {—p, q},{— p, — q}}>;
10. <{0}; {p, q}; {{0}}>.
Приведенные конструкции напоминают кластеры для системы S5 с учетом некоторых отличий, отражающих специфику К: кластеры строятся относительно каждого исходного о.с. aj для формулы; возможны ситуации, при которых р е aj, но формула □—р истинна в соответствующем W и т.д. Как и в семантике для S5, если две или более переменные оцениваются как логически случайные (девятый кластер), дополнительно рассматриваются ограничения на образование их конъюнкций.
Нетрудно убедиться, что в каждом из приведенных кластеров формулы □(p=>q)3(Dp3>Dq), C,(p3q)3(C,p30q) будут истинными.
В кластерной семантике для К произвольная переменная р, истолкованная изначально как имеющая значения Np, Ip, Cp, может в дальнейшем интерпретироваться как необходимая, невозможная, случайная или же как не имеющая определенного истолкования второй степени (последний вариант соответствует тупиковому миру). Таким образом, для этой переменной возможны следующие 10 Г2: NNp, NIp, NCp; CNp, CIp, CCp; INp, IIp, ICp; 0. В первых трех случаях W2 результирующего кластера будет одноэлементным множеством множеств о.с. Истолкованиям CNp, CIp будут соответствовать двухэлементные множества множеств W2, поскольку CNp = NpvCp, CIp = IpvCp. Истолкование ССр порождает трехэлементное множество W2, поскольку ССр = СpvNpvIp (конструкции этого типа подробно описывались в [1] при построении кластерной семантики для S4, Int). Наконец, каждая из интерпретаций INp, IIp, ICp порождает по два различных кластера второго уровня, поскольку последовательно «заменяет» исходную метаоценку р в терминах {N, I, C} одним из двух других значений из этого множества и оценивает каждую такую замену как необходимую: INp = NIpvNCp; IIp = NNpvNCp; ICp = NNpvNIp.
Предъявим все кластеры второй степени для a1 = {p}:
1. <{NNp}; {p}; {{{p}}}>;
2. <{CNp}; {p}; {{{p}}; {{p}, {—p}}}>;
3. INp ^^^ ► a <{NIp}; {p}; {{{—p}}}>;
^ b <{NCp};{p};{{{p}, {—p}}}>;
1'. <{NIp}; {p};{{{—p}}}>;
2'. <{CIp}; {p}; {{{—p}}; {{p},{—p}}}>;
3'. IIp ► a <{NNp}; {p}; {{{p}}}>;
^ b <{NCp}; {p}; {{{p},{—p}}}>;
1''.<{NCp};{p};{{{p},{—p}}}>;
2''. <{CCp};{p};{{{p},{—p}}; {{p}}; {{—p}}>;
3''. ICp ^^ » a <{NNp};{p}; {{{p}}}>;
b <{NIp}; {p}; {{{—p}}}>.
В семантике для К к каждой из описанных четверок кластеров добавляется «пустой» кластер <{0}; {р}; {{{0}}}> - аналог тупикового мира. В общем случае тупиковым миром можно считать произвольный «обрыв» метаи-столкований переменных формулы в терминах {] I, С} на некотором шаге п > 1, результатом чего является построение пустого множества Wn, так как ни одно из множеств Wn_l не включается в такое Wn в качестве элемента. Для п = 1 Wn_1 просто совпадает с а;.
Структура ветвящихся кластеров 3, 3', 3'' отражает нерефлексивность отношения достижимости в К, D. «Подстановочным» случаем аксиомы Прзр является формула ШрзОр. В кластерах 3', 3'' эта формула ложна: формула □□р истинна в элементе а <{]]р}; {р}; {{{р}}} > каждого из кластеров, при этом формула Пр ложна в исходных кластерах первой степени <{1р}; {р}; {{-р}}>, <{Ср}; {р}; {{р}, {-р}}>. Соответственно, в кластере 3 ложна формула рзП
-р
Сформулируем алгоритм, обеспечивающий исчерпывающий пересчет кластеров степени п + 1, порождаемых отдельным кластером степени п.
Как следует из приведенных выше примеров для а1 = {р}, все интерпретации второй степени с главной («внешней») оценкой N или С порождают по одному кластеру соответствующей структуры, итерированные интерпретации с внешней оценкой I ведут к расщеплению исходного кластера - порождают по две конструкции соответствующего типа. При этом, как нетрудно убедиться, каждая интерпретация третьей степени с внешней оценкой I будет порождать уже три кластера третьей степени, например:
Щ]р = ]ЯШр V = ]Мр V ШСр V
Соответственно, каждая интерпретация четвертой степени с внешней оценкой I будет порождать четыре кластера:
ШССр = МССр V ]СССр = ]ШСр V Ш1Ср V ]СССр = = Ш]Ср V ШШр V ШМр V ]СССр.
Рассмотрим один из вышеприведенных кластеров первой степени для формулы с двумя переменными: <{]р,^}; {р^}; {{p,q}}>.
Каждое из истолкований ]р, Nq может повторно оцениваться в терминах {] I, С}, что дает следующие варианты: NNpлCNq, NNpлINq,
CNpлNNq, Шрл]^, CNpлINq, CNpлCNq, INpлCNq, INpлINq, 0.
При этом истолкования ]]рл]^я, ]]рлС^, CNpлNNq, CNpлCNq, 0 порождают по одному кластеру, каждая из четырех интерпретаций NNpлINq, Шрл№^, CNpлINq, ШрлС^ порождает по 2 кластера второй степени, а интерпретация Шрл!^ - 4 кластера W2.
Всего, таким образом, исходный кластер <{]р, {р, q}; {{р, q}}> порождает 17 кластеров второй степени.
Рассмотрим один из этих кластеров: <{]]р, {р, q}; {{{р, q}}}>.
Исходная интерпретация NNpлNNq порождает следующие оценки третьей степени допустимых значений р, q: NNNpлCNNq,
CNNpлNNNq, CNNpлCNNq, NNNpлINNq, Щ^л]]^ CNNpлINNq, INNpлCNNq, INNpлINNq, 0. При этом интерпретации, не имеющие ни одного вхождения I в качестве внешней оценки, порождают по одному кластеру третьей степени, каждая из четырех интерпретаций NNNpлINNq,
INNpлNNNq, CNNpлINNq, INNpлCNNq порождает по три множества Wз, а интерпретация INNpлINNq - девять множеств W3. Всего, таким образом, получаем 25 + 1 кластеров третьей степени по произвольному кластеру второй степени для формулы с двумя переменными.
В общем случае в кластерной семантике для К имеем следующую закономерность:
Число <Г1; а;; W1> по произвольному о.с. а; определяется выражением 3П + 1.
Число <Г2; а;; W2> по произвольному <Г1; а;; W1> определяется выражением
Сп0 х 2П х 20 + С х 2П-1 х 21 + Сп2 х 2П-2 х 22 + Сп3 х 2П-3 х 23 + ... +
I /ч П-1 /-\1 лП-^ /ч П /-\0 лП | 1
+ Сп х 2х 2 + Сп х 2х 2 + 1.
0п0
Слагаемое Сп х 2 х 2 обозначает число кластеров, не содержащих ни одного истолкования вида Ш, II, ГС; слагаемое Сп1 х 2п-1 х 21 обозначает число кластеров, порождаемых наборами интерпретаций, содержащих ровно одну оценку I в качестве главной, и т.д.
Для примера с одной переменной это выражение редуцируется до
С10 х 21 х 20 + С11 х 20 х 21 + 1 = 5.
Для примера с п = 2 выражение сокращается до
С0 у\2 /-\0 I 1 1 /-ч 1 I 2 /-\0 у\2 I 1 1^7
2 х 2 х 2 + С2 х 2 х 2 + Сп х 2 х 2 + 1 = 17.
Число <Г3; а;; W3> по произвольному <Г2; а;; W2> определяется выражением
Сп0 х 2п х 30 + Сп1х2п-1 х 31 + Сп2 х 2п-2 х 32 + Спк х 2п-к х 3к + ... + + Спп-1 х 21 х 3п-1 + Спп х 20 х 3п + 1.
Слагаемое Спк х 2п-к х 3к обозначает число кластеров третьей степени, порождаемых наборами интерпретаций, содержащих ровно к (п > к > 0) «внешних» оценок I. В примере с п = 2 данное выражение сокращается до
С20 х 22 х 30 + С21 х 21 х 31 + С22 х 20 х 32 + 1 = 4 + 12 + 9 + 1 = 26.
В общем случае число кластеров степени г (г > 1) по отдельному кластеру «предыдущего» уровня будет в семантике для К определяться выражением
С0 лп 0 , 1 --»п-1 1 . г* 2 --»п-2 2 . г* к --»п-к к . .
п х 2 х г + Спх 2 х г + Спх 2 х г+ Сп х 2 х г + ... +
+ С п-1 х 21 х гп-1 + С п х 20 х гп + 1
пп
При определении числа кластеров степени г (г > 1) по отдельному кластеру «предыдущего» уровня в семантике для D в соответствующем выражении просто отбрасываем 1, обозначающую «тупиковый» мир.
Описанная семантика полна и непротиворечива относительно исчислений К, D.
Переход к кластерной семантике для системы Т предполагает выполнение следующих условий: реа! ^ NpvCp; —реа! ^ IpvCp. В результате для любого <Г1; а1; W1> верно а1еW1 (исходное о.с. каждого кластера является элементом (возможно, единственным) его множества W1). Соответственно, в Т запрещены итерированные истолкования переменных с главным знаком I: Ш, II, ГС. Нетрудно убедиться, что описанные правила построения кластеров являются необходимыми условиями выполнения аксиомы Прзр (рзОр): пусть реа!; тогда эта переменная может иметь одно из двух метаистолкова-ний N С В первом случае |Ор|^ = ^ так как Va(aеW1 ^ |р|а = t) и формула
□рзр истинна в кластере. Во втором случае |0р|^ = ^ так как За(ае W1л|р|а = 0 и формула рзОр истинна в соответствующем кластере.
Поскольку все более «сильные» интересующие нас нормальные системы (В, S4, S5) строятся как расширение Т, рассмотрим подробно несколько примеров, иллюстрирующих особенности внутренней структуры кластеров неэлементарных степеней в системе Т.
Рассмотрим в качестве исходного кластер <^р, {р, q}; {{р, q}}>. Каждое из истолкований ^ может в дальнейшем интерпретироваться как необходимое или случайное, т.е., возможными будут четыре варианта: ШрдШ^ ШрлС^, С^лШ^ С^лС^. Поскольку CN = ^С, истолкованию CNpлCNq будет соответствовать следующий <Г2; а;; W2>:
Каждое нумерованное множество W1 в данном кластере соответствует
1.NpлNqv2.NpлCqv3.CpлNqv4.CpлCq.
Поскольку CCN = CNvNvC, истолкование СCNp, СС^ «разворачивается» в дизъюнкцию
1. СКрлС^2.СКрл^3. CNpлCqv4.NpлCNqv5. CpлCNqv6.NpлNqv v7.NpлCqv8.CpлNqv9.CpлCq.
Каждому элементу этой дизъюнкции соответствует элемент кластера с тем же номером:
<{ОЧр, CNq}; {р, q}; Г 1. {{р, q}} 2.{{р, q} {р, < 3. {{p, q} q}}
4. {{p,q} ^ q}
Рис. 1
элементу следующей дизъюнкции с тем же номером:
/
q} {p,
<
q} q}}
{{p, q} {p, q}
3.[{{р^} {р,^}}
{{p,q} ^ {-р^}
" 6. {{{ p,q }} } {-р, 7. |{{р^} {р,^}}}
Рис. 2
Пусть, как и ранее, исходное о.с. а; = {p, q}. Одним из кластеров второй степени <Г2; а;; W2>, допустимых в системе Т относительно этого о.с., будет следующая конструкция:
<{NCp, NCq}; {p,q}; {{{p, q} {p, -q} {-p, q} {-p, -q}}}>. Истолкования NCp, NCq могут в дальнейшем интерпретироваться либо как необходимые, либо как случайные. При этом метаоценке CNC будет соответствовать пара множеств W2, выполняющая дизъюнкцию NCvCC. Таким образом, интерпретация CNCp, CNCq «разворачивается» в дизъюнкцию 1.NCpANCqv2.NCpACCqv3.CCpANCqv4.CCpACCq. Каждому элементу дизъюнкции в результирующем кластере <Г3; а;; W3> будет соответствовать элемент W2e W3 с тем же номером:
i^{{p, q} {p, —q} {-p, q} bp, —q}>J-
2. Г{{p, q} fo —q} {—p,q} {—p, —q}} q} {—p, q}} {{p, —q} {—p, —q}}
3. |q} {p, —q} {—p, q} {—p, —q}} {{p,q} {p, —q}} {{—p,q} {—p, —q}}
\
4.
q} {p, —q} {—p, q} {—p, —q}} {{p, q} {—p, q}} {{p, —q} {—p,—q}} q} {p, —q}} {{—p, q} {—p, —q}}
{{p, q}} {{p, —q}} {{—p, q}} {{—p, —q}} Рис. 3
Метаистолкованию четвертой степени CCNCp, CCNCq будет соответствовать девятиэлементное множество W4, элементами которого будут множества W3, включающие следующие элементы вышеописанного кластера, обозначенные буквами латинского алфавита:
А{1,2,3,4} В{1,3} С{2,4} Б{1,2} Е{3,4} F{1} 0{2} Н{3} 1{4}. Каждое из этих множеств W3 будет соответствовать элементу следующей дизъюнкции, обозначенному той же буквой:
A.CNCpлCNCqvB.CNCpлNCqvC.CNCpлCCqvD.NCpлCNCqvE.CCpлC NCqvF.NCpлNCqvvG.NCpлCCqvH.CCpлNCqvLCCpлCCq.
Поскольку каждая переменная, входящая в некоторое а!, трактуется как имеющая соответствующее значение по необходимости или случайно, а каждое из исходных истолкований переменной в терминах {] I, С} также оценивается как необходимое или случайное, число кластеров степени п + 1 по произвольному отдельному кластеру степени п определяется в Т элементарной формулой 2п
Все приведенные кластеры системы Т допустимы и в системах К, D. В системе В допустимы кластеры, приведенные на рис. 1, рис. 3, и недопу-
стим кластер, приведенный на рис. 2. Ни один из этих кластеров недопустим в S4, S5.
При построении кластерной семантики для системы В к условиям системы Т добавляется следующее ограничение: метаоценки N I могут повторно интерпретироваться как необходимые или случайные, метаоценка С - только как необходимая. Данное ограничение оказывается аналогом свойства симметричности отношения достижимости и является, таким образом, необходимым условием общезначимости в кластерной семантике собственной аксиомы системы В АзПОА или эквивалентной ей аксиомы В1 ОПАзА.
Пусть переменная р является элементом некоторого исходного о.с. а!: реа!.
Согласно правилам системы Т, в этом случае р может иметь метаистол-кования N или С:
1.<№}; {р}; {{р}}>; 2.<{Cp}; {р}; {{р}, {1р}}>.
Каждое из исходных истолкований в Т может повторно интерпретироваться как необходимое или случайное. На основе первого кластера получаем два кластера второй степени: 1а.<{Шр}; {р}; {{{р}}}>; 1Ь.<^р}; {р}; {{{р}}; {{р}, {1р}}}>.
В каждом из этих кластеров, очевидно, истинно утверждение рзПОр, поскольку VW1(W1 е¥2^ I Ор |
На основе кластера <{Cp}; {р}; {{р}, {]р}}> получаем два следующих кластера второй степени:
2а.<{^р}; {р}; {{{р}, {1р}}}>; 2Ь.<{ГСр}; {р}; {{{р}, {~1р}}; {{р}}; {{1р}}}>.
В последнем кластере формула рзПОр опровержима, поскольку реа!, но в множестве {{1р}} формула Ор ложна.
Пусть —реа!. В системе Т одним из кластеров второй степени, возможным относительно этого а!, оказывается конструкция <{CCp}; {— р}; {{{р},{Ъ}}; {{р}}; {{1р}} }>. Формула ОПр истинна в W2 этого кластера, поскольку Пр истинна в его элементе {{р}}, но р ложна в исходном а!. Следовательно, ОПрзр опровержима в этом кластере.
Таким образом, если отдельные оценки СС рассматриваются в качестве допустимых (как в семантике для Т, S4 и, разумеется, более слабых систем), то формулы рзПОр, ОПрзр оказываются опровержимыми. Опровержимой при этом оказывается и формула ОПрзПОр, которая считается «характеристической» теоремой системы В (кластер 2Ь).
Подчеркнем, что в кластерах для системы В интерпретации СС могут включаться в качестве дизъюнктивных элементов в состав сложных мета-оценок неэлементарного уровня, поскольку, например, СNС = NСvСС (см. рис. 3). Необходимым в системе В оказывается выполнение следующего требования: если С - главная («внешняя») оценка степени п, то при повторном истолковании она может принимать только значение N (допустимой оценкой степени п + 1 будет только оценка NС).
Число кластеров первой степени по отдельному а! определяется в системе В простой суммой биномиальных коэффициентов Сп0 + Сп1 + ... + Спк+ ... +
+ Cnn = 2n, где слагаемое Cnk (n > k > 0) обозначает число кластеров, в каждом из которых какие-либо k переменных интерпретируются как «случайные»; W1 каждого из таких кластеров есть 2k - элементное множество о.с.
Число кластеров более высоких степеней по отдельному кластеру предыдущего уровня определяется выражением 2n-k, где k (n > k > 0) - число интерпретаций С в кластере предыдущего уровня.
Напомним, что при построении кластерной семантики для S4 в качестве дополнительных ограничений на построение итерированных истолкований переменных в терминах {N, I, C} рассматривались условия, «двойственные» условиям для кластерной семантики системы В: истолкования N, I могут повторно интерпретироваться только как имеющие значение N, истолкование С - как имеющее значение N или С. Нетрудно увидеть, что объединение принципов построения кластерных семантик для B и S4 означает, что каждая из исходных оценок некоторой переменной в терминах {N, I, C} должна оставаться неизменной (оказывается единственной для некоторого W1). В сочетании со специальным условием для кластерной семантики системы Т (для любого <Г1; ai; W1> верно, что a1eW1), а также с учетом того, что все интерпретации переменных в терминах {N, I, C} представляют собой, по сути, дополнительные операции на множестве классических о.с. для формулы, это делает излишним использование понятия «исходного» о.с. (выделенного мира).
Таким образом, объединение принципов построения кластерной семантики для систем T, B, S4 дает нам в итоге впервые предложенную Ю.В. Ивлевым теорию логических модальностей, адекватной формализацией которой оказывается система S5.
Как отмечалось выше, выбор системы К в качестве базовой, или минимальной, системы нормальной модальной логики является во многом произвольным и объясняется преимущественно техническими соображениями. С. Крипке в своей классической работе [3] к нормальным относил системы, обязательно содержащие, помимо аксиомы К и правила Гёделя, еще и аксиому ПАзА. Нормальными при этом, таким образом, оказываются только системы не слабее системы Т. Схожей точки зрения придерживался и Г. фон Вригт, формулируя так называемый «общий принцип возможности» (General Principle of Possibility): если высказывание истинно, оно также возможно [4. Р. 21]. По мнению подавляющего большинства исследователей, выполнение в системе аксиомы ПАзА при построении логики алетических модальностей является минимальным необходимым условием для того, чтобы используемые в ней операторы □, ◊ могли рассматриваться как знаки для категорий необходимости и возможности в сколько-нибудь реальном смысле. В работе [5] явным образом подчеркивается, что оператор □ в системе К вообще не стоит понимать как символ какой-либо «осмысленной необходимости» («.. .we emphasize that the operator □ in K should not be understood as some meaningful necessity» [5. P. 69]). Как указывается в [6], минимальная нормальная модальная система впервые была обозначена литерой К в честь С. Крипке в работе Леммона и Скотта [7] ([6. P. 49; 7. P. 29]). Довольно курьезно при этом, что сам Крипке никогда специально не интересовался данной конкретной системой.
Название «тупиковый мир» для соответствующих элементов модельных структур системы К было, в свою очередь, введено Кристером Сегербергом [6. Р. 44].
Собственная аксиома системы D ПАзОА оказывается «ослабленным» вариантом (следствием) собственной аксиомы Т ПАзА и, как отмечалось, с технической точки зрения представляет собой запрет на существование тупиковых миров в семантике соответствующей системы.
Название системы В в честь Л. Брауэра также является в достаточной мере условным, поскольку, как известно, основатель математического интуиционизма крайне скептически относился к идее эксплицитного построения «интуиционистской логики» в виде некоторой единой формальной системы.
Модальные операторы в системах S5, S4 допускают более естественную интерпретацию. Система S5, как уже отмечалось, традиционно считается адекватной формализацией теории логических модальностей. Система S4 может рассматриваться как определенный вариант эпистемической логики, или логики неформальной доказуемости [5. Р. 92]. Импликация системы S4 является адекватной языковой моделью метатеоретического отношения дедуктивного логического следования [8. С. 125].
Нам представляется, что описанный метод построения семантик для основных нормальных систем позволяет естественным образом редуцировать базовые понятия семантики возможных миров к более традиционным для логики понятиям. Так, модельная структура оказывается конечным кластером - (частично) упорядоченным множеством о.с. или конечной системой таких множеств, возникающей в результате определенных ограничений возможных значений переменных формулы. Эти ограничения - истолкования допустимых значений переменных в терминах {] I, С} - можно, в свою очередь, понимать как аналог отношения достижимости между мирами, объединяющего миры в классы эквивалентности Wn > 1. Наконец, возможный мир оказывается классическим о.с., которое рассматривается как элемент соответствующего Wl. Еще одним существенным преимуществом предлагаемых семантик, помимо содержательной оправданности используемых понятий, является конечный, «конструктивный» характер рассматриваемых процедур, т.е. возможность исчерпывающего пересчета всех кластеров для некоторой формулы.
Все рассмотренные в настоящей работе системы являются своего рода «гибридными» - помимо чисто классической истинностно-функциональной части содержат собственно модальную не-истинностно-функциональную часть. Необходимым условием возникновения второго уровня системы является истолкование пропозициональных переменных в терминах {] I, С}. Основными при построении модального уровня систем оказываются следующие принципы:
1. Принцип трехзначности: каждое элементарное высказывание получает дополнительное (мета)истолкование степени п > 1 в терминах {] I, С}.
2. Принцип непротиворечия: при каждом истолковании степени п > 1 элементарное высказывание не может иметь более одного значения из множества {] I, С}.
3. Принцип исключенного четвертого: при каждом истолковании степени п > 1 элементарное высказывание обязательно принимает какое-то значение из множества {] I, С}.
Поскольку в системе К не выполняется принцип 3, в строгом смысле модальной системой ее считать нельзя (оператор □ в системе К не определяет никакого реального понятия необходимости).
Рассмотренные в настоящей статье, а также в работе [1] конкретные варианты ограничений на допустимые истолкования переменных в терминах {N, I, C} оказались необходимыми и достаточными условиями построения кластерных семантик для основных нормальных модальных систем. Естественно предположить, что анализ некоторых дополнительных содержательно оправданных ограничений данного типа позволит построить кластерную семантику для ряда других известных модальных логик (например, для «промежуточных» между S4, S5), а также (что весьма вероятно) станет основой формулировки принципиально новых логических систем. Все сказанное является предметом для дальнейшего исследования.
Список источников
1. Архиереев Н.Л. Кластерные семантики для некоторых модальных и интуиционистских систем // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2022. № 70. С. 20-38.
2. Ивлев Ю.В. Модальная логика. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991. 224 с.
3. Крипке С.А. Семантический анализ модальной логики 1. Нормальные модальные исчисления высказываний // Р. Фейс. Модальная логика. М. : Наука, Физматлит, 1974. С. 254303.
4. von Wright G.H. An Essay in Modal Logic. Amsterdam : North-Holland Publishing Company, 1951. 90 p.
5. ChagrovA., ZakharyaschevM. Modal Logic. Oxford : Clarendon Press, 1997. 605 p.
6. Hughes G.E., Cresswell M.J. A New Introduction to Modal Logic. London ; New York : Routledge, 1996. 421 p.
7. Lemmon E.J., ScottD.S. The Lemmon Notes: An Introduction to Modal Logic // ed. K. Segerberg. Oxford : Basil Blackwell, 1977. 94 p.
8. Войшвилло Е.К. Символическая логика классическая и релевантная. Философско-методологические аспекты. М. : Либроком, 2011. 152 с.
References
1. Arkhiereev, N.L. (2022) Cluster semantics for some modal and intuitionistic systems. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 70. pp. 20-38. DOI: 10.17223/1998863X/70/2
2. Ivlev, Yu.V. (1991) Modal'naya logika [Modal Logic]. Moscow: Moscow State University.
3. Kripke, S.A. (1974) Semanticheskiy analiz modal'noy logiki 1. Normal'nye modal'nye is-chisleniya vyskazyvaniy [Semantic analysis of modal logic 1. Normal modal calculus of statements]. In: Face, R. Modal'naya logika [Modal Logic]. Moscow: Nauka. FIZMATLIT. pp. 254303.
4. von Wright, G.H. (1951) An Essay in Modal Logic. Amsterdam: North-Holland Publishing Company.
5. Chagrov, A. & Zakharyaschev, M. (1997) Modal Logic. Oxford: Clarendon Press.
6. Hughes, G.E. & Cresswell, M.J. (1996) A New Introduction to Modal Logic. London; New York: Routledge.
7. Lemmon, E.J. & Scott, D.S. (1977) The Lemmon Notes: An Introduction to Modal Logic. Oxford: Basil Blackwell.
8. Voyshvillo, E.K. (2011) Simvolicheskaya logika klassicheskaya i relevantnaya. Filosofsko-metodologicheskie aspekty [Symbolic logic - classical and relevant. A philosophical and methodological aspects]. Moscow: Librokom.
Сведения об авторе:
Архиереев Н.Л. - доктор философских наук, профессор кафедры СГН-4 («Философия») Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (Москва, Россия). E-mail: arkhnl@bmstu.ru, arkh-nikolaj@yandex.ru
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Information about the author:
Arkhiereev N.L. - Dr. Sci. (Philosophy), professor of the Department of Social and Humanitarian Sciences-4 ("Philosophy") of Bauman Moscow State Technical University (Moscow, Russian Federation). E-mail: arkhnl@bmstu.ru, arkh-nikolaj@yandex.ru
The author declares no conflicts of interests.
Статья поступила в редакцию 24.07.2023; одобрена после рецензирования 15.09.2023; принята к публикации 07.10.2023
The article was submitted 24.07.2023; approved after reviewing 15.09.2023; accepted for publication 07.10.2023
